Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN "CỰC TRỊ HÌNH HỌC" THEO ĐỊNH HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THPT
2.2. Một số biện pháp sư phạm
2.2.2. Biện pháp 2. Phát huy, khơi dậy tiềm năng kiến thức của HS thông
Đưa một vấn đề mới cần giải quyết quy về một vấn đề cũ quen thuộc mà đã từng giải quyết, phương pháp tư duy đó gọi là quy lạ về quen hay còn gọi là phương pháp quen thuộc hóa. Trong việc giải toán phương pháp quy lạ về quen được hiểu là
3 3 4
0 0
) ( ' : ) 4 3 2 (
8 3 2
2 2 2
2 2
x a x x
f a x a x
x a x a
𝑓 𝑥 𝑓 𝑥
𝑥 0 𝑎√
+
3
trước hết nghĩ đến bài toán đó có giống với một bài toán đã giải rồi không? Nếu thấy bài toán đó có giống với đã giải thì có thể sử dụng phương pháp kết quả bài toán đã giải để tìm ra con đường giải quyết.
Trong nội dung dạy học toán phép quy lạ về quen được sử dụng rộng rãi khi mở rộng vấn đề, khi phát triển khái niệm, chẳng hạn nghiên cứu phương trình, bất phương trình bậc cao được chuyển dần về nghiên cứu phương trình, bất phương trình bậc thấp hơn. Các khái niệm, quan hệ trong hình học phẳng. Sự chuyển hóa giữa mặt phẳng và không gian được coi là phương pháp cơ bản để giải quyết các vấn đề của hình học: Phương pháp tổng hợp, phương pháp vecto, phương pháp tọa độ là kĩ năng cơ bản cần luyện tập cho học sinh khi học toán...
Phương pháp quy lạ về quen đòi hỏi người giải toán phải có kinh nghiệm để có thể nhận ra tình huống quen thuộc, phát hiện được cấu trúc chức năng mới của đối tượng quen thuộc. Nghĩa là đứng trước tình huống phải giải quyết người làm toán phải tiến hành nhận dạng tình huống ấy có phù hợp với định nghĩa, định lý hay quy tắc hay có ăn khớp với các phương pháp đã biết không. Hoạt động đó đòi hỏi ở người giải toán biết huy động tri thức.
Phương pháp quy lạ về quen thường dùng trong tìm lời giải bài toán là thông qua liên tưởng so sánh để thực hiện. G Polya đã chỉ rõ “ Sự so sánh là người dẫn đường vĩ đại”. Phép liên tưởng so sánh thường được sử dụng dạng: liên tưởng định nghĩa, định lý, quy tắc; liên tưởng đến phương pháp kỹ xảo thường sử dụng và liên tưởng tới những vấn đề cần giải quyết.
2.2.2.1. Liên tưởng tới định nghĩa, định lý và quy tắc học sinh đã biết
Đứng trước một bài toán hay một vấn đề cần giải quyết, người làm toán phải phân tích đặc điểm của bài toán, các yếu tố chính của bài toán liên tưởng tới những khái niệm trong bài toán với các định nghĩa, định lí quy tắc. Xét xem tình huống đó hoặc chỉ là giả thiết hoặc chỉ là kết luận có phù hợp với giả thiết hoặc kết luận của một định lý đã biết. Xét xem tình huống đó có phù hợp với một quy tắc, phương pháp cho trước không. Từ đó áp dụng định lý, quy tắc đã biết đó để giải hoặc tìm cách thỏa mãn một phần giả thiết hoặc một phần kết luận của bài toán.
