CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT DÒNG XE, NĂNG LỰC THÔNG HÀNH VÀ MÔ PHỎNG GIAO THÔNG
2. THAM BIẾN VĨ MÔ
Ở tầm vĩ mô, các xe không xét riêng rẽ. Các mô hình truyền thống ở phần này đều là các mô hình vĩ mô. Mục này định nghĩa các tham biến vĩ mô dùng giải thích bản chất riêng của giao thông thông qua các biến liên tục.
2.1 KHOẢNG QUAN TRẮC
Khoảng quan trắc S được định nghĩa là một vùng trong mặt phẳng quãng đường – thời gian t-x. Khi định nghĩa các tham biến vĩ mô sau này luôn đƣợc thực hiện cho một khoảng quan trắc nào đó.
Hình 1.2 và Hình 1.3 dưới đây biểu diễn các khoảng quan trắc.
S1: Khoảng quan trắc hình chữ nhật bao quanh một đoạn đường có chiều dài X trong một khoảng thời gian vô cùng nhỏ dt. Khoảng này gần nhƣ trùng với khoảng vị trí X tại thời điểm t1. Giả thiết rằng có n xe đi qua khoảng này và đƣợc biểu thị bằng chỉ số i. Mỗi
S2: Khoảng quan trắc chữ nhật miêu tả một đoạn đường vô cùng nhỏ dx trong khoảng thời gian T. Khoảng này gần nhƣ trùng với khoảng thời gian T tại vị trí x2. Trong các phép đạo hàm sau này giả thiết rằng có m quỹ đạo xe cắt qua khoảng quan trắc và sử dụng chỉ số j cho m xe này. Vòng cảm biến và camera cảm biến đƣợc đặt ở nhiều vị trí của mạng đường và chúng sẽ đo được giao thông theo các bước thời gian.
Hình 1.2 Các quỹ đạo xe và khoảng quan trắc S1 và S2
S3 là một khoảng quan trắc bất kì trong thời gian và không gian. Khoảng quan trắc này có một vùng Opp(S3) với kích thước là (thời gian * không gian). Có rất nhiều đường xe chạy đi qua khoảng quan trắc này. Khoảng cách đi đƣợc của một xe trong khoảng quan trắc là hình chiếu của đường chạy xe lên trục quãng đường x và thời gian chi phí bởi xe này trong khoảng quan trắc là hình chiếu của đường xe chạy lên trục thời gian t.
Hình 1.3 Khoảng quan trắc S3
Đường xe chạy của xe a Chi phí thời gian của xe a trong khoảng S3
Chiều dài đi đƣợc của xe a trong khoảng S3
2.2 MẬT ĐỘ
Mật độ là một tham biến đặc thù từ lĩnh vực vật lý đƣợc sử dụng trong khoa học giao thông. Mật độ k là số xe trên một ki lô mét chiều dài đường. Đối với một khoảng quan trắc tại một vài thời điểm, như S1, k có thể tính được trên một đoạn đường có chiều dài X như sau:
k n
X
(2.1)
Chỉ số n chỉ ra số xe tại thời điểm t1 trên một khoảng vị trí X. Tổng khoảng trống của n xe bằng
X, vì vậy:
1
i n
k n
s s
(2.2)
Với khoảng trống trung bình trong khoảng S1 đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
1
i n
s s
n (2.3)
Mật độ k phụ thuộc vào vị trí, thời gian và khoảng quan trắc. Vì vậy biểu thức (2.1) có thể đƣợc viết lại nhằm đƣa các thừa số phụ thuộc theo các kí hiệu trên. Đối với một vị trí x1, lấy điểm giữa của khoảng vị trí X.
1 1 1
( , , ) n
k x t S
X
(2.4)
Mật độ chỉ ra số xe trên một ki lô mét. Mật độ tối đa trên đường giới hạn khoảng 100 xe trên một ki lô mét trên một làn xe.
Định nghĩa mật độ (2.4) hạn chế ở một thời điểm nào đó. Tổng quát hóa định nghĩa này bằng cách nhân cả tử và mẫu số của (2.4) với một khoảng thời gian vô cùng nhỏ dt tại t1, mật độ trở thành:
1 1 1
( , , ) . . k x t S n dt
X dt
(2.5)
Mẫu số của (2.5) bây giờ trở thành diện tích của khoảng quan trắc S1. Tử số biểu thị tổng thời gian chi phí của tất cả các xe trong khoảng quan trắc S1
1
1 1 1
1
( , , )
( )
tong thoi gian chi phi trong S k x t S
Dien tich S
(2.6)
Bằng cách tương tự, ta định nghĩa được mật độ tại vị trí x, tại thời điểm t và cho khoảng quan trắc S ( , , )
( )
tong thoi gian chi phi cua tat ca cac xe trong S k x t S
Dien tich S
(2.7)
Mật độ theo định nghĩa (2.7) đối với x2,t2 trong khoảng quan trắc S2 nhƣ sau:
2 2 2
1 ( , , )
.
