CHƯƠNG 8: DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH
8.2. Dòng chảy ổn định không đều
Dòng chảy ổn định trên kênh nhân tạo phần lớn là dòng không đều do rất khó đảm bảo các điều kiện cần và đủ để thiết lập dòng đều. Sông thiên nhiên do các yếu tố hình học và hệ số cản (nhám) không đồng đều nên dù dòng chảy là ổn định thì luôn luôn là dòng không đều.
Với dòng không đều trong kênh, sông đơn không phân nhập nhánh thì lưu lượng Q = const nhưng chiều sâu (từ đó các đặc trưng hình học khác của mặt cắt), lưu tốc trung bình và các đặc trưng phụ khác (Hệ số sữa chữa động lượngα, phân bố ứng suất tiếp và trị số trung bình của nó v.v…) thay đổi theo dọc chiều chảy.
Liên hệ với dòng chảy đều người ta chấp nhận giả thiết sau đây đối với dòng không đều và cả với dòng ổn định biến đổi chậm là: Sự phân bố lưu tốc (và do đó hệ số α) phân bố ứng suất tiếp và trị số trung bình của nó (từ đó độ dốc cản J) trùng với dòng chảy đều có cùng đặc trưng thủy lực và hình học.
Giả thiết này dùng để tính độ dốc thủy lực trong dòng không đều:
J = R C
v
2 2
= 22 K Q
Cho dòng chảy trong sông, kênh dạng hình học đơn giản nhưng nhám phức tạp thì hệ số Chésy C tính qua hệ số nhám trung bình (các công thức 8.9, 8.10, 8.11) cho n sai khác ít nhiều và tùy theo dạng hình học và dạng nhám mà chọn công thức tính n thích hợp). Còn với mặt cắt cả hình dạng và nhám phức tạp tính:
J =
( i)2
2
K Q
∑ (8.17)
8.2.1. Năng lượng đơn vị mặt cắt (Specific - Energy) [5], [10], [15]
Theo định nghĩa:
E = h + g 2 V2
α (8.18)
Trong đó: α - hệ số moment;
h - chiều sâu tính từ mặt nước đến điểm thấp nhất của mặt cắt.
Cho lòng dẫn đơn:
α u dA
Qv 1
A
∫ 2
= (8.19)
Hệ số α là hệ số tính đến sự phân bố không đều của lưu tốc điểm u trên mặt cắt và xấp xỉ 1 (luôn >1).
Với mặt cắt có dạng hình học phức tạp ta có:
A =∑Ai
Q =∑Qi
v =
A
Q - cho toàn mặt cắt vi =
i i
A
Q - cho từng phần của mặt cắt Từ định nghĩa (8.19) ta có:
αQv = ∫
A 2dA
u =∑ ∫
i A 2 i
dA
u =∑αiQivi (8.20)
Và (8.20) cho ta xác định hệ số α cho toàn dòng. Chỉ khác là trong khi αi ≈1 thì
α cho toàn dòng vẫn lớn hơn 1 nhưng có trị số khá lớn (có thể tới 2 và hơn nữa).
Đồ thị năng lượng đơn vị E cho trên hình (8.5) và ta thấy đồ thị có một cực tiểu E-
min ứng với chiều sâu hk mà ta gọi là độ sâu phân giới.
hk
Emin
h
0 E
Hình 8.5: Đồ thị năng lượng mặt cắt Để tìm hk ta xét đạo hàm (xem Q = const):
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + α
= 22
gA 2 h Q dh
d dh
dE
A B Q 1 g dh dA A Q
1 g 3
2 3
2 α
α = −
−
=
Vì B
dH
dA = - chiều rộng thoáng của mặt cắt Tại điểm cực trị 0
dh
dE = ta có phương trình để tìm hk:
B 1 A Q g 3
2 =
α (8.21)
Nếu kí hiệu h B
A = - chiều sâu trung bình của mặt cắt thì phương trình trên viết thành:
1
h v g
2 =
α (8.22)
Và ta đặt số Fr là:
h
v Fr αg 2
= (8.23)
Như định nghĩa ở (7.26) Khi α =1 thì 2 2
c v h g
Fr v ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
= . Ở đây số Fr=1 có ý nghĩa là ứng với chiều sâu phân giới hk và tương ứng.
