Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau.
Định nghĩa. Ta nói rằng d∙y hàm {fn} hội tụ đều tới hàm f trên Anếu với mọi ε>0, tồn tạin0 ∈Nsao cho với mọin≥n0, bất
đẳng thức |fn(x)−f(x)|<εđúng với mọix∈A, ký hiệu là fn⇒
A
f. 3.1.1. Chứng minh rằng d∙y hàm {fn} xác định trên A là hội tụ
đều trên B⊂A tới hàmf :B→Rkhi và chỉ khi d∙y số {dn} , với dn= sup{|fn(x)−f(x)|:x∈B}, n∈N,
héi tô tíi 0.
3.1.2. Giả sử fn⇒
A
f và gn⇒
A
g. Chứng minh rằng fn+gn ⇒
A
f+g. Khẳng định fnãgn⇒
A
f ãg có đúng không?
3.1.3. Giả sửfn⇒
A
f ,gn⇒
A
g, và tồn tại sốM >0sao cho|f(x)|< M và |g(x)|< M với mọi x∈A. Chứng minh rằng fnãgn⇒
A
fãg. 3.1.4. Cho{an}là d∙y số thực hội tụ, và{fn}là d∙y hàm thoả m∙n
sup{|fn(x)−fm(x)|:x∈A}≤|an−am|, n, m∈N. Chứng minh rằng d∙y hàm {fn} hội tụ đều trên A.
77
3.1.5. Chứng minh rằng hàm giới hạn của một d∙y hàm bị chặn hội tụ đều trên A là một hàm bị chặn. Khẳng định này có đúng trong tr−ờng hợp hội tụ điểm không?
3.1.6. Chứng minh rằng d∙y hàm {fn}, với fn(x) =
x
n nếu nchẵn,
1
n nếu nlẻ,
hội tụ điểm nh−ng không hội tụ đều trênR. Tìm một d∙y con hội tụ đều.
3.1.7. Chứng minhtiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ đều.
D∙y hàm{fn}, xác định trên A, hội tụ đều trên A khi và chỉ khi với mọi ε> 0, tồn tại số n0 ∈ N sao cho với mọi m > n0 bất đẳng thức|fn+m(x)−fm(x)|<εthoả m∙n với mọin∈Nvà với mọix∈A. 3.1.8. Xét sự hội tụ đều trên đoạn [0,1] của các d∙y hàm cho bởi các công thức sau
fn(x) = 1 1 + (nx−1)2, (a)
fn(x) = x2
x2+ (nx−1)2, (b)
fn(x) =xn(1−x), (c)
fn(x) =nxn(1−x), (d)
fn(x) =n3xn(1−x)4, (e)
fn(x) = nx2 1 +nx, (f)
fn(x) = 1 1 +xn. (g)
3.1.9. Xét sự hội tụ đều trênA và B của các d∙y hàm sau fn(x) = cosnx(1−cosnx), A= [0,π/2], B= [π/4,π/2], (a)
fn(x) = cosnxsin2nx, A=R, B= [0,π/4].
(b)
3.1. D∙y hàm và sự hội tụ đều 79
3.1.10. Xét sự hội tụ đều của d∙y {fn} trên A: fn(x) = arctan 2x
x2+n3, A=R, (a)
fn(x) =nln 1 +x2
n , A=R, (b)
fn(x) =nln1 +nx
nx , A= (0,∞), (c)
fn(x) = 2n 1 +x2n, A=R, (d)
fn(x) = n 2n+|x|n, A=R, (e)
fn(x) =√
n+ 1 sinnxcosx, A=R, (f)
fn(x) =n(√n
x−1), A= [1, a], a >1.
(g)
3.1.11. Với hàm f xác định trên đoạn [a, b], đặt fn(x) = [nfn(x)], x ∈ [a, b],n∈N. Chứng minh rằng fn ⇒
[a,b]
f. 3.1.12. Kiểm tra rằng d∙y hàm {fn}, với
fn(x) =nsin 4π2n2+x2,
hội tụ đều trên đoạn [0, a],a >0. D∙y hàm {fn} có hội tụ đều trên R không?
