CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH THÔNG SỐ PHÂN BỐ
3.2. Hệ phương trình Saint – Venant
Hệ phương trình Saint Venant được xây dựng với các giả thiết sau đây [1]:
1. Dòng chảy là dòng một chiều, độ sâu và vận tốc chỉ thay đổi theo chiều dọc của lòng dẫn. Coi vận tốc là không đổi và mặt nước nằm ngang tại mặt cắt ngang bất kì thẳng góc với đường chảy.
2. Dòng chảy thay đổi từ từ dọc theo lòng dẫn để cho áp suất thuỷ tĩnh chiếm ưu thế và các gia tốc theo chiều thẳng đứng được bỏ qua.
3. Trục dọc của lòng dẫn được coi là một đường thẳng.
4. Độ dốc đáy của lòng dẫn nhỏ, đáy sông ổn định, tức là đã loại trừ các ảnh hưởng của xói và bồi lòng dẫn.
5. Có thể áp dụng hệ số sức cản của dòng chảy đều, ổn định cho dòng không ổn định để có thể sử dụng các quan hệ như phương trình Manning mô tả các tác động của lực cản.
6. Chất lỏng không nén được và có khối lượng riêng không đổi trong toàn dòng chảy.
Hệ phương trình Saint Venant được viết với dòng chảy một chiều bao gồm phương trình liên tục và phương trình động lực. Các phương trình này được viết cho một đoạn kênh nguyên tố, phần thể tích giới hạn bởi các mặt cắt ngang, các mặt bên, đáy kênh và mặt nước được gọi là thể tích kiểm tra. Phương trình liên tục và phương trình động lượng (còn gọi là phương trình chuyển động) viết cho thể tích kiểm tra tạo thành hệ phương trình Saint Venant (xem [1] và [2]) có dang:
x q Q t
A =
∂ +∂
∂
∂ (3-1)
0 )
) (
( 2 + + − + =
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ J i qv W B
x gA Z x
A Q t
Q
f
e β
α (3-2)
x - khoảng cách dọc theo kênh hoặc sông t - thời gian
A - diện tích mặt cắt ngang của dòng chảy
q - lưu lượng dòng bên trên một đơn vị chiều dài dọc theo lòng dẫn h - độ sâu dòng chảy trong kênh
v - vận tốc dòng bên theo chiều dòng nước trong lòng dẫn i0 - độ dốc đáy kênh
J - độ dốc ma sát (độ dốc thuỷ lực)
ie - độ dốc tổn thất cục bộ (tại các vị trí mặt cắt mở rộng hoặc thu hẹp đột ngột) B - chiều rộng lòng dẫn trên mặt thoáng
Wt - hệ số lực ma sát do gió β- hệ số sửa chữa động lượng g - gia tốc trọng trường.
Gọi Zd là cao độ đáy kênh, h là độ sâu nước trong kênh, ta có:
Z = h+Zd (3-3)
Và: x Z x h x
Z d
∂
−∂
∂
=∂
∂
∂ (3-4) Nhưng vì d io
x Z =−
∂
∂ , trong đó i0 là độ dốc đáy kênh nên phương trình chuyển động (3-3) khi không tính đến tổn thất cục bộ được viết dưới dạng (3-5) .