Ví dụ 2.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số | | | |
Trước hết phân tích đặc điểm của bài toán. Rõ ràng bài toán đòi hỏi tìm GTNN của biểu thức giải tích gồm hai số hạng chứa trong dấu giá trị tuyệt đối. Muốn giải được bài toán thì cần phải xác định được, đánh giá được giá trị của biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng một số xác định nào đó. Do đó phải nhờ tới một định nghĩa của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Khí đó: {
Vì | | | | nên | | | | có giá trị nhỏ nhất là 2 khi
Nếu hướng tới ý tưởng hình học của giá trị tuyệt đối thì bài toán có thể phát biểu là tìm giá trị nhỏ nhất tổng khoảng cách từ điểm x tới điểm 2 và 4. Nếu biểu diễn trên trục số thấy ngay GTNN đạt được khi ba điểm 2, x, 4 thẳng hàng và x nằm giữa hai số 2 và 4. Khi đó GTNN là 2.
Nếu liên tưởng đến tính chất của giá trị tuyệt đối và phương pháp chứng minh bất đẳng thức, phương pháp làm trội thì | | | | | | | |
| | , đẳng thức xảy ra khi hay Ví dụ này liên hệ tới định nghĩa, phương pháp, tính chất tùy theo cách giải.
2.2.2.2. Phát huy năng lực của HS bằng cách cho HS liên tưởng tới những vấn đề mà học sinh đã từng giải quyết
Đứng trước một bài toán hay một vấn đề cần giải quyết, người làm toán thường suy nghĩ bài toán này có giống với một bài toán nào đó đã giải hay không. Có thể sử dụng phương pháp hay kết quả của bài toán đã giải để giải quyết bài toán mới hay không? Hoặc bài toán này có phải là trường hợp riêng của bài toán nào đó hay không, có thể có ngay kết quả bài toán này từ bài toán tổng quát đó không? ... Phương pháp liên tưởng tới các vấn đề đã giải quyết bao gồm các dạng:
Dạng 1: Sử dụng bài toán tương tự để tìm lời giải.
Trong nội dung dạy học môn toán ở trường Phổ thông có rất nhiều sự tương tự, lợi ích của nó là rất tốt. Tương tự được dùng làm xuất phát điểm của nhiều quá trình tư duy giúp cho việc mở rộng vấn đề, tìm tòi định hướng tìm đường lối giải quyết.
Chẳng hạn, giữa hình học phẳng và hình học không gian có nhiều sự tương tự, mạch logic trong hình học không gian tương tự như mạch logic trong hình học phẳng.
Chẳng hạn như:
Trong hình học phẳng Trong hình học không gian Tam giác OAB vuông tại O
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là tâm đường tròn nội tiếp hình chữ nhật cạnh .
Tam diện OABC đôi một vuông góc.
Với góc tạo bởi các mặt với .
Tâm mặt cầu ngoại tiếp OABC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ba cạnh OA, OB, OC Bài toán tương tự được sử dụng với tư cách là bài toán phương tiện được dùng tìm lời giải bài toán được thực hiện theo các bước:
Bước 1: Phát biểu bài toán tương tự với bài toán cần giải.
Bước 2: Giải bài toán tương tự.
Bước 3: Sử dụng phương pháp và kết quả bài toán tương tự vào gải bài toán ban đầu.
Bài toán ban đầu có thể tìm được lời giải nhờ áp dụng kết quả bài toán tương tự ở một số bước, hoặc có thể sử dụng phương pháp giải, hoặc có thể phải dùng tới cả phương pháp giải cũng như kết quả của nó. Nhưng cũng có thể là sự tương tự trên các bước giải, bước chứng minh.
Ví dụ 2.5. Cho hình chóp , cắt hình chóp bởi mặt phẳng lần lượt cắt các cạnh tại các điểm . Chứng minh rằng.
Bước 1: Phát biểu bài toán tương tự trong hình học phẳng.
