3.2 Chuỗi hàm và sự hội tụ đều
3.2.1. Khảo sát sự hội tụ điểm của các chuỗi hàm sau:
(a)
∞ n=1
1
1 +xn, x=−1, (b)
∞ n=1
xn
1 +xn, x=−1, (c)
∞ n=1
2n+xn
1 + 3nxn, x=−1
3, (d)
∞ n=1
xn−1
(1−xn)(1−xn+1), x=−1,1, (e)
∞ n=1
x2n−1
1−x2n, x=−1,1, (f)
∞ n=2
lnn n
x
, (g)
∞ n=1
xlnn, x >0, (h)
∞ n=0
sin2(2π n2+x2).
3.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ đều của các chuỗi sau trên tập A:
∞ n=1
π
2 −arctan(n2(1 +x2)) , A=R, (a)
∞ n=1
ln(1 +nx)
nxn , A= [2,∞), (b)
∞ n=1
n2x2e−n2|x|, A=R, (c)
∞ n=1
x2(1−x2)n−1, A= [−1,1], (d)
∞ n=1
n2
√n!(xn+x−n), A={x∈R: 1/2≤|x|≤2}, (e)
∞ n=1
2nsin 1
3nx, A= (0,∞), (f)
∞ n=2
ln 1 + x2
nln2n , A= (−a, a), a >0.
(g)
3.2.3. Chỉ ra rằng chuỗi hàm ∞
n=1
fn(x), trong đó fn đ−ợc xác định bởi
fn(x) = 0 nếu 0≤x≤ 2n+11 hoặc 2n1−1 ≤x≤1, fn(x) = n1 nÕu x= 2n1 ,
fn(x)là hàm tuyến tính trên[1/(2n+1),1/(2n)]và[1/(2n),1/(2n−1)], hội tụ đều trên đoạn [0,1] mặc dù tiêu chuẩn Weierstrass không thể áp dụng đ−ợc.
3.2.4. Xét tính liên tục trên [0,∞) của hàm f xác định bởi f(x) =
∞ n=1
x
((n−1)x+ 1)(nx+ 1).
3.2.5. Nghiên cứu sự liên tục của tổng của chuỗi sau trên miền hội tụ điểm của nó:
(a)
∞ n=0
xnsin(nx)
n! , (b)
∞ n=0
xn2, (c)
∞ n=1
n2nxn, (d)
∞ n=1
lnn(x+ 1).
3.2.6. Xác định miền hội tụ điểm của chuỗi ∞
n=1|x|√nvà nghiên cứu tính liên tục của tổng.
3.2.7. Chứng minh rằng chuỗi ∞
n=1
xsin(n2x)
n2 hội tụ điểm tới một hàm liên tục trên R.
3.2.8. Giả sử rằng chuỗi ∞
n=1
fn(x), x∈A, hội tụ đều trênA và hàm f :A→Rbị chặn. Chứng minh rằng chuỗi ∞
n=1
f(x)fn(x)hội tụ đều trên A.
Bằng ví dụ chỉ ra rằng tính bị chặn của hàm f là cần thiết.
Giả thiết nào đ−ợc áp đặt lên hàm f để từ sự hội tụ đều của chuỗi
∞ n=1
f(x)fn(x) suy ra sự hội tụ đều của chuỗi ∞
n=1
fn(x) trên A? 3.2.9. Giả sử {fn} là chuỗi hàm xác định trênA và thoả m∙n
3.2. Chuỗi hàm và sự hội tụ đều 85
(1) fn(x)≥0 vớix∈A và n∈N, (2) fn(x)≥fn+1(x) với x∈A và n∈N, (3) sup
x∈A
fn(x)n−→
→∞0.
Chứng minh rằng chuỗi ∞
n=1
(−1)n+1fn(x) hội tụ đều trên A. 3.2.10. Chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên R:
(a)
∞ n=1
(−1)n+1
n+x2 , (b)
∞ n=1
(−1)n+1
√3
n+x2+x2, (c)
∞ n=2
(−1)n+1
√n+ cosx.
3.2.11. Chứng minh rằng nếu ∞
n=1
fn2(x) hội tụ điểm trên A và
sup
x∈A
∞ n=1
fn2(x) <∞,
và ∞
n=1
c2n héi tô th× ∞
n=1
cnfn(x) hội tụ đều trên A.
