Các khái niệm về cầu và cung đã được giới thiệu trong các mục trước về lý thuyết khách hàng và lý thuyết bền vững. Mục này cùng nhóm các khái niệm về cung và cầu lại để giải thích sự tất định của giá cả thị trường của một hàng hóa hay một dịch vụ và tổng lượng được buôn bán ở một thị trường.
Một nhu cầu của người tiêu thụ cho hàng hóa wj phụ thuộc vào giá của nó bằng pj, giá của tất cả các hàng hóa khác, và thu nhập của người tiêu thụ B0, Hàm cầu cho người tiêu thụ i là
p1,p2,...,p ,B0
D
Di i m (2.5.1) Với tất cả các giá vẫn không đổi trừ pj và một thu nhập không đổi, hàm cầu rút gọn thành
j i
i D p
D (2.5.2) Hàm cầu thị trường cho một hàng hóa là tổng các hàm cầu của những người tiêu thụ riêng lẻ
p D p
D D
i
i
(2.5.3) trong đó D là nhu cầu tổng thể. Nhu cầu tổng thể này giả sử rằng tất cả giá
và thu nhập của người tiêu thụ là hằng số.
Một lợi tức tổng cộng bền vững là TR = pq. Lợi tức biên là tốc độ tại đó tổng lợi tức tăng như một hệ quả của việc tăng trong bán, được biểu thị bằng
p
dq TR
MRd (2.5.4)
Đường cong lợi tức biên cho một công ty là đường cầu.
Một hàm cung định nghĩa lượng mà một công ty sẽ sản xuất như một hàm của giá cả thị trường. Các hàm cung cho các công ty riêng biệt có thể
được định nghĩa cho: (a) các thời khoảng rất ngắn khi mức đầu ra không thể thay đổi; (b) khoảng thời gian ngắn trong một thời điểm mà mực đầu ra có thể thay đổi và một số đầu vào được cố định; và (c) khoảng thời gian dài mà trong đó tất cả các đầu vào được xem là thay đổi. Các hàm cung có thể
được lấy từ các điều kiện bậc nhất cho sự tối đa hóa lợi nhuận. Chi phí biên ngắn hạn của một công ty (MC) là một hàm của đầu ra, MC = f(q). Một
đường cung ngắn hạn của một công ty là đường phí biên hạn ngắn nằm trên
đường chi phí thay đổi trung bình (xem hình 2.5.1). Một hàm tổng cung là tổng của các hàm cung riêng lẻ,
i
i p S p
S
S (2.5.5)
H×nh 2.5.1
Các đường MC và AVC hạn ngắn. Đường cung ngắn hạn của một công ty là đường phí biên hạn ngắn nằm trên đường cong AVC.
H×nh 2.5.2
Nhu cầu, cung cấp và cân bằng thị trường cho x, (Schefter et al., 1978). Những đường cong cho cung (S) và cầu (D) này giao nhau tại điểm cân bằng (qe, pe). Với một sự tăng lên về giá cả cho p1 cầu sẽ giảm tới qd, và cung sẽ tăng tới qs, vì thế q1s q1ddẫn tới một số dư. Sự cạnh tranh để bán số dư sẽ dẫn tới một sự hạ thấp liên tục giá cả tới pe. Nếu giá giảm tới p2 lượng nhu cầu sẽ tăng tới q2d và sự cung cấp sẽ giảm tới q2s, vì thế q2sq2d dẫn tới một sự thiếu hụt. Sự trả giá
cạnh tranh trong những người tiêu thụ cùng với đầu ra được tăng lên bởi người bán sẽ tăng giá tới pe.
và một đường tổng cung là tổng theo phương ngang của các đường cung riêng lẻ.
Điều kiện bậc hai cho sự tối đa hóa lợi nhuận đòi hỏi đường cong MC tăng lên.
Đầu ra tối ưu dài hạn của công ty đạt được khi chi phí biên hạn dài cân bằng với giá. hình 2.5.2 thể hiện các đường cung và cầu cho một hàng hóa.
Những đường cong này cắt nhau tại giá cân bằng, pe, và lượng cân bằng nơi mà lượng nhu cầu và lượng được cung cấp là cân bằng.
