CHƯƠNG 4: DIỄN TOÁN DÒNG CHẢY THEO MÔ HÌNH SÓNG ĐỘNG HỌC
4.1. Phương pháp sai phân hữu hạn
Hệ phương trình Saint Venant có thể giải bằng phương pháp giải tích, tuy nhiên rất khó tìm được nghiệm giải tích trừ một số rất ít trường hợp đơn giản đặc biệt. Trong thực tế hệ phương trình Saint Venant thường được giải bằng các phương pháp số.
Phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn là hai phương pháp đã được áp dụng để giải hệ phương trình Saint Venant.
1. Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp sai phân là phương pháp giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng bằng cách chuyển các phương trình dạng giải tích và các đạo hàm của nó về dạng sai phân - hệ các phương trình đại số sai phân hữu hạn, chúng có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Đối với hệ phương trình Saint Venant, công việc tính toán được tiến hành trên một mạng lưới đặt trên mặt phẳng x – t. Lưới x – t là một hệ thống các điểm được xác định bằng khoảng cách có độ dài Δx và các khoảng thời gian Δt (xem hình 4-1).
Hình 4-1: Lưới sai phân được thiết lập để giải hệ phương trình Sant Venant
Các điểm khoảng cách được ký hiệu bằng số i và các thời điểm thời gian bằng chỉ số j. Một đường thời gian là một đường song song với trục x đi qua tất cả các điểm khoảng cách tại một giá trị cho trước của thời gian.
j-3 j-2 j-1 j+1 j+2 j+3
Δt j
Δx
i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 i+4
. .
.
. (i+1, j+1) (i, j+1)
(i, j) (i+1, j)
.
Khoảng cách x Thời gian t
2. Phép tính sai phân trung tâm
Giả sử ta có một hàm bất kỳ u(x), phép tính sai phân trung tâm là phép tính sai phân của hàm số u(x) và các đạo hàm của nó giữa hai điểm x+Δx và điểm x−Δx.
Ta có thể sử dụng phép khai triển Taylor để xác định các biểu thức tính sai phân.
Khai triển chuỗi Taylor của u(x) tạix+Δx ta có:
x x u x x
u( +Δ )= ( )+Δ 3 ,,,( ) ...
6 ) 1 ,( 2 , 2 ) 1
,(x + Δx u x + Δx u x +
u (4-1)
Trong đó u,(x)=∂u/∂x, u,,(x)=∂2u/∂x2, ... là các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2, cấp 3 ....
Khai triển chuỗi Taylor của u(x) tại x−Δx ta có:
...
) 6 (
) 1 2 (
) 1 ( )
( )
(x−Δx =u x −Δxu, x + Δx2u,, x − Δx3u,,, x +
u (4-2)
Từ (4-1) và (4-2) ta có:
) ( 0 ) ( 2 ) (
)
(x x u x x xu, x x3
u +Δ − −Δ = Δ + Δ (4-3)
Trong đó 0(Δx3)là tổng số dư của các số hạng bậc từ bậc 3 đến các bậc cao hơn.
Giả thiết rằng bỏ qua các số hạng bậc cao của vế phải phương trình (4-3), tức là giả thiết0(Δx3)≈0, ta có:
x
x x u x x x u
u Δ
Δ
−
− Δ
≈ +
2
) (
) ) (
,( (4-4)
Với một sai số xấp xỉ bậc Δx2. Sai số này, do bỏ qua các số hạng bậc cao, được gọi là sai số cắt cụt.
2. Phép tính sai phân tiến
Phép tính sai phân tiến là phép tính sai phân của hàm số u(x) và các đạo hàm của nó giữa hai điểm x+Δx và điểm x. Do vậy, phép tính sai phân tiến được xác định bằng cách trừ (4-1) cho u(x):
) ( 0 ) ( )
( )
(x x u x xu, x x2
u +Δ − =Δ + Δ (4-5)
Giả thiết các số hạng bậc hai và bậc cao hơn được bỏ qua và giải cho, ta có:
x
x u x x x u
u Δ
− Δ
≈ ( + ) ( ) )
,( (4-6)
có một sai số xấp xỉ bậc Δx. Phép tính sai phân lùi
Phép tính sai phân lùi là phép tính sai phân của hàm số u(x) và các đạo hàm của nó giữa hai điểm x và điểm x−Δx. Do vậy, phép tính sai phân lùi được xác định bằng cách trừ u(x) cho (4-7):
u(x)−u(x−Δx)=Δxu,(x)+0(Δx2) (4-8)
Cũng giả thiết các số hạng bậc hai và bậc cao hơn được bỏ qua giải cho u,(x):
x
x x u x x u
u Δ
Δ
−
≈ ( )− ( ) )
,( (4-9)
Các phép biến đổi các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành một hệ các phương trình đại số sai phân hữu hạn có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến.