0 )
) ( (
0
2 + − − + =
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ J i qv W B
x gA h x
A Q t
Q
β f
α (3-5)
Trong một số phương pháp giải hệ phương trình Saint Venant, người ta còn sử dụng dạng khác của phương trình liên tục bằng cách thay vận tốc trung bình của dòng chảy V là một biến phụ thuộc vào vị trí của biến Q. Dạng của phương trình liên tục này viết cho một đơn vị chiều rộng của dòng chảy trong kênh và bỏ qua dòng bên gia nhập được gọi là dòng chảy đơn vị. Đối với dòng chảy có chiều rộng đơn vị, A = h × 1 và Q = V×A = V×h. Thay vào (3-1) ta có:
) 0
( =
∂ +∂
∂
∂
t h x
Vh (3-6)
hay là: ( ) 0
∂ = +∂
∂ + ∂
∂
∂
t h x
V h x
h
V (3-7)
Dạng dòng chảy đơn vị của phương trình chuyển động có thể được suy ra theo cách tương tự như đối với dạng dòng chảy đơn vị của phương trình liên tục. Nếu bỏ qua tổn thất cục bộ, ảnh hưởng của gió và dòng bên, ta có dạng dòng chảy đơn vị của phương trình chuyển động cho một đơn vị chiều rộng trong dòng chảy như sau:
0 )
( + − =
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
io
x J g h x V V t
V (3-8)
Dòng ổn định đều xuất hiện khi độ dốc đáy io bằng với độ dốc ma sát J và các yếu tố hình học của kênh dẫn không thay đổi theo chiều dọc sông, đồng thời các thành phần khác của phương trình (3-2) được bỏ qua. Khi đó quan hệ giữa lưu lượng hoặc tốc độ dòng nước và mực nước là một hàm đơn trị, dòng chảy trong kênh là dòng chảy đều (xem hình 3-1a). Khi các thành phần khác trong phương trình chuyển động không bị bỏ qua, đường quan hệ mực nước - lưu lượng có dạng một vòng dây. Trong trường hợp này, độ sâu hay mực nước không chỉ là một hàm của lưu lượng mà còn phụ thuộc vào độ dốc năng lượng. Với một mực nước đã cho, lưu lượng ở nhánh nước lên của đường quá trình lũ thường lớn hơn lưu lượng ở nhánh nước xuống. Do lưu lượng tăng và giảm, đường quan hệ mực nước - lưu lượng còn có thể có nhiều vòng dây kép (hình 3-1b).
Khi đường quan hệ mực nước - lưu lượng có dạng đơn trị có thể dùng trong các phương pháp diễn toán dòng tập trung để diễn toán dòng chảy trong sông. Nếu quan hệ mực nước – lưu lượng có dạng vòng dây, nếu áp dụng các mô hình thông số tập trung sẽ có sai số lớn, khi đó cần sử dụng trong các phương pháp diễn toán dòng phân bố.
Hình 3-1: Quan hệ lưu lượng – mực nước tại một mặt cắt sông
Quá trình truyền dòng chảy trong các sông tự nhiên rất phức tạp vì bị chi phối bởi nhiều nhân tố: Các chỗ gặp nhau và các nhánh sông, các thay đổi trong mặt cắt ngang, các thay đổi về lực cản phụ thuộc theo độ sâu và vị trí dọc đường dẫn, các diện tích bị ngập lụt và sự uốn khúc của lòng sông. Tác động qua lại giữa lòng chính và bãi sông bị ngập là một trong những nhân tố quan trọng nhất ảnh hưởng đến quá trình truyền lũ.
Trong thời gian lũ lên, nước từ lòng chính chảy tràn lên bãi hoặc thung lũng sông và trong lúc lũ xuống, nước từ khu chứa bị ngập chảy trở lại vào lòng chính. Lượng trữ của khu chứa ven sông có tác động làm giảm bớt lưu lượng trong khi lũ xuống. Mặt khác còn xảy ra một số tổn thất trong khu chứa do thấm và bốc hơi.
Các khu chứa và bãi sông bị ngập có ảnh hưởng tới tốc độ sóng vì sóng lũ di chuyển trong các khu chứa và bãi sông chậm hơn trong lòng chính. Sự chênh lệch trong các tốc độ sóng gây ra hiện tượng biến hình sóng lũ.
Với các sông nhánh, tác động của nước vật tại điểm gặp nhau đối với sự truyền lũ cần phải được xem xét.
Khi có tồn tại ảnh hưởng của nước vật, đường quan hệ mực nước - lưu lượng có thể bao gồm một chuỗi các vòng dây, mỗi vòng tương ứng với một đặc trưng biệt chi phối mức nước trong lòng dẫn (hình 3-1). Các tác động nước vật của hồ chứa, chỗ các dòng nhánh gặp nhau, lòng sông thu hẹp và cầu cống có thể tiêu biểu cho đặc trưng này.