Tài liệu tham khảo
Billing, R.B. and D.E.Agthe: “Price Elasticities for Water: A Case of Increasing Block Rates”.Land Economics, vol.56, no.1, pp.73- 84,1980,
Foster,Jr.,H.S and B.R.Beattie: “Urban Residential Demand for Water in the United States” Land Economics, vol. 55, pp. 43-58, February 1979.
Hanke.S.H.and L . de MarÐ: “Municipal Water Demands” Modeling Water Demands, J.Kindler and C.S.Russell(eds.) Academic Press, 1984.
Heaney.J.P..S.J. Nix.and M.P.Murphy: “Storage-Treatment Mixes of Stormwater Control: J.Env.Eng.Div..ASCE, vol.104, no.EF4, pp.581-592, August 1978.
Henderson.J.M and R.E. Quandt, Microeconomic Theory: A Mathematical Approach, McGraw-Hill, New York, 1980,
Howe.C.E and F.P.Linaweaver, Jr.: “The Impact of Price on Residential Water Demand and Its Relation to System Design and Price Structure” Water Resources Recsearch, vol.3, no.1, pp, 12- 32,1967.
Howe.C.W.: Benefit-Cost Analysis for Water System Planning, Water Resources Monograph 2, American Geophysical Union, Washington, D.C..1971.
Schefter.J.E..R.M.Hirsh and I.C.James,II: Natural Resource Economics Course Notes, Water Resources Division, U.S.Geological Survey, June 1978.
Sewell, W.R.D..J.Davis,A.D.Scott and D.W.Ross: Guide to Benefit- Cost Analysis, Report, Resources for Tomorrow, Information Canada, Ottawa, 1961.
Bài tập
2.1.1 Giải ví dụ 2.1.1 với tỷ lệ lãi suất bằng 8%.
2.1.2 Một dự án tài nguyên nước đã tạo ra lợi nhuận bằng $40000 sau mỗi giai đoạn 20 năm. Xác định giá trị hiện tại của những lợi nhuận này với tỷ lệ lãi suất là 6%. Xác định giá trị lợi nhuận tại cuối năm thứ 20,
2.1.3 Một dự án tài nguyên nước đã tạo ra lợi nhuận bằng $20000 sau năm đầu tiên và tăng theo một chuỗi gradient đồng đều tới $100000 tại cuối năm thứ năm. Lợi nhuận duy trì không đổi ở $100000 mỗi năm cho đến cuối năm 25. Xác định giá trị hiện tại của những lợi nhuận này với tỷ lệ lãi suất 6%.
2.1.4 Một dự án tài nguyên nước có lợi nhuận bằng $10000 cuối năm thứ nhất và tăng theo một chuỗi gradient đồng đều tới $50000 ở cuối năm thứ năm. Sau đó lợi nhuận giảm theo một chuỗi gradient đồng
đều tới $0 cuối năm thứ 10, Xác định giá trị của những lợi nhuận trong năm 0 và năm 25 biết tỷ lệ lãi suất bằng 6%.
2.2.1 Sử dụng các bước phân tích chi phí – lợi nhuận để xác định quy mô
tối ưu của việc xây dựng cho những phương án sau của một nhà máy thủy điện nhỏ.
Phương án (Quy mô)
Chi phÝ
$ 104
Lợi nhuận
$104 1
2 3 4 5 6 7 8
650,00 1800,00 3600,00 6900,00 9900,00 12700,00 15400,00 17400,00
650,00 2200,00 4800,00 9400,00 14000,00 18000,00 19700,00 20900,00
2.2.2 Có bốn phương án có có thể được sử dụng cho việc xây dựng một công trình cấp nước cho một khu dân cư trong 40 năm tới. Sử dụng
phương pháp tỷ số lợi nhuận – chi phí để so sánh và lựa chọn một phương án. Biết tỷ lệ lãi suất bằng 6%.
