Các thuật toán mô phỏng mạng lưới cấp nước

9.4. Mô phỏng mạng lưới cấp nước

9.4.3. Các thuật toán mô phỏng mạng lưới cấp nước

Một số phương pháp giải lặp đã được áp dụng để giải các hệ phương trình

được mô tả ở mục trước; trong đó bao gồm phương pháp tuyến tính lý thuyết, phương pháp Newton-Raphson, và kỹ thuật Hardy-Cross. Do đặc tính của các phương trình, dùng phương pháp tuyến tính lý thuyết để giải các phương trình dòng chảy và phương pháp Newton-Raphson (xem chương 4) để giải các phương trình nút là hiệu quả nhất. Mục này trình bày tóm tắt phương pháp tuyÕn tÝnh lý thuyÕt.

Phương pháp tuyến tính lý thuyết được giới thiệu bởi Wood và Charles (1972) cho các mạng lưới cấp nước đơn giản và sau đó được mở rộng để bao gồm các máy bơm và các linh kiện khác (Wood, 1980). Martin và Peters (1963) đã công bố một thuật toán sử dụng phương pháp Newton-Raphson cho một hệ thống ống dẫn nước. Shamir và Howard (1968) cho thấy các máy bơm và các van nước có thể được kết hợp cũng như có khả năng tìm lời giải cho các ẩn số chưa biết bên cạnh các chiều cao cột nước của các nút. Các nghiên cứu khác sử dụng phương pháp Newton-Raphson đã được giới thiệu là dựa trên việc khai thác cấu trúc ma trận (Epp và Fowler, 1970; Lemieux, 1972; và Gessler và Walski, 1985) hoặc sử dụng các phép hoán vị của phương pháp nghiệm hỗn hợp (Liu, 1969). Thuật toán thứ ba, phương pháp Hardy-Cross (Linsley và Franzini, 1979), được kết hợp với các phương trình Q. Phương pháp được phát triển vào năm 1936 (bởi Hardy-Cross) rất hấp dẫn với các tính toán bằng tay và dễ dàng lập trình tuy nhiên, về cơ bản nó là phương pháp Newton-Raphson áp dụng cho một vòng lặp tại một thời điểm. Nó yêu cầu nhiều thời gian tính toán hơn so với hai phương pháp kia và với các mạng lưới cấp nước lớn, phức tạp thì nó hội tụ chậm.

So sánh với các phương pháp khác, phương pháp Newton-Raphson có thể hội tụ nhanh hơn phương pháp tuyến tính đối với các hệ thống nhỏ nhưng ngược lại nó có thể hội tụ rất chậm đối với các mạng lưới cấp nước lớn khi so sánh với phương pháp tuyến tính lý thuyết (Wood và Charles, 1972). Tuy nhiên, phương pháp lý thuyết tuyến tính có khả năng phân tích tất cả các thành phần, với tính mềm dẻo hơn trong sự biểu diễn các máy bơm và các thuộc tính hội tụ tốt hơn. Mô hình của đại học Kentucky (The University of Kentucky model), KYPIPE, của Wood (1980) là một chương trình dựa trên phương pháp tuyến tính lý thuyết được chấp nhận và sử dụng rộng rãi.

Phương pháp gradient tuyến tính sử dụng các phương trình đường dẫn (năng lượng) giải cho lượng xả Q,

 E hLhLM Hmỏy bơm (9.4.13) và sử dụng các phương trình (9.4.4) hoặc (9.4.5), (9.4.6) và (9.4.7)

 p n m 2  2 c

E K Q K Q AQ BQ H

      (9.4.14)

trong đó n = 1.852 với phương trình Hazen-Williams và n = 2 với phương trình Darcy-Weisbach cho dòng chảy rối hoàn toàn.

Hiệu cột nước áp lực (grade) trong một đoạn ống nước với một bơm có Q

= Qr, cã thÓ biÓu diÔn nh­ sau

H×nh 9.4.2 Nút với ba liên kết.

 r p rn m r2  r2 r c

f Q K Q K Q  AQ BQ H (9.4.15) trong đó r tương ứng với lần lặp thứ r. Gradient, f /Q tính được với Qr, là

 

1 2 2

r

n

r p r m r r

Q

G f nK Q K Q AQ B

Q

  

 

 

     

 (9.4.16)

Các phương trình năng lượng phi tuyến được tuyến tính hóa về mặt tốc độ dòng chảy chưa biết Qr+1 trong mỗi đường ống bằng phương trình:

 1    1 

r

r r

r r

Q

f Q f Q f Q Q

 Q 

 

 

 

   



 r r r 1 r

f Q G Q Q

   (9.4.17)

Các phương trình đường dẫn (hoặc là từ một nút ấn định tới một nút ấn

định khác hoặc là xung quanh một vòng lặp) có thể được viết như sau

 r 1  r r r 1 r

E f Q f Q G Q Q

     (9.4.18)

trong đó  tượng trưng cho tổng trên mỗi ống và ∆E là hiệu chiều cao cột nước đã biết. Đối với một vòng lặp E =0, vì thế

