Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.3. Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình toán THPT
1.3.1.1. Toán cực trị trong hình học là gì?
Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một hình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:
Trong đó là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y đồng thời phải chỉ rõ vị trí hình học của (hoặc hình có chứa ) để tại đó đạt giá trị cực tiểu
hoặc cực đại `
1.3.1.2. Đường lối chung để giải toán cực trị hình học
Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo hai cách sau đây:
Cách 1:
Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"
Cách 2:
Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra.
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài.
* Chú ý quan trọng:
Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng , ta chia thành tổng của nhiều đại lượng khác: rồi đi tìm cực trị của và ... từ đó suy ra cực trị của , ta cần chứng minh: Khi đạt cực trị thì cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại.
1.3.2. Mục đích, chuẩn kiến thức, kỹ năng của chủ đề "Cực trị hình học"
1.3.2.1. Về kiến thức. Thông qua dạy học nội dung cực trị hình học trong không gian, học sinh cần nắm được những kiến thức cơ bản sau:
Với nội dung trong chương trình hình học 11:
- Hệ tiên đề của Hình học không gian. Các cách xác định mặt phẳng. Vị trí tương đối của hai đường thẳng, của một đường thẳng và một mặt phẳng, của hai mặt phẳng.
- Các loại khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa điểm và mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
- Các loại góc: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Với nội dung hình học 12:
- Các khái niệm về hình đa diện, khối đa diện, khối đa diện lồi, khối đa diện đều.
- Các công thức tính thể tích như khối hộp, khối lăng trụ, khối chóp.
- Các khái niệm về mặt tròn xoay mà cụ thể là mặt nón, mặt trụ, mặt cầu và các tính chất của đường sinh, đáy; tâm và bán kính mặt cầu.
- Các công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của các hình, khối đó.
1.3.2.2. Về kỹ năng. Thông qua dạy học nội dung Hình học không gian lớp 11, học sinh cần có các kỹ năng cơ bản sau:
- Kỹ năng biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc.
- Kỹ năng chứng minh hình học nói riêng và kỹ năng chứng minh toán học nói chung bằng những lập luận có căn cứ, trình bày lời giải mạch lạc.
- Kỹ năng tính toán, vận dụng thành thạo các công thức về góc, khoảng cách, diện tích, thể tích.
- Kỹ năng phát biểu bài toán hình học xuất phát từ thực tiễn.
- Nhận biết được thế nào là một hình đa diện, một khối đa diện, khối đa diện lồi, khối đa diện đều.
- HS hiểu, nhớ và vận dụng công thức tính thể tích của các khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, khối chóp vận dụng được chúng vào việc giải các bài toán về thể tích khối đa diện.
- Nhận dạng được các vật thể tròn xoay cụ thể là mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
- Biết tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình nón, hình trụ, hình cầu và thể tích của khối tròn xoay tương ứng.
Thông qua việc cung cấp các kiến thức và kỹ năng nói trên, việc dạy học Hình học không gian cần chú ý phát triển năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng không gian, tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán và kỹ năng tính toán...đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Cụ thể là:
- Năng lực suy luận, lập luận, biết phân biệt chủng và loại trong một định nghĩa, từ đó biết cấu tạo một định nghĩa theo chủng và loại. Có ý thức về quy tắc phải theo khi phân biệt chủng, loại.
- Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, xét tương tự, đặc biệt...
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ.
- Năng lực tiến hành những hoạt động phổ biến trong toán học như xét sự tương ứng, sự liên hệ và phụ thuộc, phân chia trường hợp, lật ngược vấn đề, xét tính giải được.
Phát triển các biểu tượng không gian: Hình dung các hình không gian, các quan hệ giữa các yếu tố của hình không gian từ hình biểu diễn và ngược lại; ở mức độ cao học sinh cần có năng lực hình dung các hình không gian qua các yếu tố đã cho trong bài toán.
1.3.3. Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình Toán THPT
1.3.3.1. Các hình thức về bài toán cực trị trong chương trình toán phổ thông (THCS, THPT)
Ở cấp THCS các em đã được làm quen với các bài toán cực trị hình học dưới dạng so sánh các đoạn thẳng, các góc, tìm vị trí của điểm để biểu thức đã cho hay diện tích các hình, độ dài các đoạn thẳng đạt giá trị cụ thể. Các bài toán này thường có trong đề thi HSG các khối lớp và đề thi vào lớp 10 THPT, THPT Chuyên.
