Gọi ABC là tam giác cân ở A, các đƣờng phân

II – TÍNH CHẤT ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG Định lí bổ sung 3.

172. Gọi ABC là tam giác cân ở A, các đƣờng phân

giác AD BE, thỏa mãn

2

BE

AD (h.158) Gọi F là trung điểm của EC thìDF BE// ,

2

BE

DF nên DF AD.

Đặt C2DAC90 2 (1)

EBC;AEB2  3AFD3 . Hình 158 Ta có ADF cân nên DACAFD3 . (2)

Từ (1) và (2) suy ra 390 2  18 . VậyC B 36 ;A108 .

173. (h.159)

Đo các góc của BDE để dự đoán kết quả, ta đƣợc 90°, 45°, 45°. Nhƣ vậy ta cần phải chứng minh ADE vuông cân. Để chứng tỏ DBDE ta xét chúng là cặp cạnh tƣơng ứng của hai tam giác bằng nhau. DB là cạnh huyền của BMD

vuông. Do đó ta vẽ EHAD rồi chứng minh

rằng BMD DHE c g c . . . Hình 159 B D C M H M H A E C D B B D C F E A

các đƣờng trung trực OM ON; của BC AC; cắt nhau ở O. Ta sẽ chứng minh

1 . 2

OM  AH

Gọi R là trung điểm củaCH . Ta có NR là

đƣờng trung bình của AHC nênNR AH// , 1

. 2

NR AH Cần chứng minh OMNR. Hình 160 Ta có OM NR// (cùng song song với AD), ON MR// (cùng song song với BE) nên dễ dàng chứng

minh đƣợc OM NR. Do đó 1 .

2

OM  AH

175. (h.161) Cho ABC, đƣờng trung tuyến AM. Gọi H là trực tâm,

O là giao điểm các đƣờng trung trực, G là giao điểm của AM HO; . Ta sẽ chứng minh rằng G là trọng tâm của ABC.

Ta dễ dàng chứng minh đƣợc OM AH// , 1

2

OM  AH (xem bài 174).

Gọi X và Y là trung điểm của GA GH, thì

XY là đƣờng trung bình của GAH nên Hình 161

// , . 2

AH

XY AH XY  Do đó OM XY OM// ;  XY Từ đó GMO GXY g c g. . GM GX. Điểm G thuộc đƣờng trung tuyến AM và 2

3

GA AM nên G là trọng tâm của ABC.

176. (h.162) Chứng minh rằng HDAD HE,  AE,DHE DAE . . c c cDHEDAE90 .

RO O H B D M C N E A X O G Y H B M C N A

Hình 162 Hình 163

177. (h.163) AM là đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền của ABC vuông  MAMBMC.

MAB

 cân tại M B MAB (1) Ta lại có C A1 (cùng phụ với HAC (2) Từ (1) và (2) suy ra : B C MABA1 A2.

Vậy MAH  B C.