®iÒu tiÕt tèi u
Bài toán quản lý nước ngầm tổng quát (GGMP) có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:
GGMP.
Tèi u hãa Z = f(h,q) (8.5.1) Với giả thiết là
Các ràng buộc dòng chảy tổng quát, phương trình (8.2.10) hoặc (8.2.14):
g(h,q) = 0 (8.5.2)
Các giới hạn:
q q q (8.5.3)
h h h (8.5.4)
Tập hợp các ràng buộc khác, như là các ràng buộc về nhu cầu:
w(h,q) ≤ 0 (8.5.5)
trong đó (ˉ) tượng trưng cho giới hạn trên và (_) tượng trưng cho giới hạn dưới.
Chiều cao cột nước h và công suất bơm hoặc lượng bổ sung q là các véctơ
của các biến quyết định. Chúng có kích thước lớn nhất bằng với tích số của số các điểm nút hoạt động tại biên của tầng ngậm nước và các bước thời gian.
Các công suất bơm hoặc lượng bổ sung tại cùng một điểm được coi như là các hằng số. Theo quy ước, các công suất bơm có giá trị dương và q có giá trị âm khi nó là lượng bổ sung. Thường thì số biến công suất bơm và/hoặc lượng bổ sung (sau này các số hạng công suất bơm ám chỉ tới q sẽ được hiểu là cả công suất bơm và/hoặc lượng bổ sung) là không nhiều và dẫn đến là số chiều của véctơ q nhỏ hơn số chiều của véctơ h.
Phương trình hàm mục tiêu (8.5.1), có thể là cực đại hóa (ví dụ như tổng các chiều cao cột nước) hoặc là cực tiểu hóa (ví dụ như cực tiểu hóa công suất bơm). Phương trình hàm mục tiêu có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Cũng như thế, phương trình hàm mục tiêu có thể là không phân tách được hoặc chứa duy nhất một số hạng công suất bơm hoặc chiều cao cột nước, nhưng nó phải sai phân hoá được. Phương trình ràng buộc (8.5.2) tương ứng với một hệ các phương trình chính của dòng chảy nước ngầm. Các phương trình chính của dòng chảy nước ngầm này là các phương trình sai phân hữu hạn hay là các phương trình mô phỏng khi q là chưa biết. Các giới hạn trên ( )q và dưới ( )q dựa trên quy luật tự nhiên về công suất bơm có thể có hoặc không có. Không giống như công suất bơm, giới hạn dưới của chiều cao cột nước ( )h có thể
được xem như là độ cao so với mặt biển của đáy của tầng ngậm nước và giới
hạn trên của nó ( )h có thể coi như là độ cao so với mặt biển của mặt đất của các ô không áp. Thêm vào các phương trình ràng buộc (8.5.2) – (8.5.4), phương trình ràng buộc (8.5.5) có thể được thêm vào để áp đặt các giới hạn, ví dụ như nhu cầu nước, các nguyên tắc điều tiết, các giới hạn về tài chính, v.v...
Mô hình tối ưu tổng quát ở trên, các phương trình (8.5.1) – (8.5.5), đã
được giải bởi Wanakule, Mays và Lasdon (1986) bằng cách sử dụng một cơ
cấu điều khiển tối ưu. Một phương pháp rút gọn gradien tổng quát (mục 4.6) hình thành toàn bộ cơ cấu tối ưu cùng với một mô hình mô phỏng để thực hiện các đánh giá chức năng (Giải cho các ràng buộc tổng quát của dòng chảy nước ngầm) cho mỗi lần lặp lại của quá trình tối ưu. Quá trình giải bài toán sẽ ít phức tạp hơn khi biểu diễn các biến phụ thuộc hoặc các biến trạng thái (chiều cao cột nước, h) dưới dạng các biến độc lập, hay còn được gọi là điều khiển các biến (công suất bơm bằng lượng bổ sung, q) bằng các ẩn. Quá trình này sử dụng một mô phỏng để giải phương trình dòng chảy (8.5.2) để tìm các chiều cao cột nước căn cứ vào các công suất bơm và các lượng bổ sung. Do sự mô
phỏng chỉ giải quyết phương trình ràng buộc (8.5.2) nên phương trình ràng buộc (8.5.4), về giới hạn của các chiều cao cột nước, có thể sẽ không được thỏa mãn. Các giới hạn về chiều cao cột nước được thỏa mãn bằng cách kết kết hợp chúng vào hàm mục tiêu như là một hàm số gia trực tiếp Lagrăng (mục 4.7). Bài toán đã được rút gọn được giải bằng cách tối ưu hóa (cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa) mục tiêu số gia La-grăng với giả thiết là các phương trình ràng buộc (8.5.3) và (8.5.5). Wanakule, Mays, và Lasdon (1986) đã sử dụng GRG2, mô hình gradien rút gọn tổng quá của Lasdon và những người khác (1978), và GWSIM, mô hình mô phỏng nước ngầm được phát triển bởi ủy ban phát triển tài nguyên nước Texas (1974). GWSIM là một mô hình mô
phỏng sai phân hữu hạn dựa trên phương pháp IADI.
