CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC
3.4. Môđun đồng điều địa phương phân bậc
Chúng ta xét các môđun phân bậc trên vành phân bậc 𝑅 và 𝐼 là ideal phân bậc của 𝑅. Các trường hợp khác sẽ được nói rõ.
Định nghĩa 3.4.1. Chúng ta đã biết ∗∧𝐼(−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù ∗ℳ(𝑅) vào chính nó. Với 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc, ký hiệu ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀) là môđun dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∗∧𝐼 (𝑀).
Chú ý 3.4.2. (i) Hàm tử ∗∧𝐼 không là khớp trái và cũng không là khớp phải nên ∗𝐿𝐼0 ≠
∧𝐼
∗ . Tuy nhiên,∗𝐿𝐼0 là hàm tử khớp phải và các hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖, 𝑖 > 0 của nó giống với của ∗∧𝐼.
Xét phép giải ∗xạ ảnh 𝑃∘ của môđun phân bậc 𝑀. Khi đó chúng ta có phức
∧𝐼
∗ (𝑃∘): … → ∧∗ 𝐼 (𝑃1) �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑓1) ∗ 𝐼 (𝑃0) �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑓0) ∗ 𝐼(𝑀) → 0, và ∗𝐿𝐼0(𝑀) =∗∧𝐼 (𝑃0)/Im ∗∧𝐼 (𝑓1). Đặt 𝑁 =𝑓1(𝑃1) có dãy khớp ngắn trong ∗ℳ(𝑅)
0 → 𝑁 𝑖 �⎯� 𝑃0 𝑓0
�⎯⎯� 𝑀 → 0. Khi đó chúng ta có dãy sau (không nhất thiết là khớp)
↓ ↓ ↓
↓ ↓
59
∧𝐼
∗ (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑖) ∗ 𝐼 (𝑃0) �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑓0) ∗ 𝐼 (𝑀)→ 0,
với ∗∧𝐼 (𝑓0) là toàn cấu (vì ∧𝐼 (𝑓0) là toàn cấu). Do ∗∧𝐼(𝑓1) =∗∧𝐼 (𝑖)∘ ∧∗ 𝐼 (𝑃1 → 𝑁) và
∧𝐼
∗ (𝑃1 → 𝑁) là toàn cấu (vì ∧𝐼 (𝑃1 → 𝑁) toàn cấu) nên suy ra Im∗∧𝐼 (𝑓1) = Im∗∧𝐼 (𝑖) ⊆ Ker∗∧𝐼 (𝑓0). Mặt khác ∗∧𝐼 (𝑀)≅ ∗∧𝐼 (𝑃0)/Ker ∗∧𝐼 (𝑓0). Như vậy tồn tại toàn cấu tự nhiên phân bậc ∗𝜑𝑀: ∗𝐿𝐼0(𝑀) → ∧∗ 𝐼 (𝑀). Vậy nếu 𝑀 là môđun ∗xạ ảnh thì ∗𝜑𝑀 là đẳng cấu trong phạm trù∗ℳ(𝑅).
(ii) Nếu hai ideal 𝐼 và 𝐽 là tương đương căn, tức là tồn tại số dương 𝑛 và 𝑚 sao cho 𝐼𝑛 ⊆ 𝐽 và 𝐽𝑚 ⊆ 𝐼 thì theo Bổ đề 3.2.4, với mọi môđun 𝑀, ta có đẳng cấu trong phạm trù
∗ℳ(𝑅), ∗∧𝐼(𝑀)≅ ∧∗ 𝐽(𝑀). Đẳng cấu ∗ℎ𝑀: ∗∧𝐼 (𝑀)→ ∗∧𝐽(𝑀) cảm sinh bởi ℎ𝑀: ∧𝐼 (𝑀)
→ ∧≅ 𝐽(𝑀) nên xác định bởi ∗ℎ𝑀(𝑥𝑡 +𝐼𝑡𝑀) = (𝑥𝑡+𝑛+𝐼𝑡𝑀). Do đó cảm sinh được biểu đồ sau giao hoán
∧𝐼
∗ (𝑀)�⎯� ∗ℎ𝑀 ∗∧𝐽(𝑀)
∧𝐼
∗ (𝑁)��∗ℎ𝑁 ∗∧𝐽(𝑁)
Như vậy tồn tại đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử ∗∧𝐼 (−) và ∗∧𝐽(−). Do đó theo Hệ quả 1.5.6 thì ∗𝐿𝐼𝑖(−)đẳng cấu (thuần nhất) tự nhiên với ∗𝐿𝐽𝑖(−), ∀𝑖 ≥0.
