Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN "CỰC TRỊ HÌNH HỌC" THEO ĐỊNH HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THPT
2.2. Một số biện pháp sư phạm
2.2.1. Biện pháp 1. Hướng dẫn, tổ chức cho HS thực hiện các thao tác tư
Theo Phạm Minh Hạc [6, tr16]: “Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề, có tính khách quan, có tính gián tiếp, biểu đạt bằng ngôn ngữ, có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu bằng cảm tính, là một quá trình. Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định”.
Tư duy nói chung, tư duy nói riêng trong dạy học Toán bao giờ cũng có đối tượng, đó là những đối tượng mang tính nhu cầu. Những nhu cầu có thể là cần phát hiện tri thức mới (khái niệm mới, định lí mới, quan hệ mới, thông qua giải quyết những mâu thuẫn, những sai lầm…). Từ đó, việc xây dựng các tình huống kích thích tư duy cần chứa đựng các mâu thuẫn, những chướng ngại vật và hướng HS tư duy làm bộc lộ những khó khăn, chướng ngại, mâu thuẫn, HS cần phải biến đổi đối tượng, biến đổi hình chức che đậy nội dung của các đối tượng quan hệ. Tư duy biến đổi hình thức của đối tượng, làm cho tri thức mới gần gũi tương hợp với tri thức đã có.
Trong các tài liệu về Lý luận dạy học khi đề cập tới vấn đề này, các tác giả đều thống nhất: Không có phương pháp chung tổng quát nào để giải quyết mọi bài toán.
Trong nội dung dạy học toán ở trường phổ thông không phải mọi bài toán đều có thuật toán để giải mà còn nhiều bài toán chưa tìm được lời giải. Giải bài toán thực chất là một quá trình tư duy toán học. Vì vậy theo chúng tôi phương pháp tìm lời giải bài toán nằm trong phương pháp tư duy toán học, phương pháp tư duy toán: Phân tích và tổng hợp.
2.2.1.1. Sử dụng phép phân tích để tìm lời giải
Xuất phát điểm của việc phân tích để tìm lời giải của bài toán là kết luận của bài toán nó có thể là điều phải tìm trong bài toán tìm tòi, hay điều phải chứng minh trong bài toán chứng minh. Người ta thường giả thiết rằng kết quả đó tồn tại và đi theo hai hướng:
Hướng thứ nhất đi tìm điều kiện để dẫn đến nó là gì? Cứ từng bước đi ngược như thế cho đến khi gặp các dữ liệu đã biết, tức là cái cần tìm, từng bước tìm được các đã biết. Phép phân tích trong trường hợp này gọi là phép phân tích đi lên. Quá trình đi tìm cái đã biết trong phương pháp phân tích đi lên có thể mô tả đơn giải bằng sơ đồ ⏟
⏟
⏟
. là kết luận và là giả thiết hay điều đúng đã biết.
Xuất phát của sơ đồ là X, kết thúc là B và có thể diễn tả muốn có X chỉ cần có A1 là đủ, muốn có A1 chỉ cần có A2 là đủ, … muốn cóAn chỉ cần có Blà đủ. Thực chất quan hệ logic trong diễn tả đó không chỉ tìm điều kiện đủ mà là tìm cả điều kiện cần.
Hương thứ hai đi tìm quan hệ logic của nó. Phép phân tích trong trường hợp này gọi là phép phân tích đi xuống và có thể diễn tả bằng sơ đồ:
⏟
⏟
⏟
. X là xuất phát của sơ đồ, kết thúc là B. Nếu B là một mệnh đề sai thì theo quy tắc suy luận ta khẳng định X là sai, phép phân tích trong trường hợp này có mục đích bác bỏ. Nếu B là điều đúng thì chưa có kết luận về X, nếu thêm vào đó quá trình tổng hợp ngược lại từ B:
thì ta có chứng minh X, hay X tìm được. Phép phân tích trong trường hợp này có tác dụng tìm tòi lời giải.
Trong việc tìm kiếm lời giải bài toán bằng phương pháp phân tích có bài toán khoảng cách từ X tới B rất gần chỉ là một bước giải, nhưng cũng có những bài toán mà khoảng cách này lại rất xa nó không chỉ là một vài bước, các bài toán trong trường hợp này rõ ràng là phức tạp hơn các bài toán trước đó. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp khoảng cách đó lại do người giải toán. Chẳng hạn người giải toán không có định hướng đúng nên sai một số bước bài toán trở lên phức tạp hơn hoặc lại trở về bài toán ban đầu. Muốn cho định hướng đúng thì phải biết quan sát, phân tích các đặc điểm của kết luận mà để xuất phát biến đổi. Mỗi bước biến đổi được xem là đúng hướng nếu sau phép biến đổi giả thiết gần gũi với kết luận.
Ví dụ 2.1. Cho , các đường cao , phân giác , trung tuyến đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác . Chứng minh rằng đều.
Lời giải:
Giả thiết rằng đều thì ̂ ̂ ̂ Mặt khác ̂ nên Vì
là trung tuyến nên cân tại . Vì ̂ nên đều. Do đó không tồn tại vì khi đó đồng quy.
Phương pháp phân tích được dùng để tìm lời giải bài toán là phương pháp phân tích đi xuống có
tính chất bác bỏ mệnh đề cần chứng minh. Ta cũng cần chú ý rằng phép phân tích đi xuống chỉ được coi là chứng minh (bác bỏ) trong trường hợp này. Nói chung không được lấy điều kiện cần chứng minh làm điều đã biết để suy lý.
Tóm lại phép phân tích là phương pháp thường dùng để tìm lời giải bài toán.