Tài liệu tham khảo
Aguado. E., and I. Remson: “Ground-water Management with Fixed Charges,” J. Water Resour. Plann. Manage. Div., Am. Soc. Cic.
Eng., 106, 375—382, 1980,
Aguado. E., I. Remson, M. F. Pikul, and W. A. Thomas: “Optimum Pumping for Aquifer Dewalering,” J. Hydraul. Div., Am. Soc. Civ.
Eng., 100, 860—877, 1974.
Aguado. E., N. Sitar, and I. Remson: “Sensitivity Analysis in Aquifer Studies.” Water Resour. Res., 13, 733—737, 1977.
Bear. J.: Hydraulics of Groundwater, McGraw-Hill. Inc., New York, 1979.
Bisschop. J. W., J. H. Candler, and G. T. O’Mara: “The Indian Basin model: A Special Application of Two-level Linear Programming,”
Math Program, 20, 30—38, 1982.
Bouwer, H.: Groundwater Hydrology, McGraw-Hill, inc., New York, 1978.
Bredehoeft. J. D, and R. A. Young: “Conjunctive Use of Groundwater and Surface Water for Irrigated Agriculture: Risk Aversion,” Water Resource Res., AGU, 19(5):1111—1121, 1983.
Dauben. J. T., and R. A. Young: “Groundwater Development in Western River Basins: Large Economic Gains with Unseen Costs,” Ground Water, 20(1):80—85, 1982.
de Marsity, G.: Quantitative Hydrogeologv, Academic, Orlando, Florida, 1986.
Fletcher, R.: Practical Methods of Optimization. Vol. 1, Wiley, New York, 1981.
Freeze, R. A. and J. A. Cherry: Gmundwater, Prentice-Hall. Englewood Cliffs. NJ.. 1979.
Gehm. H. W. and J. I. Bregman: Handbook of Water Resources and Pollution Control, Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1976.
Gorelick, S. M.: “A Review of Distributed Parameter Groundwater Management Modeling Methods,” Water Resour. Res., 19, 305—
319, 1983.
Hajmes, Y. Y. and Y. C. Dreizen: “Management of Groundwater and Suface Water Via Decomposition,” Water Resour. Res., 13(1):69—
77, 1977.
Heidari, M.: “Application of Linear Systems Theory and Linear Programming to Groundwater Management in Kansas,” Water Resour. Bulletin, 18, 1003—1012, 1982.
Illangasekare, T. and H. J. Morel-Seytoux; “Stream-aquifer Influence Coefficients as Tools for Simulation and Management,” Waver Resour. Res., 18, 168—176, 1982.
Kashef, A.-A. I.: Groundwater Engineering, McGraw-Hill, Inc., New York, 1986.
Klemt, W. B., T. R. Knowles, G. R. Elder, and T. W. Sieh: “Groundwater Resources and Model Applications for the Edwards (Balcones Fault Zone) Aquifer in the San Antonio Region, Texas,” Report 239, Texas Department of Water Resources, Austin, Oct., 1979.
