2.2.1. Chứng minh rằng nếu f là hàm liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f(a) =f(b) = 0 thì với α∈R, tồn tại x∈(a, b) sao cho
αf(x) +f (x) = 0.
2.2.2. Cho f và g là các hàm liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và giả sử f(a) = f(b) = 0. Chứng minh rằng tồn tại x ∈(a, b) sao cho
g(x)f(x) +f (x) = 0.
2.2.3. Cho f là hàm liên tục trên[a, b], a >0 và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu
f(a)
a = f(b) b , thì tồn tại x0∈(a, b) sao cho x0f (x0) =f(x0).
2.2.4. Giả sửf liên tục trên[a, b]và khả vi trên(a, b). Chứng minh rằng nếu f2(b)−f2(a) =b2−a2 thì ph−ơng trình
f (x)f(x) =x có ít nhất một nghiệm trong (a, b).
2.2.5. Giả sử f và g liên tục, không triệt tiêu trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f(a)g(b) = f(b)g(a) thì tồn tại x0 ∈(a, b) sao cho
f (x0)
f(x0) = g(x0) g(x0).
2.2.6. Giả sử a0, a1, . . . , an là các số thực thoả m∙n a0
n+ 1+a1
n +ã ã ã+an−1
2 +an= 0.
Chứng minh rằng đa thứcP(x) =a0xn+a1xn−1+ã ã ã+ancó ít nhất một nghiệm trong (0,1).
2.2.7. Xét các số thực a0, a1, . . . , an thoả m∙n a0
1 +2a1
2 +22a2
3 ã ã ã+2n−1an−1
n + 2nan
n+ 1 = 0.
Chứng minh rằng hàm số
f(x) =anlnnx+ã ã ã+a2ln2x+a1lnx+a0 có ít nhất một nghiệm trong (1, e2).
2.2.8. Chứng minh rằng nếu mọi nghiệm của đa thức P có bậc n≥2 đều là thực thì mọi nghiệm của đa thứcP cũng đều là thực.
2.2.9. Cho f khả vi liên tục trên [a, b]và khả vi cấp hai trên (a, b), giả sử f(a) = f (a) = f(b) = 0. Chứng minh rằng tồn tạix1 ∈(a, b) sao cho f (x1) = 0.
2.2.10. Chof khả vi liên tục trên[a, b]và khả vi cấp hai trên(a, b), giả sử f(a) = f(b) và f (a) = f (b) = 0. Chứng minh rằng tồn tại hai sè x1, x2 ∈(a, b), x1 =x2 sao cho
f (x1) =f (x2).
2.2.11. Chứng minh rằng các ph−ơng trình sau:
x13+ 7x3−5 = 0, (a)
3x+ 4x = 5x (b)
có đúng một nghiệm thực.
2.2.12. Chứng minh rằng với các số a1, a2, . . . , an khác 0 và với các số α1,α2, . . . ,αn thoả m∙n αi =αj, i=j, ph−ơng trình
a1xα1 +a2xα2 +ã ã ã+anxαn = 0 có nhiều nhất là n−1 nghiệm trong (0,+∞).
2.2.13. Chứng minh rằng với các giả thiết của bài toán trên, ph−ơng tr×nh
a1eα1x+a2eα2x+ã ã ã+aneαnx= 0 có nhiều nhất là n−1 nghiệm trong (0,+∞).
2.2.14. Cho các hàm f, g, h liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b), ta định nghĩa hàm
F(x) = det
f(x) g(x) h(x) f(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b)
, x∈[a, b].
2.2. Các định lý giá trị trung bình 45
Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho F (x0) = 0. Sử dụng kết quả vừa nhận đ−ợc phát biểu định lý giá trị trung bình và
định lý giá trị trung bình suy rộng.
2.2.15. Chof liên tục trên[0,2]và khả vi cấp hai trên(0,2). Chứng minh rằng nếu f(0) = 0, f(1) = 1 và f(2) = 2 thì tồn tại x0 ∈ (0,2) sao cho f (x0) = 0.
