CHƯƠNG 10: DÒNG CHẢY TRONG KÊNH SÔNG CONG
10.3. Bài toán của dòng chảy trong sông cong
Như ta đã thấy cấu trúc dòng chảy trong sông cong có dạng không gian 3 chiều rõ rệt. Vì vậy bài toán động lực học đầy đủ phải là bài toán 3D, tuy nhiên đó là một bài toán quá lớn và chỉ trường hợp đặc biệt hiếm hoi mới áp dụng mô hình 3D (mô hình này đang còn phát triển và hoàn thiện). Vì vậy bài toán sông cong có thể giải theo các cấp khác nhau.
10.3.1. Bài toán một chiều (1D) [24]
Giống như bài toán thủy lực mạng lưới kênh sông đã nghiên cứu ở trên. Chỉ có ở đoạn sông cong phải tính thêm tổn thất do dòng ngang (thứ cấp). Như vậy hệ số cản toàn thể cho đoạn sông cong với việc chú ý đến tổn thất ngang theo Rosovski (10.12) là:
K = 2 1/2 2 2
r h c 30 g c 12g gh
1 h c
1 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟⎛
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+ (10.14)
Sau khi giải bài toán tìm được Q, Z và từ đó U các mặt cắt thì với đoạn sông cong nào có thể chấp nhận dòng thứ cấp phát triển đầy đủ để tính phân bố lưu tốc ngang theo chiều sâu chẳng hạn với công thức (10.7) và giả định trước phân bố lưu tốc trung bình thủy trực của chủ lưu theo bề rộng sông.
Giả thiết phân bố này có thể đồng dạng với dạng phân bố đã đo đạc được trong thực tế. Để giải quyết tốt hơn vấn đề này ta phải sử dụng bài toán 2 chiều trong hệ tọa độ cong.
10.3.2. Bài toán 2Dc(2 chiều tọa độ cong)
Trung bình hóa phương trình (10.1) theo thủy trực và lấy trung bình cụ thể:
∫
=
h 0
h udz
u 1 = ∫h
0
h vdz
v 1 v.v…
Các đặc trưng trung bình thủy trực được kí hiệu với dấu gạch ngang ở trên. Lưu ý là nếu xem ứng suất tiếp τ trên bề mặt bằng 0 (không có tác động của gió), ta được:
dz h z h
1h so
0
s τ
−
∂ = τ
∫∂ τso;τro - Ứng suất tiếp ở đáy
dz h z h
1h ro
0
r τ
−
∂ = τ
∫∂
Thayτo =−γhJ với J - độ dốc thủy lực (theo các hướng tương ứng) tập hợp lại ta được hệ phương trình:
r 0 v r h s
u h t
z +∂ =
∂ + ∂
∂ +∂
∂
∂
0 s gJ
g z r
v u r v u s u u t u
s =
∂ + + ∂
∂ + + ∂
∂ + ∂
∂
∂ (10.15)
0 r gJ
g z r u r v v s u v t v
r 2
=
∂ + + ∂
∂ − + ∂
∂ + ∂
∂
∂
Ở đây các trị số wxem gần bằng 0 (đúng hơn là nhỏ hơn nhiều bậc so với u, v) và:
∫∂∂
h 0
z dz w h
1 =
h
1wmặt =
t z h 1
∂
∂
Thay Js , Jr bằng J’ , J’’ từ công thức (10.12), (10.13)
Bài toán hai chiều 2Dc có miền xác định là lăng trụ đứng đáy là miền không gian trong mặt phẳng s, r của đoạn sông cong và đường sinh song song với trục thời gian t.
Đặc trưng của hệ phương trình (10.15) là:
gh
s =u± λ
(10.16)
gh
s = v± λ
Ta cũng có dòng chảy êm khi v <u< gh ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ = < = <1 gh Fr u gh Fr v
2 s 2
r và ngược lại
là dòng chảy xiết.
d
c a
b
Hình 10.7: Phần tử lưới cong
Điều kiện biên với dòng chảy êm (Fr < 1) là hai điều kiện (ví dụ cho u, v hoặc cho Q, v ở phần biên chảy vào và Z, vở phần biên chảy ra). Cách giải bài toán có thể là sai phân hoặc phần tử hữu hạn. Với phần tử hữu hạn, người ta hay dùng phương pháp thể tích hữu hạn. Nguyên lý của phương pháp này như sau:
- Với phần tử mà hình chiếu trên mặt (s,r) như trong (hình10.7).
