CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
2.3. Đồng điều địa phương của môđun Artin
Trong phần này chúng ta xét các vành đều là vành Noether, các môđun là môđun Artin.
Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường hợp khác sẽ được nói rõ.
Trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra sự tương đương giữa định nghĩa của chúng ta và định nghĩa của Greenlees-May [10] về môđun đồng điều địa phương trong trường hợp các môđun Artin. Chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Artin. Khi đó tồn tại đẳng cấu 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐿𝐼𝑖(𝑀)
với mọi 𝑖 ≥0. Đẳng cấu này có tính chất tự nhiên cho lớp 𝑅-môđun Artin.
Chứng minh. Trước tiên chứng minh một tính chất sau. Phần chứng minh dựa vào [28,Theo.3.5.8]. Xét trong phạm trù ℳ(𝑅). Cho biến đổi dây chuyền các phức
…→ (𝐶2)∘ → (𝐶1)∘ → (𝐶0)∘ → 0.
Trong đó phức (𝐶𝑘)∘: …→ (𝐶𝑘)1 →(𝐶𝑘)0 → 0. Với mỗi 𝑘 ∈ ℕ, họ {(𝐶𝑖)𝑘}𝑖∈ℕ cùng với các đồng cấu nối trong biến đổi trên lập thành một hệ nghịch thỏa M-L. Đặt
𝐶 = lim⟵(𝐶𝑖)∘: … → lim
⟵(𝐶𝑖)1 → lim
⟵ (𝐶𝑖)0 → 0.
Với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, đặt (𝑍𝑖)𝑛 = Ker((𝐶𝑖)𝑛 → (𝐶𝑖)𝑛−1), (𝐵𝑖)𝑛 = Im((𝐶𝑖)𝑛+1 → (𝐶𝑖)𝑛) thì 𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ = (𝑍𝑖)𝑛/(𝐵𝑖)𝑛. Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, ta có dãy khớp các hệ nghịch
0→ {(𝑍𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ →{(𝐶𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ →{(𝐶𝑖)𝑛−1}𝑖∈ℕ. Dẫn tới dãy khớp
0→ lim⟵ (𝑍𝑖)𝑛 → lim⟵ (𝐶𝑖)𝑛 → lim⟵(𝐶𝑖)𝑛−1. Do (𝑍𝑖)𝑛 ⊆(𝐶𝑖)𝑛,∀ 𝑖 ∈ ℕ, nên lim
⟵(𝑍𝑖)𝑛 ⊆lim
⟵(𝐶𝑖)𝑛. Chú ý đồng cấu nối phía sau trong dãy khớp trên chính là đồng cấu nối trong phức 𝐶. Do đó
lim⟵(𝑍𝑖)𝑛 = Ker(lim⟵ (𝐶𝑖)𝑛 → lim⟵(𝐶𝑖)𝑛−1), Im(lim
⟵(𝐶𝑖)𝑛 → lim
⟵ (𝐶𝑖)𝑛−1)≅lim
⟵(𝐶𝑖)𝑛/lim
⟵(𝑍𝑖)𝑛. Xét các phức sau (𝐵)𝑛 = Im(lim
⟵ (𝐶𝑖)𝑛+1→ lim
⟵(𝐶𝑖)𝑛),
𝑍= lim⟵𝑍𝑖: …→ lim⟵ (𝑍𝑖)1 → lim⟵(𝑍𝑖)0 → 0. Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, ta có dãy khớp các hệ nghịch
0 →{(𝑍𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ → {(𝐶𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ → {(𝐵𝑖)𝑛−1}𝑖∈ℕ → 0.
36 Do {(𝐶𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ thỏa M-L nên lim
⟵𝑡
1(𝐶𝑖)𝑛 = 0. Do đó có dãy khớp
0→ lim⟵(𝑍𝑖)𝑛→ lim⟵(𝐶𝑖)𝑛 → lim⟵ (𝐵𝑖)𝑛−1 → lim⟵
𝑡
1(𝑍𝑖)𝑛 → 0→ lim⟵
𝑡
1(𝐵𝑖)𝑛−1 → 0. Dãy khớp trên có thể tách thành 2 dãy khớp
0→ lim⟵ (𝑍𝑖)𝑛 → lim⟵ (𝐶𝑖)𝑛 →(𝐵)𝑛−1 →0, 0→ (𝐵)𝑛−1 → lim⟵(𝐵𝑖)𝑛−1 → lim⟵
𝑡
1(𝑍𝑖)𝑛 → 0. Do đó lim
⟵(𝐵𝑖)𝑛−1/(𝐵)𝑛−1 ≅lim
⟵𝑡
1(𝑍𝑖)𝑛. Tiếp theo, từ dãy khớp
0 →{(𝐵𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ → {(𝑍𝑖)𝑛}𝑖∈ℕ → {𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘}𝑖∈ℕ → 0. Do lim
⟵𝑡
1(𝐵𝑖)𝑛 = 0 nên có dãy khớp 0→ lim
⟵(𝐵𝑖)𝑛 →lim
⟵(𝑍𝑖)𝑛 →lim
⟵𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ → 0→ lim
⟵𝑡
1(𝑍𝑖)𝑛 → lim
⟵𝑡
1𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ → 0
Do (𝐵𝑖)𝑛 ⊆(𝑍𝑖)𝑛,∀ 𝑖 ∈ ℕ, nên lim⟵(𝐵𝑖)𝑛 ⊆lim⟵(𝑍𝑖)𝑛. Từ dãy khớp trên sẽ có lim⟵𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ ≅lim⟵(𝑍𝑖)𝑛/lim⟵(𝐵𝑖)𝑛.
Dễ thấy (𝐵)𝑛 ⊆lim
⟵(𝐵𝑖)𝑛. Chúng ta có dây chuyền các môđun con 0 ⊆(𝐵)𝑛 ⊆lim
⟵(𝐵𝑖)𝑛 ⊆lim
⟵(𝑍𝑖)𝑛 = (𝑍)𝑛 ⊆(𝐶)𝑛 Dẫn tới dãy khớp
0→ lim⟵(𝐵𝑖)𝑛/(𝐵)𝑛 → (𝑍)𝑛/(𝐵)𝑛 → (𝑍)𝑛/lim⟵ (𝐵𝑖)𝑛 → 0. Mặt khác (𝑍)𝑛/lim
⟵ (𝐵𝑖)𝑛 = lim
⟵ (𝑍𝑖)𝑛/lim
⟵(𝐵𝑖)𝑛 ≅lim
⟵𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘, (𝑍)𝑛/(𝐵)𝑛 ≅ 𝐻𝑛(𝐶) và lim⟵(𝐵𝑖)𝑛/(𝐵)𝑛 ≅lim
⟵𝑡
1(𝑍𝑖)𝑛+1≅lim
⟵𝑡
1𝐻𝑛+1(𝐶𝑖)∘. Do đó tồn tại dãy khớp 0→ lim⟵
𝑡
1𝐻𝑛+1(𝐶𝑖)∘ → 𝐻𝑛(𝐶) → lim⟵ 𝐻𝑛(𝐶𝑖)∘ → 0.
