2.2.41. Chứng minh rằng với giả thiết của bài toán tr−ớc, nếu
|f(x)|≤1 víi x∈(−1,1)th×
mk(J)≤ 2k(k+1)2 kk
λk , k∈N.
2.2.42. Giả sử rằng đa thức P(x) =anxn+an−1xn−1+ã ã ã+a1x+a0 có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng nếu tồn tại p,1≤ p≤n−1 sao cho ap = 0và ai = 0với mọi i=p thì ap−1ap+1<0.
2.3 Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital
2.3.1. Giả sử f : [a, b]→R khả vi cấp n−1 trên [a, b]. Nếu f(n)(x0) tồn tại thì với mọi x∈[a, b],
f(x) =f(x0) +f (x0)
1! (x−x0) +f (x0)
2! (x−x0)2 +ã ã ã+ f(n)(x0)
n! (x−x0)n+o((x−x0)n).
(Công thức này đ−ợc gọi là công thức Taylor với phần d− dạng Peano).
2.3.2. Giả sử f : [a, b]→Rkhả vi liên tục cấpn trên[a, b]và giả sử rằng f(n+1) tồn tại trong khoảng mở (a, b). Chứng minh rằng với mọi x, x0 ∈[a, b]và mọi p >0 tồn tại θ∈(0,1)sao cho ,
f(x) =f(x0) +f (x0)
1! (x−x0) +f (x0)
2! (x−x0)2 +ã ã ã+ f(n)(x0)
n! (x−x0)n+rn(x), trong đó
rn(x) = f(n+1)(x0+θ(x−x0))
n!p (1−θ)n+1−p(x−x0)n+1
đ−ợc gọi là phần d− dạng Schloămilch-Roche.
2.3.3. Sử dụng kết quả trên h∙y chứng minh các dạng phần d−
sau:
rn(x) = f(n+1)(x0+θ(x−x0))
(n+ 1)! (x−x0)n+1 (a)
(dạng Lagrange), rn(x) = f(n+1)(x0+θ(x−x0))
n! (1−θ)n(x−x0)n+1 (b)
(dạng Cauchy).
2.3.4. Chof : [a, b]→Rlà hàm khả vi cấpn+1trên[a, b],x, x0 ∈[a, b]. Chứng minh công thức Taylor với phần d− dạng tích phân sau:
f(x) =f(x0) + f(x0)
1! (x−x0) +f (x0)
2! (x−x0)2 +ã ã ã+f(n)(x0)
n! (x−x0)n+ 1 n!
x x0
f(n+1)(t)(x−t)ndt.
2.3.5. Chof : [a, b]→Rlà hàm khả vi cấpn+1trên[a, b],x, x0 ∈[a, b]. Chứng minh công thức Taylor sau:
f(x) =f(x0) +f (x0)
1! (x−x0) +f (x0)
2! (x−x0)2 +ã ã ã+ f(n)(x0)
n! (x−x0)n+Rn+1(x), trong đó
Rn+1(x) =
x x0
tn+1 x0
tn x0
ã ã ã
t2 x0
f(n+1)(t1)dt1ã ã ãdtndtn+1. 2.3.6. Chứng minh công thức xấp xỉ
√1 +x≈1 +1 2−1
8x2 cho sai số không v−ợt quá 12|x|3 khi|x|< 12. 2.3.7. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
(1 +x)α>1 +αx với α>1 hoặc α<0, (a)
(1 +x)α<1 +αx víi 0<α<1, (b)
giả thiết rằng x >−1, x= 0.
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 51
2.3.8. Cho các hàm f, g∈C2([0,1]),g(x) = 0 với x∈(0,1)thoả m∙n f (0)g (0) = f (0)g(0). Với x ∈ (0,1) xét hàm θ(x) là một số thoả
m∙n định lý giá trị trung bình suy rộng, tức là f(x)−f(0)
g(x)−g(0) = f (θ(x)) g(θ(x)). H∙y tính giới hạn
lim
x→0+
θ(x) x .