Ta tính tích phân các phương trình (10.15) theo thể tích V (thể tích có mặt là nút lưới cong abcd và đường sinh lăng trụ thẳng đứng với chiều cao h).
- Thay tích phân thể tích bằng tích phân mặt theo định lý Gauss – Ostrogradski.
Trị số tích phân trên các mặt bên được tính xấp xỉ qua trị số tại các nút a, b, c, d (trị số trung bình nhân với h) mà hệ số là hàm cơ sở của PTHH (tuyến tính hóa) riêng z tính tại tâm phần tử.
- Giải hệ phương trình đại tuyến với ma trận thưa và nhận được nghiệm số. Nếu sai số tuyến tính hóa lớn phải tính lập lại nhiều lần.
Mấy yếu tố của bài toán cần lưu ý:
(i) Số liệu đầu vào:
- Số liệu địa hình: Tốt hơn hết là dùng bản đồ số hóa.
- Tài liệu thủy văn gồm tài liệu lưu lượng và mực nước biên, cần lưu ý là mặt cắt chảy vào (biên của nhiều phần tử tính) nếu cho lưu lượng thì lưu lượng nên phân bố trên chiều ngang theo tỷ lệ với tài liệu thực đo ở một vài cấp lưu lượng đã có. Cũng từ tài liệu thực đo một vài lần đã có mà cho tỷ lệ gần đúng
u
v và gắn với các cạnh biên của phần tử biên. Cũng như vậy, với biên chảy ra (thường xem z = const trên chiều ngang, trừ trường hợp có tài liệu thực đo khác) nếu quá khó khăn về cho lưu tốc ngang
v ở mặt cắt biên có thể lấy v = 0 ở các cạnh biên của phần tử biên nhưng như vậy phải lấy mặt cắt biên đủ xa đoạn cần tính để triệt tiêu ảnh hưởng của giả thiết này.
(ii) Khi có nhiều u, v tại các nút có thể tính phân bố u, v theo chiều sâu sử dụng công thức (10.6) và (10.7).
(iii) Việc chia lưới tính khá vất vả nhưng có phần mềm Delaunay chia lưới tự động trên bản đồ số.
(iv) Phần mềm thông dụng và đầy đủ để giải bài toán này là MIKE 21C (Một số tác giả ở nước ta như Lê Song Giang, Nguyễn Thị Bảy, Nguyễn Hữu Nhân, Nguyễn Phi Khử… có lập sơ đồ giải bài toán 2Dc nhưng đang trong quá trình hoàn thiện).
(v) Việc hiệu chỉnh và kiểm định mô hình làm tương tự như bài toán 1 chiều.
10.3.3. Mô hình σ
Là mô hình 2 chiều nhiều lớp. Người ta chia chiều sâu theo các lớp σ = σ1, σ2,…..
σn (chẳng hạn 0.1; 0.2 v.v…) và lập hệ phương trình σ từ (10.1) và giải theo phần tử hữu hạn. Mô hình này cho ta phân bố đặc trưng thủy động lực học theo không gian mà chưa phải giải bài toán 3D đồ sộ.
BÀI TẬP PHẦN 2
Bài tập 1 Tốc độ lan truyền sóng vỡ đập
Nội dung Tính toán tính cấp tốc của sóng vỡ đập cho cấu trúc sông ngòi thực tế của Việt Nam tại những khu vực khác nhau của công trình
Lựa chọn đối tượng Xây dựng hồ chứa Hòa Bình và Tuyên Quang Đọc thêm Nguyễn Cảnh Cầm (1998) Thủy lực kênh hở (VN)
Jain S.C.(2001) Dòng chảy hở (Open channel Flow) (E) Ví dụ:
Một số bổ sung:
Đối với sự dịch chuyển của sóng ta có phương trình cơ bản sau:
{(v-λ)A } = 0
[(v-λ) + P/ρ ] = 0 (1.1) Trong đó dấu ngoặc vuông chỉ ra rằng trong ngoặc vuông là 1 hàm ϕ tùy ý.
