CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
2.2. Mô đun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul
Trong phần này các vành đều là vành Noether. Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường hợp khác sẽ được nói rõ.
Chúng ta đã biết môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo ideal 𝐼, ký hiệu 𝐻𝐼𝑖(𝑀), có thể định nghĩa bởi
𝐻𝐼𝑖(𝑀) = lim⟵
𝑡
Ext𝑅𝑖(𝑅/𝐼𝑡,𝑀).
22
Điều này gợi ý định nghĩa sau. Có thể xem như là đối ngẫu của khái niệm trên.
Định nghĩa 2.2.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼 , ký hiệu𝐻𝑖𝐼(𝑀), được xác định bởi
𝐻𝑖𝐼(𝑀) = lim
⟵𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀).
Định nghĩa này là đúng đắn, do {Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)} là một hệ nghịch. Thật vậy, lấy phép giải xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀. Khi đó với mọi 𝑡 ≥ 0 có phức 𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘. Vì {𝑅/𝐼𝑡,𝜋𝑡𝑘} là hệ nghịch nên có biến đổi dây chuyền sau
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘𝜋�⎯⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼𝑡𝑘⨂1𝐹∘ 𝑘⨂𝐹∘.
Do đó tồn tại đồng cấu Tor𝑖𝑅(𝜋𝑡𝑘, 1𝑀): Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) → Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀). Cũng từ hệ nghịch {𝑅/𝐼𝑡,𝜋𝑡𝑘} dẫn đến biểu đồ sau giao hoán, với 𝑡 ≥ 𝑘 ≥ 𝑙
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘ 𝜋�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼𝑡𝑘⨂1𝐹∘ 𝑘⨂𝐹∘
𝑅/𝐼𝑙⨂𝐹∘
Do đó với 𝑖 ≥0 biểu đồ sau giao hoán (do Tor𝑖𝑅 là hàm tử)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) Tor�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯�𝑖𝑅(𝜋𝑡𝑘,1𝑀) Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑙,𝑀)
Vậy với mọi 𝑖 ≥0 thì {Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)} là một hệ nghịch. ∎
Chú ý 2.2.2. Với 𝑀,𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓:𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu. Khi đó tồn tại biến đổi dây chuyền treo trên 𝑓, dẫn tới đổi dây chuyền treo trên 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑓
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘𝜋�⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼𝑡𝑘⨂𝑓 𝑡⨂𝑄∘.
Do đó tồn tại đồng cấu Tor𝑖𝑅�1𝑅/𝐼𝑡,𝑓�: Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) → Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑁). Chúng ta lại có biểu đồ giao hoán các phức sau, với các đồng cấu đã biết.
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄∘
↓ ↓
𝑅/𝐼𝑘⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑘⨂𝑄∘. Khi đó biểu đồ sau giao hoán
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) →Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑁)
𝜋𝑡𝑙⨂1𝐹∘ 𝜋𝑘𝑙⨂1𝐹∘
Tor𝑖𝑅(𝜋𝑡𝑙, 1𝑀) Tor𝑖𝑅(𝜋𝑘𝑙, 1𝑀)
23 ↓ ↓
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀) → Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑁).
Do đó tồn tại đồng cấu 𝐻𝑖𝐼(𝑓):𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻𝑖𝐼(𝑁). Hơn nữa, nếu 𝑓,𝑔:𝑀 → 𝑁 là các 𝑅-đồng cấu thì 1𝑅/𝐼𝑡⨂(𝑓+𝑔) = 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑓+ 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑔 nên
𝐻𝑖𝐼(𝑓+𝑔) = Tor𝑖𝑅�1𝑅/𝐼𝑡, (𝑓+𝑔)�= Tor𝑖𝑅�1𝑅/𝐼𝑡,𝑓�+ Tor𝑖𝑅�1𝑅/𝐼𝑡,𝑔�
=𝐻𝑖𝐼(𝑓) +𝐻𝑖𝐼(𝑔).
Tương tự như vậy dựa vào Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,−) là hàm tử hiệp biến, có thể kiểm tra được 𝐻𝑖𝐼(−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-môđun vào chính nó. Các hàm tử này nói chung là không khớp. Do 𝐻0𝐼(𝑀) ≅lim
⟵𝑡
(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑀) nên kiểm tra được tồn tại phép biến đổi đẳng cấu tự nhiên các hàm tử 𝐻0𝐼(−) và ∧𝐼 (−). Bây giờ ta sẽ xây dựng {𝐻𝑖𝐼(−)}𝑖≥0 thành một dãy nối dương.
Giả sử 0 → 𝐴→ 𝐵𝑓 → 𝐶 →𝑔 0 là dãy khớp ngắn. Khi đó ta có biểu đồ giao hoán các phức, với các dòng là khớp (𝐹∘,𝑄∘,𝑅∘ là phép giải xạ ảnh tương ứng)
0→ 𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘→ 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅∘ → 0
0→ 𝑅/𝐼𝑘⨂𝐹∘→ 𝑅/𝐼𝑘⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑘⨂𝑅∘ →0.
Dựa vào 𝛿𝑖𝑡: Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶) →Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡,𝐴),𝑡 ≥ 0 thì biểu đồ sau giao hoán Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶)→ Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐴)
↓ ↓
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐶) →Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐴).
Thật vậy,với 𝑧 ∈Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖−1) thì 𝜋𝑡𝑘⨂1𝑅𝑖(𝑧) ∈Ker(𝑅/𝐼𝑘⨂𝑅𝑖 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖−1). Tồn tại 𝑦 ∈ 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄𝑖 sao cho 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑔(𝑦) =𝑧. Do biểu đồ giao hoán nên 1𝑅/𝐼𝑘⨂𝑔 �𝜋𝑡𝑘⨂1𝑄𝑖(𝑦)�=𝜋𝑡𝑘⨂1𝑅𝑖(𝑧). Mặt khác 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑔 �1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕(𝑦)�= 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕(𝑧) = 0 nên có 𝑥 ∈Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖−1 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖−2) thỏa 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑓(𝑥) = 1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕(𝑦). Vì 𝛿𝑖𝑡(𝑧̅) = 𝑥̅ nên Tor𝑖𝑅(𝜋𝑡𝑘, 1𝑁)�𝛿𝑖𝑡(𝑧̅)�=𝜋�����������������. 𝑡𝑘⨂1𝐹𝚤−1(𝑥) Cũng do biểu đồ giao hoán nên
1𝑅/𝐼𝑘⨂𝑓 �𝜋𝑡𝑘⨂1𝐹𝑖−1(𝑥)�=𝜋𝑡𝑘⨂1𝑄𝑖−1�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕(𝑦)�= 1𝑅/𝐼𝑘⨂𝜕 �𝜋𝑡𝑘⨂1𝑄𝑖(𝑦)�
hay 𝜋𝑡𝑘⨂1𝐹𝑖(𝑥) ∈Ker(𝑅/𝐼𝑘⨂𝐹𝑖−1 → 𝑅/𝐼𝑘⨂𝑅𝑖−2). Do đó
𝛿𝑖𝑘�Tor𝑖𝑅(𝜋𝑡𝑘, 1𝐶)(𝑧̅)�=𝛿𝑖𝑘�𝜋����������������𝑡𝑘⨂1𝑅𝚤(𝑧) =𝜋�����������������𝑡𝑘⨂1𝐹𝚤−1(𝑥).