m j m j
dx
v v
k x t S
T dx T
(2.8)
2.3 LƯU LƯỢNG
Lưu lượng q có thể được so sánh với dòng chảy của chất lỏng. Lưu lượng biểu đạt số xe đi qua một mặt cắt ngang trong một đơn vị thời gian. Đối với khoảng thời gian T và bất cứ vị trí x2 nào, nhƣ khoảng quan trắc S2 trong hình 1.2, lưu lượng được tính toán như sau:
2 2 2
( , , ) m
q x t S
T
(2.9)
Chỉ số m biểu đạt số xe đi qua vị trí x2 trong khoảng T. Khoảng thời gian này là tông của m khoảng cách thời gian. Thông qua khoảng cách thời gian trung bình hta có thể tìm đƣợc cách biểu đạt cho lưu lượng giao thông như sau:
1
j m
q m
h h
(2.10)
Lưu lượng có đơn vị tính là xe trên giờ. Chúng ta gọi lưu lượng xe lớn nhất có thể thông qua một con đường là năng lực thông hành. Tùy thuộc vào thành phần xe, năng lực thông hành của đường ôtô có thể từ 1800 đến 2400 xe trên giờ trên một làn xe.
Định nghĩa lưu lượng xe (2.9) bị giới hạn với một khoảng thời gian. Một cách định nghĩa tổng quát hơn với lưu lượng xe bằng cách nhân tử số và mẫu số của (2.9) với một khoảng vô cùng nhỏ dx quanh x2. Mẫu số trở thành diện tích của khoảng quan trắc và tử số trở thành tổng khoảng cách đi đƣợc của tất cả các xe trong khoảng quan trắc.
2
2 2 2
2
( , , ) .
. ( )
Tong khoang chiem dung boi cac xe trong S q x t S m dx
T dx Dien tich S
(2.11)
Định nghĩa tổng quát của lưu lượng như sau:
( , , )
( )
Tong khoang chiem dung boi cac xe trong S q x t S
Dien tich S
(2.12)
Áp dụng (2.12) với khoảng quan trắc S1, tại vị trí x1 và thời gian t1, ta có:
1 1 1
. ( , , )
.
i i
n n
v dt v
q x t S
dt X X
(2.13)
2.4 TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH
Tốc độ trung bình được định nghĩa là thương số của lưu lượng và mật độ. Tốc độ trung bình đồng thời là một hàm số của vị trí, thời gian và khoảng quan trắc:
( , , ) ( , , )
( , , )
q x t S Tong khoang chiem dung boi cac xe trong S u x t S
k x t S Tong chi phi thoi gian cua cac xe trong S
(2.14)
Ở một dạng khác, định nghĩa của vận tốc trung bình đồng thời cũng đƣợc gọi là quan hệ cơ bản của lý thuyết dòng xe:
.
qk u (2.15)
Mối quan hệ trên liên kết chặt chẽ giữa lưu lượng, mật độ và tốc độ trung bình. Biết trước hai biến số là lập tức xác định đƣợc biến số thứ 3.
Tốc độ trung bình đƣợc xác định đối với khoảng quan trắc S1 và S2 nhƣ sau:
Đối với khoảng quan trắc S1, mật độ được xác định bởi (2.5) và lưu lượng được xác định bởi (2.13).
Tốc độ trung bình cho n xe trong khoảng quan trắc S1 tại vị trí x1 và thời điểm t1 trở thành:
1 1 1
( , , ) 1 i
n
u x t S v
n (2.16)
Tốc độ trung bình cho một khoảng vị trí đƣợc xác định bằng giá trị trung bình của vận tốc tất cả các xe trong khoảng đó.
Đối với khoảng quan trắc S2, mật độ được xác định theo (2.8) và lưu lượng được xác định theo (2.9). Tốc độ trung bình cho m xe trở thành:
2 2 2
( , , ) 1
1 1
m j
u x t S
m v
(2.17)
Biểu thức trên chỉ ra rằng tốc độ trung bình theo khoảng thời gian là trung bình điều hòa (harmonic mean) của tốc độ cá thể từng xe.
Nếu lấy trung bình số học thông thường của tốc độ trung bình của mỗi cá thể từng xe theo khoảng thời gian, ta có tốc độ trung bình thời điểm (time-mean speed) ut xác định theo (2.18):
2 2 2
1 1
( , , )
t
m j
u x t S
m v
(2.18)
Tốc độ trung bình thời điểm ut khác với tốc độ trung bình u và vì thế không tương thích với quan hệ cơ bản (2.15).
