CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC
3.2. Đầy đủ ∗ adic c ủa môđun
Chúng a xét các môđun phân bậc trên vành phân bậc 𝑅 và 𝐼 là ideal phân bậc của 𝑅
53
Định nghĩa 3.2.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc, giả sử {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ là một lọc các môđun con phân bậc của 𝑀. Ta đã biết họ (𝑀 𝑀⁄ 𝑛)𝑛∈ℕcùng với họ các toàn cấu chính tắc phân bậc (𝜃𝑛:𝑀/𝑀𝑛→ 𝑀/𝑀𝑛−1)𝑛∈ℕ∗ là một hệ nghịch và giới hạn nghịch của hệ này 𝑀�= lim⟵𝑀/𝑀𝑛 là đầy đủ của môđun 𝑀. Môđun phân bậc∗𝑀� = lim
⟵
∗ 𝑀/𝑀𝑛 được gọi là đầy đủ phân bậc của môđun phân bậc 𝑀.
Với 𝑥 ∈ 𝑀, khi đó 𝑥 =𝑥0+⋯+𝑥𝑘, 𝑥𝑘 ≠0, là sự phân tích thành các phần tử thuần nhất trong 𝑀. Do (𝑥+𝑀𝑛) = (𝑥0+𝑀𝑛) +⋯+ (𝑥𝑘 +𝑀𝑛)∈ ∗lim⟵𝑀/𝑀𝑛, nên có đồng cấu tự nhiên ∗𝑓:𝑀 → 𝑀�∗ (thu hẹp của đồng cấu tự nhiên 𝑓:𝑀 →𝑀�) với Ker∗𝑓 =⋂ 𝑀𝑛 𝑛 = Ker𝑓 = lim⟵𝑀𝑛 = lim∗⟵𝑀𝑛. Đồng cấu này là thuần nhất.
Ta đã biết đẳng cấu 𝑅-môđun 𝑀� ≅ 𝑀∗, 𝑀∗ là tập hợp các dãy Cauchy theo quan hệ tương đương. Xem ((𝑀𝑖)𝑛)𝑛∈ℕ là họ ℤ-môđun thì ta có đẳng cấu lim
⟵(𝑀𝑖)𝑛 ≅ 𝑀𝑛∗. Do đó ta có thể xây dựng được môđun con phân bậc của 𝑀∗ đẳng cấu với môđun phân bậc ∗lim⟵𝑀/
𝑀𝑛 trong phạm trù ∗ℳ(𝑅).
Định nghĩa 3.2.2. Dãy Cauchy {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ trong 𝑀 được gọi là dãy Cauchy bậc 𝑘 nếu các phần tử 𝑥𝑛 là thuần nhất cùng bậc 𝑘. Khi đó chúng ta có thể kí hiệu dãy này là �𝑥𝑖𝑘�𝑖∈ℕ. Gọi ( 𝑀∗)𝑘 là tập hợp tất cả các dãy Cauchy bậc 𝑘 trong 𝑀 theo quan hệ tương đương. Cứng minh được tồn tại ∗𝑀∗ =⨁𝑘≥0( 𝑀∗)𝑘 là môđun phân bậc con của 𝑀∗, và ∗𝑀∗đẳng cấu với
lim⟵
∗ 𝑀/𝑀𝑛 trong phạm trù ∗ℳ(𝑅).
Chứng minh. Giả sử 𝑦 ∈ ( 𝑀∗)𝑘∩ ∑𝑡≠𝑘( 𝑀∗)𝑡, thì
𝑦 = (𝑥������𝚤𝑘) =�𝑥�������𝚤𝑠1�+⋯+�𝑥�������𝚤𝑠𝑡�=�𝑥��������������������𝚤𝑠1 +⋯+𝑥𝚤𝑠𝑡�.