2.2.16. Giả sử f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f không là hàm tuyến tính thì tồn tại x1 và x2 thuéc (a, b) sao cho
f (x1)< f(b)−f(a)
b−a < f (x2).
2.2.17. Chof là hàm liên tục trên[0,1]và khả vi trên(0,1). Giả sử rằng f(0) =f(1) = 0 và tồn tại x0 ∈(0,1) sao chof(x0) = 1. Chứng minh rằng |f (c)| >2 với c ∈ (0,1) nào đó, tức là tồn tại c ∈ (0,1) sao cho |f (c)|>2.
2.2.18. Cho f liên tục trên [a, b], a > 0, khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng tồn tại x1∈(a, b) sao cho
bf(a)−af(b)
b−a =f(x1)−x1f (x1).
2.2.19. Chứng minh rằng các hàm số x → ln(1 +x), x → ln(1 +x2) và x→arctanx liên tục đều trên[0,+∞).
2.2.20. Giả sử f khả vi cấp hai trên(a, b) và tồn tại M ≥0 sao cho
|f (x)|≤M với mọix∈(a, b). Chứng minh rằngf liên tục đều trên (a, b).
2.2.21. Giả sử f : [a, b]→R, b−a≥4,khả vi trên khoảng mở (a, b). Chứng minh rằng tồn tại x0∈(a, b) sao cho
f (x0)<1 +f2(x0).
2.2.22. Chứng minh rằng nếu f khả vi trên (a, b) và nếu lim
x→a+f(x) = +∞, lim
x→b−f(x) =−∞, (i)
f (x) +f2(x) + 1≥0, víi x∈(a, b), (ii)
th× b−a≥π.
2.2.23. Cho f liên tục trên[a, b]và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu lim
x→b−f (x) =A th× f−(b) =A.
2.2.24. Giả sử f khả vi trên (0,∞) và f (x) = O(x) khi x → ∞. Chứng minh rằng f(x) =O(x2) khix→ ∞.
2.2.25. Cho f1, f2, . . . , fn và g1, g2, . . . , gn là các hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Giả sử rằng gk(a) = gk(b) với mọi k = 1,2, . . . , n. Chứng minh rằng tồn tại c∈(a, b) sao cho
n
k=1
fk(c) =
n
k=1
gk(c)fk(b)−fk(a) gk(b)−gk(a).
2.2.26. Cho hàmf khả vi trên khoảng mởI và giả sử[a, b]⊂I. Ta nói rằng f khả vi đều trên[a, b]nếu với mọiε>0, tồn tạiδ >0 sao cho
f(x+h)−f(x)
h −f (x) <ε
với mọi x ∈ [a, b] và |h| <δ, x+h ∈I. Chứng minh rằng f khả vi
đều trên [a, b]khi và chỉ khi f liên tục trên [a, b].
2.2.27. Cho f liên tục trên [a, b], g khả vi trên [a, b] và g(a) = 0. Chứng minh rằng nếu tồn tại λ= 0 sao cho
|g(x)f(x) +λg(x)|≤|g(x)|, víi x∈[a, b], thì g(x)≡0 trên[a, b].
2.2.28. Chof khả vi trên(0,+∞). Chứng minh rằng nếu lim
x→+∞ f(x)
x = 0 th× lim
x→+∞|f (x)|= 0.
2.2.29. Chứng minh rằng hàm số f : R → R duy nhất thoả m∙n ph−ơng trình
f(x+h)−f(x)
h =f x+ 1
2h víi x, h∈R, h= 0.
là đa thức bậc hai.
2.2. Các định lý giá trị trung bình 47
2.2.30. Cho các số d−ơngp, q thoả m∙np+q= 1, h∙y tìm tất cả các hàm f :R→R thoả m∙n ph−ơng trình
f(x)−f(y)
x−y =f (px+qy) víi x, y∈R, x=y.