Sự khác biệt giữa vận tốc trung bình thời gian và vận tốc trung bình đƣợc mô tả qua ví dụ sau đây:
Hình 1.4 ví dụ đường 2 làn xe chạy với vận tốc khác nhau
Xét một đoạn đường dài có hai làn xe, trong đó tất cả các xe chạy ở làn bên phải với tốc độ 60 km/h và ở làn bên trái là 120km/h. Tất các các xe ở làn bên phải đi qua một cảm biến trong thời gian một phút có thế tìm thấy trên một đoạn đường dài 1 ki lô mét. Đối với làn bên trái, chiều dài của đoạn đường này là 2 ki lô mét. Vì thế, khi đánh giá vận tốc thời điểm, những chiếc xe chạy nhanh hơn sẽ được tính đến trên một đoạn đường dài hơn những xe chạy chậm hơn. Nhưng khi tính vận tốc trung bình cũng như tính mật độ xe, chiều dài đoạn đường là giống nhau cho cả xe nhanh và chậm. Vì thế, tỷ lệ xe chạy nhanh sẽ đƣợc đánh giá cao hơn khi tính toán và nhƣ vậy tốc độ trung bình thời điểm luôn luôn lớn hơn hoặc bằng tốc độ trung bình.
Ví dụ tính toán:
Giả thiết rằng có 1200 xe/h đi qua mỗi làn xe trong ví dụ nói trên, hãy xác định lưu lượng, mật độ, tốc độ trung bình và tốc độ trung bình thời điểm trên đường ?
Kết quả:
- Lưu lượng xe q = 2400 xe/h - Mật độ xe k = 30 xe/km - Tốc độ trung bình u = 80 km/h
- Tốc độ trung bình thời gian ut = 90km/h
Tương tự, ta có thể đồng thời định nghĩa vận tốc trung bình vị trí ux cho một khoảng vị trí là vận tốc trung bình của tất cả các xe nằm trong khoảng vị trí này, hoặc:
1 1 1
( , , ) 1
x i
n
u x t S v
n (2.19)
Biểu thức (2.16) cho thấy rằng vận tốc trung bình vị trí bằng vận tốc trung bình nhƣ định nghĩa ở biểu thức (2.14)
Vì vậy, ta cần phân biện 3 định nghĩa : vận tốc trung bình u, vận tốc trung bình thời điểm ut và vận tốc trung bình vị trí ux. Ở đây, u luôn luôn bằng ux và quan hệ cơ bản áp dụng đƣợc cho những định nghĩa này. Vận tốc trung bình thời điểm là khác biệt và không áp dụng đƣợc với quan hệ cơ bản.
khoảng chiếm dụng tại 120km/h trong một khoảng thời gian
khoảng chiếm dụng tại 60km/h trong cùng một khoảng thời gian
2.5 ĐỘ CHIẾM DỤNG TƯƠNG ĐỐI
Hầu hết việc đo lường giao thông được thực hiện tại một vị trí xác định x2. Độ chiếm dụng o của một xe có thể dễ dàng đo được trong những trường hợp này. Độ chiếm dụng tương đối b trong khoảng S2 đƣợc xác định bởi:
2 2 2
( , , ) 1 j
m
b x t S o
T
(2.20)
Nếu giả thiết rằng các xe có cùng chiều dài, ta có thể có được quan hệ giữa độ chiếm dụng tương đối b và mật độ k. Thay (1.6), (2.9), (2.17) và (2.15) vào (2.20) ta đƣợc:
1 1 1 1 1 1
( , , ) . ( , , )
b x t S L k x t S (2.21)
Ví dụ:
Xét một dòng giao thông với tốc độ trung bình 60km/h và lưu lượng xe là 1200xe/h. Tất cả các xe có chiều dài 4 mét. Xác định độ chiếm dụng tương đối ?
Giải:
Mật độ xe k=q/u=20 xe/km
Mật độ xe 20xe/km tức là khoảng chiếm dụng là 50 mét một xe. Xe dài 4 mét, hoặc là 8% của khoảng cách. Vậy độ chiếm dụng tương đối = 8%. Tính toán với công thức (2.21) với mật độ và chiều dài xe cũng cho kết quả b=L.k=0,004.20=8%
Công thức này không thể sử dụng trong thực tế vì dòng giao thông không bao giờ đồng nhất. Nếu muốn xác định mật độ bằng các cảm biến đo giao thông, tốt hơn là đo đạc lưu lượng và tốc độ trung bình sử dụng công thức (2.8) và (2.17) rồi tính toán mật độ bằng quan hệ cơ bản (2.15).
2.6 KẾT LUẬN
Các tham biến giao thông vĩ mô có thể tính toán đƣợc cho mọi vị trí, mọi thời điểm và cho mọi khoảng đo lường. Trên thực tế, hầu hết chúng ta sử dụng cảm biến đo giao thông để đo các tham biến vĩ mô u và q qua một khoảng thời gian. Nếu muốn tính toán tốc độ trung bình đối với một khoảng thời gian thì có thế lấy trung bình điều hòa của các vận tốc riêng lẻ. Bản chất rời rạc của giao thụng yờu cần khoảng thời gian ớt nhất là ẵ phỳt nếu ta muốn đạt đƣợc cỏc thụng tin cú ý nghĩa. Khi khoảng thời gian vƣợt qua 5 phút, một vài thuộc tính động sẽ bị mất.