Lasdon, L. S., A. D. Warren, A. Jam. and M. Ratner: “Design and Testing of a Generalized Reduced Gradient Code for Nonlinear Programming,” Assoc. Comput. Mach. Trans. Math. Software, 4, 34—50, 1978.
Luenberger, D. G.: Linear and Nonlinear Programming, Addison-Wesley, Rcading, Mass., 1984.
Maddock, T., Ill: “Algebraic Technological Function for a Simulation Model,” Water Resour. Res., 8, 129—134, 1972.
Maddock, T., Ill: “Nonlinear Technological Functions for Aquifers Whose Transmissivities Vary with Drawdown,” Water Resources. Res., 10, 877— 881, 1974.
Maddock, T., Ill, and Y. Y. Haimes: “A Tax System for Groundwater Management,” Water Resour. Res., 11, 7—14, 1975.
Mantell, J. and L. S. Lasdon: “A GRG Algorithm for Econometric Control Problems,” Ann. Eon. Soc. Manage., 6, 58l—597, 1978.
Morel-Seytoux, H. J., and C. J. Daly: “A Discrete Kernel Generator for Stream-Aquifer Studies,” Water Resour. Res., 11, 253—260, 1975.
Morel-Seytoux, H. J., G. Peters, R. Young, and T. Illangasekare:
“Groundwater Modeling for Management,” Paper presented at the international Symposium on Water Resource Systems. Water Resour. Dev. and Training Cent., Univ. of Roorkee, Roorkee, India, 1980,
Norman, A. L., L. S. Lasdon, and J. K. Hsin: “A Comparison of Methods for Solving and Optimizing a Large Nonlinear Econometric Model.
Discussion Paper,” Cent. for Econ. Res., Univ. of Tex., Austin, 1982.
Peaceman, D. W. and H. H. Rachford, Jr.: “The Numerical Solution of Parabolic and Elliptic Diffirential Equations,” J. Soc. lnd. and App.
Math., vol. 3. 28—41, 1955.
Prickett, T. A., and C. G. Lonnquist: “Selected Digital Computer Techniques for Groundwater Resource Evaluation,” Bull. Ill. State Water Surv., 55, 1971.
Remson, I., G. M. Hornberger. and F. J. Mol: Numerical Methods in Subsurface Hydrology. Wiley-lnterscience, New York, 1971.
Remson, I., and S. M. Gorelick: “Management Models Incorporating Groundwater Variables,” in Operation Research in Agriculture and Water Resources. D. Yaron and C. S. Tapiero, eds., North—
Holland, Amsterdam, 1980,
Rockafellar, R. T.: “A Dual Approach to Solving Nonlinear Programming Problems by Unconstrained Optimization,” Math. Programming, 5.
354—373. 1973.
Texas Water Development Board: “GWSIM—Groundwater Simulation Program,” Program Document and User’s Manual, UM S7405, Austin, Texas, 1974.
Todd, D. K.: Ground Water Hydrology. 2d ed., Wiley, New York, 1980, Trescott, P. C., G. F. Pinder, and S. P. Larson: “Finite-difference Model for
Aquifer Simulation in Two-Dimensions with Results of Numerical Experiments,” in U.S. Geological Survey Techniques of Water Resources Investigations, Book 7. Cl. U.S. Geological Survey, Reston. Va., 1976.
van de Heide, P., Y. Bachmat, J. Bredehoeft, B. Andrews, D. Hottz, and S.
Sebastian: Groundwater Management: The Use of Numerical
Models, Water Resources Monograph Series, vol. 5, 2d. ed., American Geophysical Union, Washington. DC., 1985.
Walton, W. C.: Groundwater Resource Evaluation, McGraw-Hill, Inc., New York, 1970,
Wanakule, N., L. W. Mays and L. S. Lasdon: “Optimal Management of Large-scale Aquifers: Methodology and Application,” Water Resources Research, vol. 22, no. 4. 447—465, April 1986.
Wang, H. F., and M. P. Anderson: Introduction to Groundwater Modeling:
Finite Difference and Finite Element Models, W. H. Freeman, San Francisco, 1982.
Willis, R.: “A Unified Approach to Regional Groundwater Management,”
in Groundwater Hydraulics. Water Resour. Monogr. 9, by J. S.