Với mỗi 𝑡 ∈ ℕ, tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ 𝑁 thì 𝑥𝑛𝑠1+⋯+𝑥𝑛𝑠𝑡 − 𝑥𝑛𝑘 ∈ 𝑀𝑡. Do đây là tổng của các phần tử phân bậc nên 𝑥𝑛𝑘 ∈(𝑀𝑡)𝑘 ⊆ 𝑀𝑡 hay 𝑦= (𝑥������𝚤𝑘) = (0)����. Như vậy tồn tại ⨁𝑘≥0( 𝑀∗)𝑘 là nhóm Abel con của 𝑀∗. Với 𝑎 ∈ 𝑅, thì có sự phân tích thành các phần tử phân bậc 𝑎 =𝑎0+⋯+𝑎𝑘, trong đó 𝑎𝑘 ≠0. Giả sử 𝑦=�𝑥�������𝚤𝑠1�+⋯+�𝑥�������𝚤𝑠𝑡� là sự phân tích thành các phần tử phân bậc trong ∗𝑀∗ thì
𝑎𝑦 =�𝑎����������0𝑥𝚤𝑠1�+⋯+�𝑎����������𝑘𝑥𝚤𝑠1�+⋯+�𝑎����������0𝑥𝚤𝑠𝑡�+⋯+�𝑎����������𝑘𝑥𝚤𝑠𝑡�.
Chỉ cần kiểm tra �𝑎���������� ∈ 𝑀𝑘𝑥𝚤𝑠𝑡� ∗ ∗, các phần tử còn lại kiểm tra tương tự. Với bất kì 𝑖 ∈ ℕ, thì 𝑀𝑖 là R-môđun phân bậc nên 𝑎𝑘𝑥𝑖𝑠𝑡 ∈ 𝑅𝑘(𝑀𝑖)𝑠𝑡 ⊆(𝑀𝑖)𝑠𝑡+𝑘. Mặt khác, có �𝑎����������𝑘𝑥𝚤𝑠𝑡�=
54
𝑎𝑘�𝑥�������𝚤𝑠𝑡� nên �𝑎����������𝑘𝑥𝚤𝑠𝑡� là dãy Cauchy bậc 𝑠𝑡+𝑘. Vậy �𝑎���������� ∈𝑘𝑥𝚤𝑠𝑡� ( 𝑀∗)𝑠𝑡+𝑘 hay �𝑎���������� ∈𝑘𝑥𝚤𝑠𝑡� 𝑀∗
∗ . Việc chứng minh ∗𝑀∗ đẳng cấu với ∗lim⟵𝑀/𝑀𝑛 trong phạm trù ∗ℳ(𝑅) ta dựa vào đẳng cấu trong chứng minh 𝑀∗ ≅ 𝑀� ([1, C.2, 4.3]). ∎
Chú ý 3.2.3. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc. Nếu 𝐼 là iđêan phân bậc thì 𝐼𝑛𝑀là môđun con phân bậc. Thật vậy, trước hết, nếu 𝐼 là iđêan phân bậc thì 𝐼𝑛 là iđêan phân bậc. Với 𝑛 = 2, lấy 𝑥 =∑ 𝑦𝑚𝑖=1 𝑖𝑧𝑖 ∈ 𝐼2, giả sử 𝑦𝑖 =𝑦𝑖0+⋯+𝑦𝑖𝑘𝑖, 𝑧𝑖 =𝑧𝑖0+⋯+𝑧𝑖𝑙𝑖 là sự phân tích thành các phần tử thuần nhất trong 𝐼,𝑦𝑖𝑘𝑖,𝑧𝑖𝑙𝑖 ≠0. Khi đó
𝑥 = � 𝑦1𝑠𝑧1𝑡
𝑘1+𝑙1
𝑠+𝑡=0
+⋯+ � 𝑦𝑚𝑠𝑧𝑚𝑡
𝑘𝑚+𝑙𝑚
𝑠+𝑡=0
= � (𝑦1𝑠𝑧1𝑡+⋯+𝑦𝑚𝑠𝑧𝑚𝑡 )
𝑠+𝑡=0
+ � (𝑦1𝑠𝑧1𝑡+⋯+𝑦𝑚𝑠𝑧𝑚𝑡 )
𝑠+𝑡=1
+⋯
là sự phân tích thành các phần tử thuần nhất của 𝑥 trong 𝑀. Do 𝑦1𝑠𝑧1𝑡+⋯+𝑦𝑚𝑠𝑧𝑚𝑡 ∈ 𝐼2, với mọi 𝑠,𝑡, nên 𝐼2 là iđêan phân bậc. Qui nạp theo 𝑛 ta được kết quả trên. Tiếp theo tương tự như trên thì 𝐼𝑛𝑀là môđun con phân bậc của 𝑀.