N¨m
Phương án I
Phương án II
Phương án III
Phương án IV Chi phÝ x©y dùng 103
0 10 20 30
40000,00 0,00 0,00 0,00
30000,00 0,00 10000,00 0,00
20000,00 0,00 20000,00 0,00
10000,00 10000,00 10000,00 10000,00 Chi phí vận hành và bảo dưỡng
0-10 10-20 20-30 30-40
100000,00 120000,00 140000,00 160000,00
110000,00 110000,00 120000,00 140000,00
120000,00 130000,00 140000,00 150000,00
120000,00 120000,00 130000,00 130000,00 2.3.1 Chứng minh rằng tốc độ thay đổi độ dốc của một đường đẳng dụng
bằng
2
1 2 2 2
2 1 2 1 2 2
2 2 1 3 2
2
2 w
f w
f w
f w
f w w
f w
f w
f w
f
2.3.2 Tìm tổ hợp tối ưu của các hàng hóa cho một người tiêu thụ với một hàm thỏa dụng, uw11.5w2, và ràng buộc ngân sách, 3w14w2 100
(theo Henderson và Quandt, 1980)
2.3.3 Mô hình nhu cầu tuyến tính của Hanke và de Maré (1984) cho Malmo, Thụy điển là
Q = 64,7 + 0,00017 (Inc) + 4,76 (Ad) +3,92 (Ch) -0,406 (R) + 29,03 (Age) – 6,42 (P)
trong đó
Q = lượng nước sử dụng hàng giờ, trên một thời kỳ nửa năm (m3).
Inc = Tổng thu nhập thực của mỗi gia đình trong 1 năm (curon Thụy điển; các giá trị thực tế được báo cáo mỗi năm và các giá trị nội suy được sử dụng cho các thời kỳ giữa n¨m).
Ad = số người trưởng thành trên một nhà, trên một thời kỳ nửa n¨m.
Ch = số trẻ em trên một nhà, trên một thời kỳ nửa năm.
R = lượng giáng thủy trong thời kỳ nửa năm (mm).
Age = một biến giả với giá trị bằng 1 cho các nhà được xây năm 1968 và 1969, giá trị bằng 0 cho các nhà được xây
trong khoảng từ năm 1936 đến năm 1946.
P = Giá thực đơn vị đồng curon Thụy điển trên m3 nước, trên thời kỳ nửa năm (gồm chi phí của toàn bộ các loại nước tiêu thụ và nước thải, và là một hàm của lượng nước sử dông).
Sử dụng giá trị trung bình của P bằng 1,7241 và Q = 75,2106 với số liệu Malmo, xác định độ biến động của nhu cầu. Giải thích ý nghĩa của kết quả này.
2.3.4 Xác định độ biến động nhu cầu cho mô hình nhu cầu nước trong bài 2.3.3 sử dụng P = 1,5 và Q = 75,2106; P = 2,0 và Q = 75,2106; P = 1,7241 và Q = 50; P = 17241 và Q = 100,
2.3.5 Xác định độ biến động giá theo nhu cầu nước, sử dụng hàm cầu nước tuyến tính được Howe và Linaweaver (1967) xây dựng, với những sử dụng không theo mùa bởi các hộ gia đình đơn lẻ, được đo
đạc với cống công cộng
Q = 206 – 1.3PW + 3,47V
trong đó Q là lượng trung bình hàng năm được yêu cầu cho các mục
đích dân sinh (đơn vị gallon/đơn vị nhà ở/ngày; Pw là tổng chi phí của nước thải và nước sinh hoạt, thay đổi cùng với sử dụng nước (được ước lượng sử dụng một tỷ lệ khối có thể áp dụng cho sử dụng nước trung bình trong từng vùng nghiên cứu); và V là giá trị thị trường của đơn vị nhà ở (tính bằng nghìn đô la). Xét sử dụng nước trung bình bằng 206 gallon/ngay và giá nước trung bình bằng 40,1 cent/1000 gallon.
