1.3.26. Hàmf :R→Rliên tục, tăng sao choF xác định bởiF(x) = f(x)−x tuần hoàn với chu kỳ 1. Chứng minh rằng nếu α(f) =
nlim→∞
fn(0)
n , thì tồn tại x0 ∈[0,1] sao cho F(x0) = α(f). Chứng minh rằng f có điểm bất động trong [0,1]nếu và chỉ nếuα(f) = 0. (Xem 1.1.40 - 1.1.42.)
1.3.27. Hàm f : [0,1]→R thoả m∙n f(0)<0 và f(1)>0, và tồn tại hàm g liên tục trên [0,1] sao cho f +g giảm. Chứng minh rằng ph−ơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng mở(0,1).
1.3.28. Chứng minh rằng mọi song ánh f : R → [0,∞) có vô hạn
điểm gián đoạn.
1.3.29. Nhắc lại rằng mỗi x ∈ (0,1) có thể đ−ợc biểu diễn bởi số nhị phân .a1a2a3. . ., ở đây ai ∈{0,1}, i= 1,2, . . .. Trong tr−ờng hợp x có hai khai triển nhị phân khác nhau, ta chọn khai triển có vô
hạn chữ số 1. Tiếp đó, gọi hàm f : (0,1)→[0,1]đ−ợc xác định bởi f(x) = lim
n→∞
1 n
n
i=1
ai.
Chứng minh rằng f gián đoạn tại mọi x∈ (0,1), tuy nhiên, nó có tính chất giá trị trung gian.
1.4 Hàm nửa liên tục
Định nghĩa 1. Tập số thực suy rộng R bao gồm tập số thực và hai kí hiệu +∞,−∞ với các tính chất sau:
(i) Nếu x là số thực thì −∞< x <+∞, và x+∞ = +∞, x− ∞=
−∞, +x∞ = −∞x = 0.
(ii) Nếu x >0 thì xã(+∞) = +∞, xã(−∞) =−∞. (iii) Nếu x <0 thì xã(+∞) =−∞, xã(−∞) = +∞.
Định nghĩa 2. NếuA⊂R là tập khác rỗng, thìsupA(t−ơng ứng infA) là số thực mở suy rộng nhỏ nhất (t−ơng ứng, lớn nhất) mà
lớn hơn (t−ơng ứng, nhỏ hơn) hoặc bằng mọi phần tử của A. Cho f là hàm thực xác định trên tập khác rỗng A⊂R.
Định nghĩa 3. Nếu x0 là điểm giới hạn của A, thì giới hạn d−ới (tương ứng giới hạn trên) của f(x) khi x →x0 được định nghĩa là inf (t−ơng ứng sup) của tập tất cả các y ∈ R sao cho tồn tại d∙y {xn} các điểm trongA khácx0, hội tụ tớix0 vày = lim
n→∞f(xn). Giíi hạn d−ới và giới hạn trên của f(x) khi x→x0 đ−ợc kí hiệu t−ơng ứng bởi lim
x→x0
f(x) và lim
x→x0
f(x).
Định nghĩa 4. Giả sử x0 ∈A là điểm giới hạn của A. Hàm giá
trị thực đ−ợc gọi là nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng trên) tại x0 nếu lim
x→x0
f(x) ≥f(x0) (t−ơng ứng lim
x→x0
f(x) ≤ f(x0)). Nếu x0 là điểm cô
lập của A thì ta nói rằng f là nửa liên tục trên và d−ới tại điểm này.
1.4.1. Chứng minh rằng nếux0 là điểm giới hạn củaA vàf :A→ R, th×
(a) lim
x→x0
f(x) = sup
δ>0
inf{f(x) : x∈A,0<|x−x0|<δ}, (b) lim
x→x0
f(x) = inf
δ>0sup{f(x) : x∈A,0<|x−x0|<δ}.
1.4.2. Chứng minh rằng nếu x0 là điểm giới hạn của Avàf :A→ R, th×
(a) lim
x→x0
f(x) = lim
δ→0+inf{f(x) : x∈A,0<|x−x0|<δ}, (b) lim
x→x0
f(x) = lim
δ→0+sup{f(x) : x∈A,0<|x−x0|<δ}.