[ ϕ(x) ] = ϕ(x+0) - ϕ(x-0) Trong đó x là tọa độ bước nhảy trong hệ Decac Từ phương trình ban đầu ta có:
(v1 -λ)A1 = (v2 -λ)A2
Do đó
v2-λ = ( v1-λ )A1/A2 (1.2) (kí hiệu 1 cho x-0 và 2 cho x+0)
Với quan hệ từ phương trình thứ 2 ta nhận được:
(v1-λ)A1((v2-λ) – (v1-λ)) + P2/ρ - P1/ρ +0 và
(v1-λ)2 A1( A1/A2 -1) = P1/ρ -P2/ρ (1.3) Do đó
v1-λ = 2 1 2
1 1 2
A P P
A A A
± −
ρ −
và
λ = v1 2 1 2
1 1 2
A P P
A A A
± −
ρ − (1.4) Tương tự:
λ = v2 1 1 2
2 1 2
A P P
A A A
± −
ρ − (1.5)
Từ phương trình (1.2) ta thấy v1-λ và v2-λ cùng dấu và chúng cùng dấu trước khi lấy căn bậc 2 trong phương trình (1.4) và (1.5), phương trình cuối cùng phụ thuộc vào đặc điểm vật lý của bài toán
Bây giờ chúng ta xem xét chi tiết bài toán sau: Một con sông với mặt cắt ngang là một hình chữ nhật rộng được chảy ở độ sâu 2.4m, tốc độ 1.0 m/s. Nó gặp triều cường (dâng lên bởi hiệu ứng thủy triều) làm tăng đột ngột độ sâu lên 3.6m (xem hình 1). Xác định tốc độ với triều di chuyển ngược dòng, biên độ và hướng vận tốc của triều.
Giải:
Hình 1: triều ở cửa sông Ta giới hạn trong 1m rộng của mặt cắt ngang nên:
A1 = h1 : A2 = h2 : P1/ρ = gh12/2 ; P2/ρ = gh22/2 Từ (1.4) ta có:
λ = v1 - 2 1 2
1
h h h
gh 2
+ = 1- 3.6 2.4 3.6 9.812.4 2
+ = 1.0 - 6.644 = - 5.644m/s
Trong đó ta chọn dấu “-“ trong phương trình (1.4) vì triều chảy ngược chiều. Với cùng một dấu đối với phương trình (1.5) ta có thể nhận được:
v2 = λ + 1 1 2
2
h h h
gh 2
+ = -5.644 + 2.4 2.4 3.6 9.813.6 2
+ =-5.644 + 4.429 = -1.215m/s
2.4m
2.4m
Fig 1. Sự lan truyền của triều
Bài số 2 Sử dụng phương pháp đặc tính cho một nhánh sông
Nội dung Sử dụng mạng tính toán sai phân hữu hạn cho một nhánh sông và xây dựng để truy tính từ các điểm cũ cho điểm đang tính toán.