2.3.6 Foster và Beattie (1979) đã xây dựng một hàm cầu cho nhu cầu nước dân cư đô thị để áp dụng ở Hoa Kỳ. Hàm cầu này là
lnQ = -1,3895 – 0,1278Pav + 0,4619ln(I) – 0,1699 ln(F) + 0,4345 ln(H)
trong đó Q là lượng nước yêu cầu trên một mét (1000 foot khối/năm) Pav là giá nước trung bình (đô la/1000 foot khối); I là thu nhập hộ gia đình trung bình (đô la/năm); F là giáng thủy tính bằng inch trong mùa canh tác; và H là số dân cư trung bình trên một mét.
Xác định độ co giãn giá cả của nhu cầu được tính tại mức giá trung b×nh, $3,67/1000 gallon.
2.4.1 Với quá trình sản xuất trong Bảng 2.4.1, xác định và vẽ lên đồ thị các đường tổng sản phẩm, đường năng suất trung bình và năng suất biên cho phân bón nitrogen biết rằng nước tưới được cố định bằng x1
= 7 in/mÉu.
2.4.2 Xác định và vẽ đồ thị tổ hợp đầu vào tối ưu (đường chi phí nhỏ nhất) cho quá trình sản xuất trong Bảng 2.4.1. Các giá đầu vào là
$2,50/pao cho phân bón nitrogen và $10,00/mẫu-inch cho nước tưới.
2.4.3 Xác định và vẽ đồ thị đường cong tổng chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên dài hạn cho quá trình sản xuất trong Bảng 2.4.1 sử dụng tổ hợp đầu vào tối ưu cho đường chi phí nhỏ nhất được xác định trong Bài 2.4.2.
2.4.4 Sử dụng quá trình sản xuất trong Bảng 2.4.1, xác định và vẽ đồ thị tổng chi phí cố định, tổng chi phí thay đổi, tổng chi phí, chi phí cố
định trung bình (AFC), chi phí thay đổi trung bình (AVC), tổng chi phí trung bình (ATC), và chi phí biên (MC) hạn ngắn. Giả sử rằng nước tưới được cố định bằng 7 in/mẫu trong thời đoạn ngắn. Sử dụng các giá đầu vào bằng $2,50/pao cho phân bón nitrogen và
$10,00/mẫu-inch cho nước tưới. Vẽ đồ thị các đường cong AFC, AVC, ATC và MC trên một đồ thị. Thảo luận thực tế rằng đường cong MC giao với ba đường cong khác.
2.4.5 Sử dụng quá trình sản xuất trong bảng 2.4.1, xác định lợi nhuận ngắn hạn cho những mức khác nhau của tổng sản phẩm. Giả sử rằn ngũ cốc bán với giá $1,49/thùng, giá đầu vào là $2,50/pao cho phân bón nitrogen và $10,00 mẫu/inch cho nước tưới. Lượng nước tưới
được cố định bằng 7 mẫu/inch. Sử dụng các kết quả của bài 2.4.4 để làm bài toán này. Tổng sản phẩm mà tối đa hóa lợi nhuận trong thời
đoạn ngắn này là bao nhiêu?
2.4.6 Với một hàm sản xuất tuyến tính có dạng q = a1x1 + a2x2 xác định
độ co giãn sản xuất, độ co giãn thay thế và năng suất biên của từng
đầu vào.
2.4.7 Xác định độ co giãn của đầu ra và độ co giãn thay thế cho hàm sản xuÊt sau
2 1
2 1 0
b bx x b q
2.5.1 Xét các hàm cầu cho nhu cầu nước dân sinh (Qd) và nhu cầu nước tưới cây (Qs) tương ứng sau
logQd 2, 75 0, 214 log p và
p Qs 5.131 1.57log
log
trong đó Qd và Qs tính bằng gallon/hộ gia đình ngày và p là giá nước tính bằng cent/nghìn gallon. Nhu cầu dân sinh xuất hiện 12 tháng trong năm và nhu cầu tưới cây xuất hiện 4 tháng trong năm. Đầu tiên, xác định đường cầu cho dân sinh và tưới cây, sau đó tập hợp lại
đường cầu cho một số dân bằng 1 triệu hộ gia định. Nếu giá nước
được đặt bằng $0,30/1000 gallon, một lượng cung bằng 300 triệu gallon/ngày (MGD) có thể đáp ứng các nhu cầu hay không? Gia nước mà thành phố đặt ra bằng bao nhiêu để lượng cầu hàng năm trung bình sẽ bằng 300 MGD?
