(h.63) Gọi ABC là tam giác cân có ,

II – TÍNH CHẤT ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG Định lí bổ sung 3.

81. (h.63) Gọi ABC là tam giác cân có ,

A

BAM > ( xem ví dụ 16). Do BAH < BAD < BAM nên ADnằm giữa hai tia AH AM, .

Chú ý rằng cách giải trên không đúng trong trƣờng hợp B900, vì khi đó không xảy ra đẳng thức

HAC + HAB = BAC. Đẳng thức này chỉ xảy ra khi tia AH nằm giữa hai tia AB và AC. Khi B900thì không có đẳng thức này (xem h.61b).

80. (h.62)

Ta “chuyển” góc AMB đến một vị trí thuận lợi : kẻ tia Ax ở ngoài ΔABCsao cho CAx = BAM .

Trên tia Ax lấy AK  AM.

ΔKAC = ΔMAB(c.g.c)KC = MB. Do MB < MCnên KC < MC. CKM  có KC < MCnên M < K1 1 (1) AMK  cân nên M2 K2 (2) Từ (1) và (2) suy ra AMC < AKC.

Hình 62

ΔKAC = ΔMAB(chứng minh trên) còn suy ra AKC = AMB. Do đó AMC < AMB.

81. (h.63) Gọi ABC là tam giác cân có A, 2 2

S

AB = AC = . Lấy D bất kì trên BA, lấy E trên tia đối của tia CAsao cho CE  BD. ΔADEcũng có

A, AD+ AES. Ta sẽ chứng minh rằng chu vi

ΔABCnhỏ hơn chu vi ΔADEbằng cách chứng minh rằng BC  DE. Hình 63 Vẽ DH EK, BC. 2 1 X 2 1 2 1 K M C B A K H E D C B A

DoABC ACB 90 nên Hnằm giữa Bvà C C, nằm giữa HvàK.Ta có BHD CKE(cạnh huyền- góc nhọn) nên BHCK,do đó BCHK.Ta lại có HKDE,do đó BCDE.Vậy trong các ABCcó

, AB ,

K ACs tam giác cân đáy BCcó chu vi nhỏ nhất.

82. (h.64) Cách 1.DCE có C 60 ,CD CE AB không đổi nên DE nhỏ nhất khi CDCE(bài 81). Khi đó C phải là trung điểm của AB. Khi đó C phải là trung điểm của AB.

Cách 2. Kẻ DIvà EKvuông góc với AB, kẻ EHvuông góc vớiDI. Ta có . 2 AB DEHEIK  Do đó DE nhỏ nhất bằng 2 AB DI EK C

   là trung điểm của AB.

§13. Quan hệ giữa đƣờng vuông góc và đƣờng xiên, đƣờng xiên và hình chiếu.

83. (h.65) ABC có góc BC nên AC AB. ACABHCHBMCMB(quan hệ giữa đƣờng xiên và hình chiếu). đƣờng xiên và hình chiếu).

84. (h.66) Vẽ A E' //AB C F, ' //DC. Ta có A E' C'F, A'E//C F.' Do đó A EB' ' C FD' '(cạnh huyền-góc nhọn) suy ra A B' 'C D' '. huyền-góc nhọn) suy ra A B' 'C D' '.

85.(h.67) Ta có nhận xét

.

BCAHABACBCABACAH

Trên BC lấy điểm E sao cho BEAB thì .

CEBCBEBCAB

Trên AC lấy điểm K sao cho AKAH thì .

CKCAAKACAH

Để giải thích bài toán, cần chứng minh CECK.Ta có

1 90 , 1 2 90

BAEA  E A  mà BAEE1(vì ABEcân tại )B

nên A1 A2 suy ra KAC HAE(c.g.c) K H90 .

EKC

 vuông tạiKnên CECK.Từ đó giải đƣợc bài toán.

§14. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác.

86. (h.68)Trên tia đối của tia MA lấyK sao cho . . MKMA Xét AKCcó AKKCAC. (1) Do AK2AMvà KC AB nên từ (1) suy ra 2AM ABAC,do đó . 2 AB AC AM  

87. a) Nếu ABlà cạnh bên chu vi tam giác cân bằng 8 8 5 21(   cm). bằng 8 8 5 21(   cm).

NếuABlà cạnh đáy thì chu vi tam giác cân bằng 8 5 5 18(   cm).

b)ABchỉ có thể là cạnh bên, chu vi tam giác bằng 25 25 12  62(cm).