2.2.31. Chứng minh rằng nếuf khả vi trên khoảng mởI thì f có tính chất giá trị trung gian trong I.
2.2.32. Cho f khả vi trên(0,∞). Chứng minh rằng (a) nÕu lim
x→+∞(f(x) +f (x)) = 0 th× lim
x→+∞f(x) = 0, (b) nÕu lim
x→+∞(f(x) + 2√
xf (x)) = 0 th× lim
x→+∞f(x) = 0.
2.2.33. Chứng minh rằng nếu f ∈ C2([a, b]) có ít nhất ba không
điểm phân biệt trong [a, b]thì ph−ơng trìnhf(x) +f (x) = 2f (x) có ít nhất một nghiệm trong [a, b].
2.2.34. Chứng minh rằng nếu đa thức P bậc n có n nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì đa thức
Q(x) = (x2+ 1)P(x)P (x) +x P2(x) + (P (x))2 có ít nhất 2n−1 nghiệm thực phân biệt.
2.2.35. Giả sử rằng đa thức P(x) =amxm+am−1xm−1+ã ã ã+a1x+a0
vớiam >0cómnghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng đa thức Q(x) = (P(x))2−P (x) cã
(1) đúngm+ 1 nghiệm thực phân biệt nếu m lẻ, (2) đúngm nghiệm thực phân biệt nếum chẵn.
2.2.36. Giả sử đa thức P(x) bậc n≥3 có các nghiệm đều thực, viết P(x) = (x−a1)(x−a2)ã ã ã(x−an),
trong đó ai ≤ai+1, i= 1,2, . . . , n−1 và
P (x) =n(x−c1)(x−c2)ã ã ã(x−cn−1),
trong đó ai ≤ci ≤ai+1, i= 1,2, . . . , n−1. Chứng minh rằng nếu Q(x) = (x−a1)(x−a2)ã ã ã(x−an−1),
Q(x) = (n−1)(x−d1)(x−d2)ã ã ã(x−dn−2),
thì di ≥ci vớii= 1,2, . . . , n−2. Hơn nữa chứng minh rằng nếu R(x) = (x−a2)(x−a3)ã ã ã(x−an),
R(x) = (n−1)(x−e1)(x−e2)ã ã ã(x−en−2), th× ei ≤ci+1 víi i= 1,2, . . . , n−2.
2.2.37. Sử dụng giả thiết của bài toán trên, chứng minh rằng (1) nếu S(x) = (x−a1 −ε)(x−a2). . .(x−an), trong đó ε≥ 0 thoả
m∙na1+ε≤an−1 và nếu S(x) =n(x−f1)(x−f2). . .(x−fn−1) th× fn−1 ≥cn−1,
(2) nếu T(x) = (x−a1)(x−a2). . .(x−an+ε), với ε≥0 thoả m∙n an−ε ≥ a2 và nếu T (x) = n(x−g1)(x−g2). . .(x−gn−1) thì
g1 ≤c1.
2.2.38. Với các giả thiết của bài 2.2.36 h∙y chứng minh rằng ai+ai+1−ai
n−i+ 1 ≤ci ≤ai+1−ai+1−ai
i+ 1 , i= 1,2, . . . , n−1.
2.2.39. Chứng minh rằng nếu f khả vi trên [0,1]và (i) f(0) = 0,
(ii) tồn tạiK >0 sao cho |f (x)|≤K|f(x)|với x∈[0,1], th× f(x)≡0.
2.2.40. Cho f là một hàm khả vi vô hạn trên khoảng (−1,1), J⊂ (−1,1) là một khoảng có độ dài λ. Giả sử J đ−ợc chia thành ba khoảng liên tiếp J1,J2,J3 có độ dài tương ứng là λ1,λ2,λ3, tức là ta có J1∪J2∪J3 =Jvà λ1+λ2+λ3 =λ. Chứng minh rằng nếu
mk(J) = inf |f(k)(x)|:x∈J , k∈N, th×
mk(J)≤ 1 λ2
(mk−1(J1) +mk−1(J3)).