Cho tam giác , một đường thẳng cắt các cạnh tại các điểm . Chứng minh rằng
Bước 2: Giải bài toán phẳng
Kẻ , khi đó
Vì
nên
Bước 3: Giải bài toán trong không gian Kẻ , khi đó
Áp dụng kết quả bài toán phẳng
và Vậy
Trong lời giải trên ban đầu chúng ta phải sử dụng phương pháp của bài toán tương tự trong phẳng: kẻ đường cao từ và các bước giải của bài toán cũng như áp dụng định lí Ta-lét. Đồng thời phải dùng cả kết quả của bài toán tương tự trong phẳng.
Dạng 2: Sử dụng bài toán đặc biệt hóa để tìm lời giải.
Khi mà sự liên hệ giữa giả thiết và kết luận trong bài toán chứng minh, hay sự liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm trong bài toán cần tìm là không rõ ràng, tính xác định của bài toán không rõ ràng và rất khó liên tưởng một cách chính xác thì việc nghiên cứu một vài trường hợp riêng điển hình góp phần làm cho sự liên hệ giữa các yếu tố đó một cách rõ ràng tạo điều kiện phát hiện được các mối quan hệ mang tính
chất quy luật từ đó gợi ý cho việc tìm kiếm lời giải bài toán. Hơn nữa trong một số trường hợp riêng chính là các phản thí dụ để bác bỏ mệnh để cần chứng minh. Bài toán đặc biệt hóa được dùng với ý nghĩa là các trường hợp riêng như vậy để tìm lời giải bài toán. Vấn đề ở chỗ tạo ra các trường hợp riêng như thế nào? Phải xem xét bao nhiêu trường hợp riêng? Trường hợp riêng có ý nghĩa trong việc giải bài toán là trường hợp như thế nào ?
Bài toán đặc biệt hóa được sử dụng với ý nghĩa thứ nhất xem như là phương tiện để tìm lời giải bài toán ban đầu thường được tiến hành theo các bước
Bước 1. Tìm bài toán đặc biệt hóa.
Bước 2. Giải bài toán đặc biệt hóa.
Bước 3. Nghiên cứu sử dụng kết quả bài toán đặt biệt hóa và phương pháp giải vận dụng vào tìm lời giải bài toán ban đầu.
Bài toán đặc biệt hóa được sử dụng để bác bỏ mệnh đề cần chứng minh khi đó nó chính là các phản thí dụ.
Bài toán đặc biệt hóa được sử dụng với ý nghĩa rèn luyện năng lực giải toán năng lực toán học cho học sinh trên cơ sở bồi dưỡng năng lực suy luận đặc biệt hóa kết hợp với năng lực suy luận tương tự, khái quát hóa…
Trong nội dung này chỉ đề cập tới các ý nghĩa đó của việc nghiên cứu của bài toán đặc biệt hóa và chỉ minh họa bằng một số thí dụ cụ thể.
Ví dụ 2.6. Với giá trị nào của a thì hàm số )= thỏa mãn điều kiện
| |
Phân tích: Phải tìm a để | | Nếu a tìm được thì | | khi đó phải có | | | | Tức là | | | | Và | ( )| | | | | |
| .
Như vậy việc xét là việc xem xét các trường hợp riêng của bài toán. Các trường hợp riêng này chính là điều kiện “cần” nhưng chưa đủ của bài toán. Nhưng rõ ràng việc xét trường hợp riêng đã định được hướng cho lời giải bài toán. Trong việc xét trường hợp riêng này thì khó khăn nhất của người giải toán là giải thích tại sao chỉ xét hai trường hợp và tại sao lại xét tại mà không phải tại giái trị khác? Các trường hợp riêng cũng là khâu không thể thiếu của lời giải.
Bây giờ chứng minh điều kiện đủ với hàm số có dạng khảo sát trên đoạn [-1,1] ta có bảng biến thiên:
;
GTLN của hàm số trên đoạn GTNN của hàm số trên đoạn Do đó | |
Vậy thỏa mãn điều kiện.
Dạng 3: Sử dụng các bài toán khái quát hóa để tìm lời giải bài toán.
