Các mô hình tối ưu cho thiết kế các hệ thống vòng dây

9.6.1. Các bài toán tổng quát

Bài toán tổng quát là xác định chi phí thiết kế tối thiểu gồm cả sơ đồ của một mạng lưới phân phối nước với giả thiết là thỏa mãn các ràng buộc. Vì thế, với một phân phối các nhu cầu cho trước, mô hình cần lựa chọn các thành phần thích hợp cần thiết và xác định các kích thước tối ưu của chúng trong mạng lưới cấp nước cuối cùng. Mục này chỉ xem xét thiết kế và phân tích các hệ thống phân phối nước với giả thiết là các nhu cầu bên ngoài và các áp lực cần thiết là có giới hạn. Nếu một hệ thống cần được thiết kế để xét các nhu cầu ở thời điểm hiện tại và một vài thời điểm trong tương lai thì sự thay đổi trong hiệu suất của hệ thống là do, ví dụ như, sự thay đổi độ nhám của ống, cũng cần được xác định từ bên ngoài.

Để đảm bảo các điều kiện ràng buộc được thỏa mãn, các phương trình xác

định áp suất và các phân phối dòng chảy trong hệ thống cần được thỏa mãn.

Dòng chảy và các phương trình vòng và nút để xác định dòng chảy trong một ống cũng như dòng chảy tương ứng của các máy bơm, các van, các bể chứa, và các thành phần khác của mạng lưới cấp nước là các hàm phi tuyến. Thêm vào đó, các phương trình chi phí của các thành phần khác nhau cũng là các hàm phi tuyến. Mức độ phi tuyến lớn này gây ra những khó khăn rất lớn trong việc xác định một thiết kế tối ưu (chi phí nhỏ nhất) cho một mạng lưới cấp nước. Bài toán còn phức tạp hơn nữa một thực tế là các cách thức hiện tại trong đó phần dư được đưa vào để phân tích các hệ thống với nhiều hơn một tập hợp các nhu cầu (các điều kiện đa tải trọng). Vì thế, thay vì xét một hệ đơn gồm n phương trình phi tuyến, số phương trình sẽ là n lần của số các tải trọng.

Phương pháp xác định các lời giải tối ưu cho các bài toán lập trình toán học

phi tuyến lớn đã có trong thời gian gần đây trong các mô hình như là GRG2, MINOS, và GAMS-MINOS (xem mục 4.9)

Một bài toán tối ưu nói chung cho thiết kế mạng lưới phân phối nước có thể được bắt đầu một cách toán học theo các số hạng các cột nước áp lực tại các nút, H, và các thông số thiết kế khác nhau, D như sau:

Mục tiêu: Cực tiểu hóa chi phí = f(D, H) (9.6.1) với ràng buộc:

a. Bảo toàn dòng chảy và các ràng buộc về năng lượng

G(H, D) = 0 (9.6.2)

b. Các giới hạn về chiều cao cột nước: HHH (9.6.3)

c. Các ràng buộc về thiết kế: uu(D)u (9.6.4) d. Các ràng buộc chung: ww(H, D)w

(9.6.5)

trong đó các biến quyết định D xác định các kích thước cho mỗi thành phần trong hệ thống ví dụ như đường kính của các ống dẫn nước, kích thước bơm, sự bố trí van nước, và thể tích bể chứa hoặc chiều cao so với mặt biển. Hàm mục tiêu có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến để có thể thiết kế được nhiều kiểu khác nhau của các thành phần bằng mô hình. Mỗi thành phần được thiết kế có một số hạng liên quan đến nó trong mục tiêu; vì thế, sự thiết lập các công thức cho phép các thay đổi khác nhau của các phương trình chi phí ứng vớicác chi phí cụ thể tại hiện trường và/hoặc cho giai đoạn xây dựng. Điều này mang lại cho mô hình khả năng thiết kế các phần mở rộng khác nhau của các hệ thống có sẵn hoặc để thiết kế các mạng lưới cấp nước mới.

Các mối quan hệ, G(H, D) = 0, là hệ của các phương trình phi tuyến (9.4.1), (9.4.2), và (9.4.3), các phương trình này xác định áp suất và phân phối dòng chảy trong hệ thống và tạo nên các ràng buộc chính trong bài toán. Các yêu cầu tại các nút là các thông số trong hệ phương trình này, và nếu các đẳng thức được thỏa mãn trong mô hình, thì các yêu cầu của người sử dụng được thỏa mãn. Các phương trình được viết trong một dạng tổng quát, điều này cho phép tất cả các kiểu hệ thống; các ống dẫn nước, phân nhánh hoặc lặp, được phân tích ở tất cả các mức độ phức tạp. Cách thiết lập công thức này không hạn chế số phương trình trong hệ G, vì thế một hoặc nhiều kiểu nhu cầu có thể

được xét bởi mô hình khi thiết kế hệ thống. Vectơ H là chiều cao cột nước áp lực tại các nút cụ thể trong hệ thống có các giới hạn trên và giới hạn dưới là

.