3.2.12. Xác định miền hội tụ điểm A và miền hội tụ tuyệt đối B của các chuỗi sau. Hơn nữa, xét tính hội tụ đều trên tập C.
∞ n=1
1
n2n(3x−1)n, C= 1 6,1
3 , (a)
∞ n=1
1 n
x+ 1 x
n
, C= [−2,−1].
(b)
3.2.13. Giả sử các hàm fn, gn : A → R, n ∈ N, thoả m∙n các điều kiện sau:
(1) chuỗi ∞
n=1|fn+1(x)−fn(x)|hội tụ đều trên A,
(2) sup
x∈A|fn(x)|n−→
→∞0,
(3) d∙y hàm {Gn(x)}, ở đây Gn(x) =
n k=1
gk(x) bị chặn đều trên A. Chứng minh rằng chuỗi ∞
n=1
fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.
Từ đó suy radấu hiệu Dirichlet cho sự hội tụ đều: Giả sử rằng fn, gn:A→R, n∈N, thoả m∙n các điều kiện sau:
(1’) với mọi x∈A cố định, d∙y hàm {fn(x)} đơn điệu, (2’) {fn(x)} hội tụ đều tới 0 trên A,
(3’) d∙y tổng riêng của chuỗi ∞
n=1
gn(x) bị chặn đều trên A. Khi đó chuỗi ∞
n=1
fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.
3.2.14. Chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên tậpA:
∞ n=1
(−1)n+1xn
n , A= [0,1], (a)
∞ n=1
sin(nx)
n , A= [δ,2π−δ],0<δ<π, (b)
∞ n=1
sin(n2x) sin(nx)
n+x2 , A=R, (c)
∞ n=1
sin(nx) arctan(nx)
n , A= [δ,2π−δ],0<δ <π, (d)
∞ n=1
(−1)n+1 1
nx, A= [a,∞), a >0, (e)
∞ n=1
(−1)n+1 e−nx
√n+x2, A= [0,∞).
(f)
3.2.15. Giả sử rằng những hàm fn, gn:A→R,n∈N thoả m∙n các
điều kiện sau:
3.2. Chuỗi hàm và sự hội tụ đều 87
(1) hàm f1 bị chặn trênA, (2) chuỗi ∞
n=1|fn+1(x)−fn(x)|hội tụ điểm trên A và sup
x∈A
∞
n=1|fn+1(x)−fn(x)| <∞, (3) chuỗi ∞
n=1
gn(x) hội tụ đều trên A. Chứng minh rằng ∞
n=1
fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.
Từ đó suy ra dấu hiệu Abel cho sự hội tụ đều: Giả sử rằng fn, gn:A→R, n∈N, thoả m∙n các điều kiện sau:
(1’) với mỗi x∈A cố định d∙y hàm {fn(x)} đơn điệu, (2’) {fn(x)} bị chặn đều trên A,
(3’) chuỗi ∞
n=1
gn(x) hội tụ đều trên A. Khi đó chuỗi ∞
n=1
fn(x)gn(x) hội tụ đều trên A.
3.2.16. Chỉ ra rằng các chuỗi sau hội tụ đều trên tập A:
∞ n=1
(−1)n+1
n+x2 arctan(nx), A=R, (a)
∞ n=1
(−1)n+1cosxn
√n+ cosx , A= [−R, R], R >0, (b)
∞ n=1
(−1)[√n]
n(n+x), A= [0,∞).
(c)
3.2.17. Giả sử rằng fn, n∈N liên tục trênA và chuỗi ∞
n=1
fn(x) héi tụ đều trên A. Chứng minh rằng nếu x0 ∈A là điểm tụ củaA thì
xlim→x0
∞ n=1
fn(x) =
∞ n=1
fn(x0).
3.2.18. Kiểm tra những khẳng định sau:
lim
x→1−
∞ n=1
(−1)n+1
n xn= ln 2, (a)
xlim→1
∞ n=1
(−1)n+1
nx = ln 2, (b)
lim
x→1−
∞ n=1
(xn−xn+1) = 1, (c)
lim
x→0+
∞ n=1
1 2nnx = 1, (d)
xlim→∞
∞ n=1
x2
1 +n2x2 = π2 6 . (e)
3.2.19. Giả sử chuỗi ∞
n=1
an hội tụ. Tìm giới hạn lim
x→1−
∞ n=1
anxn.