Áp dụng kết quả này, với phép giải xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀. Từ đó có các phức 𝑅/
𝐼𝑘⨂𝐹∘,𝑘 ≥ 0. Với các toàn cấu chính tắc thuần nhất 𝑅/𝐼𝑡 → 𝑅/𝐼𝑘,𝑡 ≥ 𝑘, cảm sinh biến đổi dây chuyền các phức
…→ 𝑅/𝐼2⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼1⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼0⨂𝐹∘ → 0.
Họ {𝑅/𝐼𝑖⨂𝐹𝑘}𝑖∈ℕ cùng với các đồng cấu nối trong biến đổi trên thỏa M-L. Do đó có dãy khớp ngắn với mọi 𝑖 ≥0
0 ⟶lim
⟵𝑡
1Tor𝑖+1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡;𝑀)⟶ 𝐿𝐼𝑖(𝑀)⟶ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)⟶ 0.
37
Do 𝑀 là môđun Artin nên theo định nghĩa Tor𝑖+1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡;𝑀) là môđun Artin. Do đó lim⟵
𝑡
1Tor𝑖+1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡;𝑀) = 0bởi Mệnh đề 1.2.8và định nghĩa của lim
⟵
1 [13]. Như vậy 𝜋𝑖(𝑀):𝐿𝐼𝑖(𝑀)→ 𝐻≅ 𝑖𝐼(𝑀).
Tiếp theo chúng ta chứng minh các đẳng cấu này có tính chất tự nhiên. Giả sử có đồng cấu môđun Artin 𝑓:𝑀 → 𝑁, khi đó tồn tại các đẳng cấu 𝜋𝑖(𝑀), 𝜋𝑖(𝑁). Dựa vào cách xác định các đẳng cấu này, thì biểu đồ sau giao hoán
𝐿𝐼𝑖(𝑀) = (𝑍)𝑛/(𝐵)𝑛→𝜋𝑖 (𝑍)𝑛/lim⟵(𝐵𝑖)𝑛 ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)
𝐿𝐼𝑖(𝑁) = (𝑍′)𝑛/(𝐵′)𝑛→𝜋𝑖(𝑍′)𝑛/lim⟵(𝐵𝑖′)𝑛 ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑁). Thật vậy, với (𝑥������� ∈𝑘)𝑘 (𝑍)𝑛/(𝐵)𝑛 thì
𝜋𝑖(𝑁)�𝐿𝐼𝑖(𝑓)�(𝑥���������𝑘)𝑘 =𝜋𝑖(𝑁)��𝑓𝚤⨂1𝑅/𝐼𝑘(𝑥𝑘)�
����������������������𝑘 =�𝑓������������������𝚤⨂1𝑅/𝐼𝑘(𝑥𝑘) 𝑘 𝐻𝑖𝐼(𝑓)�𝜋𝑖(𝑀)�(𝑥���������𝑘)𝑘 =𝐻𝑖𝐼(𝑓)((𝑥���)𝑘 𝑘) =�𝑓������������������𝚤⨂1𝑅/𝐼𝑘(𝑥𝑘) 𝑘. ∎ Greenlees-May [10, 2.4] sử dụng đối giới hạn đồng luân để định nghĩa nhóm đồng điều địa phương thứ 𝑖, 𝐻𝑖𝐼(𝑀), của môđun 𝑀 theo ideal 𝐼 bởi công thức
𝐻𝑖𝐼(𝑀) =𝐻𝑖(Hom𝑅(𝑇𝑒𝑙𝐾∘𝑥(𝑡);𝑀)),
trong đó iđêan 𝐼 sinh bởi hệ hữu hạn các phần tử 𝑥. Với một số điều kiện của 𝐼 (mà sẽ luôn thỏa mãn trên vành Noether 𝑅) họ đã chứng minh được 𝐻𝑖𝐼(𝑀)≅ 𝐿𝐼𝑖(𝑀). Do đó Mệnh đề 2.3.1 nói lên sự tương đương giữa định nghĩa của chúng ta và định nghĩa của Greenlees- May [10] về môđun đồng điều địa phương trong trường hợp các môđun Artin. Tuy nhiên trong trường hợp này định nghĩa của chúng ta có nhiều tính chất hơn.
(a) Dãy nối dương mạnh.
Chúng ta đã có {𝐿𝐼𝑖}𝑖≥0, {𝐻𝑖𝐼}𝑖≥0 là hai dãy nối dương từ phạm trù ℳ(𝑅) vào chính nó.
Theo chứng minh ở trên, tồn tại dãy các phép biến đổi đẳng cấu tự nhiên 𝜋𝑖:𝐿𝐼𝑖 → 𝐻𝑖𝐼 cho lớp các môđun Artin, với 𝑖 ≥0. Ta chứng minh {𝜋𝑖}𝑖≥0là đồng cấu của hai dãy nối dương khi xét trên lớp các môđun Artin; nghĩa là với dãy khớp ngắn môđun các Artin 0 → 𝐴
→ 𝐵𝑓 → 𝐶 →𝑔 0 thì biểu đồ sau giao hoán
𝐿𝐼𝑖+1(𝐶) 𝐿�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐿𝑖+1𝐼 (𝛿) 𝐼𝑖(𝐴)
𝐿𝑖𝐼(𝑓) 𝐻𝑖𝐼(𝑓)
𝜋𝑖+1(𝐶) 𝜋𝑖(𝐴)
38
𝐻𝑖+1𝐼 (𝐶) 𝐻�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑖+1𝐼 (𝛿) 𝑖𝐼(𝐴).
Thật vậy, chúng ta có biểu đồ giao hoán sau với các dòng là khớp 0 →lim
⟵𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖+1→lim
⟵𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄𝑖+1 →lim
⟵𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → 0
0 →lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖→lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄𝑖 → lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖 → 0. Trong đó 𝐹∘,𝑄∘,𝑅∘ là phép giải xạ ảnh tương ứng của 𝐴,𝐵,𝐶.
Với (𝑧𝑡)𝑡 ∈ Ker(lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 →lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖) thì tồn tại (𝑦𝑡)𝑡 ∈ lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑄𝑖+1 sao cho lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑔�((𝑦𝑡)𝑡) = (𝑧𝑡)𝑡. Mặt khác lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑔� ∘lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕�((𝑦𝑡)𝑡) = lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕�((𝑧𝑡)𝑡) = 0 nên tồn tại (𝑥𝑡)𝑡 ∈ Ker(lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖 → lim⟵
𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖−1) sao cho lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝑓�((𝑥𝑡)𝑡) = lim
⟵𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕�((𝑦𝑡)𝑡).
Suy ra 𝐿𝐼𝑖+1(𝛿)�(𝑧�������𝑡)𝑡 = (𝑥������𝑡)𝑡, do đó 𝜋𝑖(𝐴)∘ 𝐿𝐼𝑖+1(𝛿)�(𝑧�������𝑡)𝑡 = (𝑥�𝑡)𝑡. Mặt khác lim⟵
𝑡
(Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖)) = Ker(lim
⟵𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → lim
⟵𝑡
𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖), suy ra
(𝑧𝑡)𝑡 ∈lim⟵
𝑡
(Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖)), 𝑧𝑡 ∈ Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖+1 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑖); (𝑥𝑡)𝑡 ∈lim
⟵𝑡
(Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖−1)), 𝑥𝑡 ∈Ker(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖 → 𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹𝑖−1). Do đó 𝛿(𝑧𝑡) = 𝑥𝑡. Mặt khác (𝑥�𝑡)𝑡 ∈ 𝐻𝑖𝐼(𝐴), suy ra 𝐻𝑖+1𝐼 (𝛿)((𝑧�𝑡)𝑡) = (𝑥�𝑡)𝑡 hay 𝐻𝑖+1𝐼 (𝛿)∘
𝜋𝑖+1(𝐶)�(𝑧�������𝑡)𝑡 = (𝑥�𝑡)𝑡. ∎
Tuy dãy các hàm tử {𝐿𝐼𝑖(−)} là dãy nối dương mạnh, {𝐻𝑖𝐼(−)} là dãy nối dương từ phạm trù ℳ(𝑅) vào chính nó, nhưng đẳng cấu ở trên chỉ đúng cho lớp các môđun Artin nên không thể suy ra {𝐻𝑖𝐼(−)} là dãy nối dương mạnh trong phạm trù này. Do đó chúng ta chỉ có hệ quả sau, suy ra trực tiếp từ định lý trên.
Hệ quả 2.3.2. Cho dãy khớp ngắn các môđun Artin 0 ⟶ 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟶ 𝐶 ⟶0. Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương
…→ 𝐻𝑛+1𝐼 (𝐵) → 𝐻𝑛+1𝐼 (𝐶)𝐻�⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑛+1𝐼 (𝛿) 𝑛𝐼(𝐴) → 𝐻𝑛𝐼(𝐵)→ ⋯
lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕𝑖+1� lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕𝑖+1� lim⟵
𝑡
�1𝑅/𝐼𝑡⨂𝜕𝑖+1�
39
…→ 𝐻1𝐼(𝐶)𝐻�⎯⎯� 𝐻1𝐼(𝛿) 0𝐼(𝐴) → 𝐻0𝐼(𝐵)→ 𝐻0𝐼(𝐶) → 0. (b) Tính ∧𝐼-Acyclic của môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀).
Bổ đề 2.3.3. Cho {𝑀𝑡} là hệ nghịch các môđun Artin và 𝑁là môđun hữu hạn sinh. Khi đó với mọi 𝑖 ≥0có đẳng cấu
Tor𝑖𝑅(𝑁; lim
⟵𝑡
𝑀𝑡)≅ lim
⟵𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑁;𝑀𝑡),
Chứng minh. Vì 𝑁 là môđun hữu hạn sinh nên chúng ta có thể lấy phép giải tự do 𝐹∘ của 𝑁 gồm các môđun tự do hữu hạn sinh. Do đó 𝐹𝑖⨂𝑅lim
⟵𝑀𝑡 ≅lim
⟵(𝐹𝑖⨂𝑅𝑀𝑡). Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp 𝑅𝑠⨂𝑅lim⟵𝑀𝑡 ≅lim⟵(𝑅𝑠⨂𝑅𝑀𝑡) hay (lim⟵𝑀𝑡)𝑠 ≅lim⟵ (𝑀𝑡)𝑠. Với ((𝑎𝑛1)𝑛, … , (𝑎𝑛𝑠)𝑛) ∈(lim
⟵𝑀𝑡)𝑠 thì 𝜃𝑗𝑖�𝑎𝑗𝑘�=𝑎𝑖𝑘, Do đó (𝜃𝑗𝑖)𝑠(𝑎𝑗1, … ,𝑎𝑗𝑠) = (𝑎𝑖1, … ,𝑎𝑖𝑠) hay (𝑎𝑛1, … ,𝑎𝑛𝑠)𝑛 ∈ lim
⟵ (𝑀𝑡)𝑠. Ngược lại với bất kì phần tử (𝑎𝑛1, … ,𝑎𝑛𝑠)𝑛 ∈ lim⟵(𝑀𝑡)𝑠 thì 𝜃𝑗𝑖�𝑎𝑗𝑘� =𝑎𝑖𝑘, ta suy ra (𝑎𝑛𝑘)𝑛 ∈ lim⟵𝑀𝑡 hay ((𝑎𝑛1)𝑛, … , (𝑎𝑛𝑠)𝑛) ∈(lim⟵𝑀𝑡)𝑠. Do đó có thể kiểm chứng được tồn tại các ánh xạ sau là đồng cấu ngược của nhau.
𝑓: (lim
⟵𝑀𝑡)𝑠 ⟶ lim
⟵ (𝑀𝑡)𝑠, 𝑔: lim
⟵ (𝑀𝑡)𝑠 ⟶ (lim
⟵ 𝑀𝑡)𝑠. Hơn nữa hai phức 𝐹∘⨂𝑅lim
⟵𝑀𝑡 và lim
⟵ (𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡) là tương đương đồng luân. Mặt khác, do 𝐹𝑖⨂𝑅𝑀𝑡 là Artin với mọi 𝑖,𝑡 nên theo Mệnh đề 1.2.8 thì
lim⟵𝐻𝑖(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡) ≅ 𝐻𝑖(lim
⟵ (𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡)).
Thật vậy, từ biến đổi dây chuyền 𝐹∘⨂𝑀𝑡 → 𝐹∘⨂𝑀𝑘. Đặt 𝐴𝑡𝑛 = Im(𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛⨂𝑀𝑡), 𝐵𝑛𝑡 = Ker(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛−1⨂𝑀𝑡), với mọi 𝑛,𝑡 (qui ước 𝐹−1 = 0), suy ra 𝐻𝑛(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡) = 𝐵𝑛𝑡/𝐴𝑡𝑛. Dựa vào biến đổi dây chuyền trên chúng ta có các hệ nghịch {𝐴𝑡𝑛}, {𝐵𝑛𝑡}, {𝐻𝑛(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡)}. Đồng cấu 𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛⨂𝑀𝑡 được phân tích
𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡 → 𝐴𝑡𝑛 → 𝐵𝑛𝑡 → 𝐹𝑛⨂𝑀𝑡. Chúng ta có biểu đồ giao hoán sau với các dòng là khớp.
0→ 𝐴𝑛𝑡 → 𝐵𝑛𝑡 → 𝐻𝑛(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡)→ 0 ↓ ↓ ↓
0→ 𝐴𝑛𝑘 → 𝐵𝑛𝑘 → 𝐻𝑛(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑘)→ 0
Do {𝐴𝑛𝑡} là hệ nghịch các môđun Artin (𝐴𝑛𝑡 ⊂ 𝐹𝑛⨂𝑀𝑡 Artin) nên theo Mệnh đề 1.2.8 chúng ta có dãy khớp
0→ lim
⟵𝑡
𝐴𝑛𝑡 →lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡 →lim
⟵𝑡
𝐻𝑛(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡)→ 0.
40 Từ đó dẫn đến đẳng cấu sau
lim⟵
𝑡
𝐻𝑛(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡)≅ lim⟵
𝑡
𝐵𝑛𝑡/lim⟵
𝑡
𝐴𝑛𝑡. Tương tự như trên chúng ta có các dãy khớp
0 →(𝐵𝑛𝑡) → (𝐹𝑛⨂𝑀𝑡), (𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡)→ (𝐴𝑛𝑡) → 0, 0 →(𝐴𝑡𝑛)→ (𝐹𝑛⨂𝑀𝑡). Do 𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡là môđun Artin và tính khớp trái của lim dẫn đến các dãy khớp
0→ lim⟵
𝑡
𝐵𝑛𝑡 → lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡), lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡) → lim⟵
𝑡
𝐴𝑛𝑡 → 0, 0→ lim
⟵𝑡
(𝐴𝑛𝑡) →lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡).
Dựa vào dãy nhúng các đồng cấu 𝐴𝑛𝑡 → 𝐵𝑛𝑡 → 𝐹𝑛⨂𝑀𝑡 và các dãy khớp 0→ lim
⟵𝑡
𝐴𝑛𝑡 → lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡, 0→ lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡 → lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡)
Chúng ta có dãy khớp và đẳng cấu sau 0→ Im(lim⟵
𝑡
𝐴𝑡𝑛 → lim⟵
𝑡
𝐵𝑛𝑡)→ Im(lim⟵
𝑡
𝐵𝑛𝑡 →lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡)), Im(lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡 →lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡))/Im(lim
⟵𝑡
𝐴𝑛𝑡 → lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡) ≅lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡/lim
⟵𝑡
𝐴𝑛𝑡. Đồng cấu 𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡 → 𝐹𝑛⨂𝑀𝑡 có thể phân tích thành 𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡 → 𝐴𝑛𝑡 → 𝐹𝑛⨂𝑀𝑡. Do các dãy khớp
lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡) 𝑝 ��lim⟵
𝑡
𝐴𝑛𝑡 →0, 0→ lim⟵
𝑡
(𝐴𝑛𝑡) 𝑖 ��lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡), nên đồng cấu lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡)→ lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡) có thể được phân tích thành lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡) 𝑝 ��lim⟵
𝑡
𝐴𝑡𝑛 𝑖 ��lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡).
Do đó Im(lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡) → lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡)) = Im(lim⟵
𝑡
𝐴𝑡𝑛 → lim⟵
𝑡
𝐵𝑛𝑡). Mặt khác do dãy khớp các hệ nghịch 0→ {𝐵𝑛𝑡}→ {𝐹𝑛⨂𝑀𝑡}→ {𝐹𝑛−1⨂𝑀𝑡}, dẫn đến dãy khớp
0→ lim⟵
𝑡
𝐵𝑛𝑡 → lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡) →lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛−1⨂𝑀𝑡). Do đó Im(lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡 → lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡)) = Ker(lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡)→ lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛−1⨂𝑀𝑡)). Như vậy theo định nghĩa
41 𝐻𝑛(lim
⟵𝑡
(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡)) =
Ker(lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡)→ lim⟵
𝑡
(𝐹𝑛−1⨂𝑀𝑡)) Im(lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛+1⨂𝑀𝑡)→ lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡))
= Im(lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡 → lim
⟵𝑡
(𝐹𝑛⨂𝑀𝑡))/Im(lim
⟵𝑡
𝐴𝑛𝑡 → lim
⟵𝑡
𝐵𝑛𝑡)
≅lim⟵
𝑡
𝐵𝑛𝑡/lim⟵
𝑡
𝐴𝑛𝑡 ≅lim⟵
𝑡
𝐻𝑛(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡).
Kết hợp các điều trên thì 𝐻𝑖(𝐹∘⨂𝑅lim⟵
𝑡
𝑀𝑡) ≅ 𝐻𝑖(lim⟵
𝑡
(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡))≅lim⟵
𝑡
𝐻𝑖(𝐹∘⨂𝑅𝑀𝑡).
Từ đây suy ra điều phải chứng minh. ∎
Hệ quả 2.3.4. Cho {𝑀𝑡} là hệ nghịch các môđun Artin. Khi đó có đẳng cấu 𝐻𝑖𝐼(lim
⟵𝑡
𝑀𝑡) ≅lim
⟵𝑡
𝐻𝑖𝐼(𝑀𝑡), với mọi 𝑖 ≥0.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.3.3 và tính giao hoán của lim
⟵ chúng ta có lim⟵
𝑘
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘; lim⟵
𝑡
𝑀𝑡) ≅lim⟵
𝑘
lim⟵
𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘;𝑀𝑡) ≅lim⟵
𝑡
lim⟵
𝑘
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘;𝑀𝑡).
Từ đây suy ra điều phải chứng minh. ∎
Mệnh đề 2.3.5. Cho 𝑀là môđun Artin. Khi đó với mọi 𝑗 ≥ 0
𝐻0𝐼(𝐻𝑗𝐼(𝑀)) ≅ 𝐻𝑗𝐼(𝑀), 𝐻𝑖𝐼(𝐻𝑗𝐼(𝑀)) = 0,𝑖 > 0. Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.3.3 và tính giao hoán của lim⟵ chúng ta có
𝐻𝑖𝐼(𝐻𝑗𝐼(𝑀)) = lim⟵
𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡; lim⟵
𝑠
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀))
≅lim
⟵𝑡
lim⟵ 𝑠
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡; Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀))
≅lim
⟵𝑠
lim⟵ 𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡; Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)). Lấy 𝑥 = (𝑥1, … ,𝑥𝑟)là hệ sinh của 𝐼 và 𝑥(𝑡) = (𝑥1𝑡, … ,𝑥𝑟𝑡). Khi đó lim⟵
𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡; Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)) =𝐻𝑖𝐼�Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)�
≅lim⟵
𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)) (Định lý 2.2.9) Từ đó suy ra
𝐻𝑖𝐼(𝐻𝑗𝐼(𝑀)) ≅lim⟵
𝑠
lim⟵
𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)).
42
Nhận xét: với mọi 𝑡 ≥ 𝑠 thì 𝐼𝑡Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀) = 0, nên 𝑥(𝑡)Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀) = 0. Do đó 𝐻𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)) =𝐾𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)). Thật vậy, có phức
…⟶ 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)) 𝑑�⎯⎯� 𝐾𝑝+1 𝑝(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀))
𝑑𝑝
�� 𝐾𝑝−1(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀))⟶ ⋯ Vì 𝑥(𝑡)Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀) = 0 nên
𝑑𝑝+1(𝑚′𝑒𝑖1…𝑖𝑝+1) = ∑𝑝+1𝑗=1(−1)𝑖𝑗−1𝑥𝑖𝑡𝑗𝑚′𝑒𝑖1…𝚤�…𝑖𝚥 𝑝+1 = 0 . Do đó Im𝑑𝑝+1 = 0, tương tự Im𝑑𝑝 = 0 hay Ker𝑑𝑝 =𝐾𝑝(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)).
Vậy hai hệ nghịch �𝐻𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀))� và �𝐾𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)),𝜑𝑘𝑡� tương dương (với mọi 𝑡 ≥ 𝑠). Do đó
lim⟵ 𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)) = lim
⟵𝑡
𝐾𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)). Nhận xét là các đồng cấu nối
𝜑𝑘𝑡: 𝐾𝑝(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀))⟶ 𝐾𝑝(𝑥(𝑘); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀))
∑1≤𝑖1,…,𝑖𝑝≤𝑟𝑚𝑖′1…𝑖𝑝𝑒𝑖1…𝑖𝑝 ⟼ ∑1≤𝑖1,…,𝑖𝑝≤𝑟𝑥𝑖𝑡−𝑘1 …𝑥𝑖𝑡−𝑘𝑝 𝑚𝑖′1…𝑖𝑝𝑒𝑖1…𝑖𝑝 . Dễ thấy 𝑝= 0 thì 𝜑𝑘𝑡 là đồng nhất và 𝐾0(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)) ≅Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀). Do đó
lim⟵ 𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀)) ≅Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀). Với 𝑝> 0 và 𝑡 ≥ 𝑘+𝑠 thì 𝜑𝑘𝑡 = 0. Do đó
lim⟵
𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑠,𝑀) = 0.
Từ đây suy ra điều cần chứng minh. ∎
Hệ quả 2.3.6. Cho 𝑀là môđun Artin. Khi đó
𝐻0𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀) = 0, 𝐻𝑖𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀)≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀), 𝑖 > 0.
Chứng minh. Do 𝑀 là Artin nên tồn tại 𝑛 nguyên dương sao cho 𝐼𝑡𝑀=𝐼𝑛𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛. Do đó ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀 =𝐼𝑛𝑀 và ∧𝐼(𝑀)≅ 𝑀/𝐼𝑛𝑀 (do 𝑡 ≥ 𝑛 thì 𝑀/𝐼𝑡𝑀=𝑀/𝐼𝑛𝑀). Do đó chúng ta có dãy khớp ngắn các môđun Artin sau
0⟶ ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀 ⟶ 𝑀 ⟶∧𝐼 (𝑀) ⟶0 . Bởi Hệ quả 2.3.2, có dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương
…⟶ 𝐻𝑖+1𝐼 �∧𝐼 (𝑀)� ⟶ 𝐻𝑖𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀)⟶ 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ⟶ 𝐻𝑖𝐼�∧𝐼 (𝑀)� ⟶ ⋯
… ⟶ 𝐻0𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀) ⟶ 𝐻0𝐼(𝑀)⟶ 𝐻0𝐼�∧𝐼 (𝑀)� ⟶ 0.
Áp dụng Mệnh đề 2.3.5, với 𝑖 > 0 ta có 𝐻𝑖𝐼�∧𝐼(𝑀)�= 0 =𝐻𝑖+1𝐼 �∧𝐼 (𝑀)�, nên
43
𝐻𝑖𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀)≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀).
Với 𝑖 = 0, 𝐻0𝐼�∧𝐼 (𝑀)� ≅ 𝐻0𝐼(𝑀), do đó nếu 𝐻0𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀)≠0 thì dẫn đến điều mâu
thuẫn. Vậy 𝐻0𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀) = 0. ∎
Dựa vào tính Acyclic sẽ cho ta một đặc trưng về đồng điều địa phương của các môđun 𝐼- tách, thông qua định lý sau.
Định lý 2.3.7. Cho 𝑀là môđun Artin. Khi đó các mệnh đề sau tương đương (i) 𝑀 là 𝐼-tách, tức là ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀 = 0.
(ii) ∧𝐼 (𝑀)≅ 𝑀.
(iii) 𝐻0𝐼(𝑀)≅ 𝑀, 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0 với mọi 𝑖 > 0.
Chứng minh. (i)⟺(ii). Chúng ta có dãy khớp các hệ nghich sau 0⟶ (𝐼𝑡𝑀)⟶ (𝑀) ⟶(𝑀/𝐼𝑡𝑀) ⟶0.
Do (𝐼𝑡𝑀) là hệ nghịch các môđun Artin nên theo Mệnh đề 1.2.8 dãy sau khớp 0⟶ ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀⟶ 𝑀 ⟶∧𝐼 (𝑀)⟶ 0.
Từ đây dễ dàng suy ra (i) tương đương với (ii).
(i)⟹(iii). Ta có 𝐻0𝐼(𝑀) ≅∧𝐼(𝑀)≅ 𝑀 , do (i) tương đương với (ii). Hơn nữa, từ Hệ quả 2.3.6 cho ta 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐻𝑖𝐼(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀) = 0 với mọi𝑖 > 0.
(iii)⟹(ii). Là hiển nhiên vì 𝐻0𝐼(𝑀) ≅∧𝐼(𝑀). ∎ (c) Chuyển đổi vành.
Cho 𝑓:𝑅 → 𝑅′là đồng cấu phẳng, nghĩa là 𝑅′ có cấu trúc 𝑅-môđun phẳng với phép nhân vô hướng xác định bởi 𝑓. Từ Mệnh đề 2.2.11 đã có đẳng cấu của 𝑅-môđun 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅)≅ 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ𝑅. Định lý sau đây đưa ra kết quả thay đổi cấu trúc vành khi chỉ xét các môđun Artin.
Định lý 2.3.8. (Flat base change theorem) Cho toàn cấu phẳng 𝑓:𝑅 → 𝑅′. Khi đó với mọi 𝑅-môđun Artin 𝑀 có đẳng cấu 𝑅′-môđun
𝐻𝑖𝐼(𝑀)⨂𝑅𝑅′ ≅ 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀⨂𝑅𝑅′) với mọi 𝑖 ≥0.
Chứng minh. Ta có 𝐼𝑡𝑅′ = (𝐼𝑅′)𝑡 với mọi 𝑡 ∈ ℕ và 𝑅′ là 𝑅 -môđun hữu hạn sinh (vì 𝑓 là toàn cấu). Do đó
𝐻𝑖𝐼(𝑀)⨂𝑅𝑅′ = lim⟵ Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)⨂𝑅𝑅′ ≅ 𝑅′⨂𝑅lim⟵Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) ≅Tor0𝑅(𝑅′; lim
⟵Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)) ≅lim
⟵Tor0𝑅(𝑅′; Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀))(Bổ đề 2.3.3)
44 ≅lim
⟵�𝑅′⨂𝑅Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀)� ≅ lim
⟵ Tor𝑖𝑅′(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑅𝑅′,𝑀⨂𝑅𝑅′) ([28, 3.2.10]) ≅lim
⟵Tor𝑖𝑅′(𝑅′/𝐼𝑡𝑅′,𝑀⨂𝑅𝑅′) = lim
⟵ Tor𝑖𝑅′(𝑅′/(𝐼𝑅′)𝑡,𝑀⨂𝑅𝑅′)
=𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀⨂𝑅𝑅′). ∎
(d) Tính Artin và Noether của môđun đồng điều địa phương.
Nếu 𝑀 là môđun Artin trên vành địa phương (𝑅,𝔪), thì 𝑀 có cấu trúc tự nhiên của môđun Artin trên vành đầy đủ 𝔪-adic 𝑅� của 𝑅. Thật vậy, với 𝑥 ∈ 𝑀, nếu 𝑥 ≠0 thì 0≠ 𝑅𝑥 là 𝑅-môđun Artin. Do đó 𝑅𝑥 ≅ 𝑅/(0:𝑅𝑥) còn là đẳng cấu 𝑅/(0:𝑅𝑥)-môđun, nên 𝑅/
(0:𝑅𝑥) là vành Artin. Mặt khác 𝑅/(0:𝑅𝑥) là vành địa phương với iđêan tối đại là 𝔪/
(0:𝑅𝑥). Do đó 𝔪/(0:𝑅𝑥) là lũy linh, hay tồn tại số nguyên dương 𝑡, 𝔪𝑡𝑥 = 0. Như vậy với 𝑥 ∈ 𝑀 thì tồn tại 𝑡 ∈ ℕ sao cho 𝔪𝑡𝑥 = 0. Tiếp theo với phần tử
𝑟̂ = (𝑟𝑛+𝔪𝑛) = (𝑟𝑛′ +𝔪𝑛)∈ lim⟵
𝑛
𝑅/𝔪𝑛𝑅 =𝑅�
thì 𝑟𝑛 − 𝑟𝑛′ ∈ 𝔪𝑛 với mọi 𝑛 ∈ ℕ và 𝑟𝑛+ℎ − 𝑟𝑛,𝑟𝑛+ℎ′ − 𝑟𝑛′ ∈ 𝔪𝑛 với mọi 𝑛,ℎ ∈ ℕ. Do đó (𝑟𝑡+ℎ− 𝑟𝑡)𝑥 = 0, (𝑟𝑡+ℎ′ − 𝑟𝑡′)𝑥 = 0, (𝑟𝑡 − 𝑟𝑡′) = 0 hay 𝑟𝑡+ℎ𝑥 =𝑟𝑡𝑥 =𝑟𝑡′𝑥 =𝑟𝑡+ℎ′ 𝑥 với mọi ℎ ∈ ℕ. Như vậy có thể kiểm tra được 𝑀 có cấu trúc 𝑅�-môđun với phép toán ngoài 𝑟̂𝑥 = 𝑟𝑡𝑥. Chú ý rằng, với đồng cấu vành tự nhiên 𝑓:𝑅 ⟶ 𝑅� thì có thể khôi phục lại cấu trúc 𝑅- môđun của 𝑀; từ đây ta thấy tập con của 𝑀 là 𝑅-môđun con khi và chỉ khi nó là 𝑅�-môđun con. Do đó 𝑀 là 𝑅�-môđun Artin.
Như vậy nếu 𝑀 là môđun Artin trên vành địa phương (𝑅,𝔪), thì với mọi 𝑖 ≥ 0 và 𝑡 > 0, Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) là 𝑅-môđun Artin. Điều này dẫn đến Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) có cấu trúc tự nhiên của môđun Artin trên vành đầy đủ 𝔪-adic 𝑅� của 𝑅. Do đó 𝐻𝑖𝐼(𝑀) có cấu trúc của 𝑅�- môđun.
Mệnh đề 2.3.9. Cho (𝑅,𝔪) là vành địa phương và 𝑀 là 𝑅-môđun Artin. Khi đó 𝐻𝑖𝔪(𝑀) là 𝑅�-môđun Noether với mọi 𝑖 ≥0.
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.2.11 với 𝑅′ =𝑅� ta có đẳng cấu ∧𝐼(𝑅)-môđun 𝐻𝑖𝔪(𝑀)≅ 𝐻𝑖𝔪𝑅′(𝑀).
Chú ý là 𝔪𝑅′ =𝔪� và (𝑅�,𝔪�) là vành địa phương. Như vậy không mất tính tổng quát ta có thể giả sử (𝑅,𝔪) là vành địa phương đầy đủ. Khi đó theo đối ngẫu Matlis thì 𝐷(𝑀) là 𝑅- môđun Noether. Do đó 𝐻𝔪𝑖(𝐷(𝑀)) là 𝑅-môđun Artin [6, 7.1.3]. Mặt khác 𝐷(𝐷(𝑀))≅ 𝑀, nên theo Mệnh đề 2.2.5(ii) thì
𝐻𝑖𝔪(𝑀)≅ 𝐻𝑖𝔪(𝐷(𝐷(𝑀)))≅ 𝐷(𝐻𝔪𝑖(𝐷(𝑀))).
45
Vì 𝐻𝔪𝑖(𝐷(𝑀)) là môđun Artin nên 𝐷(𝐻𝔪𝑖(𝐷(𝑀))) là môđun Noether. Do đó 𝐻𝑖𝔪(𝑀) là 𝑅- môđun Noether. Hay 𝐻𝑖𝔪(𝑀) là R�-môđun Noether với mọi𝑖 ≥0. ∎
Mệnh đề 2.3.10. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Artin và 𝑠 là số nguyên dương. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(i) 𝐻𝑖𝐼(𝑀) là 𝑅-môđun Artin với mọi 𝑖 <𝑠. (ii) 𝐼 ⊆ Rad(Ann𝑅(𝐻𝑖𝐼(𝑀))) với mọi 𝑖 <𝑠.
Chứng minh. (i)⟹(ii). Với 𝑖 <𝑠. Do 𝐻𝑖𝐼(𝑀)là môđun Artin nên tồn tại 𝑛 nguyên dương sao cho ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝐻𝑖𝐼(𝑀)=𝐼𝑛𝐻𝑖𝐼(𝑀). Do đó theo Mệnh đề 2.2.5(i) ta suy ra 𝐼𝑛𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0. Như vậy 𝐼 ⊆Rad(Ann𝑅(𝐻𝑖𝐼(𝑀))).
(ii)⟹(i). Dùng qui nạp theo 𝑠. Với 𝑠= 1, do 𝑀 là Artin nên tồn tại 𝑛 nguyên dương sao cho 𝑀/𝐼𝑛𝑀 ≅ ∧𝐼 (𝑀)≅ 𝐻0𝐼(𝑀). Do đó 𝐻0𝐼(𝑀) là Artin. Với 𝑠> 1. Bởi Hệ quả 2.3.6 chúng ta có thể thay 𝑀 bởi ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀. Theo trên thì ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀=𝐼𝑛𝑀 và 𝐼𝑡𝑀=𝐼𝑛𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛 nên 𝐼 ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀=𝐼𝐼𝑛𝑀 =𝐼𝑛𝑀=⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀. Do đó khi thay 𝑀 bởi ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀 có thể giả sử 𝐼𝑀 =𝑀. Vì 𝑀 là môđun Artin, 𝑅 là vành Noether nên theo [16, 5.2] và [16, 2.8], tồn tại phần tử 𝑥 ∈ 𝐼 sao cho 𝑥𝑀 =𝑀. Do đó theo giả thuyết, tồn tại số nguyên 𝑡 sao cho 𝑥𝑡𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0, với mọi 𝑖 <𝑠. Chúng ta có dãy khớp ngắn
0⟶ 0:𝑀𝑥𝑡 ⟶ 𝑀.𝑥�� 𝑀 ⟶𝑡 0, cảm sinh dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương
⋯ ⟶ 𝐻𝑖+1𝐼 (𝑀)𝐻�⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑖+1𝐼 (.𝑥𝑡) 𝑖+1𝐼 (𝑀)⟶ 𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥𝑡)⟶ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)𝐻�⎯⎯⎯� 𝐻𝑖𝐼(.𝑥𝑡) 𝑖𝐼(𝑀) ⟶ ⋯. Do 𝑥𝑡𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0 với mọi 𝑖 <𝑠, nên 𝐻𝑖+1𝐼 (.𝑥𝑡) và 𝐻𝑖𝐼(.𝑥𝑡) là đồng cấu 0, với mọi 𝑖 <𝑠 − 1. Từ đó có dãy khớp sau, với mọi 𝑖 <𝑠 −1.
0⟶ 𝐻𝑖+1𝐼 (𝑀)⟶ 𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥𝑡)⟶ 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ⟶0.
Có thể xem 𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥𝑡)/𝐻𝑖+1𝐼 (𝑀)≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀). Mặt khác 𝐼 ⊆Rad(Ann𝑅(𝐻𝑗𝐼(𝑀))) với mọi 𝑗 <𝑠, nên với 𝑦 ∈ 𝐼 thì tồn tại 𝑢,𝑣 sao cho 𝑦𝑢𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0, 𝑦𝑣𝐻𝑖+1𝐼 (𝑀) = 0. Từ đây suy ra 𝑦𝑢+𝑣𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥𝑡) = 0 hay 𝑦 ∈Rad(Ann𝑅(𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥𝑡)). Do đó với mọi 𝑖 <𝑠 −1 thì 𝐼 ⊆Rad(Ann𝑅(𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥𝑡))). Theo giả thuyết qui nạp thì 𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥𝑡) là môđun Artin. Do đó 𝐻𝑖+1𝐼 (𝑀) là môđun Artin với mọi 𝑖 <𝑠 −1. Từ đây chúng ta có điều phải chứng minh.
∎ (e) Tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương.
46
Để chứng minh tính chất về tính triệt tiêu chúng ta sẽ nhắc lại khái niệm chiều Krull của một 𝑅-môđun 𝑀 được đưa ra bởi R. N. Roberts [22]. Tuy nhiên sau đó chiều này được D.
Kirby [15] đổi tên thành chiều Noetherđể tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull thường dùng trong Đại số giao hoán (ký hiệu chiều Krull thông thường của 𝑀 là dim𝑀, dim𝑀 = dim (𝑅/(0:𝑅𝑀))) . Ở đây chúng ta sẽ dùng thuật ngữ và kí hiệu của D. Kirby [15] (các tác giả trên chứng minh những tính chất đặc biệt trong trường hợp 𝑀 là môđun Artin trên vành địa phương).
Định nghĩa 2.3.11. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Chiều Noether của 𝑀, ký hiệu Ndim𝑅𝑀, hoặc đơn giản là Ndim𝑀, được định nghĩa bằng qui nạp như sau:
Khi 𝑀= 0ta đặt Ndim𝑀=−1.
Theo qui nạp, với bất kì số nguyên 𝛼, ta đặt Ndim𝑀 =𝛼 nếu thỏa hai điều kiện:
(i) Ndim𝑀 <𝛼 là sai,
(ii) Với bất kì dây chuyền tăng 𝑀0 ⊆ 𝑀1 ⊆… các môđun con của 𝑀, tồn tại một số nguyên dương 𝑚0 thỏa mãn Ndim(𝑀𝑚+1/𝑀𝑚) < 𝛼 với mọi 𝑚 ≥ 𝑚0.
Như vậy 𝑀 là môđun Noether khác không khi và chỉ khi Ndim𝑀 = 0. Thật vậy, nếu 𝑀 Noether thì tồn tại số nguyên 𝑚0 thỏa 𝑀𝑚 =𝑀𝑚+1 với mọi 𝑚 ≥ 𝑚0. Do đó Ndim(𝑀𝑚+1/ 𝑀𝑚) = −1 < 0. Suy ra Ndim𝑀 = 0. Ngược lại Ndim𝑀= 0 thì Ndim(𝑀𝑚+1/𝑀𝑚) =−1 hay 𝑀𝑚 =𝑀𝑚+1.
Nếu 𝑀là môđun Artin thì Ndim𝑀<∞ [17].
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh định lý triệt tiêu của đồng điều địa phương, được xem như là đối ngẫu định lý triệt tiêu Grothendieck của đối đồng điều địa phương cho các môđun Noether.
Định lý 2.3.12. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Artin với Ndim𝑀 =𝑑. Khi đó với mọi 𝑖 >𝑑 thì 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0.
Chứng minh. Chứng minh quy nạp theo 𝑑 = Ndim𝑀. Khi 𝑑 = 0, 𝑀 là môđun Noether.
Vì thế 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0 với mọi 𝑖 > 0 (bởi Chú ý 2.2.4 (i)). Giả sử 𝑑 > 0. Chú ý rằng Ndim(⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀)≤Ndim𝑀. Bằng cách lập luận như trong chứng minh Mệnh đề 2.3.10 (ii) ⟹ (i), có thể thay 𝑀 bởi ⋂𝑡>0𝐼𝑡𝑀. Khi đó Ndim𝑀 ≤ 𝑑 và tồn tại phần tử 𝑥 ∈ 𝐼 sao cho 𝑥𝑀 =𝑀. Như vậy, dãy khớp ngắn các môđun Artin
0⟶0:𝑀𝑥 ⟶ 𝑀→ 𝑀 ⟶.𝑥 0 cảm sinh dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương
47
⋯ ⟶ 𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥) ⟶ 𝐻𝑖𝐼(𝑀)𝐻�⎯⎯� 𝐻𝑖𝐼(.𝑥) 𝑖𝐼(𝑀) ⟶ 𝐻𝑖−1𝐼 (0:𝑀𝑥) ⟶ ⋯.
Mặt khác, chúng ta có dãy tăng 0:𝑀𝑥 ⊆0:𝑀𝑥2 ⊆0:𝑀𝑥3 ⊆ … các môđun con của 𝑀. Do Ndim𝑀 ≤ 𝑑, nên tồn tại một số nguyên dương 𝑚0 thỏa mãn
Ndim(0:𝑀𝑥𝑚+1/0:𝑀𝑥𝑚)≤ 𝑑 −1
với mọi 𝑚 ≥ 𝑚0. Do 𝑥𝑀 =𝑀 nên ánh xạ 𝑓: 0:𝑀𝑥𝑚+1 ⟶ 0:𝑀𝑥, 𝑎 ⟼ 𝑥𝑚𝑎, là toàn cấu.
Thật vậy, với 𝑎 ∈ 0:𝑀𝑥 ⊆ 𝑀 =𝑥𝑚𝑀 nên 𝑎=𝑥𝑚𝑏 và 𝑥𝑎 = 0 do đó 𝑥𝑚+1𝑏 = 0 hay 𝑓 là toàn cấu. Với 𝑚 ∈ Ker𝑓 thì 0 =𝑥𝑚𝑚. Do đó 𝑚 ∈0:𝑀𝑥𝑚 hay Ker𝑓= 0:𝑀𝑥𝑚. Như vậy có đẳng cấu 0:𝑀𝑥𝑚+1/0:𝑀𝑥𝑚 ≅0:𝑀𝑥. Nên Ndim 0:𝑀𝑥 ≤ 𝑑 −1. Sử dụng giả thuyết qui nạp chúng ta có 𝐻𝑖𝐼(0:𝑀𝑥) = 0 với mọi 𝑖 >𝑑 −1. Vậy dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương cho ta 𝐻𝑖𝐼(𝑀)≅ 𝑥𝐻𝑖𝐼(𝑀), với mọi 𝑖 >𝑑. Do đó 𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝑥𝑠𝐻𝑖𝐼(𝑀) với 𝑠 ≥ 1, hay
𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅lim
⟵𝑠
𝐻𝑖𝐼(𝑀) ≅lim
⟵𝑠
𝑥𝑠𝐻𝑖𝐼(𝑀)≅ ⋂𝑠>0𝑥𝑠𝐻𝑖𝐼(𝑀).
Mà ⋂𝑠>0𝐼𝑠𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0 bởi Mệnh đề 2.2.5. (i), nên 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0 với mọi 𝑖 >𝑑. ∎
Chú ý 2.3.13. Chúng ta đã biết trong trường hợp các môđun Artin trên vành Noether thì định nghĩa đồng điều địa phương của chúng ta tương đương với định nghĩa của Greenlees và May. Nên theo [10, 3.3] thì 𝐻𝐼𝑖(𝑅) = 0 với mọi 𝑖 > dim𝑅. Do đó theo [10, 3.2], 𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0 với mọi 𝑖 > dim𝑅. Tuy nhiên [22] đã chỉ ra rằng Ndim𝑀 ≤ dim𝑀= dim (𝑅/(0:𝑅𝑀)), và tồn tại môđun Artin M trên vành Noether địa phương 𝑅 sao cho Ndim𝑀< dim (𝑅/(0:𝑅𝑀)) [7, 4.1]. Mặt khác dim (𝑅/(0:𝑅𝑀)) ≤dim𝑅. Do đó kết quả mà Định lý 2.3.13 đưa ra thật sự mạnh hơn khẳng định của [10, 3.2].
Để chứng minh một tính chất không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương chúng ta sử dụng đến kiến thức về iđêan nguên tố đối liên kết, được xem như là lý thuyết đối ngẫu của iđêan nguên tố liên kết. Được nghiên cứu bởi các nhà toán học Macdonald (1973) [16], Chambles (1981) [9], Zửschinger (1983) [31], Yassemi (1995) [29], mỗi người cú những cách phát biểu đối ngẫu khác nhau. Tuy nhiên, Yassemi (1997) [30] đã chứng minh rằng khi vành cơ sở là vành Noether thì mọi định nghĩa đều tương đương với nhau. Ở đây chúng ta sẽ xột trờn vành Noether và cỏc định nghĩa, ký hiệu được sử dụng theo Zửschinger (1983) [31].
48
Định nghĩa 2.3.14. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Một iđêan nguên tố 𝔭 của 𝑅 được gọi là iđêan nguên tố đối liên kết với 𝑀 nếu có một môđun thương Artin 𝑇 của 𝑀 sao cho 𝔭= Ann𝑅(𝑇). Tập hợp tất cả các iđêan nguên tố đối liên kết với 𝑀được kí hiệu là Coass𝑅(𝑀). Trong phần (c) ta đã biết nếu 𝑀 là môđun Artin trên vành địa phương (𝑅,𝔪), thì 𝑀 là môđun Artin trên vành đầy đủ 𝔪-adic 𝑅�. Hơn nữa tập con của 𝑀 là 𝑅-môđun con khi và chỉ khi nó là 𝑅�-môđun con. Do đó Ndim𝑅𝑀= Ndim𝑅�𝑀. Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.3.9 thì 𝐻𝑖𝔪(𝑀) là 𝑅�-môđun Noether với mọi 𝑖 ≥ 0. Do đó tập hợp Ass𝑅��𝐻𝑖𝔪(𝑀)�hữu hạn. Mệnh đề sau đây cho thấy tính không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑑𝔪(𝑀) tại 𝑑 = Ndim𝑅𝑀và xác định tập Ass𝑅��𝐻𝑑𝔪(𝑀)�.
Mệnh đề 2.3.15. Cho (𝑅,𝔪) là vành địa phương và 𝑀 là 𝑅-môđun Artin khác không với Ndim𝑅𝑀=𝑑 . Khi đó 𝐻𝑑𝔪(𝑀) ≠0 và
Ass𝑅��𝐻𝑑𝔪(𝑀)�=�𝔭 ∈Coass𝑅�(𝑀)|dim𝑅�/𝔭=𝑑�.
Chứng minh. Chúng ta có đẳng cấu các 𝑅�-môđun 𝐻𝑖𝔪(𝑀) ≅ 𝐻𝑖𝔪𝑅�(𝑀) bởi Mệnh đề 2.2.10. Chú ý là 𝔪𝑅�=𝔪� và (𝑅�,𝔪�) là vành địa phương, theo trên Ndim𝑅𝑀= Ndim𝑅�𝑀. Như vậy không mất tính tổng quát có thể giả sử (𝑅,𝔪) là vành địa phương đầy đủ. Khi đó, theo đối ngẫu Matlis thì 𝐷(𝑀) là 𝑅-môđun Noether khác không. Hơn nữa, theo [29, 1.19]
thì Coass(𝑀) = Ass(𝐷(𝑀)); do đó dim𝐷(𝑀) = Ndim𝑀=𝑑. Nên theo [17, 2.2] thì 𝐻𝔪𝑑(𝐷(𝑀)) ≠0 , là môđun Artin, và
Coass(𝐻𝔪𝑖(𝐷(𝑀))) = {𝔭 ∈Ass(𝐷(𝑀)) = Coass(𝑀)|dim𝑅/𝔭 =𝑑}. Theo đối ngẫu Matlis và theo Mệnh đề 2.2.5(ii) thì
𝐻𝑑𝔪(𝑀)≅ 𝐻𝑑𝔪(𝐷(𝐷(𝑀))) ≅ 𝐷(𝐻𝔪𝑑(𝐷(𝑀))) ≠0. Ass(𝐻𝑑𝔪(𝑀)) = Ass(𝐷(𝐻𝔪𝑑(𝐷(𝑀)))) = Coass(𝐻𝔪𝑑(𝐷(𝑀)))
= {𝔭 ∈Coass(𝑀)|dim𝑅/𝔭 =𝑑}.
Từ đây chúng ta có điều phải chứng minh. ∎