   

r r 1 r r r

G Q  G Q  f Q

  (9.4.19)

Với một đường dẫn giữa hai nút ấn định, ∆E là một hằng số, vì thế từ phương tr×nh (9.4.18)

   

r r 1 r r r

G Q  G Q  f Q  E

  (9.4.20)

Các phương trình (9.4.19) và/hoặc (9.4.20) được sử dụng để thiết lập NL + (NF - 1) phương trình và được kết hợp với NJ phương trình liên tục (9.4.1) để tạo nên hệ Np = NL + (NF - 1) + NJ phương trình tuyến tính (số ống dẫn) với các ẩn số là lưu lượng dòng chảy chưa biết Qr+1 trong mỗi ống.

Sử dụng các giá trị lưu lượng dòng chảy ban đầu Qr trong mỗi ống, hệ các phương trình tuyến tính được giải cho các giá trị Qr+1 bằng cách sử dụng một phương pháp ma trận. Các giá trị lưu lượng dòng chảy mới này được sử dụng như các giá trị đã biết từ đó tìm được lời giải thứ hai của các phương trình tuyến tính. Phương pháp ma trận này được tiếp tục cho tới khi sự thay đổi của tốc độ dòng chảy |Qr+1 - Qr| là không đáng kể và đạt được một vài tiêu chuẩn héi tô.

Ví dụ 9.4.1. Phát triển một hệ phương trình để giải cho các dòng chảy trong ống của hệ thống phân phối nước gồm 19 ống như trong hình 9.4.1. Các phương trình được dựa trên phương pháp lý thuyết tuyến tính sử dụng các phương trình lặp.

Lời giải. Đặt Q1, Q2,... tương đương với dòng chảy trong ống 1, ống 2,...

bảo toàn dòng chảy tại mỗi nút là:

Nót 1: Q1 + Q9 = 1.650 Nót 7: Q7 + Q16 - Q6 = 0 Nót 2: Q1 - Q2 - Q15 = 0 Nót 8: Q8 + Q14 - Q7 = 0 Nót 3: Q2 - Q3 - Q17 = 0 Nót 9: Q9 + Q10 - Q8 = 600 Nót 4: Q3 - Q4 - Q19 = 500 Nót 10: Q10 + Q15 - Q11 - Q14 = 0 Nót 5: Q4 + Q5 + Q13 = –550 Nót 11: Q11 + Q17 - Q12 - Q16 = 700 Nót 6: Q18 + Q6 - Q5 = 400 Nót 12: Q12 + Q19 - Q13 - Q18 = 0

Nếu bao gồm cả 12 ràng buộc bảo toàn dòng chảy sẽ dẫn đến là có một phương trình thừa, vì thế chỉ có 11 trong số các ràng buộc ở trên là cần thiết.

bảo toàn năng lượng (các phương trình lặp):

Vòng lặp 1: K Qp,1 1nKp,15Q15n Kp,10Q10n K Qp,9 9n 0 Vòng lặp 2: Kp,2Q2nKp,17Q17n Kp,11Q11n Kp,15Q15n 0 Vòng lặp 3: K Qp,3 3nKp,19Q19n Kp,12Q12n Kp,17Q17n 0 Vòng lặp 4: Kp,4Q4nKp,13Q13n Kp,19Q19n 0

Vòng lặp 5: Kp,10Q10n Kp,14Q14n K Qp,8 8n 0

Vòng lặp 6: Kp,11Q11n Kp,16Q16n K Qp,7 7nKp,14Q14n 0 Vòng lặp 7: Kp,12Q12n Kp,18Q18n K Qp,6 6nKp,16Q16n 0 Vòng lặp 8: Kp,13Q13n K Qp,5 5nKp,18Q18n 0

phương trình bảo toàn năng lượng ở trên được tuyến tính hóa bằng cách sử dụng

1 n

kK Qp 

Vòng lặp 1: k Q1 1k Q15 15k Q10 10k Q9 9 0 Vòng lặp 2: k Q2 2k Q17 17k Q11 11k Q15 15 0 Vòng lặp 3: k Q3 3k Q19 19k Q12 12k Q17 170 Vòng lặp 4: k Q4 4k Q13 13k Q19 19 0 Vòng lặp 5: k Q10 10k Q14 14k Q8 8 0 Vòng lặp 6: k Q11 11k Q16 16k Q7 7k Q14 14 0 Vòng lặp 7: k Q12 12k Q18 18k Q6 6k Q16 16 0 Vòng lặp 8: k Q13 13k Q5 5k Q18 18 0

Hệ 19 phương trình (11 phương trình bảo toàn dòng chảy và 8 phương trình năng lượng) có thể được giải cho 19 lượng xả chưa biết.