2.3.9. Chof :R→Rkhả vi cấpn+ 1trênR. Chứng minh rằng với mọi x∈Rtồn tại θ∈(0,1) sao cho
f(x) =f(0) +xf (x)−x2
2 f (x) +ã ã ã+ (−1)n+1xn
n!f(n)(x) (a)
+ (−1)n+2 xn+1
(n+ 1)!f(n+1)(θx),
f x
1 +x =f(x)− x2
1 +xf (x) +ã ã ã+ (−1)n x2n (1 +x)n
f(n)(x) (b) n!
+ (−1)n+1 x2n+2 (1 +x)n+1
f(n+1) x+θx1+x2
(1 +n)! , x=−1.
2.3.10. Cho f :R→R khả vi cấp 2n+ 1 trên R. Chứng minh rằng với mọi x∈R tồn tại θ∈(0,1) sao cho
f(x) =f(0) + 2 1!f x
2 x 2 + 2
3!f(3) x 2
x 2
3
+ã ã ã+ 2
(2n−1)!f(2n−1) x 2
x 2
2n−1
+ 2
(2n+ 1)!f(2n+1)(θx) x 2
2n+1
.
2.3.11. Sử dụng kết quả bài trên h∙y chứng minh rằng ln(1 +x)>2
n
k=0
1 2k+ 1
x 2 +x
2k+1
với n= 0,1, . . . và x >0.
2.3.12. Chứng minh rằng nếu f (x) tồn tại thì
hlim→0
f(x+h)−2f(x) +f(x−h)
h2 =f (x),
(a)
hlim→0
f(x+ 2h)−2f(x+h) +f(x)
h2 =f (x).
(b)
2.3.13. Chứng minh rằng nếu f (x) tồn tại thì
hlim→0
f(x+ 3h)−3f(x+ 2h) + 3f(x+h)−f(x)
h3 =f (x).
2.3.14. Cho x >0, h∙y kiểm tra các bất đẳng thức sau:
ex >
n
k=0
xk k!, (a)
x−x2 2 +x3
3 −x4
4 <ln(1 +x)< x−x2 2 +x3
3 , (b)
1 +1 2x−1
8x2 <√
1 +x <1 +1 2x−1
8x2+ 1 16x3. (c)
2.3.15. Chứng minh rằng nếu tồn tại f(n+1)(x) khác 0 và θ(h) là giá trị đ−ợc xác định theo công thức Taylor
f(x+h) =f(x) +hf(x) +ã ã ã+ hn−1
(n−1)!f(n−1)(x) + hn
n!f(n)(x+θ(h)h), th×
hlim→0θ(h) = 1 n+ 1.
2.3.16. Chof là hàm khả vi trên [0,1]vàf(0) =f(1) = 0. Hơn nữa, giả sử tồn tại f bị chặn trong (0,1), tức là |f (x)| ≤ A với mọi x∈(0,1). Chứng minh rằng
|f (x)|≤ A
2 víi x∈[0,1]
2.3.17. Giả sử f : [−c, c] → R khả vi cấp hai trên [−c, c] và đặt Mk = sup{|f(k)(x)|:x∈[−c, c]} với k= 0,1,2. Chứng minh rằng
|f (x)|≤ M0
c + (x2+c2)M2
2c víi x∈[−c, c], (a)
M1 ≤ 2M0M2 víi c≥ M0 M2
(b) .
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 53
2.3.18. Cho f khả vi cấpp trên (a,∞), a∈R, đặt
Mk= sup{|f(k)(x)|:x∈(a,+∞}<∞, k= 0,1,2.
Chứng minh rằng
M1 ≤2 M0M2.
H∙y chỉ ra ví dụ hàm f làm cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
2.3.19. Cho f khả vi cấp hai trênR, đặt
Mk= sup{|f(k)(x)|:x∈R}<∞, k= 0,1,2.
Chứng minh rằng
M1 ≤ 2M0M2. 2.3.20. Cho f khả vi cấpp trên R, đặt
Mk = sup{|f(k)(x)|:x∈(0,∞)}<∞, k= 0,1,2, . . . , p, p≥2.