- Dòng chảy êm (λ1λ2< 0) thì Fr < 1 và h > hk.
- Dòng chảy xiết (λ1λ2> 0) thì Fr > 1 và h < hk.
Với việc đưa và trị số hk đã có thể phân loại trạng thái chảy theo chiều sâu h.
Để tính hk ta xem xét các trường hợp.
- Kênh chữ nhật chiều rộng b, ta có:
A =bh
Bh
v = Q h=h
Và 1
h gb Fr Q 3
2 k 2
=
= α
Từ đó:
hk 3 2 2
gb αQ
= (8.24)
- Trường hợp kênh hình dạng bất kỳ ta tìm hk bằng phép tính lặp như sau:
Bước đầu giả định chiều sâu hk1 từ đó tính ra A1, B1 tính ra Fr1 sau đó đưa:
hk2
2 )h Fr 3
( − 1 k1
=
Và lặp lại quá trình tính cho tới lúc hội tụ:
hkn −hkn−1 < ε - Độ chính xác cho phép.
8.2.2. Đường mặt nước qua các cản trở cục bộ (ngưỡng, co hẹp dưới chân cầu) [10]
Đồ thị E ~ h cho phép ta xác định định tính dạng đường mặt nước qua các cản trở cục bộ ứng với các trạng thái chảy. Nếu xem đáy lòng dẫn nằm ngang và để đơn giản xem lòng dẫn trước và sau đoạn biến đổi cục bộ là lăng trụ. Năng lượng E của mặt cắt trước đến mặt cắt sau bị giảm đi một lượng ΔE nào đó và lưu ý đối với đoạn mở rộng:
ΔE <
g 2
v2 Δα
(Xem công thức tổn thất cột nước mở rộng đột ngột Borda trong giáo trình thủy lực)
Các dạng đường mặt nước cho ở (hình 8.6) Ta thấy qua các mặt cắt E giảm:
E1 > E2 > E3
1 2 3
I II III
1 2 3
I II III
h
0
I III II
3 2
1
K xiÕt K
êm
1 2 3
1 2 3
E
Hình 8.6: Đường mặt nướcqua cản trở phụ
(Đường KK === là đường chiều sâu phân giới hk)
Đường mặt nước trong trường hợp chảy êm tại mặt cắt cản trở phụ bị giảm xuống sau đó xuống hạ lưu lại tăng lên một ít nhưng vẫn nhỏ hơn mực nước tại mặt cắt đầu.
Chảy êm: z1 > z3 >z2
Trong trường hợp dòng chảy êm mặt nước ở mặt cắt 2 (chổ cản trở phụ) vồng cao lên và sau đó đổ xuống thấp hơn mặt cắt ban đầu.
Chảy xiết: z2 > z3 > z1
8.2.3. Phương trình vi phân của bài toán dòng ổn định không đều biến đổi chậm [10][15]
Đó là trường hợp riêng của hệ Saint - Venant khi không có biến số thời gian. Từ (7.18) ta được:
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
− β
−
⎟+
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ α
+
=
A 0 )q v v ( g J
2 z v dx
d
dx q dQ
q
2 (8.25)
Trong trường hợp không có phân nhập lưu q = 0 thì Q = const và chỉ khi còn 1 phương trình (phương trình chuyển động):
) J 0
g 2 z v dx(
d +α 2 + = (8.26)
Cần lưu ý ở đây z là cao trình mặt nước. Nếu thay z = zo + h, ta có phương trình:
) J i 0
g 2 h v dx( i d dx J
dE+ − = +α 2 + − = (8.27)
Với zb - cao trình đáy;
i
dx dzb
−
= - độ dốc đáy lòng dẫn.
Trong (8.26) cũng có thể thay v
A
= Q và biến đổi (8.27) cho kênh lăng trụ ta nhận được:
dx
dh
Fr 1
J i
−
= − (8.28)
Đây là phương trình chính để định dạng 12 đường mặt nước trong kênh lăng trụ.