Mục đích Một kênh hình trụ với mặt cắt ngang hình thang và hệ số gồ ghề không đổi. Khuyên cáo nên lấy hơn 6 khoảng thời gian
Đọc thêm Nguyễn Cảnh Cầm (1998) Thủy lực dòng hở(VN) Hướng dẫn MATLAB (VN)
Công cụ nên dùng MATLAB 6.5 or 6.7 Ví dụ:
Nhận xét:
Từ 2 điểm khác nhau mà ta đã biết tọa độ và đặc tính thủy lực ta tạo 2 đường thẳng đặc tính với dạng khác nhau. Những đường thẳng này đi qua một số điểm mà tọa độ và đặc tính thủy lực sẽ được tính toán. Phương trình vi phân chủ đạo như sau:
Với tọa độ cố định của điểm cắt ta có phương trình:
dx
dt λ= λ ; '
'
dx
dt λ = λ (2.1) Trong đó λ = v+c và λ’ = v-c
Để xác định đặc tính thủy lực ta sử dụng phương trình dv c dz cvi gJ 0
dt λ+h dt λ− h + =
, '
dv c dz cv
i gJ 0
dt λ −h dt λ + h + = (2.2)
Trong đó c= gh ; i – độ dốc đáy; J = độ dốc thủy lực ; h - độ sâu (lòng sông được giả định là mặt trụ với dạng mặt cắt ngang là một hình chữ nhật)
Bài tập:
Dòng chảy không ổn định chảy trong lòng sông hình trụ với mặt cắt ngang là hình chữ nhật. Ở đây ta có 2 điểm trong miền xác định với các dữ liệu đã biết:
Điểm 1 : Vận tốc v1= 1.00m/s; Mức nước z1= 4.85m; cao độ đáy z01=0.85m. t1=1000s ; x1
= 5000m
Điểm 2 : v2= 1.05 m/s ; z2= 4.20m ; z02 = =0.15m (i=1×10-4; Δx1-2=10 000m); t2=1200s
; x2 = 17000m . Độ nhám n=0.020.
(xem hình 2)
1
t
1000
2 3
1200
5000 10000 x
λ λ'
Hình 2. Đường đặc tính
Để xác định tọa độ x3, t3 ta sử dụng dạng vi phân hữu hạn của phương trình (2.1), đó là:
x3 – x1 = λ31(t3 – t1) x3 – x2 = λ’32(t3 – t2) Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ 2 ta được:
t3 = 2 1 31 1' '32 2
31 32
x −x + λ t − λ t λ − λ
x3 = x1 + λ31( t3 - t1) (2.3) Trong đó λ31 = 0.5(λ3 + λ1); λ’32 = 0.5(λ’3 + λ’2 )
Lấy dạng vi phân hữu hạn của phương trình (2.2) ta có:
3 1 3 1 31 31 31
31 31 31
v v c cv
(z z ) i t gJ t 0
t h h
− +⎛ ⎞⎜ ⎟ − −⎛⎜ ⎞⎟ Δ + Δ =
Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2 3 2 32 32 32
32 32 32
v v c cv
(z z ) i t gJ t 0
t h h
− −⎛ ⎞⎜ ⎟ − +⎛⎜ ⎞⎟ Δ + Δ =
Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Trong đó Δt31 = t3 – t1 và Δt32 = t3 – t2 Từ những phương trình trên ta nhận được:
z3 = 1 2 31 1 32 2 31 31 32 32 32 32 31 31
31 32
v v (c / h) z (c / h) z (cv / h) t (cv / h) t g(J t J t ) (c / h) (c / h)
− + + + Δ + Δ + Δ − Δ
+
v3 = v1 + (c/h)31( z1 – z3 ) + (cv/h)31iΔt31 – gJ31Δt31 (2.4)
Ở đây (. )31 là thuật giải tương ứng với giá trị trung bình của điểm 1 và 3; tương tự cho (.)32. Từ dữ liệu về điểm 1 và 2 ta có:
h1=4.00m; c1=6.264m/s; λ1 = 7.264m/s; (c/h)1 = 1.566; (cv/h)1= 1.566; J1=0.630×10-4 h2= 4.35m; c2= 6.532m/s; λ’2 = -5.482m/s;(c/h)2 = 1.502; (cv/h)2= 1.577; J2=0.621×10-4
Tính thử lần đầu tiên:
Với bước lấy gần đúng đầu tiên ta lấy trung bình (.)31= (.)1 ; (.)32= (.)2
Thay giá trị đó vào biểu thức (2.3) ta có:
t3 = 1870s ; x3 = 11320m và nếu Δt31 =870s ; Δt32 =670s ; z03 = 0.220m Khi đó với những giá trị này biểu thức (2.4) đưa ra:
z3 = 4.55m ; v3 = 1.065m/s và nếu h3 = z3 – z03 = 4.33m Tính thử lần thứ 2:
Với v3 = 1.065m/s ; h3 = 4.33m những giá trị sau được tính toán:
c3=6.517m/s;λ3=7.582m/s; λ’3 = -5.452m/s;(c/h)3 = 1.505;(cv/h)3 = 1.603; J3=0.642×10-4 và do đó:
λ31 = 7.423m/s; λ’32 = -5.467m/s ; (c/h)31=1.536 ; (cv/h)31= 1.603 ;(c/h)32= 1.504 (cv/h)32= 1.590 ; (J)31=0.636×10-4 ; (J)32 = 0.632 ×10-4 .
