Trong mục này, X và Y lần l−ợt kí hiệu là các không gian metric (X, d1) và(Y, d2). Để đơn giản, ta nói rằng Xlà không gian metric thay cho (X, d1) là không gian metric. R và Rn luôn giả sử
đ−ợc trang bị metric Euclid, nếu không không nói gì thêm.
1.7.1. Gọi(X, d1)và (Y, d2) là các không gian metric vàf :X→Y. Chứng minh rằng các điều kiện sau đây t−ơng đ−ơng:
(a) Hàm f liên tục.
(b) Với mỗi tập đóng F⊂Y, tập f−1(F) đóng trong X.
(c) Với mỗi tập mởG⊂Y, tập f−1(G) mở trongX.
(d) Với mỗi tập conA của X, f(A)⊂f(A).
(e) Với mỗi tập conB của Y, f−1(B)⊂f−1(B).
1.7.2. Gọi (X, d1) và (Y, d2) là các không gian metric vàf :X→Y liên tục. Chứng minh rằng nghịch ảnh f−1(B) của tập Borel B trong (Y, d2) là tập Borel trong (X, d1).
1.7.3. Cho ví dụ hàm liên tục f :X →Y sao cho ảnh f(F) (t−ơng ứng,f(G)) không đóng (tương ứng, mở) trongY vớiFđóng (tương ứng, G mở) trong X.
1.7.4. Gọi (X, d1) và (Y, d2) là các không gian metric vàf :X→Y liên tục. Chứng minh rằng ảnh của tập compact Ftrong X là tập compact trong Y.
1.7. Hàm liên tục trong không gian metric 31
1.7.5. Chof xác định trên hợp các tập đóngF1,F2, . . . ,Fm. Chứng minh rằng nếu giới hạn của f trên mỗi Fi, i = 1,2, . . . , m, là liên tục, thì f liên tục trênF1∪F2∪. . .∪Fm.
Cho ví dụ để chứng tỏ mệnh đề trên không đúng trong trường hợp vô hạn Fi.
1.7.6. Cho f xác định trên hợp của các tập mở Gt, t ∈ T. Chứng minh rằng nếu với mỗi t ∈ T, giới hạn f|Gt là liên tục, thì f liên tục trên
t∈T
Gt.
1.7.7. Cho(X, d1)và(Y, d2)là các không gian metric. Chứng minh rằng f :X→ Y liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi A compact trong X, hàmf|A liên tục.
1.7.8. Giả sửf là song ánh liên tục từ không gian metric compact X lên không gian metricY. Chứng minh rằng hàm ng−ợcf−1liên tục trên Y. Chứng minh rằng giả thiết compact không thể bị bỏ qua.
1.7.9. Gọi f là ánh xạ liên tục từ không gian metric compact X vào không gian metric Y. Chứng minh rằng f liên tục đều trên X.
1.7.10. Gọi (X, d) là không gian metric và A là tập con khác rỗng của X. Chứng minh rằng hàm f :X→[0,∞) xác định bởi
f(x) = dist(x,A) = inf{d(x, y) : y ∈A} liên tục đều trên X.
1.7.11. Giả sửf là ánh xạ liên tục từ không gian metric liên thông X vào không gian metric Y. Chứng minh rằng f(X) liên thông trong Y.
1.7.12. Cho f :A→Y,∅=A⊂X. Với x∈A định nghĩa
of(x,δ) = diam (f(A∩B(x,δ))), (diam(A) là bán kính của tậpA).
Giao độ của f tạix đ−ợc xác định bởi of(x) = lim
δ→0+of(x,δ).
Chứng minh rằng f liên tục tại x0 ∈A nếu và chỉ nếu of(x0) = 0 (so sánh với 1.4.19 và 1.4.20).
1.7.13. Giả sử f :A→Y,∅=A⊂X và với x∈A, gọiof(x) là giao
độ của f tại x đựoc xác định như trong bài toán trước. Chứng minh rằng với mọi ε>0, tập {x∈A : of(x)≥ε} là đóng trong X.
1.7.14. Chứng minh rằng tập điểm liên tục của f :X→Y là giao
đếm đ−ợc các tập mở, nói cách khác, là Gδ trong (X, d1). Chứng minh rằng tập điểm gián đoạn củaf là hợp đếm đ−ợc các tập đóng, nói cách khác, là Fσ trong (X, d1).