Để định dạng đường mặt nước ta xét dấu của vế phải (8.28) tức là dấu của i - J và 1 - Fr.
(i) i - J > 0 nếu h > ho
i - J < 0 nếu h < ho
i = J khi h = ho : Chiều sâu dòng đều (ii) 1 - Fr > 0 khi h > hk
1 - Fr < 0 khi h < hk
1 - Fr = 0 khi h = hk
Đường mặt nước là dạng nước dâng nếu
dx
dh> 0; nước đổ nếu
dx
dh< 0 và dòng đều
dx dh= 0.
Để phân loại đường mặt nước người ta đưa vào khái niệm độ dốc phân giới ik đó là độ dốc lòng dẫn khi chiều sâu chảy đều bằng chiều sâu phân giới:
ik
k 2 k 2k
k 2 k 2 k
2 2
k 2
R C
v R C A
Q K
Q = =
= (8.29)
Và ta có bất đẳng thức:
i≥ikthì ho≤hk
Với các quan hệ về dấu đại lượng i - J và 1 - Fr ở trên và quan hệ giữa chiều sâu chảy đều ho và chiều sâu phân giới hk ta có 12 dạng đường mặt nước cơ bản sau:
a c3
i = i h = h
i > i h < h Độ dốc mạnh
N N
K K
a1 b1 c1
i < i h > h Đé dèc yÕu
K N a
b c
K K
bo co
i = 0 h 8
b' c'
i < 0 không tồn tại ho
o k
3
o k
k
2 2 2
k
k o k
o
K N
Hình 8.7: Các dạng đường mặt nước cơ bản
a, c - Họ đường nước dâng b - Họ đường nước đổ.
8.2.4. Nước nhảy [10], [15]
8.2.4.1. Sự tất yếu có nước nhảy khi dòng chảy chuyển từ trạng thái chảy xiết sang chảy êm
Khi dòng chảy từ trạng thái chảy xiết sang chảy êm với các trường hợp i≠ik
đường mặt nước (hình 8.3) từ khu c (nước dâng) sang khu b (nước đổ) không thể là đường liên tục được, nhất là khi nối tiếp với khu a (cho i>0) càng không thể là đường
nước dâng qua khu b được. Cách nối tiếp duy nhất ở đây là qua nước nhảy tức là dòng chảy mở rộng đột ngột từ h1 < hk sang h2 > hk trên một đoạn tương đối ngắn.
Riêng trường hợp i = ik có thể về lý thuyết đường nước dâng c3 nối tiếp liên tục với đường nước dâng a3 (không có đoạn nước đổ b) nhưng có 2 lý do không thể nối liên tục một cách ổn định được vì:
- Dòng ổn định chỉ là trường hợp riêng của bài toán dòng chảy hở nên ở biên trên ta có lưu lượng (Q = const là thuộc tính của biên trên) và mực nước (2 điều kiện biên khi Fr >1 - dòng xiết) và mực nước biên dưới h2 > hk (1 điều kiện biên khi Fr <1) và biên này thường khá lớn vì sau mặt cắt hạ lưu này còn nối tiếp với kênh độ dốc yếu (i
< ik). Do đó khó và rất khó có trường hợp khi đường c3 tăng từ h1 < hk lên tới hk rồi nối với đường a3 (gần như nằm ngang) để đường a3 này đạt trị số h2 > hk ở hạ lưu.
- Cứ giả sử rằng trường hợp hiếm hoi đó xảy ra tức đường a3 đi ngang qua h2 vừa đúng ở mặt cắt biên thì nối tiếp này không bền vững và chỉ cần 1 nhiễu động nhỏ đã xảy ra biến đổi đột ngột (nuớc nhảy nhưng là dạng sóng).