Rosenshein and G. D. Bennett. eds., AGU, Washington. D.C., 1984.
Willis, R., and P. Liu: “Optimization Model for Ground-Water Planning,”
J. Water Resour. Plann. Manage. Div., Am. Soc. Civ. Eng., 110, 333—347, 1984.
Willis, R., and B. A. Newman: “Management Model for Groundwater Development.” J. Water Resour. Plann. Manage. Div., Am., Soc.
Civ. Eng., 13. 159—171, 1977.
Willis, R., and W. W.—G. Yeh: Groundwater Systems Planning and Management, Prentice—Hall. Englewood Cliffs. N.J., 1987.
Young, R. A. and Bredehoeft. J. D.: “Digital Computer Simulation for Solving Management Problems of Conjunctive Groundwater and Surface Water Systems. Wat. Resour. Re., 8(3):533—556, 1972.
bài tập
8.1.1 Sử dụng phân tích bậc nhất cho các yếu tố chưa biết, xác định một biểu thức cho hệ số biến thiên của hạ áp của giếng. Bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Cooper-Jacob cho một dòng chảy hướng tâm không ổn định trong một tầng ngậm nước có áp. Coi T và S là các biến ngẫu nhiên.
8.1.2 Sử dụng biểu thức xây dựng trong bài toán 8.1.1 cho hệ số biến thiên của hạ áp của giếng s, xác định s cho một lưu lượng bơm hút là Q
= 1000 m3/ngày trong khoảng thời gian là 1 ngày kể từ khi bắt đầu bơm.
Thông số Trung bình Hệ số biến thiên
T 1000 m3/ngày 0,05
S 0,0001 0,001
r 200 m 0,0
8.1.3 Một tiến trình bơm kiểm tra là một phương pháp thực địa, thường xuyên được sử dụng để xác định các đặc điểm tầng ngậm nước. Nó
được thực hiện bằng cách bơm từ một giếng nước với một tốc độ bơm cố định và quan sát hạ áp của mặt áp lực hoặc của đường mặt nước trong một giếng quan trắc cách một khoảng so với giếng bơm. Sau đó một phương pháp giải tích thích hợp cho dòng chảy nước ngầm được sử dụng để xác định tốc độ lưu thông và hệ số sức chứa. Do đó, các
đặc tính của tầng ngậm nước đã được xác định sẽ hợp lệ ở vùng lân cận của giếng bơm khi mà dòng chảy thỏa mãn các điều kiện đã sử dụng trong quá trình thực hiện phương pháp giải tích. Sử dụng phương trình Cooper-Jacob để xác định tốc độ lưu thông tối ưu (T) và hệ số sức chứa (S) phù hợp với tổng sai số bình phương nhỏ nhất giữa các giá trị hạ áp đã quan trắc và các giá trị hạ áp đã tính toán tại hai giếng quan trắc theo thời gian.
Hạ áp (m) Các giếng quan trắc Thêi gian
(ngày) Số 1 (r = 100 m) Số 2 (r = 200 m)
0,001 0,087 0,015
0,005 0,500 0,100
0,01 0,252 0,147
0,05 0,370 0,270
0,1 0,435 0,320
0,5 0,555 0,450
1 0,610 0,500
5 0,745 0,630
8.1.4 Giải lại bài toán 8.1.3 để cực tiểu hóa tổng sai số tuyệt đối giữa các giá trị hạ áp đã quan trắc và các giá trị hạ áp đã tính toán ở hai giếng quan trắc.
8.3.1 Xây dựng và giải mô hình quy hoạch tuyến tính để xác định công suất bơm tối ưu của tầng ngậm nước có áp một chiều trong hình (8.3.1).
Trong đó ∆x = 80 m, T = 1000 m2/ngày, Wmin = 500 m/ngày, h0 = 40 m và h5 = 35 m. Giải mô hình này tìm h1,...., h4 và W1,..., W4.
8.3.2 Xây dựng mô hình QHTT để xác định công suất bơm tối ưu cho tầng ngậm nước có áp một chiều trong hình (8.3.2). Trong đó ∆x = 10 ft, T
= 10,000 ft2/ngày, h0 = 100 ft, h4 = 110 ft và Wmin = 100 ft/ngày.
