2.5.1. Sử dụng định lý giá trị trung bình suy rộng chứng minh rằng
1−x2
2! <cosx víi x= 0, (a)
x−x3
3! <sinx víi x >0, (b)
cosx <1−x2 2! +x4
4! víi x= 0, (c)
sinx < x−x3 3! +x5
5! víi x >0.
(d)
2.5.2. Cho n∈Nvà x >0 h∙y kiểm tra các khẳng định sau:
x−x3 3! +x5
5! −ã ã ã+ x4n−3
(4n−3)!− x4n−1
(4n−1)! <sinx (a)
< x−x3 3! +x5
5! −ã ã ã+ x4n−3
(4n−3)! − x4n−1
(4n−1)! + x4n+1 (4n+ 1)!, 1−x2
2! +x4
4! −ã ã ã+ x4n−4
(4n−4)!− x4n−2
(4n−2)! <cosx (b)
<1− x2 2! +x4
4! −ã ã ã+ x4n−4
(4n−4)! − x4n−2
(4n−2)! + x4n (4n)!.
2.5.3. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng nếu a≥0 thì tồn tại x1, x2, x3 ∈(a, b) sao cho
f (x1) = (b+a)f (x2)
2x2 = (b2+ab+a2)f(x3) 3x23 .
2.5.4. Chứng minh kết quả tổng quát hoá của 2.2.32: Cho f là một hàm biến phức trên (0,∞) và α là một số phức có phần thực d−ơng. Chứng minh rằng nếu f khả vi và lim
x→+∞(αf(x) +f (x)) = 0 th× lim
x→+∞f(x) = 0.
2.5.5. Cho f khả vi cấp hai trên (0,∞). Chứng minh rằng nếu
x→lim+∞(f(x) +f (x) +f (x)) =L th× lim
x→+∞f(x) =L.
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 65
2.5.6. Cho f khả vi cấp ba trên (0,∞). Liệu từ sự tồn tại của giới hạn
x→lim+∞(f(x) +f (x) +f (x) +f (x)) có suy ra sự tồn tại của giới hạn lim
x→+∞f(x) không ? 2.5.7.
(a) Giả sử f khả vi liên tục trên (0,∞) và cho f(0) = 1. Chứng minh rằng nếu|f(x)|≤e−x vớix≥0thì tồn tạix0>0sao cho f (x0) =−e−x0.
(b) Giả sử f khả vi liên tục trên (1,∞) và cho f(1) = 1. Chứng minh rằng nếu |f(x)|≤ x1 với x ≥1 thì tồn tại x0 >1 sao cho f (x0) =−1/x20.
2.5.8. Giả sử rằngf vàgkhả vi trên[0, a]thoả m∙nf(0) =g(0) = 0, và g(x) > 0, g(x) > 0 với mọi x ∈ (0, a]. Chứng minh rằng nếu fg tăng trên (0, a] thì fg cũng tăng trên khoảng đó.
2.5.9. Chứng minh rằng các ph−ơng trình
sin(cosx) =x và cos(sinx) =x
có duy nhất nghiệm trong[0,π/2]. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu x1 vàx2 lần l−ợt là nghiệm của hai ph−ơng trình trên thì x1 < x2. 2.5.10. Chứng minh rằng nếu f khả vi trên [a, b], f(a) = 0 và tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho |f (x)| ≤ C|f(x)| với mọi x ∈ [a, b] thì
f(x)≡0 (1).
2.5.11. Sử dụng định lý giá trị trung bình chứng minh rằng với 0< p < q ta có bất đẳng thức
1 +x p
p
< 1 +x q
q
, víi x >0.
(1)xem bài 2.2.39
2.5.12. Chứng minh rằng ex≥1 +x vớix∈R. Sử dụng kết quả đó chứng minh bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung b×nh nh©n(2).
2.5.13. Chứng minh rằng
xy ≤ex+y(lny−1)
với x∈Rvà y >0. Chứng minh rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y=ex.
2.5.14. Giả sửf :R→[−1,1]thuộc lớpC2(R)và(f(0))2+(f (0))2 = 4. Chứng minh rằng tồn tại x0∈Rsao cho f(x0) +f (x0) = 0.
2.5.15. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
x+ 1
x arctanx >1 víi x >0, (a)
2 tanx−sinhx >0 víi 0< x < π 2, (b)
lnx < x
e víi x >0, x=e, (c)
xlnx x2−1 < 1
2 víi x >0, x= 1.