CH¦¥NG
3
Quy hoạch tuyến tính và những ứng dụng trong
hệ thống nguồn nước
3.1. Quy hoạch tuyến tính
Mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) đã và đang được áp dụng rộng rãi trong các bài toán phân bổ tối ưu tài nguyên. Như tên của nó gợi ý, mô
hình QHTT có hai tính chất cơ bản là cả hàm mục tiêu và các ràng buộc là các hàm tuyến tính của các biến quyết định. Dạng tổng quát của một mô
hình QHTT có dạng:
Max (hoặc Min) j
n
j jx c
x
1
0 (3.1.1a)
Với các biểu thức ràng buộc:
i j n
1 j
ijx b
a
víi i = 1, 2, ... n (3.1.1b) xj 0, víi j = 1, 2, ... n (3.1.1c) Trong đó, cj là hệ số của hàm mục tiêu, aij là hệ số công nghệ và bi là hệ số vế phải của phương trình ràng buộc (Right Hand Side - RHS) ở dạng đại số, mô hình QHTT này có thể khai triển như sau:
Max (hoặc Min) x0 = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn (3.1.2a) Với các ràng buộc:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1 a12x2 + a22x2 + ... + a2nxn b2
M M M M M
(3.1.2b) am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn bm
x1 0; x2 0, ...xn 0
ở dạng ma trận, mô hình QHTT có thể viết chính xác là:
Max (hoặc Min) x0 = CTx (3.1.3a) Với ràng buộc
Ax b (3.1.3b) x 0 (3.1.3c) Với C là véc tơ cột (n x 1) của các hệ số hàm mục tiêu, x là vec tơ cột (n x 1) của các biến quyết định, A là ma trận (m x n) của các hệ số công nghệ, b là véc tơ cột (m x 1) các hệ số các vế bên phải hàm ràng buộc. Chỉ số trên T ký hiệu chuyển vị của ma trận hay vectơ. Các sách hay có liên quan đến QHTT bao gồm Gass (1985), Taha (1987), Vinston (1987) và Hillien và Lieberman (1990).
Ví dụ 3.1.1. Xét một hệ thống bao gồm một nhà máy sản xuất và một nhà máy xử lí chất thải (Fiering và các cộng sự, 1971). Nhà máy sản xuất tạo ra các thành phẩm với giá bán ra cho mỗi thành phẩm là 10 nghìn đô la. Tuy nhiên, giá sản xuất cho mỗi thành phần là 3 nghìn đô la. Trong quá trình sản xuất hai đơn vị chất thải được tạo ra từ mỗi thành phẩm. Ngoài việc quyết định số lượng các thành phẩm nên sản xuất, người quản lý nhà máy cũng cần quyết định lượng chất thải được thải ra không qua xử lí để làm sao lợi nhuận thực (net-benefit) của nhà máy là tối đa mà yêu cầu về chất lượng nước của sông không bị vượt quá mức cho phép. Công suất tối đa của nhà máy xử lí chất thải là 10 đơn vị chất thải với hiệu suất sử lý là 80%, và giá thành cho mỗi đơn vị chất thải là 0,6 nghìn đô
la. Đồng thời nhà máy cũng phải trả thuế ảnh hưởng cho lượng chất thải thải ra sông (2 nghìn đô la cho mỗi một đơn vị chất thải ra). Đơn vị quản lý kiểm soát ô nhiễm nước đưa ra tiêu chuẩn tối đa là 4
đơn vị chất thải của mỗi nhà máy thải ra. Hãy thiết lập mô hình QHTT cho bài toán này.