Trong phương pháp sai phân, ta có thể tìm nghiệm hoặc bằng một sơ đồ hiện hoặc bằng một sơ đồ ẩn. Sự khác biệt chủ yếu giữa hai sơ đồ ở chỗ: trong phương pháp sơ đồ hiện, tại mỗi bước thời gian các giá trị của ẩn được giải một cách tuần tự từ một điểm khoảng cách bất kỳ đến điểm khoảng cách tiếp theo, còn trong phương pháp sơ đồ ẩn, tại mỗi bước thời gian, các giá trị của ẩn được xác định đồng thời trên tất cả các điểm khoảng cách.
Phương pháp sơ đồ hiện đơn giản hơn phương pháp sơ đồ ẩn nhưng có thể không ổn định vì vậy nó đòi hỏi sử dụng các giá trị nhỏ cho giá trịΔ(x)và Δ(t)để đảm bảo sự hội tụ của nghiệm. Phương pháp sơ đồ hiện mặc dù sử dụng thuận tiện nhưng kém hiệu quả hơn phương pháp sơ đồ ẩn.
Phương pháp sơ đồ ẩn ổn định đối với các bước tính dài mà vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết, vì vậy việc giải sẽ nhanh hơn nhiều so với phương pháp sơ đồ hiện. Phương pháp sơ đồ ẩn cũng có thể xử lý được các thay đổi hình học đáng kể của kênh dẫn.
4. Sơ đồ sai phân hiện
Mô tả về sai phân hữu hạn được chỉ dẫn bằng mạng lưới các điểm trên mặt phẳng không - thời gian trình bày trên hình (4-1). Giả sử tại thời điểm t (đường thời gian j ), các đại lượng thuỷ lực u đều đã biết, bài toán đặt ra là xác định đại lượng chưa biết tại điểm (i, j + 1) tại thời điểm t+Δt, tức là đại lượng uij+1.
Các đạo hàm riêng phần tại điểm (i, j + 1) theo các đại lượng tại điểm giáp kề (i - 1, j), (i, j) và (i + 1, j) được tính như sau:
t u u t
uij ij ij Δ
= −
∂
∂ +1 +1
(4-10)
và x
u u x
uij ij ij Δ
= −
∂
∂ +
2
1 (4-11)
Phép tính sai phân tiến đã được dùng cho đạo hàm thời gian và phép tính sai phân trung tâm được sử dụng cho đạo hàm không gian.
Sự rời rạc hoá miền liên tục x - t thành một mạng lưới các điểm dùng để tích phân các phương trình sai phân hữu hạn sẽ dẫn đến các sai số trong tính toán. Một sơ đồ sai phân được gọi là ổn định nếu các sai số này không bị khuyếch đại trong quá trình tính toán liên tiếp từ đường thời gian này sang đường thời gian tiếp theo. Tính ổn định của
sơ đồ phụ thuộc vào kích thước tương đối của mạng lưới. Một điều kiện cần nhưng không phải là đủ cho sự ổn định của một sơ đồ hiện là điều kiện Courant. Đối với các phương trình động học, điều kiện Courant là:
k
xi
t λ
≤Δ
Δ (4-12)
Trong đó, Ck là tốc độ sóng động học. Đối với các phương trình sóng động lực, λk
trong (4-12) được thay thế bằng V + λd. Điều kiện Courant yêu cầu bước thời gian tính toán nhỏ hơn thời gian lan truyền của sóng trong khoảng cách Δxi. Nếu Δt quá lớn làm cho điều kiện Courant không được thoả mãn thì sẽ có sự luỹ tích của sai số. Đối với sơ đồ ẩn không cần kiểm tra điều kiện Courant.
Trong các tính toán bằng sơ đồ hiện,Δxđược xác định trước và được giữ không đổi trong suốt quá trình tính toán còn Δtcó thể chọn cố định hoặc được xác định cho từng bước thời gian. Vì sơ đồ hiện thường không ổn định trừ khiΔt nhỏ.
Điều kiện Courant chỉ là điều kiện cần nên không đảm bảo được sự ổn định của sơ đồ, do đó nó chỉ là một nguyên tắc chỉ đạo trong tính toán.
4. Sơ đồ sai phân ẩn
Các sơ đồ ẩn sử dụng sơ đồ sai phân hoá cho cả đạo hàm không gian và đạo hàm thời gian. Các đạo hàm riêng có thể được viết cho một điểm chưa biết (i + 1, j + 1) như sau:
x
u u x
uij ij ij Δ
= −
∂
∂ ++11 ++11 +1
(4-13)
và t
u u t
uij ij ij Δ
= −
∂
∂ ++11 ++11 +1
(4-14)