Chứng minh rằng
Mk≤2k(p2−k)M1−
k p
0 M
k p
p , k= 1,2, . . . , p−1.
2.3.21. Giả sửf tồn tại và bị chặn trong(0,∞). Chứng minh rằng nÕu lim
x→∞f(x) = 0 th× lim
x→∞f (x) = 0.
2.3.22. Giả sử f khả vi liên tục cấp hai trên (0,∞), thoả m∙n
x→lim+∞xf(x) = 0 và lim
x→+∞xf (x) = 0.
Chứng minh rằng lim
x→+∞xf (x) = 0.
2.3.23. Giả sử f khả vi liên tục cấp hai trên (0,1)và thoả m∙n (i) lim
x→1−f(x) = 0,
(ii) tồn tạiM >0 sao cho(1−x)2|f (x)|≤M với x∈(0,1). Chứng minh rằng lim
x→1−(1−x)f (x) = 0.
2.3.24. Cho f khả vi trên [a, b] và giả sử rằng f (a) = f (b) = 0. Chứng minh rằng nếu f tồn tại trong (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
|f (c)|≥ 4
(b−a)2|f(b)−f(a)|.
2.3.25. Giả sử f : [−1,1] → R khả vi cấp ba và biết rằng f(−1) = f(0) = 0, f(1) = 1 và f (0) = 0. Chứng minh rằng tồn tạic∈(−1,1) sao cho f (c)≥3.
2.3.26. Cho f khả vi liên tục cấpn trên[a, b]và đặt Q(t) = f(x)−f(t)
x−t , x, t∈[a, b], t=x.
Chứng minh dạng sau của công thức Taylor:
f(x) =f(x0) +f (x0)
1! (x−x0) +ã ã ã+f(n)(x0)
n! (x−x0)n+rn(x), víi
rn(x) = Q(n)(x0)
n! (x−x0)n+1.
2.3.27. Giả sử rằng f : (−1,1)→R khả vi tại 0, các d∙y {xn}, {yn} thoả m∙n−1< xn< yn<1, n∈Nsao cho lim
n→∞xn= lim
n→∞yn= 0. XÐt th−ơng
Dn= f(yn)−f(xn) yn−xn
. Chứng minh rằng
(a) nÕu xn<0< yn th× lim
n→∞Dn=f (0), (b) nếu 0< xn< yn và d∙y y yn
n−xn bị chặn thì lim
n→∞Dn=f (0), (c) nếu f tồn tại trên(−1,1)và liên tục tại 0 thì lim
n→∞Dn=f (0). (H∙y so sánh với 2.1.13 và 2.1.14.)
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 55
2.3.28. Cho m∈N , xét đa thức P sau P(x) =
m+1
k=1
m+ 1
k (−1)k(x−k)m, x∈R. Chứng minh rằng P(x)≡0.
2.3.29. Giả sử rằng f(n+2) liên tục trên [0, x]. Chứng minh rằng tồn tại θ∈(0,1) sao cho
f(x) =f(0) + f (0)
1! x+ã ã ã+ f(n−1)(0)
(n−1)! xn−1+
f(n) n+1x n! xn
+ n
2(n+ 1)f(n+2)(θx) xn+2 (n+ 2)!.
2.3.30. Giả sử rằng f(n+p) tồn tại trong [a, b] và liên tục tại x0 ∈ [a, b]. Chứng minh rằng nếu f(n+j)(x0) = 0 với j = 1,2, . . . , p−1, f(n+p)(x0) = 0 và
f(x) =f(x0) +f (x0)
1! (x−x0) +ã ã ã+f(n−1)(x0)
(n−1)! (x−x0)n−1 +f(n)(x0+θ(x)(x−x0))
n! (x−x0)n. th×
xlim→x0
θ(x) = n+p n
−1p
.
2.3.31. Chof là hàm khả vi liên tục cấp hai trên(−1,1)vàf(0) = 0. H∙y tính giới hạn
lim
x→0+
> 1
√x
"
k=1
f(kx).