Vậy ta có thể kết luận là “Nước nhảy là hiện tượng dòng chảy mở rộng đột ngột và tất yếu khi chuyển từ chảy xiết (h1 < hk) sang chảy êm( h2 > hk)”
8.2.4.2. Phương trình cơ bản của nước nhảy
Như vậy nước nhảy chỉ là trường hợp riêng của sóng gián đoạn khi sóng đứng yên tại chổ (tốc độ truyền mặt sóng λ=0) và chỉ xảy ra với dòng chảy ổn định. Trong trường hợp đó ta đã có phương trình (7.15) mà ta có thể viết một cách tổng quát có lực tác động của thành lòng dẫn theo phương chảy, đó là:
0 1 F
P] vQ
[ 0 x =
+ρ +ρ
α ∑ (8.30)
Hay viết tường minh hơn với h’ - chiều sâu trước nước nhảy và h” - chiều sâu sau nước nhảy.
ρ∑
ρ + +
α0 2 P2 1 Fx Q
v - α0v1Q - P1 =0
ρ (8.31)
Trong đó: α0- hệ số mômen động lượng.
2 0
1 u dA
α = vQ∫ (8.32)
Thông thường với lòng dẫn lăng trụ và dộ dóc nhỏ, độ nhám bình thường thì phản lực của lòng dẫn theo phương chảy và lực cản đáy trên đoạn ngắn có thể bỏ qua so với biến đổi áp lực.
<<
∑Fx P2 – P1
Và phương trình nước nhảy trong kênh lăng trụ độ dốc yếu (i << 1) có dạng:
+ ρ α
ρ = +
α01 1 1 02 2 P2 Q P v
Q
v (8.33)
Hay nếu có thể chấp nhận giả thiết áp suất tại các mặt cắt phân bố theo quy luật thủy tĩnh thì (8.33) viết thành:
A gh Q v A gh Q
v1 c1 02 2 c2
01 + =α +
α (8.34)
Trong đó: hc – chiều sâu trọng tâm mặt cắt.
Ghi chú: Trong trường hợp ∑Fx không thể bỏ qua so với P2 – P1 thì cần phải tính đến. Ví dụ:
- Kênh lăng trụ độ dốc lớn (Nghiên cứu của GSTS Hoàng Tư An – Luận văn Tiến Sĩ và các bài báo).
- Kênh không lăng trụ mở rộng dần hoặc mở rộng đột ngột.
- Đoạn nối tiếp có nhám lớn hoặc các ngưỡng chắn ngang dòng.
8.2.4.3. Ta có thể lập phương trình nước nhảy trực tiếp từ nguyên lý bào tồn động lượng cho đoạn dòng chảy
(Động lượng vào bằng động lượng ra + tổng lực tác động)
Trên (hình 8.8) là mặt cắt dọc nước nhảy điển hình trong kênh lăng trụ.
v2
P2 P1
v1
1
c
Δ c
h2 h
Hình 8.8: Nước nhảy
Phương trình động lượng viết cho đoạn dòng chảy dưới dạng vectơ có dạng:
vào vào
0Q v
α - α0Qravra = ∑Fc (8.35)
Trong đó: Fc - vectơ ngoại lực
Ứng dụng cho đoạn nước nhảy và chiếu vectơ trên phương chảy với ngoại lực (hình 8.8) là áp lực thủy động P1 hướng theo chiều x; P2 – áp lực thủy động, P2 và lực cản vùng phản lực của lòng dẫn ∑Fx ta nhận được phương trình (8.31).
8.2.4.4. Tính chiều sâu nước nhảy
Chiều sâu trước (h1) và sau (h2) được gọi là chiều sâu liên hiệp của nước nhảy.
Cho lòng dẫn lăng trụ nếu ta đưa vào hàm moment M (xem α0 =1).
c 2
c Ah
gA Ah Q gvQ
M= 1 + = + (8.36)
Thì phương trình nước nhảy trong kênh lăng trụ (8.31) có dạng:
M1 = M2 (8.37)
Đồ thị M = f(h) có điểm Mmin ứng với:
dh 0 dM
min
=
Đạo hàm theo h hàm M ta được:
=
dh
dM - A
dh dA gA
Q
2
2 + (8.38)
Trong đó đạo hàm:
Ah A
dh d
c =
Vì Ahc - moment tĩnh của mặt cắt so với mặt thoáng (hình 8.9) Ta có:
d(Ahc) =
2 Bdh Adh
+ 2
Và từ đó:
2 Bdh dh A
) Ah ( d c
+
=
Thay B
dh
dA = - chiều rộng mặt cắt và tại điểm Mmin từ (8.28) ta có:
- B A 0
gA Q
2
2 + =
Hay Fr B 1
gA Q
3
2 =
= (8.39)
Tức là hàm moment M đạt trị số nhỏ nhất khi h = hk – độ sâu phân giới.