8.3.3 Giải mô hình QHTT đã xây dựng trong bài toán 8.3.2.
8.3.4 Xây dựng và giải mô hình QHTT để xác định công suất bơm tối ưu cho tầng ngậm nước không áp một chiều trong hình 8.3.2. Trong đó
∆x = 80 m, K = 150 m/ngày, Wmin = 500 m/ngày, h0 = 40 m và h5 = 35 m.
8.3.5 Xây dựng mô hình QHTT hoàn chỉnh cho tầng ngậm nước có áp hai chiÒu trong vÝ dô 8.3.3.
8.3.6 Xây dựng và giải mô hình QHTT cho tầng ngậm nước có áp hai chiều
như trong hình 8.3.3 để xác định công suất bơm tối ưu từ các ô (2,2), (3,2) và (3,3); ∆x = 100 ft, T = 10,000 ft2/ngày, Wmin = 2 ft/ngày. Điều kiện biên là chiều cao cột nước là hằng số bằng 20 ft.
8.3.7 Xây dựng một mô hình QHTT hoàn chỉnh cho tầng ngậm nước có áp, một chiều, không ổn định đã được mô tả trong ví dụ 8.3.4.
8.3.8 Giải mô hình của tầng ngậm nước có áp, một chiều, không ổn định đã
được xây dựng trong bài toán 8.3.7 với ∆x = 100 ft, ∆t = 1 ngày, T = 10,000 ft2/ngày, S = 0,001, h0 = 120 ft, h5 = 105 ft và Wmin = 200 ft/ngày. Tại thời điểm t = 0, h1 = 118.5 ft, h2 = 116 ft, h3 = 113 ft. h4 = 103.5 ft, và W1,0 = W2,0 = W3,0 = W4,0 = 0,
8.4.1 Xây dựng một mô hình phân phối nước ngầm cho một khu tưới. Xác
định kiểu gieo tối ưu và phân phối nước ngầm sao cho cực đại hóa sản phẩm nông nghiệp thu được. Khu tưới phải có trách nhiệm xác định kiểu gieo trồng tối ưu (diện tích trồng cho mỗi loại cây trồng) theo nhà chức trách của vùng. Nước được bơm từ một hệ thống tầng ngậm nước có áp lớn, một mô hình ổn định hai chiều được sử dụng để nghiên cứu hệ thống tầng ngậm nước này. Lợi nhuận thu được từ mỗi mẫu Anh (acre) của một cây trồng bằng: (lợi nhuận đơn vị của một cây trồng nhân với sản lượng trên một mẫu Anh) — (giá thành đơn vị của nước ngầm nhân với lượng nước sử dụng trên mỗi mẫu Anh). Sản lượng được giả định là một hàm phi tuyến xác định bởi một phương trình sản lượng (chương 2). Xác định hàm mục tiêu, các ràng buộc, các thông số, và các biến quyết định. Phương pháp giải bài toán này là g×?
8.4.2 Xây dựng một mô hình quy hoạch liên kết nước ngầm và nước mặt.
Mô hình này có thể phân bố tài nguyên nước tối ưu theo thời gian cho các nhu cầu nước khác nhau. Các quyết định cần được thực hiện là sự phân phối nước mặt và nước ngầm trong từng thời khoảng dự kiến.
Hàm mục tiêu là cực đại hóa sự giảm chi phí thực từ điều tiết hệ thống theo kế hoạch đã lập, bao gồm cả chi phí ban đầu, giá thành để vận hành và bảo trì. Các ràng buộc sẽ bao gồm: (a) các phương trình bảo toàn hoặc cân bằng cho hệ thống nước mặt; (b) các giới hạn sức chứa của hệ thống nước mặt; (c) các phương trình dòng chảy nước ngầm để xác định vận động phản ứng lại của tầng ngậm nước; (d) các ràng buộc biên của mực nước ngầm. Các ràng buộc khác có thể là cần thiết ví dụ như: cho lượng bổ xung nhân tạo, các kế hoạch bơm. Sử dụng lần lượt GWi j,t và SWk jt, để biểu diễn nước phân phối từ nguồn nước ngầm i tới nhu cầu j trong thời khoảng t và phân phối nước mặt từ nguồn k tới nhu cầu j trong thời khoảng t. Xác định hàm mục tiêu, các ràng buộc, các thông số, và các biến quyết định. Phương pháp giải bài toán này là gì?