3.1.13. Chứng minh rằng d∙y đa thức{Pn}xác định bởi công thức truy hồi
P0(x) = 0, Pn+1(x) =Pn(x) +1
2(x−Pn2(x)), n= 0,1,2, . . . , hội tụ đều trên đoạn [0,1]đến hàm f(x) =√x.
Từ đó suy ra rằng tồn tại một d∙y đa thức hội tụ đều trên đoạn [−1,1] đến hàm x→|x|.
3.1.14. Giả sử hàm f :R→Rkhả vi và hàm f liên tục đều trênR . Kiểm tra rằng
n f x+ 1
n −f(x) →f (x)
đều trênR. Bằng ví dụ chỉ ra rằng giả thiết liên tục đều của hàm f là không thể bỏ qua đ−ợc.
3.1.15. Cho{fn}là d∙y hàm liên tục đều hội tụ đều trênR. Chứng minh rằng hàm giới hạn cũng là hàm liên tục đều trên R.
3.1.16. Chứng minh định lý Dini: Cho {fn} là d∙y hàm liên tục trên tập compact K hội tụ điểm tới hàm f cũng là hàm liên tục trên K. Khi đó nếufn+1(x)≤fn(x) vớix∈Kvà n∈Nthì d∙y hàm {fn} hội tụ tới hàm f đều trên K.
Bằng ví dụ h∙y chỉ ra rằng các điều kiện trong định lý Dini (tính compact của tập K, tính liên tục của hàm giới hạn, tính liên tục và đơn điệu của d∙y hàm {fn}) là cần thiết.
3.1.17. D∙y hàm{fn}xác định trên tậpAđ−ợc gọi làliên tục đồng bậc trênAnếu với mọiε>0tồn tại sốδ>0sao cho|fn(x)−fn(x)|<
ε với mọi x, x ∈A mà |x−x|<δ và n∈N. Chứng minh rằng nếu {fn} là d∙y hàm hội tụ đều của các hàm liên tục trên tập compact K thì {fn} là liên tục đồng bậc trên K.
3.1.18. Chúng ta nói rằng d∙y hàm {fn} xác định trên A hội tụ liên tục trên A tới hàm f nếu với mọi x ∈ A và với mọi d∙y {xn} nằm trong Ahội tụ tớix, d∙y{fn(xn)}hội tụ tớif(x). Chứng minh rằng nếu d∙y {fn} hội tụ liên tục trênA tới hàm f thì
klim→∞fnk(xk) =f(x),
với mỗi d∙y {xn} các phần tử A hội tụ tới x ∈ A và với mỗi d∙y con {fnk}.
3.1.19. Chứng minh rằng nếu {fn} hội tụ liên tục trên A tớif thì
f liên tục trên A (ngay cả khi fn không liên tục).
3.1.20. Chứng minh rằng nếu {fn} hội tụ đều trênA tới hàm liên tụcf thì{fn}hội tụ liên tục trênA. Điều ng−ợc lại có đúng không?
3.1.21. Cho {fn} là d∙y hàm xác định trên tập compact K. Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương:
(i) D∙y hàm {fn} hội tụ đều trên Ktới hàm f ∈C(K). (ii) D∙y hàm {fn} hội tụ liên tục trênKtới hàm f.
3.1.22. Giả sử {fn} là d∙y hàm tăng hoặc giảm trên đoạn [a, b]hội tụ điểm tới một hàm liên tục trên [a, b]. Chứng minh rằng{fn}hội tụ đều trên [a, b].
3.1. D∙y hàm và sự hội tụ đều 81
3.1.23. Cho{fn}là d∙y hàm tăng hoặc giảm trênRvà bị chặn đều trên R. Chứng minh {fn} chứa một d∙y con hội tụ điểm trên R.
