Các khái niệm cơ bản

Một hàm sản xuất biểu diễn lượng đầu ra bằng một hàm của các lượng

đầu vào thay đổi. Các đầu vào có thể được xét là các đầu vào không đổi (sự không đổi do thực tế là lượng đầu vào không thay đổi) và các đầu vào biến

đổi. Hàm sản xuất có thể được phát biểu bằng toán học cho một đầu ra, q, với m đầu vào thay đổi x là

x x xm

f

q 1, 2,..., (2.4.1) Một hàm sản xuất giả định trước hiệu suất kỹ thuật và các trạng thái đầu ra lớn nhất có thể nhận được từ mọi tổ hợp đầu vào có thể.

Xét quá trình sản xuất đơn giản trong Bảng 2.4.1, có hai đầu vào biến

động, nước tưới x1 và phân bón nitrogen x2, với đầu ra là sản lượng ngũ cốc, q,

) , (x1 x2 f

q (2.4.2) Quá trình sản xuất này cũng có một số đầu vào không đổi gồm có hạt giống, lao động, sự phục vụ của máy móc, và sự phục vụ của đất.

Các mức đầu vào và đầu ra là các tỷ lệ của sự sử dụng hay sự sản xuất trên một đơn vị thời gian. Trong ví dụ sản xuất trong Bảng 2.4.1 đơn vị thời gian là một mùa canh tác. Trong thời gian dài, các mức của tất cả các đầu vào là các biến còn trong thời gian ngắn, một đầu vào ấn định là không đổi mà mức sẵn có không thể được thay thế.

Tổng sản phẩm của đầu vào x2 trong sản xuất bằng q là lượng đầu ra từ

đầu vào x2 nếu x1 được ấn định bằng x1

x1,x2

f q

vì thế q là một hàm của chỉ x2. Quan hệ giữa q và x2 được thay bằng việc đổi x1. Với mỗi giá trị của x1, một đường cong tổng sản phẩm có thể được xây dựng để biểu thị đường cong của tổng sản phẩm q bằng một hàm của lượng đầu vào thay đổi x2.

Năng suất trung bình (AP- Average Product) của x2 là tổng sảm phẩm chia cho lượng đầu vào thay đổi x2 với đầu vào ấn định x1

 

2 2 1 2

, x

x x f x

AP q  (2.4.3) Năng suất biên (MPx2) của x2 là tỷ lệ thay đổi của tổng sản phẩm theo lượng đầu vào thay đổi x2

 

2 2

2 1 2

,

2 x

q x

x x f x MPx q



 







  (2.4.4) năng suất biên là độ dốc của đường cong tổng sản phẩm. Theo hình 2.4.1, năng suất biên tăng từ gốc tới điểm uốn của đường cong tổng sản phẩm mà

độ dốc là tối đa. Năng suất biên và năng suất trung bình là bằng nhau tại giá

trị lớn nhất của năng suất trung bình.

Ví dụ 2.4.1. Sử dụng hàm sản xuất được trình bày trong bảng 2.4.1 để xác định các năng suất trung bình và năng suất biên cho nước tưới được giữ không đổi bằng 7 inche/mẫu và xét 40 và 50 pao phân bãn /mÉu

Lời giải Tổng sản phẩm cho 40 và 50 pao phân bón trên một mẫu với nước bằng 7 inch/mẫu là 126 và 161 giạ, tương ứng. Năng suất trung bình theo phương trình (2.4.3) cho 40 pao phân bón là

15 . 40 3 126

2





 x AP q

và với 50 pao là 3.22. Năng suất biên theo phương trình (2.4.4) là 5 . 40 3 50

126 161

2

 

 



  x MP q là độ dốc của đường cong tổng sản phẩm.