Khi lọc {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ là lọc {𝐼𝑛𝑀}𝑛∈ℕ thì môđun ∗𝑀� được gọi là đầy đủ 𝐼-∗adic của môđun 𝑀, trong trường hợp này chúng ta sẽ kí hiệu là ∗∧𝐼 (𝑀). Vậy
∧𝐼
∗ (𝑀) = lim
⟵
∗ 𝑀/𝐼𝑛𝑀.
Tiếp theo chúng ta sẽ xây dựng ∗∧𝐼 thành một hàm tử trong phạm trù ∗ℳ(𝑅).
Với 𝑀,𝑁 là các 𝑅-môđun phân bậc, 𝑓:𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu thuần nhất. Khi đó 𝑅-đồng cấu ∧𝐼 (𝑓) cảm sinh 𝑅-đồng cấu ∗∧𝐼 (𝑓): ∗∧𝐼 (𝑀) → ∧∗ 𝐼 (𝑁), đồng cấu này thuần nhất. Do đó nếu 𝑓,𝑔:𝑀 → 𝑁 là các 𝑅-đồng cấu phân bậc thì
∧𝐼
∗ (𝑓+𝑔) =∗∧𝐼 (𝑓) +∗∧𝐼 (𝑔).
Như vậy ∗∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-môđun phân bậc vào chính nó. Chúng ta sẽ xem xét sự bảo toàn dãy khớp của hàm tử này.
Chúng ta đã biết nếu 𝐽 là ideal của 𝑅 thì có đẳng cấu 𝑓:𝑅/𝐽⨂𝑅𝑀 ⟶ 𝑀/𝐽𝑀, xác định bởi 𝑓((𝑎+𝐽)⨂𝑥) = 𝑎𝑥+𝐽𝑀. Nếu 𝐽 là ideal phân bậc của vành phân bậc 𝑅 và 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc thì 𝑀/𝐽𝑀 và 𝑅/𝐽⨂𝑅𝑀 là các 𝑅-môđun phân bậc. Dễ dàng kiểm tra 𝑓 là thuần nhất. Do đó với bất kì 𝑛 ∈ ℕ ta có đẳng cấu trong phạm trù ∗ℳ(𝑅), 𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀 ≅ 𝑀/𝐼𝑛𝑀. Kí hiệu ∗𝑇𝐼(𝑀) = lim
⟵
∗ (𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀). Như vậy
∧𝐼
∗ (𝑀) = lim
⟵
∗ 𝑀/𝐼𝑛𝑀 ≅∗ lim
⟵
∗ (𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀) = ∗𝑇𝐼(𝑀).
55
Vì 𝑇𝐼(−) là hàm tử hiệp biến và cộng tính nên ∗𝑇𝐼(−)cũng vậy, nhưng từ phạm trù ∗ℳ(𝑅) vào chính nó. Vậy có đẳng cấu tự nhiên giữa hàm tử ∗𝑇𝐼(−) và ∗∧𝐼 (−).
Trong phạm trù ∗ℳ(𝑅) thì tích ten xơ không khớp trái, ∗lim⟵ không khớp phải nên nói chung ∗∧𝐼 (−) không là khớp trái, cũng không là khớp phải. Chúng ta đã biết nếu 𝑅 là vành Noether và chỉ xét phạm trù các 𝑅-môđun hữu hạn sinh thì ∧𝐼 (−) là hàm tử khớp. Vậy nếu như xét 𝑅 là vành Noether phân bậc và phạm trù các 𝑅-môđun phân bậc hữu hạn sinh thì
∧𝐼
∗ (−) có là hàm tử khớp hay không?.
Bổ đề 3.2.4. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc, giả sử {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ, {𝑁𝑛}𝑛∈ℕ là lọc các
môđun con phân bậc của 𝑀. Nếu với mỗi 𝑀𝑛 tồn tại 𝑁𝑚 sao cho 𝑁𝑚 ⊆ 𝑀𝑛 và ngược lại, với mỗi 𝑁𝑚 tồn tại 𝑀𝑛 sao cho 𝑀𝑛 ⊆ 𝑁𝑚 thì ∗lim⟵𝑀/𝑀𝑛 ∗≅ ∗lim⟵𝑀/𝑁𝑛.
Chứng minh. Một dãy Cauchy trong 𝑀 theo lọc {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy trong 𝑀 theo lọc {𝑁𝑛}𝑛∈ℕ, và hai dãy Cauchy tương đương với nhau theo {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau theo {𝑁𝑛}𝑛∈ℕ. Mặt khác ∗𝑀∗ đẳng cấu với lim
⟵
∗ 𝑀/𝑀𝑛
trong phạm trù ∗ℳ(𝑅). Do đó ta chỉ cần chứng minh dãy dạng {𝑥𝑖}𝑖∈ℕ =�𝑥𝑖𝑠1�𝑖∈ℕ +⋯+
�𝑥𝑖𝑠𝑡�𝑖∈ℕ là dãy Cauchy trong 𝑀 theo lọc {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ khi và chỉ khi �𝑥𝑖𝑠𝑗�𝑖∈ℕ,𝑗= 1, … ,𝑡 là dãy Cauchy trong 𝑀 theo lọc {𝑁𝑛}𝑛∈ℕ. Mỗi �𝑥𝑖𝑠𝑗�𝑖∈ℕ là dãy Cauchy bậc 𝑠𝑗 trong 𝑀 theo lọc {𝑀𝑛}𝑛∈ℕ nên là dãy Cauchy trong 𝑀 theo lọc {𝑁𝑛}𝑛∈ℕ. Do đó {𝑥𝑖}𝑖∈ℕ =�𝑥𝑖𝑠1�𝑖∈ℕ +⋯+
�𝑥𝑖𝑠𝑡�𝑖∈ℕ là dãy Cauchy trong 𝑀 theo lọc {𝑁𝑛}𝑛∈ℕ. Đẳng cấu cần chứng minh cảm sinh từ
đẳng cấu Bổ đề 1.3.3. ∎
Hệ quả 3.2.5. Cho 𝑅 là vành Noether phân bậc, 𝑁 là môđun con phân bậc của môđun phân bậc hữu hạn sinh 𝑀. Khi đó chúng ta có lọc {𝐼𝑛𝑁} và {𝐼𝑛𝑀 ∩ 𝑁} của môđun 𝑁, hơn nữa
lim⟵
∗ 𝑁/(𝐼𝑛𝑀 ∩ 𝑁) ∗≅ ∗lim⟵𝑁/𝐼𝑛𝑁.
Định lý 3.2.6. Giả sử chúng ta có dãy khớp ngắn các R-môđun hữu hạn sinh phân bậc trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
0→ 𝑁 𝑓 �⎯⎯� 𝑀 𝑔 �⎯⎯� 𝑃 →0. Khi đó dãy sau đây là khớp trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
0→ ∧∗ 𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑓) ∗ 𝐼 (𝑀) �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑔) ∗ 𝐼(𝑃) →0.
56
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.5 và Hệ quả 3.2.5. ∎ Chú ý 3.2.7. Ta có ∗∧𝐼(𝑀) còn là∗∧𝐼 (𝑅)-môđun phân bậc với phép nhân ngoài
∧𝐼
∗ (𝑅) × ∗∧𝐼 (𝑀) → ∗∧𝐼 (𝑀)