Tiếp theo, thay những giá trị này vào (2.3) và (2.4) ta có:
t3 = 1860s ; x3 = 11384m and z3 = 4.55m; v3 = 1.062m/s Ta thấy rằng lần tính thử thứ 2 thỏa mãn độ chính xác yêu cầu
Bài tập 3 Tính toán đường mặt nước dòng chảy tự nhiên ở những chế độ khác nhau
Nội dung Lựa chọn chế độ chảy ổn định không đều và có thể có một số điểm nhập lưu dọc theo dòng chảy chính. Cho trước quá trình xả tại mặt cắt ngang ở biên trên và đường quan hệ lưu lượng – mực nước ở biên dưới (Q~Z) tại mặt cắt ngang hạ lưu. Mỗi sinh viên chọn một hay nhiều quá trình xả ở biên trên, cho cả nhóm hoặc một nhóm nhỏ đường quan hệ Q~Z có thể được vẽ ở biên trên.
Đối tượng Chọn dòng chảy từ Hòa Bình về Sơn Tây với dòng nhập lưu không đổi từ sông Thao, hồ Tuyên Quang và Thác Bà (được đơn giản hoa vào thời kỳ mùa khô), khi cần thiết có thể xả dòng chảy từ hồ chứa để cấp nước tưới. Đường cong Q∼Z được vẽ dựa trên mức triều cao, trung bình và thấp ở cửa sông.
Đọc thêm Nguyễn Cảnh Cầm (1998) Thủy lực dòng hở (VN) Sturm T.W.(2001) Thủy lực dòng hở (E)
Tài liệu MATLAB (VN) Công cụ nên dùng MATLAB 6.5 or 6.7 Ví dụ
Nhận xét:
Có 2 phương pháp tính toán số cho dòng chảy ổn định không đều:
- Phương pháp trực tiếp chỉ ứng dụng được với lòng sông hình trụ: Từ biên mực nước (độ sâu) từ tính toán dòng ổn định (ngược dòng cho dòng chảy êm và xuôi dòng cho dòng chảy xiết) ta giả sử theo độ sâu kế tiếp của dòng chảy và tính toán khoảng cách giữa 2 mặt cắt ngang nhờ biểu thức:
xj+1 – xj = Ej 1 Ej i J
+ −
− trong đó J = ( Jj + Jj+1 ) / 2
- Phương pháp chuẩn ứng dụng được với tất cả các dòng chảy bao gồm cả dòng chảy tự nhiên.Trong trường hợp này khoảng cách giữa các mặt cắt ngang kế tiếp nhau và từ mức nước đã biết zj ta dùng tính toán giá trị của zj+1;
Giả sử các giá trị gần zj+1,0 và tính toán zj+1,1 như sau:
zj+1,1 = zj + J0(xj+1 - x j) trong đú J0 = ẵ( Jj + Jj+1,0 )
Sau đó ta kiểm tra điều kiện sai số:
zj 1,1+ −zj 1,0+ ≤ ε
Nếu điều kiện trên không thỏa mãn thì ta chọn:
zj+1,2 = ẵ ( zj+1,1 + zj+1,0 )
và tiếp tục quá trình tính toán cho tới khi hội tụ. Đối với kênh hình trụ ta có thể thay mức nước z bằng độ sâu h .