Phép khái quát hóa là phép suy luận chuyển từ việc nghiên cứu một đối tượng hay một lớp đối tượng sang nghiên cứu một lớp đối tượng rộng hơn chứa đối tượng ban đầu. Phép khái quát hóa là phép suy luận ngược lại của phép đặc biệt hóa.
Ví dụ khi nghiên cứu một đối tượng toán học có nội dung có phạm vi chuyển sang nghiên cứu đối tượng có nội dung có phạm vi , nếu hoặc nội dung xem là trường hợp đặc biệt của thì ta đã thực hiện được khái quát hóa.
Trong giải toán, bài toán khái quát hóa cũng được hình thành bằng cách như vậy. Nghĩa là khi bớt đi một hoặc một số điều kiện của giả thiết thì ta đã chuyển nghiên cứu một tập đối tượng sang nghiên cứu một tập đối tượng rộng hơn chứa tập đối tượng ban đầu. Ngoài con đường chủ yếu đó bài toán khái quát hóa còn có thể thiết lập bằng cách:
x -1 -0.5 0.5 1
y' y'
+ 0 - 0 + 1 1 -1 -1
Thay hằng bởi biến;
Thay một số điều kiện trong bài toán bởi điều kiện ít ràng buộc hơn, rộng hơn;
Thay vị trí của một điểm một hình bởi vị trí bất kì của nó; hoặc bớt một điều kiện của giả thiết.
Ví dụ 2.7. Giả sử a,b là hai số thực
{ | } { | } { | }
Biện luận xem có tồn tại để đồng thời xảy ra:
Phân tích, bài toán có nhiều dữ liệu và phức tạp, để tìm hướng giải quyết phải làm rõ vấn đề toán học ở đây là gì? Kết hợp ba tập hợp điểm trong đề bài gợi cho ta sử dụng ý nghĩa hình học của các tập hợp điểm để giải bài toán.
chính là tập các điểm có hoành độ nguyên thuộc đường thẳng là tập hợp các điểm có hoành độ nguyên thuộc parabol C là tập hợp các điểm trong hình tròn
Dấu hiệu B Nghĩa là tồn tại số và số nguyên thỏa mãn . Ý nghĩa hình học có điểm thỏa mãn phương trình hay
Ý nghĩa hình học của là nằm trong hình tròn . Như vậy thực chất vấn đề toán học là tồn tại hay không điểm thỏa mãn, thuộc đường thẳng và nằm trong hình tròn . Từ đó dễ dàng giải quyết được bài toán cách giải tự nó đến.
Nhờ việc khái quát hợp đặc điểm vấn đề toán học làm giảm bớt các điều kiện bài toán làm giảm nhẹ gánh nặng trí nhớ từ đó góp phần nâng cao hiệu suất tư duy hiểu vấn đề một cách rõ ràng nâng cao năng lực phân tích và giải quyết vấn đề.
Lời giải: Vấn đề tồn tại điểm thỏa mãn đồng thời hai điều kiện phụ thuộc vào vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có tâm và bán kính
Ta có : | √ |
Muốn có thỏa mãn điều kiện bài thì khi đó phải có hay . Vì nên không tồn tại giá trị thỏa mãn . Do đó không tồn tại thỏa mãn đề bài.
Việc dùng hình thức khái quát hóa để giải toán được hiểu là, trên cơ sở khái quát hóa đặc điểm các vấn đề của đề bài, xuất phát từ góc độ chung để suy nghĩ cách giải quyết. Khi dung hình thức khái quát hóa để giải các quan hệ logic rõ ràng, không những quá trình giải đơn giản mà còn giúp ta hiểu được bản chất vấn đề.
Trong việc giải toán, dùng hình thức khái quát hóa để giải còn được biểu hiện ở chỗ khi vận dụng công thức quy tắc để giải toán, đầu tiên là người ta sử dụng ở dạng chung sau đó mới thay các số cụ thể vào chứ không thực hiện vừa thay số vừa giải.