H và H Các ràng buộc trong thiết kế u thường là các giới hạn đơn giản nhưng

được biểu diễn như là các hàm trong quá trình thiết lập công thức nói chung và thường được thiết lập từ các giới hạn vật lý hoặc độ khả dụng của các thành phần. Tập hợp các ràng buộc chung w bao gồm những giới hạn của các số

hạng có cả hai chức năng là các áp suất tại nút và là các biến thiết kế. Giới hạn về vận tốc trong một đường ống là một ví dụ về các ràng buộc như thế.

9.6.2. Mô hình lập trình tuyến tính

Những biến thể khác nhau của các mô hình này đã được phát triển trong các tài liệu, nhằm mục đích tuyến tính hóa mô hình tối ưu biểu diễn bởi các phương trình (9.6.1)-(9.6.5), trong số đó có các mô hình của Alperovits và Shamir (1977), Shamir (1979), Quindry và những người khác (1981), và Morgan và Goulter (1985).

Morgan và Goulter (1985) đưa ra một mô hình kinh nghiệm dựa trên phương pháp quy hoạch tuyến tính cho các cấu trúc và thiết kế về các hệ thống phân phối nước có chi phí thấp nhất. Mô hình này kết hợp một phương pháp quy hoạch tuyến tính với một cách giải mạng lưới cấp nước của Hardy-Cross.

Cách giải của Hardy-Cross xác định các phân phối dòng chảy và cột nước áp lực cho các thiết kế được xác định bằng mô hình QHTT. Phương pháp này là phương pháp lặp, trong đó các lời giải lặp đi lặp lại của QHTT và Hardy-Cross

được sử dụng. Mô hình QHTT xét các biến quyết định như là các các kích thước thay thế của các đường ống được xác định trong lời giải QHTT trước đó.

Biểu thức của mô hình toán học là

Cùc tiÓu hãa , , 1 , , , , 1 , , 1 , , , , 1 ,

[( i j m i j m) i j m ( i j m i j m) i j m ]

i j

Z  c  c X   c  c X  (9.6.6) với ràng buộc

a. Các ràng buộc về áp suất cột nước để đảm bảo các áp suất cột nước tối thiểu tại điểm yêu cầu n

, , , ,

, , 1 , , 1 , , 1 , , 1

,

[( ) ( ) ]

n

i j m i j m n n

i j m i j m i j m i j m

i j I

J  J X  J  J X  H H



    

 (9.6.7)

Xi,j,m+1 và Xi,j,m-1 lần lượt là chiều dài của ống nước có đường kính thứ m trong kết nối i, j được thay thế bởi ống nước có đường kính thứ m + 1 hoặc m - 1; In là tập hợp của các ống dẫn nối tới nút n.

b. Các ràng buộc về độ dài để đảm bảo rằng độ dài của ống nối giữa (i,j) không bị thay thế thừa

Xi,j,m+1 ≤ Li,j (9.6.8)

Xi,j,m-1 ≤ Li,j (9.6.9)

c. Các ràng buộc không âm

Xi,j,m+1 ≥ 0 (9.6.10)

Xi,j,m-1 ≥ 0 (9.6.11)

trong đó ci,j,m-1, ci,j,m, ci,j,m+1 là chi phí đơn vị của đường ống có bán kính thứ (m - 1), m, (m + 1) trong kết nối (i, j).

Phương pháp giải bắt đầu với một kiểu dòng chảy ban đầu và thiết kế mạng lưới ống dẫn. Mô hình QHTT sau đó được giải để tìm các biến quyết

định Xi,j,m+1 và Xi,j,m-1 là các giá trị dùng để xác định lại kích thước ống dẫn trong mỗi kết nối với phân phối dòng chảy và phân phối cột nước áp lực cho trước. Khi mô hình QHTT đã được giải thì cách giải mạng lưới cấp nước của Hardy-Cross được sử dụng để xác định lại phân phối dòng chảy và phân phối cột nước áp lực trong thiết kế mạng lưới cấp nước mới. Tiến trình này được lặp

đi lặp lại cho tới khi tìm được lời giải tốt nhất.