Bài toán:
Một kênh hình thang với độ rộng đáy là 5m, độ dốc mái m=1 và hệ số nhám n=0.013, độ dốc đáy kênh i=4.10-4. Độ sâu nước nhảy gần đập là 4,0. Tính toán bằng phương pháp trực tiếp sơ lược nước nhảy cho tới khi h’ = 3.0m và sau đó tính toán bằng phương pháp chuẩn độ sâu ở khoảng cách x=6,000m từ đập. Ta biết rằng lưu lượng Q= 50m3/s
Lời giải bắt đầu với sự xác định dạng đường mặt nước. Ta có thể tính độ sâu trung bình h0= 2.87m và độ sâu phân giới hc= 1.90m và nhờ đó ta có (h=4.0m) f (h0 = 2,87m) f (hc
= 1.90m) và đó là đường nước dâng dạng a1. Từ bước tính toán trực tiếp ta có bảng tính sau:
h A χ R v E ΔE J J i-J Δx ∑Δx m m2 m m m/s m m 10-4 10-4 10-4 m m 4.0 36.00 16.31 2.207 1.390 4.099 1.135 0 -0.455 1.505 2.495 -1,750 3.50 29.75 14.90 1.997 1.680 3.644 1.875 -1,750 -0.260 2.268 1,732 -1.500
3.20 26.24 14.05 1.868 1.900 3.384 2.660 -3,250 -0.082 2.830 1.170 -700
3.10 25.11 13.77 1.824 1.990 3.303 3.000 -3.950 -0.080 3.200 0.800 -1,000
3.00 24.00 13.49 1.779 2.080 3.222 3.399 -4.950
Bằng phương pháp chuẩn:
Từ kết quả tính toán ở trên, ở hàng cuối cùng ta có mặt cắt ngang ở khoảng cách 4,950m từ đập sẽ có độ sâu h = 3.00m. Cho đến mặt cắt cuối cùng (x=6000m) nó còn lại 1,050m và chúng ta xác định được độ sâu ở khu vực này. Phương trình thỏa mãn cho kênh hình trụ như sau:
hj+1 = hj + 1 Fri J−− (xj 1+ −xj)
Biểu thức có vẻ đơn giản nhưng giá trị trung bình của độ dốc ma sát J và số Froude Fr phụ thuộc vào zj+1 chưa biết, do đó quá trình tính toán được thực hiện bằng phương pháp tính thử dần:
Bước 1: Giả thiết các độ sâu chưa biết những giá trị gần đúng hj+1,0 sau đó tính toán J0 và Fr0
và do đó J0 và Fr0, thay vào biểu thức ở trên ta sẽ có giá trị gần đúng thứ 2 hj+1,1.
Bước 2 : So sánh với mức sai số cho phép hj 1,0+ −hj 1,1+ < ε nếu bất đẳng thức không thỏa món ta chọn hj+1,0 := ẵ( hj+1,0 + hj+1,1) và thực hiện lại từ bước 1 cho đến khi điều kiện sai số được thỏa mãn
Ta thực hiện tính toán như theo bảng sau:
h A χ R v B Fr Fr J J i-J 1-Fr hj+1,1
m m2 m m m/s m 10-4 10-4 10-4 m hj =3.00 24.00 13.49 1.779 2.083 11.0 0.203 3.399
hj+1,0=2.90 22.91 13.20 1.735 2.182 10.80 0.229 3.859
0.216 3.629 0.371 0.784 2.95 hj+1,0=2.92 23.126 13.26 1.754 2,162 10.84 0.223 3.763
0.213 3.581 0.419 0.787 2.92
Giá trị tính toán cuối cùng hj+1=2.917 thỏa mãn tiêu chuẩn sai số với ε=0.01m .Cuối cùng ta nhận được giá trị độ sâu tại kênh ở vị trí x=-6,000m từ đập h=2.92 m.
Đối với sông tự nhiên ta dùng phương trình Δx = E
J Δ
N N
K h = 4.0m hK = 1.90m
h = 2.92m
hN = 2.87m K
6000m
Fig 3. Dòng chảy ổn định không đều trong kênh