1.7.15. Cho ví dụ hàm f :R→Rcó tập điểm gián đoạn là Q. 1.7.16. Chứng minh rằng với mỗi tập con Fσ của R là tập điểm gián đoạn của hàm f :R→R nào đó.
1.7.17. Cho A là tập con Fσ của không gian metric X. Có tồn tại hay không hàm f :X→R mà tập điểm gián đoạn làA ?
1.7.18. Gọi χA là hàm đặc tr−ng của A ⊂ X. Chứng minh rằng {x∈X : oχA(x) >0}=∂A, ở đây χf(x) là giao độ của f tại x đ−ợc xác định nh−trong 1.7.12. Suy ra rằng χA liên tục trênXnếu và chỉ nếu A vừa mở, vừa đóng trong X.
1.7.19. Giả sửg1 vàg2 là các ánh xạ liên tục từ không gian metric (X, d1)vào không gian metric(Y, d2), và tậpAcó phần trong rỗng, trù mật trong X. Chứng minh rằng nếu
f(x) = g1(x) víi x∈A, g2(x) víi x∈X\A, th×
of(x) =d2(g1(x), g2(x)), x∈X,
trong đóof(x)là giao độ củaf tạixđ−ợc xác định nh−trong 1.7.12.
1.7.20. Ta nói rằng hàm thực f xác định trên không gian metric X là thuộc lớp Baire thứ nhất nếu f là giới hạn điểm của d∙y hàm liên tục trênX. Chứng minh rằng nếuf thuộc lớp Baire thứ nhất, thì tập các điểm gián đoạn của f là tập thuộc phạm trù thứ nhất; tức là, nó là hợp của một số đếm đ−ợc các tập không đâu trù mật.
1.7.21. Chứng minh rằng nếu X là không gian metric đầy đủ và f thuộc lớp Baire thứ nhất trênX, thì tập các điểm liên tục củaf trù mật trong X.
1.7. Hàm liên tục trong không gian metric 33
1.7.22. Gọi f : (0,∞)→R liên tục sao cho với mỗi số d−ơng x, d∙y {f nx } hội tụ tới không. Từ đó có suy ra lim
x→0+f(x) = 0 không? (So sánh với 1.1.33.)
1.7.23. Kí hiệu F là họ các hàm liên tục trên không gian metric compact X sao cho với mọix∈X, tồn tại Mx thoả m∙n
|f(x)|≤Mx với mọi f ∈F.
Chứng minh rằng tồn tại hằng số d−ơng M và tập mở khác rỗng G⊂X sao cho
|f(x)|≤M với mọi f ∈F và với mọi x∈G.
1.7.24. Gọi F1 ⊃F2 ⊃F3 ⊃ . . . là d∙y các tập con khác rỗng lồng nhau của không gian metric đầy đủ X sao cho lim
n→∞diamFn = 0. Chứng minh rằng nếu f liên tục trênX, thì
f
∞ n=1
Fn =
∞ n=1
f(Fn).
1.7.25. Gọi(X, d1)là không gian metric vàplà điểm bất động trong X. Với u∈X, xác định hàmfu bởi fu(x) =d1(u, x)−d1(p, x), x∈X. Chứng minh rằng u→fu là ánh xạ bảo toàn khoảng cách, nói cách khác, là đẳng cự của (X, d1) vào không gianC(X,R) các hàm thực liên tục trên Xđ−ợc trang bị metric d(f, g) = sup{|f(x)−g(x)| : x∈ X}.
1.7.26. Chứng minh rằng không gian metric Xlà compact nếu và chỉ nếu với mọi hàm liên tục f :X→R là bị chặn.
1.7.27. Cho (X, d1) là không gian metric và với x ∈ X, xác định ρ(x) = dist(x,X\ {x}). Chứng minh rằng hai điều kiện sau đây t−ơng đ−ơng:
(a) Mọi hàm f :X→R là liên tục đều.
(b) Mọi d∙y {xn} các phần tử của X sao cho
nlim→∞ρ(xn) = 0 chứa d∙y con hội tụ.
chỉ nếu mọi hàm thực liên tục trên X là liên tục đều và với mọi ε > 0, tập {x ∈ X : ρ(x) > ε}, ở đây ρ đ−ợc xác định nh− trong 1.7.27, là hữu hạn.
1.7.29. Cho ví dụ không gian metric không compact sao cho mọi hàm liên tục f :X→Rlà liên tục đều trên X.
34
Ch−ơng 2
PhÐp tÝnh vi ph©n