3.2.20. Giả thiết các hàmfn, n∈Nliên tục trên đoạn[0,1]và chuỗi
∞ n=1
fn(x) hội tụ đều trên [0,1). H∙y chứng minh chuỗi ∞
n=1
fn(1)héi tô.
3.2.21. Tìm miền hội tụ điểm A của chuỗi ∞
n=1
e−nxcos(nx). Chuỗi này có hội tụ đều trên A không?
3.2.22. Giả sử rằng fn : [a, b]→(0,∞), n∈N là các hàm liên tục và f(x) = ∞
n=1
fn(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Chứng minh rằng chuỗi
∞ n=1
fn(x) hội tụ đều trên đoạn [a, b]. 3.2.23. Giả sử ∞
n=1
fn(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên A. Chuỗi
∞
n=1|fn(x)| có nhất thiết hội tụ đều trênA không?
3.2. Chuỗi hàm và sự hội tụ đều 89
3.2.24. Giả thiết rằng fn, n ∈ N đơn điệu trên [a, b]. Chứng minh rằng nếu ∞
n=1
fn(x) hội tụ tuyệt đối ở các điểm mút của [a, b] thì
chuỗi ∞
n=1
fn(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên toàn[a, b]. 3.2.25. Giả sử ∞
n=1 1
|an| hội tụ. Chứng minh ∞
n=1 1
x−an hội tụ tuyệt đối và đều trên mỗi tập A bị chặn không chứaan, n∈N.
3.2.26. Với d∙y số thực{an}, chứng minh rằng nếuchuỗi Dirichlet
∞ n=1
an
nx hội tụ tại điểm x=x0 thì chuỗi hội tụ đều trên [x0,∞). 3.2.27. Nghiên cứu sự hội tụ đều trên R của chuỗi
∞ n=1
xsin (n2x) n2 .
3.2.28. Giả sử rằng fn, n ∈ N khả vi trên [a, b]. Hơn nữa, giả sử rằng ∞
n=1
fn(x) hội tụ tại điểm x0 ∈ [a, b] nào đó và ∞
n=1
fn(x) héi tô
đều trên [a, b]. Chứng minh rằng ∞
n=1
fn(x) hội tụ đều trên[a, b] tới hàm khả vi và
∞ n=1
fn(x) =
∞ n=1
fn(x) víi x∈[a, b].
3.2.29. Chứng minh rằng f(x) = ∞
n=1 1
n2+x2 khả vi trênR. 3.2.30. Chứng minh rằng hàm
f(x) =
∞ n=1
cos (nx) 1 +n2 khả vi trên π6,11π6 .
3.2.31. Cho f(x) = ∞
n=1
(−1)n+1ln (1 + xn) với x ∈[0,∞). Chứng minh rằng f khả vi trên[0,∞) và h∙y tính f (0), f (1), và lim
x→∞f (x).
3.2.32. Cho
f(x) =
∞ n=1
(−1)n+1 1
√narctan x
√n, x∈R, Chứng minh rằng f khả vi liên tục trên R.
3.2.33. Chứng minh hàm f(x) =
∞ n=1
sin (nx2)
1 +n3 , x∈R, khả vi liên tục trên R.
3.2.34. Cho
f(x) =
∞ n=1
√n(tanx)n, x∈ −π 4,π
4 . Chứng minh f khả vi liên tục trên −π4,π4 .
3.2.35. Cho
f(x) =
∞ n=0
e−nx
1 +n2, x∈[0,∞).
Chứng minh rằng f ∈ C([0,∞)), f ∈ C∞(0,∞) và f (0) không tồn tại.
3.2.36. Chứng minh rằng hàm f(x) =
∞ n=1
|x| x2+n2
liên tục trên R. Hàm đó có khả vi trênR không?
3.2.37. Chứng minh rằng hàm ζ - Riemann xác định bởi ζ(x) =
∞ n=1
1 nx thuéc C∞(1,∞).