Đồ thị hàm moment M và hàm năng lượng đơn vị mặt cắt dưới dạng không thứ nguyên:
hk
h ;
hk
E ; 2
BhK
M cho kênh mặt cắt chữ nhật chiều rộng B cho trên (hình 8.10).
Từ hình vẽ ta có thể xác định được chiều sâu liên hiệp h1, h2. Khi biết giá trị một trong các chiều sâu đó có thể tìm chiều sâu kia và cũng từ đó tìm năng lượng đơn vị tương ứng E1, E2 và tổn thất năng lượng qua nước nhảy ΔE= E1 – E2
h hc
B dh
Δ
Hình 8.9: Moment tĩnh của mặt cắt
Hình 8.10: Đồ thị hàm năng lượng đơn vị và hàm Moment Với kênh mặt cắt chữ nhật ta có hc =
2
h ; A = Bh nên phương trình (8.37) có thể viết thành (sau khi chia 2 vế cho B = const và kí hiệu q =
B
Q - lưu lượng trên đơn vị chiều rộng).
2 h gh
q 2 h gh
q 22
2 2 2 1 1
2 + = +
Chuyển vế, biến đổi và sau khi đơn giản cho h2 – h1 ≠ 0 ta đi đến phương trình:
h1h22+h2h12 - 0 g 2q
2 =
Đây là phương trình đại số bậc 2 của h2 khi biết h1 và ngược lại. Từ đây ta có (chỉ lấy nghiệm dương có nghĩa).
=
1 2
h
h (-1+ 1 8Fr1)
2
1 +
(8.40)
=
2 1
h
h (-1+ 1 8Fr2)
2
1 +
Ở đây 3
1 2 1 12
1 gh
q gh Fr = v =
32 2 2 22
2 gh
q gh Fr = v =
Như vây với kênh chữ nhật việc tìm chiều sâu liên hiệp rất đơn giản chỉ cần ứng dụng công thức tương ứng trong (8.40).
Với kênh lăng trụ mặt cắt bất kì ta trở lại phương trình (8.36) ví dụ biết h1 tìm h2. Ta tính được hàm moment.
M = 2 1 c1
1 2
h gA A
Q +
Và giải phương trình:
M h gA A
Q
c2 2 2
2
2 + = (8.41)
Ta sẽ dùng phép tính lặp. Giả sử ở phép lặp n ta có trị số h2(n) ta sẽ tìm h2(n+1) bằng cách:
- Có h2(n) tính A2(n)hc2(n)
- Tìm gần đúng A’2(n) từ (8.41)
) h A - M Q ( ' g
A2(n)= 2 2(n) c2(n)
- Từ A’2(n) tìm ra h’2(n) từ quan hệ A ~ h, hoặc với hình thang đáy rộng b, mái dốc m giải phương trình:
A’2(n) = (b+mh’2(n))h’2(n)
Và lấy nghiệm dương.
- Tính trị số h2(n+1)
h2(n+1) =
2
1(h2(n) +h’2(n))
- Kiểm tra độ chính xác của phép lặp.
h2(n+1)-h2(n) <ε
Với ε chọn theo yêu cầu độ chính xác.
Nếu chưa đạt chính xác theo yêu cầu thì lặp lại phép tính. Giá trị h2(0) ban đầu có thể ước lượng hoặc đơn giản lấy h2(0)=h2CN với kênh chữ nhật cùng chiều rộng đáy và ngược lại
Có thể dùng đồ giải bằng cách dựng đồ thị M ~ h và với M1 đã biết (ứng với h1) dựng đường song song với trục tung điểm giao với nhánh trên của đồ thị cho ta trị số h2 như trên (hình 8.10) và ngược lại.