𝜋𝑡𝑘⨂1𝐹∘ 𝜋𝑡𝑘⨂1𝑄∘ 𝜋𝑡𝑘⨂1𝑅∘
24
Từ đó tồn tại đồng cấu nối 𝐻𝑖𝐼(𝛿):𝐻𝑖𝐼(𝐶)→ 𝐻𝑖−1𝐼 (𝐴). Từ dãy khớp dài của Tor dẫn tới phức sau
…→ 𝐻1𝐼(𝐶)𝐻�⎯⎯� 𝐻1𝐼(𝛿) 0𝐼(𝐴) → 𝐻0𝐼(𝐵)→ 𝐻0𝐼(𝐶) → 0.
Ta kiểm tra các đồng cấu nối này có tính chất tự nhiên. Giả sử biểu đồ giao hoán 0→ 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0
0→ 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ →0.
Dựa vào tính chất tự nhiên của các 𝛿𝑖𝑡,𝑡 ≥ 0ta có biểu đồ giao hoán
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐶) → Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑘,𝐴)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶) → Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡,𝐴)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐶′)→ Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑘,𝐴′)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶′) →Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡,𝐴′). Từ đó biểu đồ sau giao hoán
𝐻𝑖𝐼(𝐶) → 𝐻𝑖−1𝐼 (𝐴) ↓ ↓
𝐻𝑖𝐼(𝐶′)→ 𝐻𝑖−1𝐼 (𝐴′).
Như vậy {𝐻𝑖𝐼(−)}𝑖≥0 lập thành một dãy nối dương từ phạm trù ℳ(𝑅) vào chính nó. Nếu như xét trong lớp các môđun Artin thì Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡;𝑀),𝑖,𝑡 ≥ 0 là môđun Artin. Thật vậy, do 𝑅/𝐼𝑡 hữu hạn sinh nên tồn tại phép giải tự do
…⟶ 𝑅𝑠 ⟶ 𝑅𝑑 ⟶ 𝑅/𝐼𝑡 ⟶0. Từ đó có phức
…⟶ 𝑅𝑠⨂𝑀 ⟶ 𝑅𝑑⨂𝑀 ⟶ 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑀 ⟶ 0,
trong đó 𝑅𝑠⨂𝑀 ≅ 𝑀𝑠 là môđun Artin, do 𝑀 là môđun Artin. Vậy theo định nghĩa Tor𝑖+1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡;𝑀) là môđun Artin.
Trong lớp môđun này thì giới hạn nghịch khớp trái, nên từ dãy khớp dài các hệ nghịch của Tor dẫn tới dãy khớp
…→ 𝐻𝑛+1𝐼 (𝐵) → 𝐻𝑛+1𝐼 (𝐶)𝐻�⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑛+1𝐼 (𝛿) 𝑛𝐼(𝐴) → 𝐻𝑛𝐼(𝐵)→ ⋯
…→ 𝐻1𝐼(𝐶)𝐻�⎯⎯� 𝐻1𝐼(𝛿) 0𝐼(𝐴) → 𝐻0𝐼(𝐵)→ 𝐻0𝐼(𝐶) → 0.
↓ ↓ ↓
25
Do 𝐻0𝐼(𝑀) ≅ ∧𝐼 (𝑀), nên tồn tại toàn cấu toàn cấu tự nhiên 𝐿𝐼0(𝑀) → 𝐻0𝐼(𝑀).
Theo như trên thì 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = lim⟵ 𝐻𝑖(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘) và 𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 𝐻𝑖(lim⟵(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘)), với 𝐹∘ là phép giải xạ ảnh của môđun 𝑀. Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta mối quan hệ đầu tiên giữa môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀)và môđun dẫn xuất trái 𝐿𝐼𝑖(𝑀).
Mệnh đề 2.2.3. Với mọi môđun 𝑀 và 𝑖 ≥0, tồn tại toàn cấu 𝜑𝑖: 𝐿𝐼𝑖(𝑀) → 𝐻𝑖𝐼(𝑀).
Chứng minh. Chúng ta sử dụng kết quả sau.Cho dãy khớp các môđun 0→ 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 →0
trong đó 𝑃𝑘(𝑘= 0, … ,𝑖 −1)là môđun xạ ảnh. Khi đó nếu 𝑇 là hàm tử hiệp biến và cộng tính thì 𝐿𝑡𝑇(𝑀) = 𝐿𝑖+𝑡𝑇(𝐾),𝑡> 0.
Với 𝑖 = 0 thì 𝜑0 có thể xem như là toàn cấu 𝜑𝑀 trong Chú ý 2.1.2 (i).
Với 𝑖 > 0, xét dãy khớp
0→ 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 →0, do đó chúng ta có hai dãy khớp
0→ 𝑁 → 𝑃𝑖−2 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0, 0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → 𝑁 → 0.
Từ dãy khớp thứ hai và tính chất của hàm tử dẫn xuất trái có các dãy khớp sau
…→ 𝐿𝐼1(𝑃𝑖−1) → 𝐿𝐼1(𝑁) → 𝐿𝐼0(𝐾) → 𝐿𝐼0(𝑃𝑖−1)→ 𝐿𝐼0(𝑁)→ 0.
