Các tính chất của hàm liên tục

1.2 Các tính chất của hàm liên tục

1.2.1. Tìm tất cả các điểm liên tục của hàm f xác định bởi f(x) = 0 nếu x vô tỷ,

sin|x| nÕu x h÷u tû.

1.2.2. Xác định tập các điểm liên tục của hàm f đ−ợc cho bởi f(x) = x2−1 nếu x vô tỷ,

0 nÕu x h÷u tû.

1.2.3. Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau:

(a) f(x) =







0 nếu x vô tỷ hoặc x= 0, 1/q nếu x=p/q, p∈Z, q∈N, và

p, q nguyên tố cùng nhau, (b) f(x) =







|x| nếux vô tỷ hoặc x= 0, qx/(qx+ 1) nếux=p/q, p∈Z, q ∈N, và

p, q nguyên tố cùng nhau.

(Hàm định nghĩa ở (a) đ−ợc gọi là hàm Riemann.)

1.2.4. Chứng minh rằng nếu f ∈C([a, b]), thì |f|∈C([a, b]). Chỉ ra bằng ví dụ rằng điều ng−ợc lại không đúng.

1.2.5. Xác định tất cả các an và bn sao cho hàm xác định bởi f(x) = an+ sinπx nÕu x∈[2n,2n+ 1], n∈Z,

bn+ cosπx nÕu x∈(2n−1,2n), n∈Z, liên tục trên R.

1.2.6. Cho f(x) = x2 sinπx với x ∈ R. Nghiên cứu tính liên tục của f.

1.2.7. BiÕt

f(x) = [x] + (x−[x])[x] víi x≥ 1 2.

Chứng minh rằng f liên tục và tăng thực sự trên [1,∞).

1.2.8. Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ đồ thị của chúng

f(x) = lim

n→∞

nx−n−x

nx+n−x, x∈R, (a)

f(x) = lim

n→∞

x2enx+x

enx+ 1 , x∈R, (b)

f(x) = lim

n→∞

ln(en+xn)

n , x≥0,

(c)

f(x) = lim

n→∞

n 4n+x2n+ 1

x2n, x= 0, (d)

f(x) = lim

n→∞

2n cos2nx+ sin2nx, x∈R. (e)

1.2.9. Chứng minh rằng nếu f : R→ R liên tục và tuần hoàn thì

nó nhận supremum và infimum.

1.2.10. ChoP(x) =x2n+a2n−1x2n−1+ã ã ã+a1x+a0, chứng minh rằng tồn tại x∗ ∈Rsao cho P(x∗) = inf{P(x) : x∈R}. Chứng minh rằng giá trị tuyệt đối của mọi đa thức P nhận infimum của nó, tức là tồn tại x∗∈R sao cho|P(x∗)|= inf{|P(x)| : x∈R}.

1.2.11.

(a) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0,1] nh−ng không đạt đ−ợc infimum và supremum.

(b) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0,1] nh−ng không đạt đ−ợc infimum của nó trên mọi đoạn [a, b]⊂[0,1], a < b.

1.2.12. Cho f :R→R, x0 ∈R và δ>0, đặt

ωf(x0,δ) = sup{|f(x)−f(x0)| : x∈R,|x−x0|<δ} và ωf(x0) = lim

δ→0+ωf(x0,δ). Chứng minh rằng f liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu ωf(x0) = 0.

1.2.13.

(a) Cho f, g ∈ C([a, b]) và với x ∈ [a, b], đặt h(x) = min{f(x), g(x)} và H(x) = max{f(x), g(x)}. Chứng minh rằngh, H ∈C([a, b]).

1.2. Các tính chất của hàm liên tục 11

(b) Cho f1, f2, f3 ∈C([a, b]) và với x ∈ [a, b], đặt f(x) là một trong ba giá trịf1(x), f2(x)và f3(x) mà nằm giữa hai giá trị còn lại.

Chứng minh rằng f ∈C([a, b]).

1.2.14. Chứng minh rằng nếu f ∈C([a, b]), thì các hàm

m(x) = inf{f(ζ) : ζ ∈[a, x]} và M(x) = sup{f(ζ) : ζ ∈[a, x]} cũng liên tục trên [a, b].

1.2.15. Chof là hàm bị chặn trên[a, b]. Chứng minh rằng các hàm m(x) = inf{f(ζ) : ζ∈[a, x)} và M(x) = sup{f(ζ) : ζ∈[a, x)} liên tục trái trên (a, b).

1.2.16. Với các giả thiết của bài toán tr−ớc, kiểm tra các hàm m∗(x) = inf{f(ζ) : ζ ∈[a, x]} và M∗(x) = sup{f(ζ) : ζ ∈[a, x]} có liên tục trái trên (a, b) hay không?