1.4.3. Chứng minh rằng y0 ∈R là giới hạn d−ới củaf :A→R tại
điểm giới hạnx0 củaAnếu và chỉ nếu với mọi ε>0, hai điều kiện sau đây đ−ợc thoả m∙n:
(i) tồn tạiδ >0 sao chof(x)> y0−ε với mọi x∈A thoả m∙n 0<|x−x0|<δ,
(ii) với mọi δ > 0, tồn tại x ∈ A sao cho 0 < |x −x0| < δ và f(x)< y0+ε.
1.4. Hàm nửa liên tục 19
Thiết lập điều khẳng định tương tự đối với giới hạn trên củaf tại x0.
1.4.4. Cho f :A → R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng
(a) lim
x→x0
f(x) =−∞nếu và chỉ nếu với mọiythực và với mọiδ >0, tồn tại x ∈A sao cho0<|x −x0|<δ và f(x)< y.
(b) lim
x→x0
f(x) = +∞nếu và chỉ nếu với mọiythực và với mọiδ >0, tồn tại x ∈A sao cho0<|x −x0|<δ và f(x)> y.
1.4.5. Giả sửf :A→Rvàx0 là điểm giới hạn củaA. Chứng minh rằng nếu l = lim
x→x0
f(x) (t−ơng ứng L = lim
x→x0
f(x)), thì tồn tại d∙y {xn}, xn∈A, xn=x0, héi tô tíi x0 sao chol= lim
n→∞f(xn) (t−ơng ứng L= lim
n→∞f(xn)).
1.4.6. Cho f :A → R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng
lim
x→x0
(−f(x)) =−lim
x→x0
f(x) và lim
x→x0
(−f(x)) =−lim
x→x0
f(x).
1.4.7. Cho f : A → (0,∞) và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng
lim
x→x0
1
f(x) = 1
xlim→x0
f(x) và lim
x→x0
1
f(x) = 1 lim
x→x0
f(x). (Quy −ớc +1∞ = 0và 01+ = +∞.)
1.4.8. Giả sử f, g : A → R và x0 là điểm giới hạn của A. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đây đúng (trừ trường hợp các dạng bất định +∞ − ∞và −∞+∞):
lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x)≤ lim
x→x0
(f(x) +g(x))≤ lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x)
≤ lim
x→x0
(f(x) +g(x))≤ lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x).
Cho ví dụ các hàm sao cho “≤” trong các bất đẳng thức trên đ−ợc thay bởi “ <” .
1.4.9. Giả sửf, g:A→[0,∞) vàx0 là điểm giới hạn củaA. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đây đúng (trừ trường hợp các dạng bất định 0ã(+∞) và (+∞)ã0):
lim
x→x0
f(x)ã lim
x→x0
g(x)≤ lim
x→x0
(f(x)ãg(x))≤ lim
x→x0
f(x)ã lim
x→x0
g(x)
≤ lim
x→x0
(f(x)ãg(x))≤ lim
x→x0
f(x)ã lim
x→x0
g(x).
Cho ví dụ các hàm sao cho “≤” trong các bất đẳng thức trên đ−ợc thay bởi “ <”.
1.4.10. Chứng minh rằng nếu lim
x→x0
f(x) tồn tại thì (trừ tr−ờng hợp các dạng bất định +∞ − ∞và −∞+∞):
lim
x→x0
(f(x) +g(x)) = lim
x→0
f(x) + lim
x→x0
g(x),
xlim→x0
(f(x) +g(x)) = lim
x→0f(x) + lim
x→x0
g(x).
Ngoài ra, nếu f vàg là các hàm không âm thì (trừ tr−ờng hợp các dạng bất định 0ã(+∞) và (+∞)ã0):
lim
x→x0
(f(x)ãg(x)) = lim
x→0f(x)ã lim
x→x0
g(x),
xlim→x0
(f(x)ãg(x)) = lim
x→0
f(x)ã lim
x→x0
g(x).