2.3.32. Cho f khả vi vô hạn trên (a, b). Chứng minh rằng nếu f triệt tiêu tại vô hạn điểm trong khoảng đóng [c, d]⊂(a, b) và
sup{|f(n)(x)|:x∈(a, b)}=O(n!) khi n→ ∞ thì f triệt tiêu trên một khoảng mở nằm trong (a, b).
2.3.33. Giả sử rằng
(i) f khả vi vô hạn trên R,
(ii) tồn tạiL >0 sao cho |f(n)(x)|≤L với mọi x∈R và mọi n∈N, (iii) f 1n = 0víi n∈N.
Chứng minh rằng f(x)≡0 trên R.
2.3.34. Sử dụng quy tắc l’Hospital để tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→1
arctanxx22−+11
x−1 , (b) lim
x→+∞x 1 +1 x
x
−e , (c) lim
x→5(6−x)x−15, (d) lim
x→0+
sinx x
1 x
, (e) lim
x→0+
sinx x
1 x2
.
2.3.35. Chứng minh rằng vớif khả vi liên tục cấp hai trênRthoả
m∙nf(0) = 1, f (0) = 0và f (0) =−1 thì với a∈R,
x→lim+∞ f a
√x
x
=e−a
2 2 . 2.3.36. Cho a >0 và a= 1. Tính
x→lim+∞
ax−1 x(a−1)
1 x
.
2.3.37. Có thể sử dụng quy tắc l’Hospital trong những tr−ờng hợp sau đ−ợc không ?
xlim→∞
x−sinx 2x+ sinx, (a)
xlim→∞
2x+ sin 2 + 1 (2x+ sin 2x)(sinx+ 3)2, (b)
lim
x→0+ 2 sin√ x+√
xsin1 x
x
(c) ,
xlim→0 1 +xe−x12 sin 1 x4
e1/x2
. (d)
2.3. Công thức Taylor và quy tắc L’Hospital 57
2.3.38. Hàm
f(x) =
1
xln 2−2x1−1 nÕu x= 0,
1
2 nÕu x= 0
có khả vi tại điểm 0 không ?
2.3.39. Giả sử f khả vi liên tục cấp n trên R. Với a ∈ R, chứng minh đẳng thức sau:
f(n)(a) = lim
h→0
1 hn
n
k=0
(−1)n−k n
k f(a+kh) . 2.3.40. Chứng minh dạng sau của quy tắc l’Hospital:
Giả sử f, g : (a, b) → R , −∞ ≤ a < b ≤ +∞ là các hàm khả vi trên (a, b), đồng thời thoả m∙n điều kiện
(i) g(x) = 0 víi x∈(a, b), (ii) lim
x→a+g(x) = +∞(−∞), (iii) lim
x→a+ f (x)
g(x) =L, −∞ ≤L≤+∞. Khi đó
lim
x→a+
f(x) g(x) =L.
2.3.41. Sử dụng quy tắc l’Hospital vừa nêu ở trên h∙y chứng minh kết quả tổng quát hoá của bài 2.2.32. Cho f khả vi trên (0,∞) và a >0.
(a) NÕu lim
x→+∞(af(x) +f (x)) =L,th× lim
x→+∞f(x) = La. (b) NÕu lim
x→+∞(af(x) + 2√
xf (x)) =L, th× lim
x→+∞f(x) = La.
Các kết quả trên có còn đúng đối với trường hợp aâm không ? 2.3.42. Giả sửf khả vi cấp ba trên(0,∞)sao chof(x)>0,f (x)>0, f (x)>0 vớix >0. Chứng minh rằng nếu
xlim→∞
f (x)f (x)
(f (x))2 =c, c= 1,
th×
xlim→∞
f(x)f (x) (f (x))2 = 1
2−c.
2.3.43. Giả sử rằng f thuộc C∞ trên (−1,1) và f(0) = 0. Chứng minh rằng nếu g đ−ợc xác định trên (−1,1)\{0} theo công thức g(x) = f(x)x thì tồn tại một mở rộng của g cũng thuộc C∞ trên (−1,1).