8.4.3 Trong giai đoạn lập kế hoạch của quản lý nước ngầm, các ứng dụng của giải pháp giải thích của dòng chảy nước ngầm, ví dụ như các phương pháp đã cho trong bảng 8.1.1, có thể được thực hiện. Các phương trình giải tích này có thể được sử dụng để tính ma trận đơn vị tương ứng trong các mô hình quản lý nước ngầm. Xét một tầng ngậm nước có áp, chưa phát triển, đồng nhất (xem hình 8.P.1). Trong đó có ba giếng bơm dự kiến và năm điểm kiểm tra, tại đó quan sát các hạ
áp. Để quản lý ổn định, có thể sử dụng phương trình Thiem
01
ln /
2
kl
kl l
r r
s q
T
trong đó skl là hạ áp tại điểm kiểm tra k là kết quả của công suất bơm ql tại vị trí giếng l; rol là bán kính ảnh hưởng của giếng bơm nước dự kiến; rkl là khoảng cách giữa điểm kiểm tra k và vị trí giếng l; và T là tốc độ lưu thông của tầng ngậm nước. Giả sử bán kính ảnh hưởng của tất cả các giếng bơm nước là 700 feet (213 mét) và tốc độ lưu thông của tầng ngậm nước là 5000 gallon/day/ft (0,0007187 m2/giây). Dựa trên thông tin về hạ áp cực đại cho phép và các khả năng bơm đã cho trong hình 8.P.1, lập một mô hình QHTT để xác định công suất bơm tối ưu cho mỗi giếng.
8.4.4 Tham khảo hệ thống nước ngầm giả định như trong hình 8.P.1. Hãy cho rằng sẽ thiết lập quảnlý cho ba thời khoảng, mỗi thời khoảng dài 50 ngày. Có một bài toán quản lý hệ thống nước ngầm không ổn định.
nó có thể được mô tả gần đúng bằng phương trình Theis hoặc phương trình Cooper-Jacob như đã cho trong bảng 8.1.1.
(a) Sử dụng phương trình Cooper-Jacob xác định hàm đơn vị tương ứng.
(b) Giả sử rằng hệ số sức chứa của tầng ngậm nước là 0,002 và tốc độ lưu thông là 5000 ft2/ngày (465 m2/ngày). Thêm nữa, hạ cực đại cho phép (theo đơn vị ft) tại mỗi điểm kiểm tra được cho như sau
§iÓm kiÓm tra Thời khoảng
1 2 3 4 5
1 5 5 8 5 5
2 8 8 10 8 8
3 10 10 15 10 10
Lập mô hình QHTT và giải nó để tìm tổng công suất bơm lớn nhất trong cả ba thời khoảng 50 ngày.
8.4.5 Giả sử rằng tốc độ thấm của tầng ngậm nước giả định (hình 8.P.1) là một biến ngẫu nhiên có phân phối loga chuẩn với giá trị trung bình bằng 5000 gallon/ngày/ft và hệ số biến thiên là 0,3. Chuyển đổi mô
hình QHTT đã lập được trong bài toán 8.4.3 thành một mô hình ràng buộc ngẫu nhiên, ví dụ như là hạ áp đã cho tại năm điểm kiểm tra sẽ
không thể bị vượt quá với độ tin cậy là 95%. Đồng thời giải mô hình.
Khoảng cách (ft) giữa các giếng bơm dự kiến và các điểm kiểm tra
Các điểm kiểm tra Giếng bơm
1 2 3 4 5
Khả năng bơm (gpd)
1 158 ft 381 158 255 430 200,000
2 515 255 292 474 158 200,000
3 447 447 200 200 200 200,000
Hạ áp cực
đại cho phÐp
7 ft 7 15 7 7