1.4.11. Chứng minh rằng nếu f liên tục trên (a, b), l = lim
x→a
f(x) và L = lim
x→af(x), thì với mọi λ∈ [l, L], tồn tại d∙y {xn} gồm các điểm trong (a, b) héi tô tíi a sao cho lim
n→∞f(xn) =λ. 1.4.12. Cho f :R→R
f(x) = 0 nếu x vô tỷ, sinx nÕu x h÷u tû.
Tìm tất cả các điểm tại đó f là nửa liên tục.
1.4.13. Cho f xác định bởi
f(x) = x2−1 nếu x vô tỷ, 0 nÕu x h÷u tû Tìm tất cả các điểm tại đó f là nửa liên tục.
1.4. Hàm nửa liên tục 21
1.4.14. Chứng minh rằng
f(x) =
0 nếu x vô tỷ hoặc x= 0,
1
q nÕu x= pq, p∈Z, q∈N,
và p, q nguyên tố cùng nhau, là nửa liên tục trên.
1.4.15. Tìm tất cả các điểm tại đó hàm xác định bởi
(a) f(x) =
|x| nếu x vô tỷ hoặc x= 0,
qx
qx+1 nÕu x= pq, p∈Z, q ∈N
và p, q nguyên tố cùng nhau
(b) f(x) =
(−1)qp
q+1 nếu x∈Q∩(0,1] và x= pq, p, q∈N và p, q nguyên tố cùng nhau, 0 nếu x∈(0,1) và x vô tỷ
không nửa liên tục trên, cũng không nửa liên tục d−ới.
1.4.16. Cho f, g : A → R nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0 ∈A. Chứng minh rằng
(a) nếu a > 0 thì af nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0. Nếu a <0 thì af nửa liên tục trên (t−ơng ứng, d−ới) tại x0. (b) f +g nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0.
1.4.17. Giả sử rằng fn : A → R, n ∈ N, nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0 ∈A. Chứng minh rằng sup
n∈N
fn (t−ơng ứng, inf
n∈Nfn) nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0.
1.4.18. Chứng minh rằng giới hạn theo từng điểm của một d∙y tăng (t−ơng ứng, giảm) các hàm nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) là nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên).
1.4.19. Vớif :A→Rvà xlà điểm giới hạn củaA, định nghĩa giao
độ của f tạix bởi of(x) = lim
δ→0+sup{|f(z)−f(u)| : z, u∈A,|z−x|<δ,|u−x|<δ}.
Chứng minh rằng of(x) =f1(x)−f2(x), ở đây f1(x) = max f(x),lim
z→xf(z) và f2(x) = min f(x),lim
z→x
f(z) . 1.4.20. Xétf1, f2, vàof được định nghĩa trong bài toán trước. Chứng minh rằng f1 và of là nửa liên tục trên, và f2 là nửa liên tục d−ới.
1.4.21. Chứng minh rằng đểf :A→R là nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0 ∈ A, điều kiện cần và đủ là với mọi a < f(x0) (t−ơng ứng, a > f(x0)), tồn tại δ > 0 sao cho f(x) > a (t−ơng ứng, f(x)< a) bất cứ khi nào|x−x0|<δ, x∈A.
1.4.22. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hàm f :A → R là nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) tại x0 ∈A là với mọi a∈R, tập {x∈A : f(x)> a} (t−ơng ứng, {x∈A : f(x)< a}) là mở trong A.
1.4.23. Chứng minh rằng f :R→Rlà nửa liên tục d−ới nếu và chỉ nếu tập {(x, y)∈R2 : y≥f(x)} là đóng trong R2.
Lập công thức và chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục trên của f trên R.
1.4.24. Chứng minh định lí Baire sau đây: Mọi hàm nửa liên tục d−ới (t−ơng ứng, trên) f :A → R là giới hạn điểm của d∙y tăng (t−ơng ứng, giảm) các hàm liên tục trênA.
1.4.25. Chứng minh rằng nếu f :A→R nửa liên tục trên,g:A→ Rnửa liên tục d−ới và f(x)≤g(x) khắp nơi trênA, thì tồn tại hàm liên tục h trên A sao cho
f(x)≤h(x)≤g(x), x∈A.