3.1.24. Sử dụng giả thiết cho trong bài toán trên chứng minh rằng:
nếu d∙y hàm con {fnk} hội tụ điểm tới một hàm liên tụcf thì d∙y hàm {fn} hội tụ đều tới f trên mỗi tập con compact của R. D∙y hàm {fn} có hội tụ đều trênR không?
3.1.25. Chứng minh rằng giới hạn của d∙y đa thức hội tụ đều trên R là một đa thức.
3.1.26. Giả sử rằng {Pn} là một d∙y đa thức có dạng Pn(x) =an,pxp+an,p−1xp−1+ã ã ã+an,1x+an,0. Chứng minh ba mệnh đề sau là tương đương:
(i) {Pn} hội tụ đều trên mỗi tập con compact của R,
(ii) tồn tại p+ 1 số phân biệtc0, c1, . . . , cp sao cho {Pn}hội tụ trên {c0, c1, . . . , cp},
(iii) d∙y các hệ số {an,i} hội tụ với i= 0,1,2, . . . , p.
3.1.27. Chứng minh rằng nếu {fn} hội tụ điểm và liên tục đồng bậc trên tập compact Kthì {fn} hội tụ đều trên K.
3.1.28. Cho{fn}là d∙y hàm liên tục trên[a, b]và khả vi trên (a, b). Giả sử {fn} bị chặn đều trên (a, b), tức là tồn tại M > 0 sao cho
|fn(x)|≤M với mọi n∈Nvà x∈(a, b). Chứng minh rằng nếu {fn} hội tụ điểm trên [a, b]thì {fn}hội tụ đều trên đoạn đó.
3.1.29. Nghiên cứu sự hội tụ và sự hội tụ đều của{fn}và{fn}trên A, víi
fn(x) = sinnx
√n , A=R, (a)
fn(x) = x
1 +n2x2, A= [−1,1].
(b)
3.1.30. Giả sử {fn} hội tụ đều trên A tới hàm f. Hơn nữa, giả sử rằng x0 là điểm tụ củaA và bắt đầu từ một giá trị nào đó của chỉ sè n, lim
x→x0
fn(x) tồn tại. Chứng minh rằng
nlim→∞ lim
x→x0
fn(x) = lim
x→x0
f(x).
Chứng minh rằng nếu{fn}hội tụ đều trên(a,∞)tới hàm f và bắt
đầu từ chỉ số n nào đó, lim
x→∞fn(x) tồn tại thì
nlim→∞ lim
x→∞fn(x) = lim
x→∞f(x).
ý nghĩa của những đẳng thức trên là nếu giới hạn ở một vế của
đẳng thức tồn tại thì giới hạn ở vế kia cũng tồn tại và chúng bằng nhau.
3.1.31. Cho {fn} là d∙y hàm khả vi trên [a, b] sao cho {fn(x0)} hội tụ với x0 ∈[a, b]. Chứng minh nếu d∙y{fn}hội tụ đều trên[a, b]thì
{fn} hội tụ đều trên [a, b]tới một hàm f khả vi trên [a, b] và ta có f (x) = lim
n→∞fn(x) víi x∈[a, b].
3.1.32. Với hàmf : [0,1]→R, đặtBn(f, x) là đa thức Bernstein bậc n của hàm f, đ−ợc xác định bởi
Bn(f, x) =
n
k=0
n
k f k
n xk(1−x)n−k.
Chứng ming rằng nếu f liên tục trên [0,1] thì {Bn(f)} hội tụ đều trên [0,1] tới hàm f.
3.1.33. áp dụng kết quả của bài toán trên, chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass: Nếu f : [a, b]→R liên tục trên [a, b] thì với mọi ε>0 tồn tại đa thức P sao cho
|f(x)−P(x)|<ε với mọi x∈[a, b].