Lời giải. Bước đầu tiên của việc xây dựng mô hình là xác định các thành phần hệ thống và các mối quan hệ tương tác của chúng. Trong ví dụ này, các thành phần của hệ thống là: nhà máy sản xuất, nhà máy xử lí chất thải, và con sông nhận lượng chất thải. Từ định nghĩa của bài toán, ta thấy có 2 biến quyết định là: (1) số lượng các đơn vị thành phẩm nên sản xuất, x1, và (2) lượng chất thải đổ trực tiếp vào sông không qua xử lí, x2. Từ sự mô tả mối quan hệ qua lại giữa thành phẩm, lượng chất thải được tạo ra, hiệu suất nhà máy xử lí, một sơ đồ minh họa hệ thống nghiên cứu có thể được thiết lập và thể hiện trên hình 3.1.1. Lượng chất thải ở mỗi nhánh có thể được xác định bằng nguyên lý cân bằng khối lượng.
Vấn đề cốt lõi cần làm trước khi xây dựng mô hình là xác định mục tiêu và các ràng buộc của bài toán. Trong ví dụ này, mục tiêu của bài toán tối đa lợi nhuận thực. Các ràng buộc gây ra bởi các hạn chế về công suất nhà máy xử lí chất thải và lượng chất thải cho phép đổ vào sông được quy định với các nhà kiểm soát ô nhiễm nước. Khi đã xác định được mục tiêu và các ràng buộc của bài toán, bước xây dựng mô hình tiếp theo về cơ sở liên quan đến việc chuyển hóa các mô tả các mục tiêu và ràng buộc bằng ngôn ngữ sang sự diễn tả bằng toán học thông qua các biến quyết định và các thông số.
Lãi thực của nhà máy sản xuất được xác định dựa trên 4 yếu tố: (a) số lượng bán ra các thành phẩm (tính bằng nghìn đô la) giá thành sản xuất của các thành phẩm (tính bằng nghìn đô la), 3x1; (c) chi phí cho việc xử lí chất thải (nghìn đô la) tạo ra từ quá trình sản xuất, 0,6(2x1-x2) và (d) thuế ảnh hưởng (nghìn đô la) đánh vào lượng chất thải không qua xử lí, 2{x2+0,2(2x1-x2)}. Lợi nhuận thực của nhà máy bằng tổng lượng tiền thu được trừ đi tổng các chi phí. Hàm mục tiêu của bài toán là tối đa hóa
lợi nhuận thực (lãi ròng), và bằng: 10x1-{3x1+0,6(2x1-x2)+2x2+0,2(2x1-x2)}. Hàm mục tiêu có thể diễn giải là:
Max x0 = 5x1-x2
Theo hình. 3.1.1, ràng buộc do hạn chế về công suất của nhà máy xử lí nước thải có thể diễn tả bằng công thức toán học là:
2x1 - x2 10
H×nh 3.1.1
Sơ đồ mô tả hệ thống sản xuất xử lí chất thải.
Ràng buộc này cho thấy lượng chất thải được xử lí, 2x1 - x2, không thể vượt quá công suất của nhà máy, bằng 10 đơn vị chất thải. Tương tự, ràng buộc liên quan đến tổng lượng chất thải có thể đổ vào sông được diễn giải là:
x2 + 0,2(2x1 - x2 ) 4
ở đó, vế trái (LHS) của điều kiện ràng buộc này là tổng lượng chất thải đổ vào sông (xem hình 3.1.1) và vế phải (RHS) của nó là tổng lượng đơn vị chất thải cho phép đổ ra sông quy định bởi cơ quan kiểm soát ô nhiễm nước.
Ngoài hai ràng buộc dễ nhận thấy ở đây, tồn tại một ràng buộc khá nhỏ để nhận biến được, và cần
được đưa vào trong mô hình. Một ràng buộc cần thiết để chắc chắn rằng một khối lượng nước được xử lí là dương. Nói một cách khác, mô hình nên bao gồm một ràng buộc làm cho lượng chất thải qua xử lí này không âm, (2x1 - 2). Nó có thể được diễn giải bằng công thức toán học như sau:
2x1 -x2 0
Cuối cùng, hai biến quyết định không thể âm, xét về ý nghĩa vật lý. Do đó, ràng buộc không âm của hai biến quyết đinh, x1 0 và x2 0, phải được đưa vào hướng ràng buộc. Phiên bản cuối cùng của mô hình quy hoạch tuyến tính được viết dưới dạng toán học, sau một vài biến đổi, có thể tóm tắt lại thành: