BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Hùng Vương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Hùng Vương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, nhận giúp đỡ nhiều người Đầu tiên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Tuấn Nam, người thầy bảo tận tình trình giảng dạy trình hướng dẫn, giúp vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất quý Thầy, Cô tận tình giảng dạy cho suốt trình học cao học Những kiến thức quý báu làm hành trang cho trình học tập nghiên cứu sau Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học thực luận văn Cuối cùng, muốn tỏ lòng biết ơn gia đình tôi, bạn bè tôi, người giúp đỡ, động viên suốt khóa học Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 BÙI HÙNG VƯƠNG MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm tử dẫn xuất trái 1.2 Giới hạn nghịch 1.3 Đầy đủ môđun 11 1.4 Bao nội xạ 13 1.5 Đối Ngẫu Matlis 14 1.6 Phức Koszul 15 1.7 Phạm trù ∗ 𝓜(𝑹) 17 CHƯƠNG : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 19 2.1 Hàm tử dẫn xuất hàm tử đầy đủ I-adic 19 2.2 Môđun đồng điều địa phương môđun đồng điều Koszul 21 2.3 Đồng điều địa phương môđun Artin 35 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 49 3.1 ∗ Giới hạn nghịch 49 3.2 Đầy đủ ∗ adic môđun 52 3.3 Phức Koszul phạm trù ∗ 𝓜𝑹 56 3.4 Môđun đồng điều địa phương phân bậc 58 3.5 Môđun đồng điều địa phương phân bậc môđun đồng điều Koszul 61 3.6 Đồng điều địa phương phân bậc môđun Artin 69 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 KÍ HIỆU ℕ 𝑅 vành giao hoán có đơn vị Hom𝑅 (𝑀, 𝑁) End𝑅 (𝑀, 𝑀) tập hợp tất 𝑅-đồng cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁 tập hợp tất 𝑅-tự đồng cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑀 tập số tự nhiên 0, 1, 2,… ℳ (𝑅 ) phạm trù R-môđun R-đồng cấu Ann𝑅 (𝑀) linh hóa tử môđun 𝑀 ∗ phạm trù R-môđun phân bậc R-đồng cấu ℳ (𝑅 ) ∗ lim𝑀𝑖 , ∗lim𝑀𝑖 ⟵ 𝑖 ⟵ lim𝑀𝑖 , lim𝑀𝑖 ⟵ 𝑖 ⟵ giới hạn nghịch hệ nghịch môđun {𝑀𝑖 } ∗ giới hạn nghịch hệ nghịch môđun phân bậc {𝑀𝑖 } lim𝑀𝑖 , lim𝑀𝑖 giới hạn thuận hệ thuận môđun {𝑀𝑖 } 𝑅� đầy đủ vành 𝑅 ∧ 𝐼 , ∧ 𝐼 (− ) hàm tử đầy đủ 𝐼-adic ⟶ 𝑖 � 𝑀 ⟶ ∧𝐼 (𝑀) đầy đủ môđun 𝑀 đầy đủ 𝐼-adic môđun 𝑀 𝐿𝐼𝑖 hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 ∧𝐼 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼 𝐻𝐼𝑖 (𝑀) ∗ ∧𝐼 (𝑀) ∗ ∧𝐼 , ∗∧𝐼 (−) ∗ 𝐼 𝐿𝑖 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ∗ môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 𝑀 theo iđêan 𝐼 đầy đủ 𝐼- ∗ adic môđun phân bậc 𝑀 hàm tử đầy đủ 𝐼- ∗ adic hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 ∗∧𝐼 môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 môđun phân bậc 𝑀 theo iđêan 𝐼 𝐾∘ (𝑥) phức Koszul vành 𝑅 theo dãy 𝑥 = (𝑥1 , … 𝑥𝑟 ) 𝐻𝑖 (𝑥) môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 phức 𝐾∘ (𝑥) 𝐾∘ (𝑥; 𝑀) 𝐻𝑖 (𝑥; 𝑀) 𝑥 𝐻𝑖 (𝑀) phức Koszul môđun 𝑀 theo dãy 𝑥 = (𝑥1 , … 𝑥𝑟 ) môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 phức 𝐾∘ (𝑥; 𝑀) môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 𝑀 theo dãy 𝑥 𝐸(𝑀) bao nội xạ môđun 𝑀 dim 𝑀 chiều Krull môđun 𝑀 𝐷(𝑀) Ndim 𝑀 Ass𝑅 (𝑀) Coass𝑅 (𝑀) đối ngẫu Matlis môđun 𝑀 chiều Noether môđun 𝑀 tập tất iđêan nguyên tố liên kết với môđun 𝑀 tập tất iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun 𝑀 MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương công cụ quan trọng hình học đại số ngày có nhiều ứng dụng đại số giao hoán Do nhiều nhà toán học giới tìm cách xây dựng lý thuyết khác, xem đối ngẫu với lý thuyết Vấn đề nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees – May (1992), Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman (1999),…Tuy nhiên kết hạn chế chủ yếu nghiên cứu lớp môđun Artin giới hạn ngược không khớp phải phạm trù môđun Năm 1999-2000, Nguyễn Tự Cường Trần Tuấn Nam đưa định nghĩa môđun đồng điều địa phương chứng minh nhiều kết cho lớp môđun Artin, tác giả mở rộng phát triển lý thuyết đồng điều địa phương cho lớp môđun Compact tuyến tính, lớp môđun rộng chứa lớp môđun Artin Luận văn tập trung nghiên cứu tính chất môđun đồng điều địa phương, đặc biệt lớp môđun Artin Nội dung luận văn tham khảo trực tiếp từ báo Nguyễn Tự Cường Trần Tuấn Nam: “The I-adic completion and local homology for Artinian modules” [8] Trên sở chứng minh chi tiết vấn đề nêu báo nghiên cứu tính chất cho đồng điều địa phương phân bậc, xem khái niệm đối ngẫu với đối đồng điều địa phương phân bậc Luận văn trình bày thành ba chương Chương trình bày số kiến thức trang bị dùng đến cho hai chương sau, như: hàm tử dẫn xuất trái, giới hạn nghịch, đầy đủ môđun, bao nội xạ, đối ngẫu Matlis, phức Koszul, phạm trù môđun phân bậc Chương hai trình bày tính chất môđun đồng điều địa phương Cụ thể sau: Trong phần 2.1 chương hai trình bày hàm tử dẫn xuất trái hàm tử đầy I-adic, ∧𝐼 (−) Do hàm tử không khớp trái nên ta xét mối quan hệ với hàm tử dẫn xuất trái 𝐿𝐼0 (−) Phần 2.2 trình bày mối liên hệ môđun đồng điều địa phương môđun đồng điều Koszul Trước tiên định nghĩa môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖𝐼 (𝑀), xác định 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) ⟵ 𝑡 Khi {𝐻𝑖𝐼 (−)}𝑖≥0 dãy nối dương từ phạm trù ℳ (𝑅 ) vào Sau mối liên hệ 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) 𝐿𝐼𝑖 (𝑀), chứng minh số tính chất môđun 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) tính I-tách công thức tính dựa vào đối ngẫu Matlis Cuối đẳng cấu tự nhiên môđun đồng điều địa phương môđun đồng điều Koszul Tới phần 2.3, trọng tâm chương này, trình bày số tính chất môđun đồng điều địa phương cho lớp môđun Artin Trước hết đẳng cấu tự nhiên 𝐻𝑖𝐼 (−) 𝐿𝐼𝑖 (−) cho lớp môđun Dựa vào đẳng cấu có dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương dãy khớp ngắn môđun Artin Tiếp theo tính chất ∧𝐼 -acyclic đặc trưng đồng điều địa phương môđun Artin I-tách Đưa định lý “Flat base change theorem” cho môđun đồng điều địa phương Cuối xét tính Artin Noether, tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương Cuối chương trình bày số tính chất môđun đồng điều địa phương phân bậc Môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 môđun phân bậc 𝑀 theo iđêan 𝐼 , ký hiệu ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀), xác định 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) ∗ ⟵ 𝑡 Trong phạm vi luận văn tập trung nghiên cứu chứng minh số tính chất chuyển từ tính chất môđun đồng điều địa phương qua Vẫn nhiều tính chất đặc trưng phân bậc chưa nhắc đến Mặc dù thân có nhiều cố gắng trình làm luận văn kiến thức hạn hẹp nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý Quí Thầy Cô, bạn đọc, để nội dung luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm tử dẫn xuất trái Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm tử cộng tính hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, 𝒜, 𝒞 hai phạm trù Abel 𝒜 đủ xạ ảnh Chúng ta xây đựng hàm tử 𝐿𝑛 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, với số nguyên 𝑛 sau: Với vật 𝐴 ∈ 𝒜, chọn phép giải xạ ảnh 𝐴 𝑑2 𝑑1 𝜀 𝑃∘ : … → 𝑃2 �⎯⎯⎯� 𝑃1 �⎯⎯⎯� 𝑃0 �⎯⎯� 𝐴 → Phức thu gọn tương ứng (đôi ta dùng kí hiệu 𝑃∘ cho phức thu gọn) 𝑑2 𝑑1 𝑷∘ : … → 𝑃2 �⎯⎯⎯� 𝑃1 �⎯⎯⎯� 𝑃0 → Tác động hàm tử 𝑇 vào phức thu gọn ta phức 𝑇𝑷∘ , sau lấy đồng điều, định nghĩa (𝐿𝑛 𝑇)𝐴 = 𝐻𝑛 (𝑇𝑷∘ ) = Ker𝑇𝑑𝑛 /Im𝑇𝑑𝑛+1 Định nghĩa rõ ràng không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh 𝐴 ([23, 6.20]) Khi 𝐿𝑛 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 hàm tử cộng tính hiệp biến với 𝑛 ([23, 6.17]) Hàm tử 𝐿𝑛 𝑇 gọi hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑛 𝑇 Định lý 1.1.2 ([23, 6.27]) Cho hàm tử cộng tính hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, 𝒜, 𝒞 hai phạm trù Abel 𝒜 đủ xạ ảnh Nếu ta có dãy khớp ngắn 𝒜 𝑓 𝑔 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → Khi có khớp dài 𝒞 (𝐿𝑛+1 𝑇)𝑓 (𝐿𝑛+1 𝑇)𝑔 𝛿𝑛+1 (𝐿𝑛 𝑇)𝑓 (𝐿𝑛 𝑇)𝑔 … �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 �⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐴 �⎯⎯⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯� … (𝐿1 𝑇)𝑔 𝛿1 (𝐿0 𝑇)𝑓 (𝐿0 𝑇)𝑔 … �⎯⎯⎯� (𝐿1 𝑇)𝐶 → (𝐿0 𝑇)𝐴 �⎯⎯⎯� (𝐿0 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯� (𝐿0 𝑇)𝐶 → Chú ý đồng cấu nối 𝛿𝑛+1 : (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 → (𝐿𝑛 𝑇)𝐴, 𝑛 ≥ có tính chất tự nhiên; nghĩa là, dãy khớp ngắn → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 𝒜 làm biểu đồ giao hoán 0→𝐴→𝐵 →𝐶 →0 ↓ ↓ ↓ → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → Thì biểu đồ sau giao hoán 𝛿 (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 �⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐴 ↓ ↓ 𝛿′ (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 ′ �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐴′ Hệ 1.1.3 ([23, 6.28]) Nếu 𝑇: ℳ(𝑅) ⟶ ℳ(𝑅 ′ ) hàm tử cộng tính hiệp biến hàm tử 𝐿0 𝑇 khớp phải Hơn có thêm giả thuyết 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 hàm tử cộng tính, hiệp biến khớp phải 𝑇 đẳng cấu tự nhiên với 𝐿0 𝑇 ([23, 6.29]) Định nghĩa 1.1.4 Cho 𝒜, 𝒞 phạm trù Abel Dãy hàm tử cộng tính, hiệp biến {𝑇𝑛 : 𝒜 ⟶ 𝒞}𝑛≥0 gọi dãy nối dương, với dãy khớp ngắn 𝒜, → 𝐴 𝛿𝑛+1 → 𝐵 → 𝐶 → 0, tồn đồng cấu nối 𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯� 𝑇𝑛 (𝐴) cho phức 𝛿𝑛+1 … → 𝑇𝑛+1 (𝐵) → 𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯� 𝑇𝑛 (𝐴) → 𝑇𝑛 (𝐵) → ⋯ 𝛿1 … → 𝑇1 (𝐶 ) → 𝑇0 (𝐴) → 𝑇0 (𝐵) → 𝑇0 (𝐶 ) → tồn đồng cấu nối có tính chất tự nhiên Dãy {𝑇𝑛 }𝑛≥0 gọi dãy nối dương mạnh có thêm điều kiện phức khớp Đồng cấu 𝑓: {𝑇𝑛 }𝑛≥0 → {𝐻𝑛 }𝑛≥0 hai dãy nối dương dãy phép biến đổi tự nhiên 𝑓𝑛 : 𝑇𝑛 → 𝐻𝑛 với 𝑛 ≥ 0, thỏa với dãy khớp ngắn → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → biểu đồ sau giao hoán 𝛿 𝑓𝑛+1 (𝐶) 𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯⎯⎯⎯� 𝑇𝑛 (𝐴) 𝛿 𝑓𝑛 (𝐴) 𝐻𝑛+1 (𝐶 ) �⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑛 (𝐴) Định lý 1.1.5 ([23, 6.36]) Cho 𝒜, 𝒞 phạm trù Abel 𝒜 đủ xạ ảnh Nếu {𝑇𝑛 }𝑛≥0 , {𝐻𝑛 }𝑛≥0 dãy nối dương mạnh từ 𝒜 ⟶ 𝒞, với 𝐻𝑛 (𝑃) = cho vật xạ ảnh 𝑃 𝑛 ≥ 1, 𝑓0 : 𝑇0 → 𝐻0 biến đổi tự nhiên, tồn đồng cấu 𝑓: {𝑇𝑛 } → {𝐻𝑛 } Hơn 𝑓0 đẳng cấu tự nhiên 𝑓𝑛 đẳng cấu tự nhiên với 𝑛 ≥ Hệ 1.1.6 Cho hai hàm tử cộng tính hiệp biến 𝑇, 𝐻: 𝒜 ⟶ 𝒞, 𝒜, 𝒞 hai phạm trù Abel 𝒜 đủ xạ ảnh Nếu hai hàm tử 𝑇 𝐻 đẳng cấu tự nhiên; 𝐿𝑛 𝐻 (𝑃) = cho vật xạ ảnh 𝑃 𝑛 ≥ 1, tồn đẳng cấu hai dãy nối dương mạnh {𝐿𝑛 𝑇}𝑛≥0 {𝐿𝑛 𝐻 }𝑛≥0 Chứng minh Do ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ⊆ 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) nên kết suy từ Mệnh đề 2.2.5(i).∎ Sau xét mối quan hệ đồng điều địa phương phân bậc đồng điều phức Koszul phạm trù ∗ℳ (𝑅) Bây ta giả sử iđêan 𝐼 sinh 𝑟 phần tử phân bậc 𝑥1 , … , 𝑥𝑟 𝑅, với deg(𝑥𝑖 ) = 𝑘𝑖 Với số nguyên dương 𝑡, xét dãy phần tử 𝑥(𝑡) = (𝑥1𝑡 , … , 𝑥𝑟𝑡 ), xem iđêan Bổ đề 3.5.6 Cho 𝐹 𝑅-môđun ∗ phẳng Khi với số nguyên 𝑘, tồn số nguyên 𝑡0 > 𝑘 thỏa mãn đồng cấu 𝐻𝑖 (𝜃∘𝑡,𝑘 ; 𝐹 ): 𝐻𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝐹� ⟶ 𝐻𝑖 �𝑥(𝑘 ); 𝐹� đồng cấu không với 𝑡 ≥ 𝑡0 𝑖 > Chứng minh Tương tự chứng minh Bổ đề 2.2.7 ∎ Bổ đề 3.5.7 Cho dãy khớp phạm trù ∗ℳ (𝑅) → 𝐾 → 𝐹𝑖−1 → ⋯ → 𝐹1 → 𝐹0 → 𝑀 → với 𝐹𝑡 môđun ∗ phẳng Khi có đẳng cấu ∗ ∗ 𝑥 𝑥 𝐻𝑗+𝑖 (𝑀) ≅ ∗𝐻𝑗 (𝐾), 𝑗 > 0; lim𝐻𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ≅ Ker� ∗∧𝐼 (𝐾) → ∗∧𝐼 (𝐹𝑖−1 )� 𝑥 ⟵ 𝑡 𝑥 Hơn ∗𝐻𝑗+𝑖 (𝑀) ≅ ∗𝐻𝑗 (𝐾) đẳng cấu tự nhiên Chứng minh Trước tiên chứng minh cho trường hợp 𝑖 = Với 𝑡 > dãy khớp ngắn môđun phân bậc → 𝐾 → 𝐹0 → 𝑀 → cảm sinh dãy khớp dài môđun đồng điều Koszul phạm trù ∗ℳ (𝑅) 𝑡 𝑓𝑗+1 𝑡 𝑔𝑗+1 𝛿𝑗𝑡 𝑓𝑗𝑡 𝑔𝑗𝑡 … �⎯� 𝐻𝑗+1 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 � �⎯� 𝐻𝑗+1 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� → 𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐾� → 𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 � → 𝑔1𝑡 𝛿0𝑡 𝑓0𝑡 𝑔0𝑡 … → 𝐻1 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� → 𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐾� → 𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 � → 𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� → Khi có dãy khớp sau (các đồng cấu nhất) 𝑡 ⟶ 𝐻𝑗+1 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ⟶ Im𝛿𝑗𝑡 ⟶ 0, ⟶ Im𝑔𝑗+1 ⟶ Im𝛿𝑗𝑡 ⟶ 𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐾� ⟶ 𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 � 𝑡 � lập thành hệ với 𝑗 ≥ Do đồng cấu 𝐻𝑗+1 (𝜃∘𝑡,𝑘 ; 𝐹0 ) nên �Im𝑔𝑗+1 nghịch môđun phân bậc đồng cấu Theo Bổ đề 3.5.6 đồng cấu 𝑡 � thỏa tiêu chuẩn M-L đồng cấu không với 𝑘 với 𝑡 đủ lớn, �Im𝑔𝑗+1 𝑡 limIm𝑔𝑗+1 = với 𝑗 ≥ Mặt khác từ Bổ đề 3.5.6 ∗lim𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 � = 0, 𝑗 > ∗ ⟵ ⟵ 65 Lấy ∗ giới hạn ngược hai dãy khớp với ý kết trên, ∗ giới hạn ngược khớp trái Mệnh đề 3.1.5 ta thu đẳng cấu sau lim𝐻𝑗+1 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ≅ ∗limIm𝛿𝑗𝑡 , ∗limIm𝛿𝑗𝑡 ≅ ∗lim𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐾�, 𝑗 > 0, ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 lim𝐻1 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ≅ ∗limIm𝛿0𝑡 , ∗limIm𝛿0𝑡 ≅ Ker( ∗lim𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐾� → ∗lim𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 �) ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Do biểu đồ sau giao hoán sau ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 lim𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐾� → lim𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 � ⟵ ⟵ ↓ ↓ lim𝐾/𝑥 (𝑡 )𝐾 → lim𝐹0 /𝑥 (𝑡 )𝐹0 ⟵ Dẫn tới biểu đồ giao hoán ∗ ⟵ lim𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐾� → ∗lim𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐹0 � ⟵ ⟵ ↓ ↓ ∗ lim𝐾/𝑥 (𝑡 )𝐾 → ∗lim𝐹0 /𝑥 (𝑡 )𝐹0 ⟵ ⟵ Hay ∗limIm𝛿0𝑡 ≅ Ker( ∗lim𝐾/𝑥 (𝑡 )𝐾 → ∗lim𝐹0 /𝑥 (𝑡 )𝐹0 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Do 𝑥 (𝑡 ) ⊆ 𝐼𝑡 , 𝐼𝑛 ⊆ 𝑥 (𝑡 ) với 𝑛 đủ lớn nên theo Bổ đề 3.2.4 ∗ lim𝐾/𝑥 (𝑡 )𝐾 ≅ ∗∧𝐼 (𝐾), ∗lim𝐹0 /𝑥 (𝑡 )𝐹0 ≅ ∗∧𝐼 (𝐹0 ) ⟵ 𝑡 Vì có đẳng cấu ∗ ⟵ 𝑡 lim𝐻𝑗+1 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ≅ ∗lim𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐾�, 𝑗 > 0; ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 lim𝐻1 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ≅ Ker� ∗∧𝐼 (𝐾) → ∗∧𝐼 (𝐹0 )� ⟵ 𝑡 𝑥 𝑥 Theo Chú ý 1.6.6 đẳng cấu ∗𝐻𝑗+𝑖 (𝑀) ≅ ∗𝐻𝑗 (𝐾) có tính chất tự nhiên Với 𝑖 > 1, dãy khớp dài cho dãy khớp ngắn sau phạm trù ∗ℳ (𝑅) → 𝐾1 → 𝐹0 → 𝑀 → 0, → 𝐾𝑗+1 → 𝐹𝑗 → 𝐾𝑗 → 0, với 𝐾1 = Ker(𝐹0 → 𝑀), 𝐾𝑗+1 = Ker(𝐹𝑗 → 𝐹𝑗−1 ), 𝑗 = 1, … , 𝑖 − Áp dụng kết vừa chứng minh cho dãy khớp ngắn thu đẳng cấu ∗ lim𝐻𝑗 �𝑥(𝑡 ); 𝐾� ≅ ∗lim𝐻𝑗+1 �𝑥(𝑡 ); 𝐾𝑖−1 � ≅ ∗lim𝐻𝑗+1+1 �𝑥(𝑡 ); 𝐾𝑖−2 � ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ≅ ⋯ ≅ ∗lim𝐻𝑗+𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝑀�, 𝑗 > 0; ⟵ 𝑡 66 Ker� ∗∧𝐼 (𝐾) → ∗∧𝐼 (𝐹𝑖−1 )� ≅ ∗lim𝐻1 �𝑥(𝑡 ); 𝐾𝑖−1 � ≅ ∗lim𝐻1+1 �𝑥(𝑡 ); 𝐾𝑖−2 � ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ≅ ⋯ ≅ ∗lim𝐻𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ⟵ 𝑡 Đẳng cấu có tính chất tự nhiên đẳng cấu thành phần tự nhiên ∎ Bây môđun đồng điều địa phương phân bậc ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) tính đồng điều Koszul phạm trù ∗ℳ (𝑅) Định lý 3.5.8 Cho 𝑀 𝑅-môđun phân bậc Khi đó, với 𝑖 ≥ có đẳng cấu 𝑥 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ≅ ∗lim𝐻𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� = ∗𝐻𝑖 (𝑀) ∗ Đẳng cấu có tính chất tự nhiên ⟵ 𝑡 Chứng minh Rõ ràng ∗𝐻0𝐼 (𝑀) ≅ ∗∧𝐼 (𝑀) ≅ ∗lim𝑀/𝑥 (𝑡 )𝑀 ≅ ∗lim𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� Giả sử ⟵ 𝑡 𝑖 > Xét dãy khớp phạm trù ∗ℳ (𝑅) ⟵ 𝑡 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0, với 𝑃𝑗 môđun ∗ xạ ảnh (hiển nhiên ∗ phẳng) Theo Bổ đề 3.5.6 có đẳng cấu ∗ lim𝐻𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ≅ Ker� ∗∧𝐼 (𝐾) → ∗∧𝐼 (𝑃𝑖−1 )� ⟵ 𝑡 Theo chứng minh phần đầu Mệnh đề 3.5.3 có dãy khớp sau (trong ∗ℳ (𝑅)) → ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ≅ ∗𝐻1𝐼 (𝐾𝑖−1 ) → ∗∧𝐼 (𝐾) → ∗∧𝐼 (𝑃𝑖−1 ) Kết hợp Bổ đề 3.5.6 có biểu đồ sau giao hoán sau với cột đẳng cấu → ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ≅ ∗𝐻1𝐼 (𝐾𝑖−1 ) → ∗𝐻0𝐼 (𝐾) → ∗𝐻0𝐼 (𝑃𝑖−1 ) ∗ ↓ ↓ ↓ ↓ ∧𝐼 (𝐾) → ∗∧𝐼 (𝑃𝑖−1 ) ∗ lim𝐾/𝑥(𝑡 )𝐾 → ∗lim𝑃𝑖−1 /𝑥 (𝑡 )𝑃𝑖−1 𝑥 𝑥 ⟵ ↓ 𝑥 ⟵ ↓ 𝑥 → ∗𝐻𝑖 (𝑀) ≅ ∗𝐻1 (𝐾𝑖−1 ) → ∗𝐻0 (𝐾) → ∗𝐻0 (𝑃𝑖−1 ) 𝑥 Do cảm sinh đẳng cấu ∗𝑓𝑀 : ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) → ∗𝐻𝑖 (𝑀) làm biểu đồ giao hoán Giả sử đồng cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁, có biểu đồ giao hoán sau (2.2.9) 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) → 𝐻𝑖𝐼 (𝑁) ↓ 67 ↓ 𝑥 𝑥 𝐻𝑖 (𝑀) → 𝐻𝑖 (𝑁) Do biểu đồ sau giao hoán, với đồng cấu 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) → ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑁) ∗ 𝑥 ∗ ↓ ↓ 𝑥 𝐻𝑖 (𝑀) → ∗𝐻𝑖 (𝑁) ∎ Cho 𝑓: 𝑅 → 𝑅′ đồng cấu vành phân bậc 𝑀′ 𝑅′-môđun phân bậc Khi 𝑀′ 𝑅-môđun phân bậc với phép nhân vô hướng 𝑓 Do với 𝑖 ∈ ℕ có 𝑅′ môđun phân bậc 𝐻𝑖𝐼𝑅 (𝑀′ )Γ𝑅 𝐻𝑖𝐼 (𝑀′ Γ𝑅 ) Theo Chú ý 3.5.3 (ii) ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀′ ) có cấu trúc tự nhiên ∗∧𝐼 (𝑅′)-môđun phân bậc Từ đồng cấu 𝑓: 𝑅 → 𝑅′ cho đồng cấu vành ∗ ∧𝐼 (𝑓): ∗∧𝐼 (𝑅 ) → ∗∧𝐼 (𝑅′) Do ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀′ Γ𝑅 ) có cấu trúc tự nhiên ∗∧𝐼 (𝑅 )-môđun Chúng ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.5.9 Cho 𝑓: 𝑅 → 𝑅′ đồng cấu vành phân bậc Khi với 𝑅′-môđun Artin phân bậc 𝑀′ tồn đẳng cấu 𝑅-môđun ′ 𝐻𝑖𝐼𝑅 (𝑀′ )Γ𝑅 ≅ ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀′ Γ𝑅 ) ∗ với 𝑖 ≥ Hơn đẳng cấu đẳng cấu ∧𝐼 (𝑅 )-môđun ′ 𝐻𝑖𝐼𝑅 (𝑀′ )Γ∧𝐼(𝑅) ≅ 𝐻𝑖𝐼 (𝑀′ Γ𝑅 ) Chứng minh Chỉ kiểm tra đẳng cấu ∧𝐼 (𝑅 )-môđun Giả sử iđêan 𝐼 sinh 𝑟 phần tử phân bậc 𝑥1 , … , 𝑥𝑟 𝑅, với deg(𝑥𝑖 ) = 𝑘𝑖 Khi iđêan 𝐼𝑅′ sinh phần tử phân bậc 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑟 𝑅′, với 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ), deg(𝑦𝑖 ) = 𝑘𝑖 Đặt 𝑥 (𝑡 ) = ( 𝑥1𝑡 , 𝑥2𝑡 , … , 𝑥𝑟𝑡 ), 𝑦(𝑡 ) = ( 𝑦1𝑡 , 𝑦2𝑡 , … , 𝑦𝑟𝑡 ) Từ chứng minh Mệnh đề 2.2.11 có đẳng cấu 𝑅-môđun 𝐻𝑖 (𝑥(𝑡); 𝑀) ∗≅ 𝐻𝑖 (𝑦(𝑡); 𝑀) Do 𝑥 (𝑡 )𝐻𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� = 0, 𝑥 (𝑡 )𝐻𝑖 (𝑦(𝑡 ); 𝑀) = 𝑦(𝑡 )𝐻𝑖 (𝑦(𝑡 ); 𝑀) = 0, nên đẳng cấu đẳng cấu 𝑅/𝑥 (𝑡 )-môđun Do đẳng cấu lim𝑅/𝑥 (𝑡 )-môđun ⟵ lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡); 𝑀) ≅ lim𝐻𝑖 (𝑦(𝑡); 𝑀), ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 cảm sinh đẳng cấu ∗lim𝑅/𝑥 (𝑡 )-môđun ∗ ⟵ lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡); 𝑀) ≅ ∗lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡); 𝑀) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Theo Định lý 3.5.7 ta có đẳng cấu ∗∧𝐼 (𝑅 )-môđun phân bậc 68 ′ 𝐻𝑖𝐼𝑅 (𝑀′ )Γ∧𝐼(𝑅) ≅ ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀′ Γ𝑅 ) ∗ ∎ 3.6 Đồng điều địa phương phân bậc môđun Artin Trong phần xét môđun Artin phân bậc vành Noether phân bậc 𝑅 𝐼 ideal phân bậc 𝑅 (a) Dãy nối dương mạnh Mệnh đề 3.6.1 Cho 𝑀 𝑅-môđun Artin phân bậc Khi 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ∗≅ ∗𝐿𝐼𝑖 (𝑀) ∗ với 𝑖 ≥ Hơn đẳng cấu tự nhiên Chứng minh Phần chứng minh dựa vào Mệnh đề 2.3.1 Xét phạm trù ∗ℳ (𝑅) Cho biến đổi dây chuyền phức … → (𝐶2 )∘ → (𝐶1 )∘ → (𝐶0 )∘ → Trong phức (𝐶𝑘 )∘ : … → (𝐶𝑘 )1 → (𝐶𝑘 )0 → Với 𝑘 ∈ ℕ họ {(𝐶𝑖 )𝑘 }𝑖∈ℕ với đồng cấu nối biến đổi lập thành hệ nghịch thỏa M-L Đặt 𝐶 = lim(𝐶𝑖 )∘ , ∗𝐶 = ∗lim(𝐶𝑖 )∘ : … → ∗lim(𝐶𝑖 )1 → ∗lim(𝐶𝑖 )0 → ⟵ ⟵ ⟵ ⟵ Với 𝑖 ∈ ℕ, đặt (𝑍𝑖 )𝑛 = Ker((𝐶𝑖 )𝑛 → (𝐶𝑖 )𝑛−1 ), (𝐵𝑖 )𝑛 = Im((𝐶𝑖 )𝑛+1 → (𝐶𝑖 )𝑛 ) 𝐻𝑛 (𝐶𝑖 )∘ = (𝑍𝑖 )𝑛 /(𝐵𝑖 )𝑛 Với 𝑛 ∈ ℕ, ta có dãy khớp hệ nghịch → {(𝑍𝑖 )𝑛 }𝑖∈ℕ → {(𝐶𝑖 )𝑛 }𝑖∈ℕ → {(𝐶𝑖 )𝑛−1 }𝑖∈ℕ Dẫn tới dãy khớp → lim(𝑍𝑖 )𝑛 → lim(𝐶𝑖 )𝑛 → lim(𝐶𝑖 )𝑛−1 , ⟵ ⟵ ⟵ → ∗lim(𝑍𝑖 )𝑛 → ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛 → ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛−1 ⟵ ⟵ ⟵ Do (𝑍𝑖 )𝑛 ⊆ (𝐶𝑖 )𝑛 , ∀ 𝑖 ∈ ℕ, nên lim(𝑍𝑖 )𝑛 ⊆ lim(𝐶𝑖 )𝑛 , ∗lim(𝑍𝑖 )𝑛 ⊆ ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛 Chú ý đồng ⟵ ⟵ ⟵ ⟵ cấu nối phía sau hai dãy khớp đồng cấu nối phức 𝐶, ∗𝐶 Do ∗ lim(𝑍𝑖 )𝑛 = Ker( ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛 → ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛−1 ), ∗ Xét phức sau ⟵ ∗ ⟵ ⟵ ⟵ ∗ ⟵ Im( lim(𝐶𝑖 )𝑛 → lim(𝐶𝑖 )𝑛−1 ) ≅ lim(𝐶𝑖 )𝑛 / ∗lim(𝑍𝑖 )𝑛 ∗ ⟵ ⟵ 𝑍 = lim𝑍𝑖 , (𝐵)𝑛 = Im(lim(𝐶𝑖 )𝑛+1 → lim(𝐶𝑖 )𝑛 ), ⟵ ⟵ ⟵ 𝑍 = ∗lim𝑍𝑖 : … → ∗lim(𝑍𝑖 )1 → ∗lim(𝑍𝑖 )0 → 0, ∗ ⟵ ⟵ ⟵ ( ∗𝐵)𝑛 = Im( ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛+1 → ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛 ) ⟵ 69 ⟵ Theo chứng minh Mệnh đề 2.3.1 có dãy khớp → lim1 𝐻𝑛+1 (𝐶𝑖 )∘ → 𝐻𝑛 (𝐶 ) → lim𝐻𝑛 (𝐶𝑖 )∘ → ⟵ 𝑡 ⟵ Nếu {𝐻𝑛+1 (𝐶𝑖 )∘ } hệ nghịch môđun Artin phân bậc, lim1 𝐻𝑛+1 (𝐶𝑖 )∘ = hay ⟵ 𝑡 lim(𝐵𝑖 )𝑛 = (𝐵)𝑛 Do có dãy khớp ⟵ → lim(𝑍𝑖 )𝑛 → lim(𝐶𝑖 )𝑛 → lim(𝐵𝑖 )𝑛−1 = (𝐵)𝑛−1 → 0, ⟵ ⟵ ⟵ → lim(𝐵𝑖 )𝑛 → lim(𝑍𝑖 )𝑛 → lim𝐻𝑛 (𝐶𝑖 )∘ → ⟵ ⟵ Nên ba dãy sau khớp ⟵ → ∗lim(𝑍𝑖 )𝑛 → ∗lim(𝐶𝑖 )𝑛 → ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛−1 → 0, ⟵ ∗ ⟵ ∗ ⟵ → lim(𝑍𝑖 )𝑛 → lim(𝐶𝑖 )𝑛 → ( ∗𝐵)𝑛−1 → 0, ∗ ⟵ ⟵ → lim(𝐵𝑖 )𝑛 → lim(𝑍𝑖 )𝑛 → ∗lim𝐻𝑛 (𝐶𝑖 )∘ → ⟵ ∗ ∗ ⟵ ∗ ⟵ Do (𝐵𝑖 )𝑛 ⊆ (𝑍𝑖 )𝑛 , ∀ 𝑖 ∈ ℕ, nên lim(𝐵𝑖 )𝑛 ⊆ lim(𝑍𝑖 )𝑛 Từ dãy khớp có Dễ thấy (∗ ∗ ∗ ⟵ ⟵ ∗ ⟵ lim𝐻𝑛 (𝐶𝑖 )∘ ≅ lim(𝑍𝑖 )𝑛 / ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛 ∗ ⟵ ⟵ 𝐵)𝑛 ⊆ lim(𝐵𝑖 )𝑛 từ dãy khớp thứ thứ hai trên, đồng cấu nối giống nên (∗ Dẫn tới dãy khớp ⟵ 𝐵)𝑛 = ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛 Chúng ta có dây chuyền môđun ⟵ ⊆ ( ∗𝐵)𝑛 ⊆ ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛 ⊆ ∗lim(𝑍𝑖 )𝑛 = ( ∗𝑍)𝑛 ⊆ ( ∗𝐶 )𝑛−1 ⟵ ⟵ → = ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛 /( ∗𝐵)𝑛 → ( ∗𝑍)𝑛 /( ∗𝐵)𝑛 → ( ∗𝑍)𝑛 / ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛 → ⟵ Mặt khác ( ∗𝑍)𝑛 /( ∗𝐵)𝑛 ∗≅ 𝐻𝑛 ( ∗𝐶 ) ∗ ⟵ ( ∗𝑍)𝑛 / ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛 = ∗lim(𝑍𝑖 )𝑛 / ∗lim(𝐵𝑖 )𝑛 ∗≅ ∗lim𝐻𝑛 (𝐶𝑖 )∘ ∗ ⟵ (∗ ∗ ⟵ Vậy lim𝐻𝑛 (𝐶𝑖 )∘ ≅ 𝐻𝑛 𝐶 ) = 𝐻𝑛 ( lim(𝐶𝑖 )∘ ) ⟵ ⟵ ⟵ ⟵ Áp dụng kết này, với phép giải ∗ xạ ảnh 𝐹∘ môđun 𝑀 Từ có phức 𝑅/ 𝐼𝑘 ⨂𝐹∘ , 𝑘 ≥ Với toàn cấu tắc 𝑅/𝐼𝑡 → 𝑅/𝐼𝑘 , 𝑡 ≥ 𝑘, cảm sinh biến đổi dây chuyền phức … → 𝑅/𝐼2 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼1 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼0 ⨂𝐹∘ → 𝑅 ( Họ {𝑅/𝐼𝑖 ⨂𝐹𝑘 }𝑖∈ℕ với đồng cấu nối biến đổi thỏa M-L, Tor𝑖+1 𝑅/ 𝐼𝑡 ; 𝑀) môđun Artin với 𝑡 ≥ Do có đẳng cấu 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ∗≅ ∗𝐿𝐼𝑖 (𝑀) ∗ 70 với 𝑖 ≥ Tính chất tự nhiên suy từ tính tự nhiên đẳng cấu 𝜋𝑖 (𝑀) ∎ Chúng ta có { ∗𝐿𝐼𝑖 }𝑖≥0 , { ∗𝐻𝑖𝐼 }𝑖≥0 hai dãy nối dương Theo chứng minh trên, tồn dãy đẳng cấu tự nhiên ∗𝜋𝑖 : ∗𝐿𝐼𝑖 → ∗𝐻𝑖𝐼 cho lớp môđun Artin phân bậc, với 𝑖 ≥ Chúng ta chứng minh { ∗𝜋𝑖 }𝑖≥0 đồng cấu hai dãy nối dương xét lớp này; nghĩa với dãy khớp ngắn môđun Artin phân bậc phạm trù ∗ℳ (𝑅 ), → 𝐴 𝑓 𝑔 → 𝐵 → 𝐶 → 0, biểu đồ sau giao hoán ∗𝐿𝐼 (𝛿) 𝑖+1 ∗ 𝐼 ( ) 𝐿𝑖+1 𝐶 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ∗𝐿𝐼𝑖 (𝐴) ∗ ∗ 𝜋𝑖+1 (𝐶) 𝜋𝑖 (𝐴) ∗𝐻 𝐼 (𝛿) 𝑖+1 𝐼 ( ) 𝐻𝑖+1 𝐶 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ∗𝐻𝑖𝐼 (𝐴) ∗ Điều suy từ tính giao hoán biểu đồ 𝐿𝐼𝑖+1 (𝛿) 𝐼 ( ) 𝐿𝑖+1 𝐶 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐿𝐼𝑖 (𝐴) 𝜋𝑖+1 (𝐶) 𝜋𝑖 (𝐴) 𝐼 (𝛿) 𝐻𝑖+1 𝐼 ( ) 𝐻𝑖+1 𝐶 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑖𝐼 (𝐴) Hệ 3.6.2 Cho dãy khớp ngắn môđun Artin phân bậc ⟶ 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟶ 𝐶 ⟶ Khi có dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương phân bậc ∗𝐻 𝐼 (𝛿) 𝑖+1 𝐼 ( ) 𝐼 ( ) … → ∗𝐻𝑖+1 𝐵 → ∗𝐻𝑖+1 𝐶 �⎯⎯⎯⎯� ∗𝐻𝑖𝐼 (𝐴) → ∗𝐻𝑖𝐼 (𝐵) → ∗𝐻 𝐼 (𝛿) … → ∗𝐻1𝐼 (𝐶 ) �⎯⎯⎯� ∗𝐻0𝐼 (𝐴) → ∗𝐻0𝐼 (𝐵) → ∗𝐻0𝐼 (𝐶 ) → (b) Tính ∗∧𝐼 -Acyclic môđun đồng điều địa phương ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) Bổ đề 3.6.3 Cho {𝑀𝑡 } hệ nghịch môđun Artin phân bậc 𝑁 môđun hữu hạn sinh phân bậc Khi với 𝑖 ≥ có đẳng cấu Tor𝑖𝑅 (𝑁; ∗lim𝑀𝑡 ) ≅ ∗limTor𝑖𝑅 (𝑁; 𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Chứng minh Vì 𝑁 môđun hữu hạn sinh nên lấy phép giải ∗ tự 𝐹∘ 𝑁 gồm môđun hữu hạn sinh Do 𝐹∘ ⨂𝑅 ∗lim𝑀𝑡 ∗≅ ∗lim(𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 ) Thật vậy, cần chứng minh ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 71 ⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑅(−𝑘𝑖 )⨂𝑅 ∗lim𝑀𝑡 ≅ ∗lim(⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑅(−𝑘𝑖 )⨂𝑅 𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Với 𝑁 môđun phân bậc bất kì, có 𝑅 (−𝑘𝑖 )⨂𝑅 𝑁 ∗≅ 𝑁(−𝑘𝑖 ) Do ⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑅(−𝑘𝑖 )⨂𝑅 ∗lim𝑀𝑡 ∗≅ ⨁1≤𝑖≤𝑠 ( ∗lim𝑀𝑡 )(−𝑘𝑖 ), ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 lim(⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑅 (−𝑘𝑖 )⨂𝑅 𝑀𝑡 ) ∗≅ ∗lim⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑀𝑡 (−𝑘𝑖 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Giả sử ((𝑎𝑡1 )𝑡 , … , (𝑎𝑡𝑠 )𝑡 ) ∈ (⨁1≤𝑖≤𝑠 ( ∗lim𝑀𝑡 )(−𝑘𝑖 ))𝑙 với (𝑎𝑡𝑖 )𝑡 ∈ ( ∗lim𝑀𝑡 )(−𝑘𝑖 ) Với 𝑡≥0 𝑎𝑡𝑖 ∈ (𝑀𝑡 )𝑙−𝑘𝑖 , ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 (𝑎𝑡1 , … , 𝑎𝑡𝑠 ) ∈ �⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑀𝑡 (−𝑘𝑖 )�𝑙 nên hay (𝑎𝑡1 , … , 𝑎𝑡𝑠 )𝑡 ∈ ( ∗lim⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑀𝑡 (−𝑘𝑖 ))𝑙 Nếu (𝑎𝑡1 , … , 𝑎𝑡𝑠 )𝑡 ∈ ( ∗lim⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑀𝑡 (−𝑘𝑖 ))𝑙 𝑎𝑡𝑖 ∈ (𝑀𝑡 )𝑙−𝑘𝑖 , nên ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 (𝑎𝑡𝑖 )𝑡 ∈ ( ∗lim𝑀𝑡 )(−𝑘𝑖 ) Do đồng cấu ngược Bổ đề 2.3.4 cảm sinh ⟵ 𝑡 đồng cấu ngược 𝑓: ⨁1≤𝑖≤𝑠 ( ∗lim𝑀𝑡 )(−𝑘𝑖 ) ⟶ ∗lim⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑀𝑡 (−𝑘𝑖 ), ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 𝑔: ∗lim⨁1≤𝑖≤𝑠 𝑀𝑡 (−𝑘𝑖 ) ⟶ ⨁1≤𝑖≤𝑠 ( ∗lim𝑀𝑡 )(−𝑘𝑖 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Mặt khác, 𝐹𝑖 ⨂𝑅 𝑀𝑡 Artin với 𝑖, 𝑡 nên theo Mệnh đề 3.1.4 có ∗ lim𝐻𝑖 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 ) ∗≅ 𝐻𝑖 ( ∗lim(𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 )) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Thật vậy, có biến đổi dây chuyền sau phạm trù ∗ℳ (𝑅), 𝐹∘ ⨂𝑀𝑡 → 𝐹∘ ⨂𝑀𝑘 Đặt 𝐴𝑡𝑛 = Im(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ), 𝐵𝑛𝑡 = Ker(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛−1 ⨂𝑀𝑡 ) (𝐹−1 = 0) Suy 𝐻𝑛 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 ) = 𝐵𝑛𝑡 /𝐴𝑡𝑛 Ta có {𝐴𝑡𝑛 }, {𝐵𝑛𝑡 }, {𝐻𝑛 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 )} hệ nghịch Đồng cấu 𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 phân tích thành 𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 → 𝐴𝑡𝑛 → 𝐵𝑛𝑡 → 𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 Chúng ta có dãy khớp hệ nghịch phạm trù ∗ℳ (𝑅 ) → {𝐴𝑡𝑛 } → {𝐵𝑛𝑡 } → {𝐻𝑛 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 )} → Do {𝐴𝑡𝑛 } hệ nghịch môđun Artin (𝐴𝑡𝑛 ⊂ 𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 Artin) nên theo Mệnh đề 3.1.4 có dãy khớp → ∗lim𝐴𝑡𝑛 → ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim𝐻𝑛 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 ) → ⟵ 𝑡 Từ dẫn đến đẳng cấu sau ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 lim𝐻𝑛 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 ) ∗≅ ∗lim𝐵𝑛𝑡 / ∗lim𝐴𝑡𝑛 ⟵ 𝑡 72 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Tương tự có dãy khớp phạm trù ∗ℳ (𝑅 ) → (𝐵𝑛𝑡 ) → (𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ), (𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) → (𝐴𝑡𝑛 ) → 0, → (𝐴𝑡𝑛 ) → (𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) Do 𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 môđun Artin tính khớp trái ∗lim dẫn đến dãy khớp ⟵ → ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ), ∗lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) → ∗lim𝐴𝑡𝑛 → 0, ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 → ∗lim(𝐴𝑡𝑛 ) → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Dựa vào dãy nhúng đồng cấu 𝐴𝑡𝑛 → 𝐵𝑛𝑡 → 𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 dãy khớp → ∗lim𝐴𝑡𝑛 → ∗lim𝐵𝑛𝑡 , → ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Chúng ta có dãy khớp đẳng cấu sau ⟵ 𝑡 → Im( ∗lim𝐴𝑡𝑛 → ∗lim𝐵𝑛𝑡 ) → Im( ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 )), ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Im( ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ))/Im( ∗lim𝐴𝑡𝑛 → ∗lim𝐵𝑛𝑡 ) ∗≅ ∗lim𝐵𝑛𝑡 / ∗lim𝐴𝑡𝑛 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Đồng cấu 𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 phân tích thành 𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 → 𝐴𝑡𝑛 → 𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 Do dãy khớp ∗ ⟵ 𝑡 𝑝 𝑖 lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) �� ∗lim𝐴𝑡𝑛 → 0, → ∗lim(𝐴𝑡𝑛 ) �� ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ), ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 nên đồng cấu ∗lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) phân tích thành ⟵ 𝑡 ∗ ⟵ 𝑡 𝑝 𝑖 lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) �� ∗lim𝐴𝑡𝑛 �� ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Do Im( ∗lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 )) = Im( ∗lim𝐴𝑡𝑛 → ∗lim𝐵𝑛𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Mặt khác dãy khớp hệ nghịch phạm trù ∗ℳ (𝑅 ) → (𝐵𝑛𝑡 ) → (𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) → (𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ), dẫn đến dãy khớp → ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) → ∗lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Nên Im( ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 )) ≅ Ker( ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) → ∗lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 )) Ta có ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 𝐻𝑛 ( ∗lim(𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 )) = ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Ker( ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ) → ∗lim(𝐹𝑛−1 ⨂𝑀𝑡 )) ⟵ 𝑡 Im( ∗lim(𝐹𝑛+1 ⨂𝑀𝑡 ) → ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ∗lim(𝐹 ⨂𝑀 )) 𝑛 𝑡 ⟵ 𝑡 73 ≅ Im( ∗lim𝐵𝑛𝑡 → ∗lim(𝐹𝑛 ⨂𝑀𝑡 ))/Im( ∗lim𝐴𝑡𝑛 → ∗lim𝐵𝑛𝑡 ) ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ≅ ∗lim𝐵𝑛𝑡 / ∗lim𝐴𝑡𝑛 ∗≅ ∗lim𝐻𝑛 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 ) ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Như 𝐻𝑖 (𝐹∘ ⨂𝑅 ∗lim𝑀𝑡 ) ∗≅ 𝐻𝑖 ( ∗lim(𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 )) ∗≅ ∗lim𝐻𝑖 (𝐹∘ ⨂𝑅 𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 ∎ Hệ 3.6.4 Cho {𝑀𝑡 } hệ nghịch môđun Artin phân bậc Khi với 𝑖 ≥ có đẳng cấu ∗ 𝐻𝑖𝐼 ( ∗lim𝑀𝑡 ) ∗≅ ∗lim ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀𝑡 ) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Chứng minh Sử dụng Bổ đề 3.6.3 tính giao hoán ∗lim ta có kết quả.∎ ⟵ Mệnh đề 3.6.5 Cho 𝑀 môđun Artin phân bậc Khi với 𝑗 ≥ 𝐻0𝐼 ( ∗𝐻𝑗𝐼 (𝑀)) ∗≅ ∗𝐻𝑗𝐼 (𝑀), ∗𝐻𝑖𝐼 ( ∗𝐻𝑗𝐼 (𝑀)) = 0, 𝑖 > ∗ Chứng minh Sử dụng Bổ đề 3.6.3 tính giao hoán ∗lim có ⟵ 𝐻𝑖𝐼 ( ∗𝐻𝑗𝐼 (𝑀)) ∗≅ ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 ; ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑠 ≅ ∗lim ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 ; Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑠 ≅ ∗lim ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 ; Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ∗ ⟵ 𝑠 ⟵ 𝑡 Lấy 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑟 ) hệ sinh 𝐼 𝑥(𝑡) = (𝑥1𝑡 , … , 𝑥𝑟𝑡 ) Theo Định lý 3.5.8 limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 ; Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) = ∗𝐻𝑖𝐼 �Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)� ∗ ⟵ 𝑡 Từ suy ≅ ∗lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ∗ ⟵ 𝑡 𝐻𝑖𝐼 ( ∗𝐻𝑗𝐼 (𝑀)) ∗≅ ∗lim ∗lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ∗ ⟵ 𝑠 ⟵ 𝑡 Theo chứng minh Mệnh đề 2.3.6 lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) = lim𝐾𝑖 (𝑥 (𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Nên ∗lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) = ∗lim𝐾𝑖 (𝑥 (𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Với 𝑝 = đồng cấu 𝜑𝑘𝑡 hệ �𝐾0 (𝑥 (𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀))� đồng Do 𝐾0 (𝑥 (𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ∗≅ Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀) 74 lim𝐻0 (𝑥 (𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) = lim𝐻0 (𝑥(𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀)) ∗≅ Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀) ∗ ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 Với 𝑝 > 𝑡 ≥ 𝑘 + 𝑠 lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀) = Do ⟵ 𝑡 lim𝐻𝑖 (𝑥(𝑡 ); Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼 𝑠 , 𝑀) = ∗ ⟵ 𝑡 Từ suy điều cần chứng minh Hệ 3.6.7 Cho 𝑀 môđun Artin phân bậc Khi ∎ 𝐻0𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) = 0, ∗𝐻𝑖𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) ∗≅ ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀), 𝑖 > ∗ Chứng minh Do 𝑀 môđun Artin nên tồn 𝑛 nguyên dương cho 𝐼𝑡 𝑀 = 𝐼𝑛 𝑀 với 𝑡 ≥ 𝑛 Do theo Chú ý 3.1.2 ∗ ∧𝐼 (𝑀) = ∧𝐼 (𝑀) ∗≅ 𝑀/𝐼𝑛 𝑀 Do có dãy khớp ngắn môđun Artin phân bậc sau ⟶ ⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀 ⟶ 𝑀 ⟶ ∗∧𝐼 (𝑀) ⟶ Bởi Hệ 3.6.2, có dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương 𝐼 � ∗∧𝐼 (𝑀)� ⟶ ∗𝐻𝑖𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) ⟶ ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ⟶ ∗𝐻𝑖𝐼 � ∗∧𝐼 (𝑀)� ⟶ ⋯ … ⟶ ∗𝐻𝑖+1 … ⟶ ∗𝐻0𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) ⟶ ∗𝐻0𝐼 (𝑀) ⟶ ∗𝐻0𝐼 � ∗∧𝐼 (𝑀)� ⟶ 𝐼 � ∗∧𝐼 (𝑀)�, nên Áp dụng Mệnh đề 3.6.4, với 𝑖 > ta có ∗𝐻𝑖𝐼 � ∗∧𝐼 (𝑀)� = = ∗𝐻𝑖+1 𝐻𝑖𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) ∗≅ ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ∗ Với 𝑖 = 0, ∗𝐻0𝐼 �∧𝐼 (𝑀)� ∗≅ ∗𝐻0𝐼 (𝑀), ∗𝐻0𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) ≠ dẫn đến điều mâu thuẫn Vậy ∗𝐻0𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) = ∎ Dựa vào tính Acyclic cho đặc trưng đồng điều địa phương phân bậc môđun phân bậc 𝐼-tách, thông qua định lý sau Định lý 3.6.8 Cho 𝑀 môđun Artin phân bậc Các mệnh đề sau tương đương (i) 𝑀 𝐼-tách, tức ⋂𝑡>0 𝐼 𝑡 𝑀 = (ii) ∗∧𝐼 (𝑀 ) ∗≅ 𝑀 (iii) ∗𝐻0𝐼 (𝑀) ∗≅ 𝑀, ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = với 𝑖 > Chứng minh (i)⟺(ii) Chúng ta có dãy khớp hệ nghịch sau ⟶ {𝐼𝑡 𝑀} ⟶ {𝑀} ⟶ {𝑀/𝐼𝑡 𝑀} ⟶ Do (𝐼𝑡 𝑀) hệ nghịch môđun Artin nên theo Mệnh đề 3.1.5 dãy sau khớp ⟶ ⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀 ⟶ 𝑀 ⟶ ∗∧𝐼 (𝑀) ⟶ Từ dễ dàng suy (i) tương đương với (ii) 75 (i)⟹(iii) Chúng ta có ∗𝐻0𝐼 (𝑀) ∗≅ ∗∧𝐼 (𝑀) ∗≅ 𝑀 , (i) tương đương với (ii) Hơn nữa, từ Hệ 3.6.5 cho ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ∗≅ ∗𝐻𝑖𝐼 (⋂𝑡>0 𝐼𝑡 𝑀) = với 𝑖 > (iii)⟹(ii) Là hiển nhiên ∗𝐻0𝐼 (𝑀) ≅ ∗∧𝐼 (𝑀) (c) Chuyển đổi vành ∎ Cho 𝑓: 𝑅 → 𝑅′ đồng cấu phẳng Từ Mệnh đề 3.5.9 có đẳng cấu ′ 𝑅-môđun ∗𝐻𝑖𝐼𝑅 (𝑀′ )Γ𝑅 ≅ ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀′ Γ𝑅 ) Định lý sau đưa kết thay đổi cấu trúc vành xét môđun Artin phân bậc Định lý 3.6.9 (Flat base change theorem) Cho 𝑓: 𝑅 → 𝑅 ′ toàn cấu phẳng Khi với 𝑅-môđun Artin phân bậc 𝑀 chúng có đẳng cấu 𝑅′ -môđun ′ 𝐻𝑖𝐼 (𝑀)⨂𝑅 𝑅′ ≅ ∗𝐻𝑖𝐼𝑅 (𝑀⨂𝑅 𝑅′ ) ∗ với 𝑖 ≥ Chứng minh Chúnga kiểm tra kết sau: Cho 𝐴 𝑅-môđun phân bậc, 𝐵, 𝐶 𝑅′ - môđun phân bậc (sẽ 𝑅-môđun phân bậc) Khi đẳng cấu sau (𝐴⨂𝑅 𝐵)⨂𝑅′ 𝐶 ≅ 𝐴⨂𝑅 (𝐵⨂𝑅′ 𝐶 ) ′ Do kiểm tra 𝑅 ′ ⨂𝑅 Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) ≅ Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅 𝑅′ , 𝑀⨂𝑅 𝑅′ ) ([28, 3.2.10]) đẳng cấu Mặt khác 𝐼𝑡 𝑅′ = (𝐼𝑅′ )𝑡 với 𝑡 ∈ ℕ nên có 𝐻𝑖𝐼 (𝑀)⨂𝑅 𝑅′ = ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)⨂𝑅 𝑅′ ∗≅ 𝑅′ ⨂𝑅 ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) ∗ ⟵ ⟵ ≅ Tor0𝑅 (𝑅′ ; ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)) ∗≅ ∗limTor0𝑅 (𝑅′ ; Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)) (Bổ đề 3.6.3) ∗ ⟵ ⟵ ′ ≅ ∗lim�𝑅′ ⨂𝑅 Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)� ∗≅ ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅 𝑅′ , 𝑀⨂𝑅 𝑅′ ) ∗ ⟵ 𝑅′ ⟵ ′ ≅ ∗limTor𝑖 (𝑅′ /𝐼𝑡 𝑅′ , 𝑀⨂𝑅 𝑅′ ) = ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅′ /(𝐼𝑅′ )𝑡 , 𝑀⨂𝑅 𝑅′ ) ∗ ⟵ ′ = ∗𝐻𝑖𝐼𝑅 (𝑀⨂𝑅 𝑅′ ) ⟵ 76 ∎ KẾT LUẬN Trong luận văn làm điều sau: • Giới thiệu hàm tử dẫn xuất trái 𝐿𝐼𝑖 (−) hàm tử ∧𝐼 (−) điều kiện để 𝐿𝐼0 (𝑀) ≅ ∧𝐼 (𝑀) (xem 2.1) Đưa định nghĩa môđun 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) số tính chất như: {𝐻𝑖𝐼 (−)}𝑖≥0 dãy nối dương từ phạm trù ℳ (𝑅 ) vào (2.2.2), mối liên hệ 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) 𝐿𝐼𝑖 (𝑀) (2.2.3), chứng minh số tính chất môđun 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) tính I-tách công thức tính dựa vào đối ngẫu Matlis (2.2.5), đẳng cấu tự nhiên môđun đồng điều địa phương môđun đồng điều Koszul (2.2.9)… • Xét lớp môđun Artin môđun đồng điều địa phương có nhiều tính chất Trước hết đẳng cấu tự nhiên 𝐻𝑖𝐼 (−) 𝐿𝐼𝑖 (−) cho lớp môđun Artin (2.3.1) Tính giao hoán 𝐻𝑖𝐼 với giới hạn nghịch (2.3.4), tính chất ∧𝐼 -acyclic (2.3.5) đặc trưng đồng điều địa phương môđun Artin I-tách (2.3.7) Đưa định lý Flat base change cho môđun đồng điều địa phương (2.3.8) Cuối xét tính Artin Noether (2.3.9, 2.3.10), tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương (2.3.12, 2.3.15) • Bước đầu nghiên cứu môđun đồng điều địa phương phân bậc Giới thiệu khái niệm tương ứng định nghĩa môđun ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀) Trong phạm vi luận văn tập trung nghiên cứu chứng minh số tính chất chuyển từ tính chất môđun đồng điều địa phương qua Vẫn nhiều tính chất đặc trưng phân bậc chưa nhắc đến, hướng nghiên cứu Đồng điều địa phương đồng điều địa phương phân bậc vấn đề mẻ nên nhiều toán mở để nghiên cứu Có nhiều kết đối đồng điều địa phương phân bậc công bố, nhiều vấn đề cần nghiên cứu xem chuyển kết cho đồng điều địa phương phân bậc tính chất tương tự 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Dương Quốc Việt (2009), Bài tập lí thuyết module, Nxb Đại học sư phạm Dương Quốc Việt (2010), Cơ sở lí thuyết module, Nxb Đại học sư phạm Tiếng Anh Atiyah M F., Macdonald I G (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Bourbaki N (1964), Théorie des ensembles, Hermann, Paris Bruns W., Herzog J (1993), Cohen Macaulay rings, Cambridge University Brodmann M P., Sharp R Y (1998), Local cohomology: an algebraic intro-ducetion with geometric applications, Cambridge University Press Cuong N T., Nhan L T (to appear), “On the Noetherian dimension of Artinian modules”, Vietnam J Math Cuong N T., Nam T T (2001), “The I-adic completion and local homology for Artinian modules”, Math Proc Camb Phil Soc., 131, pp.61-72 Chambless L (1981), “Coprimary decomposition, N-dimension and divisi-bility: application to Artinian modules”, Comm Algebra (9), pp.1131-1146 10 Greenlees J P C., May J P (1992), “Derived functors of I-adic completion and local homology”, J Algebra (149), pp.438-453 11 Grothendieck A (1966), Local cohomology, Lect Notes in Math (20), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 12 Hartshorne R (1977), Algebraic geometry, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 13 Jensen C U (1972), “Les Foncteurs Dérivés de lim et leurs applications en Théorie des ⟵ modules”, Springer-Verlag, Berlin 14 Kirby D (1973), “Coprimary decomposition of Artinian modules”, J London Math Soc., (6), pp.571-576 15 Kirby D (1990), “Dimension and length for artinian modules”, Quart J Math Oxford, (41), pp.419-429 16 Macdonald I G (1973), “Secondary representation of modules over a commu-tative ring”, Symposia Mathematica, (11), pp.23-43 78 17 Macdonald I G., Sharp R Y (1972), “An elementary proof of the nonvanish-ing of certain local cohomology modules”, Quart J Math, (23), pp.197-204 18 Matlis E (1958), “Injective modules over Noetherian rings”, Pacific J Math, (8), pp.511-528 19 Matlis E (1974), “The Kosul complex and duality”, Comm Algebra,(1), pp.87-144 20 Nhan L T (to appear), “Dimension and width of linearly compact modules and the colocalization of Artinian modules”, Vietnam J Math 21 Northcott D G (1960), An introduction to homological algebra, Cambridge University Press 22 Roberts R N (1975), “Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings”, Quart J Math Oxford, (26), pp.269-273 23 Rotman J J (2008), An introduction to homological algebra, Springer 24 Sharp R Y (1975), “Some results on the vanishing of local cohomology module”, Proc London Math Soc., (30), pp.177-195 25 Sharp R Y (1989), “A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic behavior”, Commutative Algebra (Math Siences Research Inst Publ Springer-Verlag), (15), pp.443-465 26 Strooker J (1990), Homological questions in local algebra, Cambridge University Press 27 Tang Z (1994),“Local homology theory for Artinian modules”, Comm Algebra, (22), pp.1675-1684 28 Weibel C A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge University Press 29 Yassemi S (1995), “Coassociated primes”, Comm Algebra, (23), pp.1473-1498 30 Yassemi S (1997),“Coassociated Primes of Modules over a Commutative Ring”, Math Scand 80, pp.175-187 31 Zöschinger H (1983), “Linear-Kompakte Moduln über noetherschen Ringen”, Arch Math (41), pp.121-130 79 [...]... định nghĩa ∧𝐼 (𝑀) 2.2 Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul ∎ Trong phần này các vành đều là vành Noether Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường hợp khác sẽ được nói rõ Chúng ta đã biết môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo ideal 𝐼, ký hiệu 𝐻𝐼𝑖 (𝑀), có thể định nghĩa bởi 𝐻𝐼𝑖 (𝑀) = limExt 𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) ⟵ 𝑡 21 Điều này gợi ý định... của định lý cho chúng ta công thức đối ngẫu Matlis của các môđun đồng điều địa phương và đối đồng điều địa phương Hệ quả 2.2.6 Nếu 𝑀 là 𝑅 -môđun Artin, thì với mọi 𝑖 ≥ 0 tồn tại đẳng cấu 27 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ≅ 𝐷(𝐻𝐼𝑖 (𝐷(𝑀))) Chứng minh Chúng ta có 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ 𝑀 (Bổ đề 1.5.4), theo công thức trên thì 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) ≅ 𝐻𝑖𝐼 (𝐷(𝐷(𝑀))) = 𝐷(𝐻𝐼𝑖 (𝐷(𝑀))) với mọi i ≥ 0 ∎ Sau đây chúng chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa đồng điều địa. .. TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Hàm tử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅 Các trường hợp khác sẽ được nói rõ Định nghĩa 2.1.1 Chúng ta đã biết ∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅 -môđun và 𝑅 -đồng cấu vào chính nó Với 𝑀 là 𝑅 -môđun, ta ký hiệu 𝐿𝐼𝑖 (𝑀) là môđun dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼 (𝑀) Chú ý 2.1.2... 𝑖 ⟵ 𝑖 ⟵ 𝑖′ 1.3 Đầy đủ của môđun Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅 Định nghĩa 1.3.1 (đầy đủ của môđun) Cho 𝑀 là 𝑅 -môđun, giả sử {𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ là một lọc các môđun con của 𝑀 Khi đó họ {𝑀⁄𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ cùng với họ các toàn cấu chính tắc {𝜃𝑛 : 𝑀/𝑀𝑛 → 𝑀/𝑀𝑛−1 }𝑛∈ℕ∗ là một hệ nghịch và giới hạn nghịch của hệ này được gọi là đầy đủ của � , vậy 𝑀 � = lim𝑀/𝑀𝑛 môđun 𝑀 Kí hiệu là 𝑀 ⟵... các môđun đồng điều địa phương trong phạm trù này ta cần các kết quả so sánh về phép giải ∗ xạ ảnh và những kết quả về đồng điều nói chung đối với phạm trù ∗ℳ (𝑅) Các kết quả này sẽ tương tự như trong phạm trù ℳ(𝑅), chỉ khác là ta kiểm tra được các đồng cấu là thuần nhất Vậy chúng ta cũng có các khái niệm về hàm tử dẫn xuất trái, dãy nối dương, dãy nối dương mạnh,… 18 CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN... ⟵ 𝑡 ⟵ 𝑡 30 ≅ ⋯ ≅ lim𝐻𝑖 �𝑥(𝑡 ); 𝑀� ⟵ 𝑡 Đẳng cấu trên có tính chất tự nhiên do các đẳng cấu thành phần là tự nhiên ∎ Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) có thể được tính bởi đồng điều Koszul, và do đó đối với các môđun Artin thì định nghĩa của chúng ta tương đương với định nghĩa của Tang [27] Định lý 2.2.9 Cho 𝑀 là 𝑅 -môđun Khi đó, với mọi 𝑖 ≥ 0 có đẳng cấu tự nhiên 𝑥 𝐻𝑖𝐼... Điều này gợi ý định nghĩa sau Có thể xem như là đối ngẫu của khái niệm trên Định nghĩa 2.2.1 Cho 𝑀 là 𝑅 -môđun Môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖𝐼 (𝑀), được xác định bởi 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) ⟵ 𝑡 Định nghĩa này là đúng đắn, do {Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)} là một hệ nghịch Thật vậy, lấy phép giải xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀 Khi đó với mọi 𝑡 ≥ 0 có phức 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ Vì {𝑅/𝐼𝑡 ,... tăng các số nguyên Rõ ràng 𝑑𝑝−1 ∘ 𝑑𝑝 = 0, do đó có phức hữu hạn sau 𝑑𝑛 𝑑1 𝐾∘ (𝑥): 0 → 𝐾𝑛 (𝑥) �⎯⎯⎯� 𝐾𝑛−1 (𝑥) → ⋯ → 𝐾1 (𝑥) �⎯⎯⎯� 𝐾0 (𝑥) → 0, của các môđun tự do hữu hạn sinh Phức này được gọi là phức Koszul của 𝑅 theo 𝑥 Môđun đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻𝑝 (𝑥) 𝑛 Chú ý số phần tử sinh của 𝐾𝑝 (𝑥) là �𝑝� Định nghĩa 1.6.2 Cho 𝑀 là 𝑅 -môđun và 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) là dãy các phần tử bất kì của vành... 𝑅 -môđun 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸, các phát biểu sau là tương đương: (i) 𝐸 là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀 (ii) 𝐸 là bao nội xạ của 𝑀 (iii) 𝐸 là môđun nội xạ tối tiểu chứa 𝑀 Mệnh đề 1.4.4 ([18, 3.7]) Cho (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether Khi đó 1.5 Đối Ngẫu Matlis End𝑅 (𝐸(𝑅/𝔪)) ≅ ∧𝐼 (𝑅 ) Trong phần này chúng ta xét (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether Định nghĩa 1.5.1 Cho 𝑀 là 𝑅 -môđun Đối ngẫu Matlis của môđun 𝑀 là môđun. .. phần này các môđun được xét trên vành 𝑅 và các họ môđun đều được chỉ số bởi tập số tự nhiên ℕ Những trường hợp khác sẽ được nói rõ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử {𝑀𝑖 }𝑖∈ℕ là họ các R -môđun và với mỗi cặp 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗, tồn tại đồng cấu R -môđun 𝜃𝑗𝑖 : 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖 Khi đó họ (𝑀𝑖 )𝑖∈ℕ cùng với họ đồng cấu (𝜃𝑗𝑖 )𝑗≥𝑖 được gọi là một hệ nghịch nếu các điều kiện sau thỏa: (i) 𝜃𝑖𝑖 : 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là ánh xạ đồng nhất, ∀𝑖 ... Noether, tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương Cuối chương trình bày số tính chất môđun đồng điều địa phương phân bậc Môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