1.2.17. Giả sử f liên tục trên [a,∞) và lim

x→∞f(x) hữu hạn. Chứng minh rằng f bị chặn trên [a,∞).

1.2.18. Cho f là hàm liên tục trên R và đặt {xn} là d∙y bị chặn.

Các bất đẳng thức sau lim

n→∞

f(xn) =f lim

n→∞

xn và lim

n→∞f(xn) =f lim

n→∞xn

có đúng không?

1.2.19. Cho f :R → R là hàm liên tục, tăng và gọi {xn} là d∙y bị chặn. Chứng minh rằng

lim

n→∞

f(xn) =f lim

n→∞

xn , (a)

nlim→∞f(xn) =f lim

n→∞xn . (b)

1.2.20. Cho f :R→ R là hàm liên tục, giảm và d∙y {xn} bị chặn.

Chứng minh rằng

lim

n→∞

f(xn) =f lim

n→∞xn , (a)

nlim→∞f(xn) =f lim

n→∞

xn . (b)

1.2.21. Giả sử f liên tục trên R, lim

x→−∞f(x) = −∞ và lim

x→∞f(x) = +∞. Định nghĩa g bằng cách đặt

g(x) = sup{t : f(t)< x} víi x∈R. (a) Chứng minh rằng g liên tục trái.

(b) g có liên tục không?

1.2.22. Cho f : R → R là hàm tuần hoàn liên tục với hai chu kỳ T1 và T2 không thông −ớc, tức là TT1

2 vô tỷ. Chứng minh rằng f là hàm hằng. Cho ví dụ hàm tuần hoàn khác hàm hằng có hai chu kỳ không thông −ớc.

1.2.23.

(a) Chứng minh rằng nếuf :R→R là hàm liên tục, tuần hoàn, khác hàm hằng, thì nó có chu kỳ d−ơng nhỏ nhất, gọi là chu kỳ cơ bản.

(b) Cho ví dụ hàm tuần hoàn khác hàm hằng mà không có chu kỳ cơ bản.

1.2.24.

(a) Chứng minh rằng định lí trong mục (a) của bài toán trước vẫn còn đúng khi tính liên tục của f trên R đ−ợc thay bởi tính liên tục tại một điểm.

(b) Chứng minh rằng nếu f :R→Rlà hàm tuần hoàn không có chu kỳ cơ bản và liên tục tại ít nhất một điểm thì nó là hàm hằng.

1.2.25. Chứng minh rằng nếu f, g : R → R là hàm liên tục, tuần hoàn và lim

x→∞(f(x)−g(x)) = 0 th×f =g.

1.2.26. Cho ví dụ hai hàm tuần hoàn f và g sao cho mọi chu kỳ của f không thông−ớc với bất kỳ chu kỳ nào củagvà sao chof+g

1.2. Các tính chất của hàm liên tục 13

(a) không tuần hoàn, (b) tuần hoàn.

1.2.27. Cho f, g:R→ Rlà các hàm liên tục và tuần hoàn lần l−ợt với chu kỳ cơ bản d−ơng T1 và T2. Chứng minh rằng nếu TT1

2 ∈/ Q, thì h=f+g không là hàm tuần hoàn.

1.2.28. Cho f, g :R → R là các hàm tuần hoàn. Giả sử f liên tục và không có chu kỳ nào của g thông −ớc với chu kỳ cơ bản củaf. Chứng minh rằng f +g không là hàm tuần hoàn.

1.2.29. Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm đơn

điệu f :R→R không quá đếm đ−ợc.

1.2.30. Giả sử f liên tục trên[0,1]. Chứng minh rằng

nlim→∞

1 n

k=1

(−1)kf k n = 0.

1.2.31. Cho f liên tục trên[0,1]. Chứng minh rằng

nlim→∞

1 2n

k=0

(−1)k n

k f k

n = 0.

1.2.32. Giả sửf : (0,∞)→Rlà hàm liên tục sao chof(x)≤f(nx)với mọi số d−ơng x và mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng lim

x→∞f(x) tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn).

1.2.33. Hàm f xác định trên khoảng I ⊂ R đ−ợc gọi là lồi trên I nÕu

f(λx1+ (1−λ)x2)≤λf(x1) + (1−λ)f(x2)

với mọi x1, x2 ∈ I và λ ∈ (0,1). Chứng minh rằng nếu hàm f lồi trên khoảng mở thì nó liên tục. Hàm lồi trên khoảng bất kỳ có nhất thiết liên tục không?

1.2.34. Chứng minh rằng nếu d∙y {fn} các hàm liên tục trên A hội tụ đều tới f trên A, thì f liên tục trênA.

Hàm liên tục trong không gian metric

Định lý giá trị trung bình