Bảng 2.4.1

Quy trình sản xuất của mối quan hệ giữa lượng nước tưới, phân bón nitrogen, và sản lượng ngô (giạ/mẫu) Schefter et al., 1978)

Sè pao

Nitrogen/mẫu x1: Số inch tưới - Nước/mẫu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

10 0,0 1,8 5,0 9,0 13,2 17,0 19,8 21,0 20,0 16,2 9,0 0,0 0,0 0,0 20 0,0 5,0 12,8 22,2 32,0 41,0 48,0 51,8 51,2 45,0 32,0 11,0 0,0 0,0 30 0,0 9,0 22,2 37,8 54,0 69,0 81,0 88,2 88,0 81,0 63,0 33,0 0,0 0,0 40 0,0 13,2 32,0 54,0 76,8 98,0 115,2 126,0 128,0 118,8 96,0 57,2 0,0 0,0 50 0,0 17,0 41,0 69,0 98,0 125,0 147,0 161,0 164,0 153,0 125,0 77,0 6,0 0,0 60 0,0 19,8 48,0 81,0 115,2 147,0 172,8 189,0 192,0 178,2 144,0 85,8 0,0 0,0 70 0,0 21,0 51,8 88,2 126,0 161,0 189,0 205,8 207,2 189,0 147,0 77,0 0,0 0,0 80 0,0 20,0 51,2 88,0 128,0 164,0 192,0 207,2 204,8 180,0 128,0 44,0 0,0 0,0 90 0,0 16,2 45,0 81,0 118,8 153,0 178,2 189,0 180,0 145,8 81,0 0,0 0,0 0,0 100 0,0 9,0 32,0 63,0 96,0 125,0 144,0 147,0 128,0 81,0 0,0 0,0 0,0 0,0 110 0,0 0,0 11,0 33,0 57,2 77,0 85,8 77,0 44,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

120 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

130 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

H×nh 2.4.1

Tổng sản phẩm, năng suất trung bình và năng suất biên

Một đường đẳng lượng định nghĩa quỹ tích của tất cả các tổ hợp của các đầu vào thay đổi mà cho ra cùng một mực đầu ra, q0, ví dụ

 1 2

0 f x,x

q  (2.4.5) Các đường đẳng lượng cho một quá trình hai biến đầu vào được minh họa trong hình 2.4.2 trong đó các mực đầu ra là q3 > q2 > q1.

Tỷ lệ thay thế kỹ thuật (RTS – Rate of Technical Substitution) là giá

trị âm độ dốc của đường đẳng lượng

1 2

dx

RTSdx (2.4.6)

đây là tỷ lệ mà tại đó một đầu vào phải được thay thế cho một đầu vào khác

để duy trì cùng mức đầu ra. Đạo hàm toàn phần của một hàm sản xuất là

   

2 2

2 1 1

1 2

1, ,

x dx x x dx f

x x x dq f







  (2.4.7a)

2

1 2

1dx MP dx

MPx  x

 (2.4.7b)

Để giữ một đường đẳng lượng không đổi trong dx1 và dx2, thì dq = 0

2

1 2

0MPx1dx MPx dx (2.4.8) Vì thế tỷ lệ thay thế kỹ thuật là tỷ số của các năng suất biên

2 1

1 2

x x

MP MP dx

RTSdx  (2.4.9)

H×nh 2.4.2

Họ các đường đẳng lượng cho quá trình hai biến đầu vào

Bản đồ đường đẳng lượng của quá trình sản xuất trong Bảng 2.4.1 được chỉ ra trong hình 2.4.3. Nếu MPx1 hay MPx2trở thành âm, thì quá nhiều đầu vào x1 hay x2 tương ứng, được sử dụng trong quá trình sản xuất và RTS sẽ là

âm. Quá trình sản xuất trong hình 2.4.3 minh họa vùng hoạt động hợp lý mà cả MPx1và MPx2đều dương và được kèm theo bởi các đường gợn R1 và R2. Điểm B là có thể ưa thích hơn điểm A bởi vì tại điểm B cần rất ít x2 để tạo ra cùng một đầu ra. Tương tự, điểm B là ưa thích hơn điểm C vì tại điểm B cần rất ít x1 để tạo ra cùng một đầu ra. Tại điểm D cần thiết quá nhiều cả

x1 và x2.

Dưới dạng tổng quát hơn với n biến đầu vào cùng với một đường đẳng lượng, ta có quan hệ sau

  



 

m 

j

j j

x dx x f

1

0 (2.4.10) trong đó x = (x1, x2, ..., xm).