(d)
2.5.16. So sánh các số sau:
(a) eπ và πe, (b) 2√2 và e, (c) ln 8và 2.
2.5.17. Chứng minh các khẳng định sau:
ln 1 +x
a ln 1 + b x < b
a, a, b, x >0, (a)
1 + x m
m
1 +x n
n
<1, x∈R\{0}, m, n∈N, m, n≥|x|, (b)
ln 1 + 1 +x2 < 1
x+ lnx, x >0.
(c)
(2)Còn gọi là bất đẳng thức Cauchy
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 67
2.5.18. Cho x >0 h∙y chứng minh các bất đẳng thức sau:
ln(1 +x)< x
√1 +x, (a)
(1−x)2 ≥xln2x.
(b)
2.5.19. Chứng minh rằng x+x2
2 −x3
6 <(x+ 1) ln(1 +x)< x+x2
2 , víi x >0, (a)
ln(1 + cosx)<ln 2−x2
4 , víi x∈(0,π).
(b)
2.5.20. Cho x >0, kiểm tra các bất đẳng thức sau:
(a) ex <1 +xex, (b) ex−1−x < x2ex, (c) xex2 < ex−1, (d) ex <(1 +x)1+x,
(e) x+ 1
2
x+1
≤xx.
2.5.21. Chứng minh rằng (e+x)e−x >(e−x)e+x với x∈(0, e). 2.5.22. Chứng minh rằng nếu x >1 thì ex−1+ lnx−2x+ 1>0.
2.5.23. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
3tanx+2
3sinx > x, víi 0< x < π 2, (a)
x(2 + cosx)>3 sinx, víi x >0, (b)
cosx < sin2x
x2 víi 0< x < π 2. (c)
2.5.24. Chứng minh rằng nếu α>1 thì với 0≤x≤1 ta có 1
2α−1 ≤xα+ (1−x)α ≤1.
2.5.25. Chứng minh rằng với 0<α<1 và x, y >0, (x+y)α < xα+yα.
2.5.26. Cho α∈(0,1) và x∈[−1,1], chứng minh rằng (1 +x)α≤1 +αx−α(α−1)
8 x2.
2.5.27. Chứng minh kết quả tổng quát của bài toán trên. Cho B ≥0 và x∈[−1, B], chứng minh rằng:
(1 +x)α ≤1 +αx− α(1−α)
2(1 +B)2x2 víi 0<α<1, (a)
(1 +x)α ≥1 +αx− α(1−α)
2(1 +B)2x2 víi 1<α<2.
(b)
2.5.28. Chứng minh rằng sinx≥ 2
πx, víi x∈ 0,π 2 , (a)
sinx≥ 2 πx+ x
π3(π2−4x2), víi x∈ 0,π 2 . (b)
2.5.29. Chứng minh rằng với x∈(0,1)ta có πx(1−x)<sinπx≤4x(1−x).
2.5.30. Chứng minh rằng với x d−ơng và n nguyên d−ơng ta có ex−
n
k=0
xk k! < x
n(ex−1).
2.5.31. Cho n nguyên dương. H∙y tìm các cực trị địa phương của hàm
f(x) = 1 +x+x2
2! +ã ã ã+xn n! e−x.
2.5.32. Cho m và n nguyên dương, tìm các cực trị địa phương của f(x) =xm(1−x)n.
2.5.33. Cho m, n nguyên dương, tìm giá trị cực đại của f(x) = sin2mxãcos2nx.
2.5.34. Tìm các cực trị địa phương của hàm f(x) =x13(1ưx)23.
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 69
2.5.35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) =xarcsinx+ 1−x2
trên [−1,1].
2.5.36. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) = 1
1 +|x|+ 1 1 +|1−x| trên R.
2.5.37. Cho các số không âm a1, a2, . . . , an. Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
1 n
n
k=1
ake−ak ≤ 1 e, (a)
1 n
n
k=1
a2ke−ak ≤ 4 e2, (b)
n
k=1
ak ≤ 3 e
n
e
W 1 3
n
k=1 ak
}
(c) .
2.5.38. Tìm các cực trị địa phương của hàm f(x) = e−|x1| √
2 + sin1x víi x= 0,
0 víi x= 0.
2.5.39. Cho
f(x) = x4 2 + sin1x víi x= 0,
0 víi x= 0.
Chứng minh rằng f khả vi trên Rvà f đạt giá trị nhỏ nhất đúng tại 0 nh−ngf không đơn điệu trong bất kỳ khoảng(−ε,0)hay(0,ε) nào.