Ở cấp THPT trong những năm gần đây, trong đề thi học sinh giỏi và các đề thi Olympic 30/4. Đặc biệt các đề thi minh họa, đề thử nghiệm thi THPT QG năm 2017 chú ý tới các bài toán thực tế có liên quan đến GTLN, GTNN.
1.3.3.2. Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình Toán THPT
Phần cực trị hình học trong không gian ở trường THPT nằm ở hầu hết các bài ở lớp 11 và 12 mỗi một phần, một bài đều có nội dung tương ứng của nó chẳng hạn như với mối quan hệ song song ta có các bài toán về thiết diện, bài toán về diện tích các hình đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, với mối quan hệ vuông góc ta có các bài toán về góc, khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách giữa điểm và đường, khoảng cách giữa đường và mặt và hai đường thẳng chéo nhau, quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên... Với chương trình lớp 12 ta có các bài toán về thể tích, tỉ số thể tích, chiều cao của hình chóp, lăng trụ, không những thế ta còn có các bài về các hình nón, hình trụ, hình cầu. Đặc biệt là các bài toán liên quan đến thực tế liên quan đến các hình đó và là một trong các bài toán đòi hỏi năng lực tư duy thì mới giải quyết trọn vẹn các bài toán tìm GTLN, GTNN trong hình học không gian.
Các bài toán về cực trị hình học tiềm ẩn những thách thức lớn đối với học sinh.
Có thể câu hỏi bài toán chỉ là tìm vị trí của điểm để khoảng các giữa hai điểm là nhỏ nhất, nhưng khi bắt tay vào giải thì gặp khó khăn, vướng mắc với lối tư duy thông thường, với cách làm cũ thì không giải quyết được. Để giải được HS cần vận dụng linh hoạt các các tri thức khác nhau và phối hợp nhiều hoạt động như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa… để có thể chuyển hướng tư duy, điều chỉnh kịp thới suy nghĩ, tìm thấy ý tưởng mới, cách giải quyết mới từ tri thức, kinh nghiệm đã có. Do vậy thông qua dạy học giải toán cực trị hình học giúp học sinh phát triển năng lực giải toán, rèn luyện tư duy toán học cho HS.
Trong quá trình giải các bài tập học sinh phải biết kết hợp giữa hình học và đại số điển hình như các bất đẳng thức cổ điển và phương pháp hàm số thì mới giải quyết tốt dạng toán này. Chú ý áp dụng một cách linh hoạt, khéo léo các hoạt động tư duy để có hiệu quả nếu không sẽ rất dễ mắc sai lầm. Do đó thông qua dạy học giải toán cực trị HS sẽ có cơ hội để rèn luyện khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm… trong lời giải và sửa chữa sai lầm để lời giải được hoàn thiện, tối ưu hóa lời giải.
Đối với các bài toán thực tế không xuất hiện nhiều trong sách giáo khoa nhưng lại là các bài toán dự kiến có trong đề thi THPTQG năm 2017 do đó luận văn cũng muốn nhấn mạnh nội dung này.
1.3.4. Một số kỹ năng cơ bản để giải toán hình học không gian
- Biết cách dựng đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng đặc biệt là đường vuông góc tới mặt phẳng.
- Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song song, vuông góc, chéo nhau,...
- Biết cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
- Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với khoảng cách nào đó để tiện cho việc tính khoảng cách.
- Biết cách vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến tính khoảng cách, tính độ dài của đoạn thẳng
- Kỹ năng vẽ hình không gian
- Kỹ năng nhận dạng các hình đăc biệt như: tam giác (tam giác vuông, cân, đều), Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi, chữ nhật..
- Kỹ năng nhận dạng các đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập phương..
- Biết vận dụng linh hoạt các công thức vào tính toán - Kỹ năng nhận dạng các khối đa diện đặc biệt
- Kỹ năng xác định chiều cao của hình chóp, lăng trụ, hình trụ, hình nón
- Kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức tính thể tích, công thức về tỉ số các thể tích của các khối chóp tam giác.
- Kỹ năng dựng góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
- Biết cách thiết lập tương ứng sự thay đổi độ lớn của đoạn thẳng (góc, diện tích, thể tích..) với các đại lượng (biến số) hay hàm số của một hay nhiều biến số
- Biết vận dụng các phương pháp tìm cực trị, GTLN, GTNN.