Việc dùng hình thức khái quát hóa để giải đối với các bài toán phức tạp có số bước giải nhiều, có nhiều mối quan hệ giữa các đối tượng, không chỉ làm cho việc giải toán được đơn giản, tránh được sự nhầm lẫn trong tính toán nhờ sự định hướng rõ ràng mà còn có thể sử dụng giải quyết không chỉ một bài một vấn đề mà là lớp các vấn đề.
Việc dùng hình thức khái quát hóa tức là giải bài toán có thể mô tả ba quy trình:
Bước 1: Tìm bài toán khái quát hóa Bước 2: Giải bài toán khái quát hóa
Bước 3: Giải bài toán ban đầu nhờ vào bài toán khái quát hóa. Nó có thể xem là trường hợp riêng của bài toán khái quát hóa.
Vấn đề quan trọng nhất của hướng tìm lối giải sử dụng bài toán khái quát lại là việc tìm được bài toán khái quát hóa có ý nghĩa. Nghĩa là bài toán khái quát hóa phải đúng, chính xác toán học và có thể sử dụng là phương tiện giải quyết bài toán ban đầu.
Vì vậy việc bồi dưỡng năng lực khái quát hóa xem là vấn đề cơ bản trong bồi dưỡng năng lực toán học nói chung và năng lực giải toán nói riêng.
Trình độ khái quát hóa có mức độ khác nhau giống như bậc thang, khái quát hóa được càng sâu phạm vi khái quát càng rộng, khái quát hóa càng nhanh thì trình độ khái quát hóa càng cao.
2.2.2.3. Liên tưởng tới những cách thức và thủ thuật mà HS thường dùng
Quá trình giải toán là quá trình liên tục biến đổi bài toán thành những bài toán cơ bản đã có quy tắc, phương pháp giải. Vì vậy việc giải toán luôn đòi hỏi phải biến đổi linh hoạt bài về tình huống quen thuộc có thể sử dụng phương pháp giải đã biết và kỹ sảo đã có của mình. Như vậy việc hướng đẫn học sinh giải toán đòi hỏi giáo viên thực hiện tốt hai công việc:
- Thứ nhất là tập luyện cho học sinh hoạt động nhận dạng và thể hiện một phương pháp. Nhận dạng một phương pháp là xem một dãy tình huống cho trước có phù hợp với một phương pháp. Thể hiện một phương pháp là tạo ra một tình huống ăn khớp với phương pháp. Chỉ khi học sinh thực hiện tốt hai hoạt động đó mới coi là học sinh nắm vững phương pháp giải. Điều đó không phải đơn giản việc nhận ra tình huống phù hợp với một phương pháp đã là khó, nhiều khi phải trải qua nhiều bước biến đổi vấn đề và phát hiện được đặc điểm riêng ẩn sâu của bài toán thì mới đưa bài toán về tình huống quen thuộc. Việc tạo ra tình huống thể hiện một phương pháp thực ra là việc sáng tạo toán học, điều này không phải dễ dàng thực hiện được. Nhưng việc sáng tạo bài toán lại là đích cuối cùng của việc học toán là phải biết làm toán.
- Thứ hai cần biết khái quát hóa hướng suy nghĩ cách giải mỗi khi giải quyết một bài toán. Chỉ khi người giải toán khái quát hóa được hướng suy nghĩ thì mới tạo ra được phương pháp giải để áp dụng giải quyết các bài toán cùng loại. Chính Đề-Các đã nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực để giải quyết vấn đề khác”.
Ví dụ 2.8. cho thỏa mãn đồng thời điều kiện { Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
Xét đặc điểm đề bài làm cho ta liên tưởng đến phương pháp quen thuộc là:
Phương pháp tam thức bậc hai: Theo đề bài ta có { Khi đó là nghiệm của phương trình: – – Muốn vậy ta phải có – ( )
–