Dùng phép phân tích cho lời giải bài toán một cách tự nhiên, phát triển tư duy suy diễn để giải bài toán. Phép phân tích thường kết hợp phép tổng hợp khi giải toán, thông thường dùng phép phân tích tìm tòi định hướng lời giải, phép tổng hợp theo sau trình bày lời giải bài toán. Kết thúc quá trình phân tích là xuất phát điểm của quá trình tổng hợp.
2.2.1.2. Sử dụng phép tổng hợp để tìm lời giải
Xuất phát điểm của việc tổng hợp để tìm lời giải cho một bài toán là điều đúng đã biết có thể là giả thiết của bài toán hoặc từ một điều đúng đã biết nào đó, một định nghĩa, một định lý hay một tiên đề, từng bước suy diễn tính toán cho đến khi làm được kết quả tức là từ cái đã biết “tiên đề” để tìm cái “cần tìm”, “hệ quả logic – kết luận”. Quá trình tìm hệ quả logic diễn tả theo sơ đồ : ⏟
⏟
⏟
, trong đó A là điều đúng đã biết và B là cái cần tìm là kết luận.
Tìm lời giải bằng phép tổng hợp là quá trình đi ngược lại của phép phân tích. Nếu mục đích của phép phân tích là làm cho kết luận của bài toán gần hơn với giả thiết(quá trình tìm tiên đề) thì mục đích của phép tổng hợp lại làm giả thiết gần hơn với kết luận( quá trình tìm hệ quả logic)
Điều đáng lưu ý ở đây là quá trình suy diễn từ A tới B ở mỗi bước phải được định hướng đúng đắn bởi các quan sát có ích từ kết luận, không thể có suy diễn chung chung thiếu mục đích. Nếu không có định hướng đúng đó thì hoặc sẽ làm tăng bước suy diễn làm cho bài toán phức tạp có bước suy luận không cần thiết hoặc không thể đi tới kết luận hoặc lại phải quay trở lại ban đầu. Mỗi phép suy diễn, mỗi bước trong quá trình tổng hợp được gọi là đúng hướng nếu sau phép biến đổi giả thiết phải gần hơn với kết luận. Để có định hướng đúng đỏi hỏi phải biết phân tích các đặc điểm của kết luận mà đề xuất các phép biến đổi, nghĩa là phải xác định đúng xuất phát điểm và hệ quả logic: xuất phát từ đâu và rút ra điều gì?
Một phương pháp thường sử dụng tìm xuất phát điểm của phép tổng hợp là kết hợp với phép phân tích xem kết thúc của phép phân tích làm xuất phát điểm của tổng hợp.
Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng nếu là ba góc của tam giác thì Lời giải:
Vì là ba góc của tam giác nên nên
Từ đó ta cũng suy ra:
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được
Từ giả thiết là ba góc của tam giác nên ,
do đó 2+2
Vậy
Nhận thấy rằng sự suất hiện số 2 ở vế phải làm cho ta liên tưởng tới
và do đó có đánh giá
Như vậy việc tìm ra xuất phát điểm của chứng minh đòi hỏi phải có liên tưởng, cảm nhận, nhậy cảm và cuối cùng cần có kinh nghiệm giải toán. Xuất phát điểm của phương pháp tổng hợp tìm được trong trường hợp này là đặc điểm kết luận của bài toán, nhờ có liên tưởng tới điều đã biết mà chúng ta tìm đúng hướng và đã cho lời giải.
Ví dụ 2.3. Cho hình chóp có và , tam giác vuông tại ̂ . Gọi là một điểm di động trên cạnh , . Đặt , Tính khoảng cách từ đến theo . Tìm để khoảng cách đó lớn nhất.
Phân tích
- Ta thấy với là hình chiếu của trên .
- Để độ dài ta đưa về việc tính do vuông tại .
- Để tính lại dựa vào x và a.
- Xét
Xét √
√
- Để lớn nhất ta tìm GTLN của hàm số: √
Tổng hợp Ta có
Tính khoảng cách từ đến bằng do . Tính : Ta có
Mặt khác √
√ √
√ √ Xét √
√ Tìm
√ đạt GTLN.
AH SH BM
BM BM
SA
Ta có Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra khi √ √ khi đó trùng với . Khi đó √ .
Nhờ có sự liên tưởng rằng đường vuông góc bao giờ cũng ngắn hơn đường xiên nên ta suy ra được lớn nhất khi trùng với và trùng với .
Phép phân tích và tổng hợp là các phương pháp cơ bản để tìm lời giải bài toán.
Phương pháp phân tích có ưu điểm quá trình tìm lời giải một các tự nhiên gần gũi với quá trình suy nghĩ, cấu trúc đơn giản “ muốn chứng minh A ta chỉ cần chứng minh A1 là đủ”. G. Polya đã viết về lối tư duy phân tích: Người khôn bắt đầu từ chỗ kết thúc.
Phương pháp này có nhược điểm là diễn đạt trong trình bày lời giải rườm rà. Phép tổng hợp khắc phục được nhược điểm trên nhưng lời giải thì không tự nhiên, học sinh không biết tại sao lại xuất phát từ đó, nếu xuất phát từ giả thiết này thì rút ra kết luận gì, tại sao lại có được kết quả đó. Cũng vì lẽ đó mà phép phân tích và phép tổng hợp thường kết hợp với nhau trong giải quyết bài toán, khó có thể tách biệt chúng thành 2 quá trình độc lập. Phân tích là tìm tòi định hướng đường lối giải quyết vấn đề, tổng hợp đi sau trình bày vấn đề đó.