8.2.4.5. Các dạng nước nhảy trong kênh lăng trụ
Phương trình nước nhảy (8.34) hoặc (8.36) chỉ thích hợp khi nước nhảy phát triển đầy đủ hay gọi là nước nhảy hoàn chỉnh (ví dụ trong kênh mặt cắt chữ nhật 2
h h
1 2 >
Tức Fr1 > 3). Khi Fr < 3 xảy ra nước nhảy sóng và ở mặt cắt sau nước nhảy chỗ sóng nhô cao áp suất thủy động không tuân thủ theo qui luật thủy tĩnh và trị số áp lực tính theo phân bố thủy tĩnh phải nhân với hệ số < 1 (hình 8.11).
Ở phương Tây sau nước nhảy hoàn chỉnh được phân ra nước nhảy mạnh vừa, nước nhảy mạnh và nước nhảy rất mạnh tiêu tán năng lượng lớn như (hình 8.12).
8.2.4.6. Nước nhảy ngập
Khi mặt cắt trước nước nhảy bị khu xoáy cuộn đè lên, tức khi chiều sâu hạ lưu hh
lớn hơn chiều sâu liên hiệp h2 của chiều sâu h1 trước nước nhảy (hh > h2). Thường xảy ra sau dòng chảy qua lỗ (hình 8.13).
Chiều sâu dòng chủ lưu trước nước nhảy là của mặt cắt co hẹp hcon sau công trình và chiều sâu tổng cộng kể cả khối nước xoáy đè lên là hn. Như vậy phương trình động lượng viết cho đoạn mặt cắt co hẹp c – c và mặt cắt hạ lưu chỉ khác phương trình (8.34) ở chổ trị số P1 tính theo chiều sâu hn (chứ không phải hd của hạ lưu) và viết như sau:
cd d d cn
n con
h gA A
h Q gA A
Q2 + = 0 2 +
0 α
α (8.42)
Δ
Hình 8.11: Nước nhảy sóng
Fr = 20 - 30 N−ớc nhảy mạnh
Fr > 80 N−ớc nhảy rất mạnh trên kênh nhám, tiêu năng lớn
1
1
1
d1
v1
d2
Khu xoáy cuộn
Khu dao động
Fr = 6 - 20 Mạnh vừa
Hình 8.12: Các loại nước nhảy mạnh[10]
C
h h
C
d
hc n
Hình 8.13: Nước nhảy ngập [15]
8.2.5. Bài toán dòng ổn định không đều trong kênh sông [10][15]
Phương trình của bài toán là phương trình đạo hàm thường nên cách giải cũng đơn giản hơn. Tuy nhiên như ta đã biết để giải bài toán ta cần có giá trị z1 tại 1 vị trí x1 nào đó, thường là ở một hoặc 2 biên (xo hay xo + L) mà trong lí thuyết phương trình đạo hàm thường gọi là điều kiện ban đầu (vì ở đấy biến số thường là biến số thời gian t), còn ở đây ta gọi là điều kiện biên. Thực ra ở đây vấn đề phức tạp hơn nhiều và xem bài toán ổn định là bài toán suy biến từ bài toán không ổn định với các biên có điều kiện ổn định theo thời gian.
Do đó nếu xem lưu lượng Q cho bài toán lòng dẫn đơn là điều kiện ở biên chảy vào thì điều kiện biên thứ 2 (mực nước z chẳng hạn) không thể cho tùy tiện mà với dòng xiết (Fr > 1) phải cho ở biên trên và với dòng chảy êm (Fr < 1) phải cho ở biên dưới. Chúng ta sẽ hiểu lý do vì sao lại như vậy nếu chỉ xét trong khuôn khổ bài toán ổn định.