Do 𝑃𝑖−1 là môđun xạ ảnh nên 𝐿𝐼1(𝑃𝑖−1) = 0, theo kết quả trên thì 𝐿𝐼1(𝑁)≅ 𝐿𝐼𝑖(𝑀), như vậy chúng ta có dãy khớp
0→ 𝐿𝐼𝑖(𝑀) → 𝐿𝐼0(𝐾)→ 𝐿𝐼0(𝑃𝑖−1). Tương tự chúng ta cũng có dãy khớp sau
0→ Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡;𝑀) → 𝐾/𝐼𝑡𝐾 → 𝑃𝑖−1/𝐼𝑡𝑃𝑖−1,
với mọi 𝑡 > 0. Mặt khác vì giới hạn ngược khớp trái, nên dãy sau đây cũng khớp 0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)→∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1).
Từ đó chúng ta có thể kiểm tra được biểu đồ sau giao hoán với các dòng là khớp 0 → 𝐿𝐼𝑖(𝑀) → 𝐿𝐼0(𝐾) → 𝐿𝐼0(𝑃𝑖−1)
0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)→∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1),
𝜑𝑖 𝜑𝐾 𝜑𝑃𝑖−1
26
trong đó đồng cấu 𝜑𝑖 được cảm sinh từ đồng cấu 𝜑𝐾. Vì 𝑃𝑖−1 là môđun xạ ảnh nên 𝜑𝑃𝑖−1 là đẳng cấu, do đó nếu dặt 𝑇 = Im�𝐿𝐼0(𝐾) → 𝐿𝐼0(𝑃𝑖−1)� thì đồng cấu thu hẹp của 𝜑𝑃𝑖−1,𝜑�𝑃𝑖−1:𝑇 →∧𝐼 (𝑃𝑖−1)là đơn cấu. Khi đó biểu đồ trên cảm sinh biểu đồ sau
giao hoán sau với các dòng là khớp
0→ 𝐿𝐼𝑖(𝑀) → 𝐿𝐼0(𝐾)→ 𝑇 →0
0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)→∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1).
Vì 𝜑�𝑃𝑖−1là đơn cấu, 𝜑𝐾 là toàn cấu nên theo “bổ đề con rắn” ta suy ra được 𝜑𝑖là toàn cấu.
∎ Chú ý 2.2.4. (i) Nếu 𝑀là môđun hữu hạn sinh thì 𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 0 với mọi 𝑖 ≥ 0 (Chú ý 2.1.2 (iii)). Do đó theo Mệnh đề trên 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0.
(ii) 𝐻𝑖𝐼(𝑀) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 (𝑅)-môđun. Thật vậy, xét dãy khớp 0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)→∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1)
trong chứng minh mệnh đề trên. Vì ∧𝐼 (𝐾) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼(𝑅)-môđun nên 𝐻𝑖𝐼(𝑀) cũng có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼(𝑅)-môđun như là môđun con của ∧𝐼 (𝐾). Chúng ta có thể chứng minh trực tiếp tương ứng sau là phép toán ngoài
lim
⟵ 𝑅/𝐼𝑡 ×𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀) �(𝑎𝑛+𝐼𝑛), (𝑥𝑛)� ↦ (𝑎𝑛𝑥𝑛).
Mệnh đề 2.2.5.Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó các phát biểu sau là đúng.
(i) Với mọi 𝑖 ≥0, môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀) là 𝐼-tách, nghĩa là
⋂𝑠>0𝐼𝑠𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0
(ii) Giả sử rằng (𝑅,𝔪)là vành địa phương. Khi đó với mọi 𝑖 ≥0, 𝐻𝑖𝐼(𝐷(𝑀)) ≅ 𝐷(𝐻𝐼𝑖(𝑀)),
Chứng minh. (i) Trước tiên ta chứng minh {lim
⟵𝑠
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)}𝑡≥0 là hệ nghịch. Với 𝑡 ≥ 𝑘 đồng cấu 𝑓𝑡𝑘: Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)→ Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀) cảm sinh đồng cấu
𝐼𝑠𝑓𝑡𝑘:𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)→ 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀).
Mặt khác {𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)}𝑠≥0 và {𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀)}𝑠≥0 là các hệ nghịch. Nên tồn tại đồng cấu
lim⟵ 𝑠
𝐼𝑠𝑓𝑡𝑘: lim
⟵𝑠
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) → lim
⟵𝑠
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀).
𝜑𝑖 𝜑𝐾 𝜑�𝑃𝑖−1
27 Từ đó chúng ta có thể chứng minh được {lim
⟵𝑠
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)}𝑡≥0 là hệ nghịch.
Tiếp theo cần chứng minh {lim
⟵𝑡
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)}𝑠≥0 là hệ nghịch. Với 𝑠 ≥ 𝑟, ta có phép nhúng 𝜋:𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) → 𝐼𝑟Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀). Do {𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)}𝑡 và {𝐼𝑟Tor𝑖𝑅(𝑅/
𝐼𝑡,𝑀)}𝑡 là các hệ nghịch nên tồn tại đồng cấu lim⟵
𝑡
𝜋: lim
⟵𝑡
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)→ lim
⟵𝑡
𝐼𝑟Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀). Từ đó chúng ta có thể chứng minh được {lim⟵
𝑡
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)}𝑠≥0 là hệ nghịch.
Cần chứng minh kết quả 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡. Lấy 𝑃∘ là phép giải xạ ảnh của môđun 𝑀. Khi đó ta có phức 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑃∘ với 𝑡 ≥ 0. Với 𝑖 ≥0, ta có 𝐼𝑠.𝑅/𝐼𝑡⨂𝑃𝑖 = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡. Theo định nghĩa Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) = 𝐻𝑖(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘), nên 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡.
Sau đây chứng minh (i). Chú ý rằng với hệ nghịch {𝑀𝑡} thì 𝐼lim
⟵𝑀𝑡 ⊆lim
⟵𝐼𝑀𝑡. Do đó từ tính giao hoán của hệ nghịch chúng ta có
⋂𝑠>0𝐼𝑠𝐻𝑖𝐼(𝑀)≅lim
⟵𝑠
(𝐼𝑠lim
⟵𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀))
⊆lim
⟵𝑠
(lim⟵ 𝑡
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀))
≅lim⟵
𝑡
(lim⟵
𝑠
𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)) = 0, vì 𝐼𝑠Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡.
(ii) Chúng ta có Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡;𝐷(𝑀)) ≅ 𝐷(Ext𝑅𝑖(𝑅/𝐼𝑡;𝑀)), lim
⟵𝐷(𝑀𝑡) = 𝐷(lim
⟶ 𝑀𝑡) (từ Bổ đề 1.5.5 và Bổ đề 1.5.6), do đó
𝐻𝑖𝐼(𝐷(𝑀)) = lim
⟵𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐷(𝑀))
≅lim
⟵𝑡
𝐷(Ext𝑅𝑖 (𝑅/𝐼𝑡;𝑀))
≅ 𝐷(lim⟶
𝑡
(Ext𝑅𝑖 (𝑅/𝐼𝑡;𝑀))
=𝐷(𝐻𝐼𝑖(𝑀)). ∎
Kết quả (ii) của định lý cho chúng ta công thức đối ngẫu Matlis của các môđun đồng điều địa phương và đối đồng điều địa phương.
Hệ quả 2.2.6. Nếu 𝑀 là 𝑅-môđun Artin, thì với mọi 𝑖 ≥ 0 tồn tại đẳng cấu
28
𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐷(𝐻𝐼𝑖(𝐷(𝑀))).
Chứng minh. Chúng ta có 𝐷(𝐷(𝑀))≅ 𝑀(Bổ đề 1.5.4), theo công thức trên thì 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝐷(𝐷(𝑀))) = 𝐷(𝐻𝐼𝑖(𝐷(𝑀)))
với mọi i ≥0. ∎
Sau đây chúng chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa đồng điều địa phương và đồng điều phức Koszul. Bây giờ ta sẽ giả sử iđêan 𝐼 sinh bởi 𝑟 phần tử 𝑥1, … ,𝑥𝑟 trong 𝑅. Với mỗi 𝑡 > 0 xét dãy phần tử 𝑥(𝑡) = (𝑥1𝑡, … ,𝑥𝑟𝑡), đôi khi xem như là iđêan.
Bổ đề 2.2.7. Cho 𝐹 là 𝑅-môđun phẳng. Khi đó với bất kì số nguyên 𝑘, tồn tại số nguyên 𝑡0 >𝑘 thỏa mãn
𝐻𝑖(𝜃∘𝑡,𝑘;𝐹):𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝐹� ⟶ 𝐻𝑖�𝑥(𝑘);𝐹�
là đồng cấu không với mọi 𝑡 ≥ 𝑡0 và 𝑖 > 0.
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.6.4 với mọi số nguyên 𝑘, tồn tại số nguyên 𝑡0 >𝑘 thỏa 𝐻𝑖(𝜃∘𝑡,𝑘):𝐻𝑖(𝑥(𝑡))⟶ 𝐻𝑖(𝑥(𝑘))
là đồng cấu không với mọi 𝑡 ≥ 𝑡0 và 𝑖 > 0. Chúng ta có biến đổi dây chuyền sau 𝐾∘(𝑥(𝑡)): … → 𝐾2(𝑥(𝑡)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯� 𝐾2𝑡 1(𝑥(𝑡)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯� 𝐾1𝑡 0(𝑥(𝑡))→ 0
f
𝐾∘(𝑥(𝑘)): … → 𝐾2(𝑥(𝑘)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯� 𝐾2𝑘 1(𝑥(𝑘)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯� 𝐾1𝑘 0(𝑥(𝑘)) →0 và 𝐻𝑖(𝑥(𝑡)) = Ker𝑑𝑖𝑡/Im𝑑𝑖+1𝑡 . Từ đó có biến đổi dây chuyền
𝐾∘(𝑥(𝑡),𝐹): … → 𝐾2(𝑥(𝑡),𝐹)𝑑�⎯⎯⎯� 𝐾2𝑡⨂1𝐹 1(𝑥(𝑡),𝐹)𝑑�⎯⎯⎯� 𝐾1𝑡⨂1𝐹 0(𝑥(𝑡),𝐹)→ 0
𝐾∘(𝑥(𝑘),𝐹): … → 𝐾2(𝑥(𝑘),𝐹)𝑑�⎯⎯⎯� 𝐾2𝑘⨂1𝐹 1(𝑥(𝑘),𝐹)𝑑�⎯⎯⎯� 𝐾1𝑘⨂1𝐹 0(𝑥(𝑘),𝐹) → 0 và 𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝐹� = Ker(𝑑𝑖𝑡⨂1𝐹)/Im(𝑑𝑖+1𝑡 ⨂1𝐹). Mặt khác 𝑑𝑖𝑡 có thể phân tích thành
0 →Ker𝑑𝑖𝑡 ℎ→ 𝐾𝑖(𝑥(𝑡)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑖𝑡 𝑖−1(𝑥(𝑡))
trong đó ℎ là phép nhúng, dãy trên khớp. Do 𝐹 là môđun phẳng nên có dãy khớp 0→ Ker𝑑𝑖𝑡⨂𝐹ℎ⨂1�⎯⎯� 𝐾𝐹 𝑖(𝑥(𝑡),𝐹) 𝑑�⎯⎯⎯� 𝐾𝑖𝑡⨂1𝐹 𝑖−1(𝑥(𝑡),𝐹),
do đó Ker𝑑𝑖𝑡⨂𝐹 = Ker(𝑑𝑖𝑡⨂1𝐹). Hơn nữa Im(𝑑𝑖+1𝑡 ⨂1𝐹) = Im𝑑𝑖+1𝑡 ⨂𝐹. Như vậy với 𝑦 =𝑥⨂𝑎+ Im𝑑𝑖+1(𝑥(𝑡))⨂𝐹)∈ 𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝐹� thì 𝑥 ∈ Ker𝑑𝑖(𝑥(𝑡)) và 𝑎 ∈ 𝐹. Do đó
𝜃1𝑡,𝑘 𝜃0𝑡,𝑘
𝜃2𝑡,𝑘
𝜃1𝑡,𝑘⨂1𝐹 𝜃0𝑡,𝑘⨂1𝐹
𝜃2𝑡,𝑘⨂1𝐹
29
𝐻𝑖(𝜃∘𝑡,𝑘;𝐹)(𝑦) = 𝜃𝑖𝑡,𝑘(𝑥)⨂𝑎+ Im𝑑𝑖+1(𝑥(𝑘))⨂𝐹. Mặt khác 𝐻𝑖(𝜃∘𝑡,𝑘) = 0 nên 𝜃𝑖𝑡,𝑘(𝑥) ∈ Im𝑑𝑖+1(𝑥(𝑡)), suy ra 𝐻𝑖(𝜃∘𝑡,𝑘;𝐹)(𝑦) = 0. ∎
Bổ đề 2.2.8. Cho
0→ 𝐾 → 𝐹𝑖−1 → ⋯ → 𝐹1 → 𝐹0 → 𝑀 →0 là dãy khớp các 𝑅-môđun với 𝐹𝑡 là các môđun phẳng. Khi đó
𝐻𝑗+𝑖𝑥 (𝑀)≅ 𝐻𝑗𝑥(𝐾),𝑗 > 0;
𝐻𝑖𝑥(𝑀)≅Ker�∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼 (𝐹𝑖−1)�.
Hơn nữa 𝐻𝑗+𝑖𝑥 (𝑀)≅ 𝐻𝑗𝑥(𝐾)là đẳng cấu tự nhiên.
Chứng minh. Trước tiên chúng ta chứng minh cho trường hợp 𝑖 = 1. Với mọi số nguyên 𝑡 thì dãy khớp ngắn 0→ 𝐾 → 𝐹0 → 𝑀 →0 cảm sinh dãy khớp dài của các môđun đồng điều Koszul
…𝑓�⎯� 𝐻𝑗+1𝑡 𝑗+1�𝑥(𝑡);𝐹0�𝑔�⎯� 𝐻𝑗+1𝑡 𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀�→ 𝐻𝛿𝑗𝑡 𝑗�𝑥(𝑡);𝐾�→ 𝐻𝑓𝑗𝑡 𝑗�𝑥(𝑡);𝐹0�→𝑔𝑗𝑡…
…𝑔→ 𝐻1𝑡 1�𝑥(𝑡);𝑀�→ 𝐻𝛿0𝑡 0�𝑥(𝑡);𝐾�→ 𝐻𝑓0𝑡 0�𝑥(𝑡);𝐹0�→ 𝐻𝑔0𝑡 0�𝑥(𝑡);𝑀� →0. Khi đó chúng ta có các dãy khớp sau
0 ⟶Im𝑔𝑗+1𝑡 ⟶ 𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀� ⟶ Im𝛿𝑗𝑡 ⟶ 0, 0⟶ Im𝛿𝑗𝑡 ⟶ 𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾� ⟶ 𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐹0� với mọi 𝑗 ≥ 0. Từ biểu đồ giao hoán
𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝐹0�𝑔�⎯� 𝐻𝑗+1𝑡 𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀�
𝐻𝑗+1�𝑥(𝑘);𝐹0�𝑔�⎯� 𝐻𝑗+1𝑘 𝑗+1�𝑥(𝑘);𝑀�
cho chúng ta hệ nghịch �Im𝑔𝑗+1𝑡 � với các đồng cấu của hệ nghịch này cảm sinh từ các đồng cấu 𝐻𝑗+1(𝜃∘𝑡,𝑘;𝐹0), là đồng không với mọi 𝑘 và mọi 𝑡 đủ lớn theo Bổ đề 2.2.7. Do đó
�Im𝑔𝑗+1𝑡 � thỏa tiêu chuẩn M-L và lim⟵
𝑡
Im𝑔𝑗+1𝑡 = 0 với mọi 𝑗 ≥ 0. Mặt khác cũng từ Bổ đề 2.2.7 thì lim⟵𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐹0�= 0,𝑗 > 0. Lấy giới hạn ngược của hai dãy khớp trên với chú ý những kết quả ở trên, giới hạn ngược khớp trái và Mệnh đề 1.2.8 chúng ta thu được các đẳng cấu sau
lim⟵
𝑡
𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅lim⟵
𝑡
Im𝛿𝑗𝑡, lim⟵
𝑡
Im𝛿𝑗𝑡 ≅lim⟵
𝑡
𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾�,𝑗 > 0,
𝐻𝑗+1(𝜃∘𝑡,𝑘;𝑀) 𝐻𝑗+1(𝜃∘𝑡,𝑘;𝐹0)
30 lim⟵
𝑡
𝐻1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅lim
⟵𝑡
Im𝛿0𝑡,lim
⟵𝑡
Im𝛿0𝑡 ≅Ker(lim
⟵𝑡
𝐻0�𝑥(𝑡);𝐾� →lim
⟵𝑡
𝐻0�𝑥(𝑡);𝐹0�). Do biểu đồ giao hoán
𝐻0�𝑥(𝑘);𝐾� → 𝐻0�𝑥(𝑘);𝐹0�
𝐻0�𝑥(𝑡);𝐾� → 𝐻0�𝑥(𝑡);𝐹0� 𝐾/𝑥(𝑘)𝐾 ⟶ 𝐹0/𝑥(𝑘)𝐹0
𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 ⟶ 𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0. Dẫn tới biểu đồ giao hoán sau
lim⟵ 𝐻0�𝑥(𝑡);𝐾� →lim
⟵𝐻0�𝑥(𝑡);𝐹0� ↓ ↓
lim⟵𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 →lim
⟵𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0. Hay lim
⟵𝑡
Im𝛿0𝑡 ≅Ker(lim
⟵𝑡
𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 → lim
⟵𝑡
𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0). Do 𝑥(𝑡) ⊆ 𝐼𝑡,𝐼𝑛 ⊆ 𝑥(𝑡) với 𝑛 đủ lớn nên lim
⟵ 𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 ≅ ∧𝐼 (𝐾), lim⟵𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0 ≅ ∧𝐼(𝐹0) (Bổ đề 1.3.3). Vì vậy chúng ta có các đẳng cấu
lim⟵𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅ lim⟵𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾�,𝑗 > 0;
lim⟵𝐻1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅Ker�∧𝐼 (𝐾) →∧𝐼(𝐹0)�.
Theo Chú ý 1.6.6 thì đẳng cấu 𝐻𝑗+𝑖𝑥 (𝑀) ≅ 𝐻𝑗𝑥(𝐾)có tính chất tự nhiên.
Với 𝑖 > 1, dãy khớp dài cho chúng ta các dãy khớp ngắn sau
0→ 𝐾1 → 𝐹0 → 𝑀 → 0, 0 → 𝐾𝑗+1→ 𝐹𝑗 → 𝐾𝑗 → 0,
trong đó 𝐾1 = Ker(𝐹0 → 𝑀), 𝐾𝑗+1 = Ker(𝐹𝑗 → 𝐹𝑗−1), 𝑗 = 1, … ,𝑖 −1. Áp dụng kết quả vừa chứng minh cho các dãy khớp ngắn này chúng ta thu được các đẳng cấu
lim⟵ 𝑡
𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾� ≅ lim
⟵𝑡
𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−1� ≅lim
⟵𝑡
𝐻𝑗+1+1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−2�
≅ ⋯ ≅lim⟵
𝑡
𝐻𝑗+𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�,𝑗> 0;
Ker�∧𝐼(𝐾) →∧𝐼 (𝐹𝑖−1)� ≅lim
⟵𝑡
𝐻1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−1� ≅lim
⟵𝑡
𝐻1+1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−2�
31 ≅ ⋯ ≅ lim
⟵𝑡
𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�
Đẳng cấu trên có tính chất tự nhiên do các đẳng cấu thành phần là tự nhiên. ∎
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀) có thể được tính bởi đồng điều Koszul, và do đó đối với các môđun Artin thì định nghĩa của chúng ta tương đương với định nghĩa của Tang [27].
Định lý 2.2.9. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó, với mọi 𝑖 ≥0có đẳng cấu tự nhiên 𝐻𝑖𝐼(𝑀)≅lim⟵
𝑡
𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�=𝐻𝑖𝑥(𝑀). Chứng minh. Rõ ràng 𝐻0𝐼(𝑀)≅ ∧𝐼(𝑀)≅lim
⟵𝑡
𝑀/𝑥(𝑡)𝑀 ≅ lim
⟵𝑡
𝐻0�𝑥(𝑡);𝑀�. Với bất kì 𝑖 > 0. Xét dãy khớp, với các 𝑃𝑗 là môđun xạ ảnh (hiển nhiên phẳng)
0→ 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 →0. Theo chứng minh phần đầu Mệnh đề 2.2.3 ta có dãy khớp sau
0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)≅ 𝐻1𝐼(𝐾𝑖−1) →∧𝐼(𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1).
Kết hợp Bổ đề 2.2.8 ta có biểu đồ sau giao hoán sau với các cột là đẳng cấu 0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐻1𝐼(𝐾𝑖−1)→ 𝐻0𝐼(𝐾) → 𝐻0𝐼(𝑃𝑖−1)
∧𝐼(𝐾) →∧𝐼 (𝑃𝑖−1)
lim
⟵ 𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 →lim
⟵𝑃𝑖−1/𝑥(𝑡)𝑃𝑖−1
0→ 𝐻𝑖𝑥(𝑀) ≅ 𝐻1𝑥(𝐾𝑖−1)→ 𝐻0𝑥(𝐾)→ 𝐻0𝑥(𝑃𝑖−1).
Do đó cảm sinh đẳng cấu 𝑓𝑀:𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻𝑖𝑥(𝑀) làm biểu đồ giao hoán. Cuối cùng kiểm tra tính chất tự nhiên. Giả sử 𝑓:𝑀 → 𝑁, khi đó có biểu đồ giao hoán sau
0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 →0 0→ 𝐻 → 𝑄𝑖−1 → ⋯ → 𝑄1 → 𝑄0 → 𝑁 → 0.
Phân tích như trên chúng ta có biểu đồ giao hoán sau, với các dòng là khớp 0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → 𝐾𝑖−1 → 0
0→ 𝐻 → 𝑄𝑖−1→ 𝐻𝑖−1 → 0.
Do tính chất tự nhiên của dãy nối dương �𝐻𝑖𝑥(−)� và {𝐻𝑖𝐼(−)} có biểu đồ giao hoán 0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐻1𝐼(𝐾𝑖−1)→ 𝐻0𝐼(𝐾) → 𝐻0𝐼(𝑃𝑖−1)
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓
32
0 → 𝐻𝑖𝐼(𝑁)≅ 𝐻1𝐼(𝐻𝑖−1) → 𝐻0𝐼(𝐻) → 𝐻0𝐼(𝑄𝑖−1), 0→ 𝐻𝑖𝑥(𝑀)≅ 𝐻1𝑥(𝐾𝑖−1) → 𝐻0𝑥(𝐾) → 𝐻0𝑥(𝑃𝑖−1) 0→ 𝐻𝑖𝑥(𝑁)≅ 𝐻1𝑥(𝐻𝑖−1)→ 𝐻0𝑥(𝐻)→ 𝐻0𝑥(𝑄𝑖−1). Do đó 𝑓𝑀:𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻≅ 𝑖𝑥(𝑀), 𝑓𝑁:𝐻𝑖𝐼(𝑁)→ 𝐻≅ 𝑖𝑥(𝑁) làm biểu đồ sau giao hoán
0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)≅ 𝐻1𝐼(𝐾𝑖−1)→ 𝐻0𝐼(𝐾) → 𝐻0𝐼(𝑃𝑖−1)
0→ 𝐻𝑖𝐼(𝑁) ≅ 𝐻1𝐼(𝐻𝑖−1)→ 𝐻0𝐼(𝐻)→ 𝐻0𝐼(𝑄𝑖−1)
0→ 𝐻𝑖𝑥(𝑀)≅ 𝐻1𝑥(𝐾𝑖−1) → 𝐻0𝑥(𝐾)→ 𝐻0𝑥(𝑃𝑖−1)
0→ 𝐻𝑖𝑥(𝑁) ≅ 𝐻1𝑥(𝐻𝑖−1)→ 𝐻0𝑥(𝐻) → 𝐻0𝑥(𝑄𝑖−1).
Thật vậy, hai hình vuông chéo phía trước là giao hoán cần kiểm tra hình còn lại. 𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻𝑖𝐼(𝑁) → 𝐻𝑖𝑥(𝑁)→ 𝐻0𝑥(𝐻) = 𝐻𝑖𝐼(𝑀) → 𝐻𝑖𝐼(𝑁) → 𝐻0𝐼(𝐻) → 𝐻0𝑥(𝐻)
=𝐻𝑖𝐼(𝑀) → 𝐻0𝐼(𝐾) → 𝐻0𝐼(𝐻) → 𝐻0𝑥(𝐻) =𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻0𝐼(𝐾)→ 𝐻0𝑥(𝐾)→ 𝐻0𝑥(𝐻)
=𝐻𝑖𝐼(𝑀) → 𝐻𝑖𝑥(𝑀) → 𝐻0𝑥(𝐾)→ 𝐻0𝑥(𝐻) = 𝐻𝑖𝐼(𝑀) → 𝐻𝑖𝑥(𝑀) → 𝐻𝑖𝑥(𝑁)→ 𝐻0𝑥(𝐻) Mà 𝐻𝑖𝑥(𝑁) → 𝐻0𝑥(𝐻)là đơn cấu nên
Hhhhhhh 𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻𝑖𝐼(𝑁) → 𝐻𝑖𝑥(𝑁) =𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻𝑖𝑥(𝑀)→ 𝐻𝑖𝑥(𝑁). ∎ Cho 𝑓:𝑅 → 𝑅′ là đồng cấu vành và 𝑀′ là 𝑅′-môđun. Khi đó 𝑀′ là 𝑅-môđun với phép nhân vô hướng sau: với mỗi 𝑚 ∈ 𝑀,𝑥 ∈ 𝑅 thì 𝑥𝑚 =𝑓(𝑥)𝑚. Chúng ta kí hiệu Γ𝑅:ℳ(𝑅′)→ ℳ(𝑅) là hàm tử có được bằng cách thu hẹp vô hướng (bởi 𝑓). Do đó, nếu 𝑀′ là 𝑅′-môđun thì với 𝑖 ∈ ℕ ta có 𝑅-môđun 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ𝑅 và 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅). Theo Chú ý 2.2.4 (ii) thì 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 (𝑅′)-môđun. Từ đồng cấu 𝑓:𝑅 → 𝑅′ cho chúng ta đồng cấu vành ∧𝐼(𝑓):∧𝐼(𝑅) →∧𝐼 (𝑅′). Do đó 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′) còn có cấu trúc tự nhiên của
∧𝐼 (𝑅)-môđun. Chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.11. Cho đồng cấu vành 𝑓:𝑅 → 𝑅′. Khi đó với mọi 𝑅′-môđun 𝑀′ tồn tại đẳng cấu 𝑅-môđun
𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ𝑅 ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅)
với mọi 𝑖 ≥0. Hơn nữa đẳng cấu trên còn là đẳng cấu của ∧𝐼 (𝑅)-môđun 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ∧𝐼(𝑅) ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅).
↓ ↓ ↓ ↓
33
Chứng minh. Chúng ta chỉ kiểm tra đẳng cấu ∧𝐼(𝑅)-môđun, đẳng cấu 𝑅-môđun có thể được chứng minh tương tự nhưng ngắn gọn hơn. Giả sử iđêan 𝐼 được sinh bởi 𝑟 phần tử 𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑟. Khi đó iđêan 𝐼𝑅′: =𝑓(𝐼)𝐵 được sinh bởi các phần tử 𝑦1,𝑦2, … ,𝑦𝑟 trong 𝑅′, với 𝑦1 =𝑓(𝑥1), … ,𝑦𝑟 =𝑓(𝑥𝑟). Đặt
𝑥(𝑡) = ( 𝑥1𝑡,𝑥2𝑡, … ,𝑥𝑟𝑡), 𝑦(𝑡) = ( 𝑦1𝑡,𝑦2𝑡, … ,𝑦𝑟𝑡). Từ định nghĩa của đồng điều Koszul có đẳng cấu các 𝑅-môđun
𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′)≅ 𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀′).
Thật vậy, với 𝑥 =∑ 𝑎𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑚𝑗 ∈ Ker�𝑑𝑖:𝐾𝑖(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′ → 𝐾𝑖−1(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′�, trong đó 𝑎𝑗 ∈ 𝑅,∀𝑗, 𝐾𝑖(𝑥(𝑡)) là môđun tự do sinh bởi hệ �𝑒𝑗1…𝑗𝑖�1≤𝑗
1<⋯<𝑗𝑖≤𝑟. Chúng ta nhận thấy 𝑥 =∑ 𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑎𝑗𝑚𝑗 ∈ 𝐾𝑖(𝑦(𝑡))⨂𝑅𝑀′, hơn nữa
0 =𝑑𝑖�∑ 𝑎𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑚𝑗�=∑ ∑(−1)𝑗𝑘−1𝑒𝑗1…𝚥̂𝑘…𝑗𝑖𝑥𝑗𝑡𝑘𝑎𝑗𝑚𝑗
=∑ ∑(−1)𝑗𝑘−1𝑒𝑗1…𝚥̂𝑘…𝑗𝑖𝑓(𝑥𝑗𝑡𝑘)𝑎𝑗𝑚𝑗 =∑ ∑(−1)𝑗𝑘−1𝑒𝑗1…𝚥̂𝑘…𝑗𝑖𝑦𝑗𝑡𝑘𝑎𝑗𝑚𝑗
=𝑑𝑖′�∑ 𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑎𝑗𝑚𝑗�=𝑑𝑖′(𝑥).
Do đó 𝑥 ∈ Ker�𝑑𝑖′:𝐾𝑖(𝑦(𝑡))⨂𝑅𝑀′ → 𝐾𝑖−1(𝑦(𝑡))⨂𝑅𝑀′�. Để xây dựng 𝑅-đồng cấu từ 𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′) vào 𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀′) kiểm tra: với 𝑥 =∑ 𝑎𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑚𝑗 ∈Im𝑑𝑖+1, theo trên 𝑥 =∑ 𝑒𝑗1…𝑗𝑖𝑎𝑗𝑚𝑗 ∈ 𝐾𝑖(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′ và ∃ ∑ 𝑏𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖+1𝑚𝑗 ∈ 𝐾𝑖+1(𝑥(𝑡))⨂𝑅𝑀′, 𝑏𝑗 ∈ 𝑅, sao cho
𝑥 =𝑑𝑖+1�∑ 𝑏𝑗𝑒𝑗1…𝑗𝑖+1𝑚𝑗�=𝑑𝑖+1�∑ 𝑒𝑗1…𝑗𝑖+1𝑏𝑗𝑚𝑗�=𝑑𝑖+1′ �∑ 𝑒𝑗1…𝑗𝑖+1𝑏𝑗𝑚𝑗�, do đó 𝑥 ∈ Im𝑑𝑖+1′ . Tương tự ta xây dựng được 𝑅-đồng cấu ngược.
Chú ý là 𝑥(𝑡)𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀′�= 0 và 𝑥(𝑡)𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀′) =𝑦(𝑡)𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀′) = 0, do đó đẳng cấu trên còn là đẳng cấu 𝑅/𝑥(𝑡)-môđun. Thật vậy, với 1≤ 𝑖 ≤ 𝑟 có biến đổi dây chuyền sau
𝐾∘(𝑥(𝑡)): …→ 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝+1𝑡 𝑝(𝑥(𝑡)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝𝑡 𝑝−1(𝑥(𝑡)) → ⋯
f
𝐾∘(𝑥(𝑡)): …→ 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝+1𝑡 𝑝(𝑥(𝑡)) 𝑑�⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝𝑡 𝑝−1(𝑥(𝑡)) → ⋯
Trong đó .𝑥𝑖:𝐾∘(𝑥(𝑡)) → 𝐾∘(𝑥(𝑡)) đồng cấu nhân với 𝑥𝑖. Ta sẽ chứng minh (.𝑥1) đồng luân dây chuyền với 0. Với 𝑝 ≥ 1 dịnh nghĩa đồng cấu
𝑠𝑝:𝐾𝑝(𝑥(𝑡)) ⟶ 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡)),
.𝑥𝑖 .𝑥𝑖
.𝑥𝑖
34
như sau: nếu phần tử có dạng 𝑒1𝑖2…𝑖𝑝 thì 𝑠𝑝(𝑒1𝑖2…𝑖𝑝) = 0, nếu 𝑒𝑖1…𝑖𝑝,𝑖1 ≠1 thì 𝑠𝑝(𝑒𝑖1…𝑖𝑝) = 𝑒1𝑖1…𝑖𝑝. Cần kiểm tra 𝑑𝑝+1𝑡 𝑠𝑝 +𝑠𝑝−1𝑑𝑝𝑡 =.𝑥𝑖. Với 𝑒1𝑖2…𝑖𝑝 ∈ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡)),
𝑠𝑝−1𝑑𝑝𝑡(𝑒1𝑖2…𝑖𝑝) =𝑠𝑝−1�𝑥1𝑒𝑖2…𝑖𝑝 +∑𝑝𝑗=2(−1)𝑗−1𝑥𝑖𝑗𝑒1𝑖2…𝚤�𝚥…𝑖𝑝�
=𝑥1𝑠𝑝−1�𝑒𝑖2…𝑖𝑝�+∑𝑝𝑗=2(−1)𝑗−1𝑥𝑖𝑗𝑠𝑝−1�𝑒1𝑖2…𝚤�𝚥…𝑖𝑝�=𝑥1𝑒1𝑖2…𝑖𝑝, 𝑑𝑝+1𝑡 𝑠𝑝(𝑒1𝑖2…𝑖𝑝) =𝑑𝑝+1𝑡 (0) = 0.
Do đó �𝑑𝑝+1𝑡 𝑠𝑝+𝑠𝑝−1𝑑𝑝𝑡�(𝑒1𝑖2…𝑖𝑝) =𝑥1𝑒1𝑖2…𝑖𝑝. Với 𝑒𝑖1…𝑖𝑝 ∈ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡)),𝑖1 ≠1 thì 𝑠𝑝−1𝑑𝑝𝑡(𝑒𝑖1…𝑖𝑝) = 𝑠𝑝−1�∑𝑝𝑗=1(−1)𝑗−1𝑥𝑖𝑗𝑒𝑖1…𝚤�…𝑖𝚥 𝑝�
=∑𝑝𝑗=1(−1)𝑗−1𝑥𝑖𝑗𝑠𝑝−1�𝑒𝑖1…𝚤�…𝑖𝚥 𝑝�=∑𝑝𝑗=1(−1)𝑗−1𝑥𝑖𝑗𝑒1𝑖1…𝚤�…𝑖𝚥 𝑝, 𝑑𝑝+1𝑡 𝑠𝑝(𝑒𝑖1…𝑖𝑝) =𝑑𝑝+1𝑡 (𝑒1𝑖1…𝑖𝑝) = 𝑥1𝑒𝑖1…𝑖𝑝 +∑𝑝𝑗=1(−1)𝑗𝑥𝑖𝑗𝑒1𝑖1…𝚤�…𝑖𝚥 𝑝.
Do đó �𝑑𝑝+1𝑡 𝑠𝑝 +𝑠𝑝−1𝑑𝑝𝑡�(𝑒𝑖1…𝑖𝑝) =𝑥1𝑒𝑖1…𝑖𝑝. Vậy 𝑑𝑝+1𝑡 𝑠𝑝 +𝑠𝑝−1𝑑𝑝𝑡 =.𝑥𝑖. Do đó đối với phức
𝐾∘(𝑥(𝑡);𝑀′): …→ 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡);𝑀′) 𝑑�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝+1𝑡 ⨂1𝑀 𝑝(𝑥(𝑡);𝑀′)→ ⋯, thì (.𝑥𝑖) vẫn đồng luân với 0. Nên 𝐻𝑖(.𝑥𝑖) = 𝐻𝑖(0):𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′)→ 𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′) hay 𝑥(𝑡)𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀′�= 0 với mọi 1≤ 𝑖 ≤ 𝑟.
Chúngcó 𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′)≅ 𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀′) là đẳng cấu 𝑅/𝑥(𝑡)-môđun, do đó lim⟵𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′)≅lim⟵𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀′)
là đẳng cấu lim⟵𝑅/𝑥(𝑡)-môđun. Thật vậy, Chỉ cần kiểm tra lim⟵𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′) có cấu trúc môđun trên vành lim
⟵𝑅/𝑥(𝑡). Định nghĩa tương ứng lim⟵ 𝑅/𝑥(𝑡) × lim
⟵𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′)→ lim
⟵ 𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀′) �(𝑎𝑛), (𝑥𝑛)� ↦ (𝑎𝑛𝑥𝑛).
Chỉ cần kiểm tra tương ứng trên là ánh xạ. Do 𝐻𝑖𝜑𝑡𝑘(𝑎𝑘𝑥𝑘) =𝑎𝑘𝐻𝑖𝜑𝑡𝑘(𝑥𝑘) = 𝑎𝑘𝑥𝑡, mặt khác 𝑎𝑘 − 𝑎𝑡 ∈ 𝑥(𝑡), do 𝑥(𝑡)𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�= 0 nên 𝑎𝑘𝑥𝑡 =𝑎𝑡𝑥𝑡.
Theo Định lý 2.2.9 ta có đẳng cấu ∧𝐼 (𝑅)-môđun
Df 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ∧𝐼(𝑅) ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅). ∎
35