2.5.40. Cho x >0, chứng minh bất đẳng thức sau sinhx
sinh2x+ cosh2x
<tanhx < x <sinhx < 1
2sinh 2x.
2.5.41. Sử dụng kết quả bài trên chứng minh rằng với a, b d−ơng và a=b thì
2
1
a+1b <√
ab < b−a
lnb−lna < a+b
2 < a2+b2 2 .
Số L(a, b) = lnbb−−alna đ−ợc gọi là trung bình lôgarít của a và b, a=b. (Quy −ớc rằngL(a, a) =a.)
2.5.42. Đại l−ợngtrung bình mũ của hai số d−ơngx vày đ−ợc cho bởi công thức
Mp(x, y) = xp+yp 2
1 p
víi p= 0.
(a) Chứng minh rằng
plim→0Mp(x, y) =√xy.
(Từ đó có thể quy −ớcM0(x, y) =√xy.)
(b) Chứng minh rằng nếu x=y và p < q thì Mp(x, y)< Mq(x, y).
2.5.43. Cho λ ≥ 1 , các số d−ơng x, y và số nguyên n ≥ 2, chứng minh rằng
√xy≤ n xn+yn+λ((x+y)n−xn−yn)
2 +λ(2n−2) ≤ x+y 2 . 2.5.44. Chứng minh rằng
sin(tanx)≥x víi x∈ 0,π 4 , (a)
tan(sinx)≥x víi x∈ 0,π 3 . (b)
2.5.45. Chứng minh rằng với x∈(0,π/2]ta có 1
sin2x ≤ 1
x2 + 1− 4 π2.
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 71
2.5.46. Cho x >0 chứng minh rằng arctanx > 3x
1 + 2√
1 +x2.
2.5.47. Choak, bk, k= 1,2, . . . , ndương. Chứng minh bất đẳng thức
n
k=1
(xak+ (1−x)bk)≤max
n
k=1
ak,
n
k=1
bk
đúng với x∈[0,1] khi và chỉ khi
n
k=1
ak−bk ak
n
k=1
ak−bk bk ≥0.
2.5.48. Sử dụng kết quả bài 2.5.1 chứng minh rằng cosx+ cosy ≤1 + cos(xy) víi x2+y2 ≤π.
2.5.49. Cho x, y d−ơng, chứng minh rằng xy+yx >1.
2.5.50. Cho số nguyên d−ơng n≥2, chứng minh rằng nếu 0< x <
n n+1 th×
(1−2xn+xn+1)n<(1−xn)n+1. 2.5.51. Cho hàm
f(x) =x−x3 6 +x4
24sin1
x víi x >0.
Chứng minh rằng với các giá trị y, z >0 thoả m∙n y+z <1 ta có f(y+z)< f(y) +f(z).
2.5.52. Chứng minh bất đẳng thức
n
k=0
(k−nx)2 n
k xk(1−x)n−k≤ n 4.
2.5.53. Giả sử f ∈ C2([a, b]), f(a)f(b) < 0, f và f không đổi dấu trên [a, b]. Chứng minh rằng d∙y truy hồi
xn+1=xn− f(xn)
f (xn), n= 0,1,2, . . . ,
trong đó đặt x0=bnếu f và f cùng dấu,x0 =a nếuf và f trái dấu, sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất của ph−ơng trìnhf(x) = 0trên (a, b). (Ph−ơng pháp này đ−ợc gọi là ph−ơng pháp Newton xấp xỉ nghiệm của ph−ơng trìnhf(x) = 0.)
2.5.54. Sử dụng các giả thiết của bài toán trên chứng minh rằng nếu M = max{|f (x)|:x∈[a, b]} và m= min{|f (x)|:x∈[a, b]} thì
|xn+1−ξ|≤ M
2m(xn−ξ)2, n= 0,1,2, . . . , trong đó ξ là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = 0.
2.5.55. T×m sup 2−x+ 2−1x :x >0 .
2.5.56. Chof khả vi vô hạn trên[0,1], giả sử rằng với mỗix∈[0,1]
tồn tại n(x)sao chof(n(x))(x) = 0.Chứng minh rằng trên đoạn[0,1]
f sẽ đồng nhất với một đa thức nào đó.
2.5.57. Chỉ ra ví dụ để chứng tỏ rằng giả thiết khả vi vô hạn trên [0,1]trong bài toán trên là cần thiết. Chứng minh rằng nếu
nlim→∞f(n)(x) = 0
với mỗi x∈[0,1]thì ta không thể suy ra kết luận trong bài 2.5.56.