Ta đưa vào một trường hợp tổng quát là giả thiết tại điiểm x1 trên dòng chảy mực nước bị lệch đi một khoảng δz1 rất nhỏ (chẳng hạn do sai số tính toán, do nhiễu động nào đó trong dòng chảy v.v…) ta xem xét sai số đó phát triển ra sao nếu xem mặt cắt đó là biên của đoạn dòng chảy. Cách làm này trong việc khảo sát tính bền vững (ổn định) của sơ đồ tính gọi là phép nghiên cứu biến phân.
Ta lấy biến phân của phương trình (8.26) và lưu ý là toán tử biến phân δ hoán vị với bài toán tử đạo hàm
dx
d (biến phân δ giống như phép lấy vi phân d).
Ta có: ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟⎠+
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + 22 2
2 K
Q Q gA z Q dx
d α
δ = 0
Ở đây ta thay J = 2 K
Q
Q để nói lên độ dốc thủy lực J đồng dấu với chiều chảy
(không nhất thiết chiều chảy phải trùng với trục x).
Thay K = 1 23
nAR và với lòng dẫn rộng R ≈ h - chiều sâu trung bình. Từ phương trình trên thực hiện phép biến phân ta được:
dx
d (δz - B z gA
Q δ
α
3
2 ) - 2Q Q dK3 z
K dzδ = 0 (8.43)
Thay: dK
dz = AR )
3 BR 2 n(
1 23+ −13
Nếu thay h ≅ R thì BR ≅ Bh = A và đạo hàm trên có thể rút gọn thành:
dK
dz = 1
3 5Kh−
Và B gA
Q
3
α 2 = Fr Thay vào (8.30) ta được:
dx
d (1 - Fr)δz - z h K
Q Q2 δ 3
10 = 0
Hay (8.44)
dx
d (1 - Fr)δz - J z h δ 3
10 = 0 Lời giải của phương trình (8.43) là:
δz =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∫x −
x
hd K Fr
Q z Q
1
1 2
) 1 ( 3
exp 10 ξ
δ (8.45)
Ta lấy hàm mũ: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∫x −
x
hd K Fr
Q Q
1
) 2
1 ( 3
exp 10 ξ
Có trị số tăng theo x (lớn hơn 1) nếu dấu của biểu thức dưới tích phân và dấu của (x - x1) trùng nhau và ngược lại. Từ đó khi có các tình huống:
- Fr < 1; (1 - Fr) > 0 thì để sai số δz giảm dấu của Q và dấu của (x - x1) phải ngược nhau. Tức sai số chỉ giảm khi tính ngược chiều chảy.
- Fr > 1; (1 - Fr) < 0 thì sai số δz chỉ giảm khi dấu của Q và (x - x1) phải trùng nhau, nói cách khác sơ đồ tính bền vững (ổn định) khi tính xuôi theo chiều chảy.
Ta có thể phát biểu thành mệnh đề:
Để lời giải bài toán dòng ổn định không đều trong dòng hở là bền vững (ổn định) thì phải tính ngược chiều chảy đối vời dòng chảy êm và tính xuôi chiều chảy với dòng chảy xiết.
Ở đây ta đưa vào khái niệm bền vững (ổn định) của sơ đồ tính. Sơ đồ tính được gọi là bền vững (ổn định) nếu sai số ban đầu và không bị tích lũy và khuếch đại trong quá trình tính.
Từ chiều tính bền vững (ổn định) ta suy ra điều kiện biên cho bài toán dòng ổn định không đều của dòng hở trong lúc xem điều kiện ở biên chảy vào đương nhiên (thường là lưu lượng) thì với dòng chảy êm (Fr < 1) ta cần điều kiện biên ở mặt cắt chảy ra và với dòng chảy xiết (Fr >1) là cả 2 điều kiện ở biên chảy vào và không cần điều kiện nào ở biên chảy ra. Điều này hoàn toàn đáp ứng ý nghĩa vật lý về truyền sóng ảnh hưởng: Dòng chảy xiết ảnh hưởng chỉ truyền xuôi chiều và biến đổi phía hạ lưu không hề có ảnh hưởng ngược lên thượng lưu. Với dòng chảy êm ảnh hưởng truyền về cả 2 phía và do đó hạ lưu ảnh hưởng tới thượng lưu và cần phải cho điều kiện ở đây.