(iii) Giả sử 𝑅 là vành Noether và 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại phép giải ∗tự do của môđun 𝑀 mà các thành phần môđun ∗tự do này là hữu hạn sinh. Do
∧𝐼
∗ là hàm tử khớp trong phạm trù các 𝑅-môđun hữu hạn sinh phân bậc, nên ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 0, với mọi 𝑖 ≥0và do đó ∗𝐿𝐼0(𝑀) = ∗∧𝐼(𝑀).
(iv) Từ đẳng cấu tự nhiên ∗∧𝐼(𝑀) = lim∗⟵𝑀/𝐼𝑛𝑀 ≅∗ ∗lim⟵ (𝑅/𝐼𝑛⨂𝑅𝑀) = ∗𝑇𝐼(𝑀)
và ∗𝐿𝐼𝑖(𝑃) = 0 cho mọi môđun xạ ảnh 𝑃 và 𝑖 ≥1. Nên theo Hệ quả 1.1.6 thì tồn tại phép biến đổi đẳng cấu tự nhiên các dãy hàm tử {𝐿𝑖∗𝑇𝐼}𝑖≥0, và {∗𝐿𝐼𝑖}𝑖≥0. Như vậy các hàm tử ∗𝐿𝐼𝑖 đôi khi xem như là các hàm tử 𝐿𝑖∗𝑇𝐼 hay môđun ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀) có thể được
xem như là môđun dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∗𝑇𝐼(𝑀).
(v) Với bất kì môđun phân bậc 𝑀 và 𝑖 ≥0, tồn tại đơn cấu chính tắc thuần nhất từ ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀) đến 𝐿𝐼𝑖(𝑀), nên có thể xem ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀) như là môđun con của 𝐿𝐼𝑖(𝑀). Thật vậy, xét phép giải
∗xạ ảnh của môđun phân bậc 𝑀, 𝑃∘: …→ 𝑃1→ 𝑃𝑓1 0→ 𝑀 →𝑓0 0. Khi đó ∗𝐿𝐼𝑖 = Ker(∗∧𝐼 (𝑓𝑖))/
Im(∗∧𝐼 (𝑓𝑖+1)) và 𝐿𝐼𝑖 = Ker(∧𝐼 (𝑓𝑖))/Im(∧𝐼 (𝑓𝑖+1)). Nhận thấy Im(∗∧𝐼(𝑓𝑖+1))⊆
∧𝐼
∗ (𝑓) ∗∧𝐽(𝑓)
60
Im(∧𝐼 (𝑓𝑖+1)) nên dễ dàng xác định ánh xạ chính tắc từ ∗𝐿𝐼𝑖 đến 𝐿𝐼𝑖. Nếu 𝑥 ∈ Im(∧𝐼(𝑓𝑖+1)) thì theo như chứng minh trong Bổ đề 3.1.4 chúng ta suy ra được 𝑥 ∈ Im(∗∧𝐼(𝑓𝑖+1)). Kiểm tra thuần nhất là dễ dàng.
Định lý 3.4.3. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc, giả sử rằng lọc {𝐼𝑛𝑀}𝑛∈ℕ là “dừng”, nghĩa là tồn tại số nguyên dương 𝑛 sao cho 𝐼𝑡𝑀 =𝐼𝑛𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛. Khi đó toàn cấu tự nhiên thuần nhất ∗𝜑𝑀: ∗𝐿𝐼0(𝑀) → ∧∗ 𝐼 (𝑀)là đẳng cấu.
Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn 0→ 𝑁→ 𝑃𝑓 → 𝑀 →𝑔 0 trong phạm trù ∗ℳ(𝑅) với 𝑃 là
∗xạ ảnh. Khi đó có các dãy nửa khớp sau, trong phạm trù∗ℳ(𝑅)
𝑁/𝐼𝑡𝑁 𝑓�� 𝑃/𝐼𝑡 𝑡𝑃 𝑔�⎯� 𝑀/𝐼𝑡 𝑡𝑀 →0, ∗∧𝐼(𝑁) �⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑓) ∗ 𝐼 (𝑃) �⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑔) ∗ 𝐼 (𝑀) → 0. Theo Chú ý 3.3.2 (i) thì chỉ cần chứng minh Im ∗∧𝐼 (𝑓) = Ker∗∧𝐼 (𝑔) là đủ. Đặt 𝐾𝑡 = Ker𝑔𝑡 là môđun con phân bậc của 𝑃/𝐼𝑡𝑃, và có thể xem 𝑁 như là môđun con của 𝑃. Khi đó 𝐾𝑡 = (𝑁+𝐼𝑡𝑃)/𝐼𝑡𝑃 ≅∗ 𝑁/(𝐼𝑡𝑃 ∩ 𝑁), hơn nữa {𝐾𝑡} là hệ nghịch toàn cấu môđun phân bậc. Mặt khác chúng ta có dãy khớp trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
0→ (𝐾𝑡) (𝑖�⎯⎯⎯⎯⎯�𝑡) (𝑃/𝐼𝑡𝑃) (𝑔�⎯⎯⎯⎯⎯⎯�𝑡) (𝑀/𝐼𝑡𝑀)→ 0, do đó theo có dãy khớp 0→ lim
⟵
∗ 𝐾𝑡 lim⟵
∗ 𝑖𝑡
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗ 𝐼 (𝑃) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑔) ∗ 𝐼(𝑀)→ 0. (3.1.5)
Với các đồng cấu chính tắc thuần nhất ℎ𝑡:𝑁/𝐼𝑡𝑁 → 𝑁/(𝐼𝑡𝑃 ∩ 𝑁) ∗≅𝐾𝑡, chúng ta có toàn cấu chính tắc thuần nhất ∗ℎ∶ ∗∧𝐼 (𝑁) → ∗lim⟵ 𝐾𝑡 cảm sinh từ toàn cấu ℎ trong chứng minh Định lý 2.1.3. Do biểu đồ giao hoán
∧𝐼
∗ (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧∗∧𝐼(𝑓) ∗ 𝐼 (𝑃)
lim⟵
∗ 𝐾𝑡
Nên Im∗∧𝐼 (𝑓) = Im� lim
⟵
∗ 𝑖𝑡�= Ker∗∧𝐼 (𝑔). ∎
Môđun Artin phân bậc hiển nhiên thỏa giả thuyết của Định lý 3.3.3. Do đó chúng ta có hệ quả trực tiếp sau.
Hệ quả 3.4.4. Giả sử 𝑀là môđun Artin phân bậc. Khi đó toàn cấu tự nhiên 𝜑𝑀
∗ : ∗𝐿𝐼0(𝑀) → ∧∗ 𝐼 (𝑀) là đẳng cấu thuần nhất.
Hệ quả 3.4.5. Cho 𝑀là môđun phân bậc. Khi đó các phát biểu sau tương đương:
(i) 𝐼𝑀 =𝑀.
∗ℎ lim
⟵
∗ 𝑖𝑡
61 (ii) ∗𝐿𝐼0(𝑀) = 0.
(iii) ∗∧𝐼 (𝑀) = 0.
Chứng minh. (i)⟹(ii) Từ giả thuyết ta có 𝑀 =𝐼𝑡𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 0. Do đó theo Định lý 3.3.3 thì ∗𝐿𝐼0(𝑀)≅ ∗∧𝐼 (𝑀) = lim
⟵
∗ 𝑀/𝐼𝑡𝑀 = 0.
(ii)⟹(iii) Được suy ra từ toàn cấu thuần nhất 𝜑𝑀: ∗𝐿𝐼0(𝑀)→ ∧∗ 𝐼 (𝑀)
(iii)⟹(i) Giả sử 𝑥 =𝑥0+⋯+𝑥𝑘 ∈ 𝑀, với 𝑥𝑘 ≠0, là sự phân tích thành các thuần nhất.
Do (𝑥 +𝐼𝑖𝑀) = (𝑥0+𝐼𝑖𝑀) +⋯+ (𝑥𝑘+𝐼𝑖𝑀) ∈ lim
⟵
∗ 𝑀/𝐼𝑡𝑀= 0 nên (𝑥0+𝐼𝑖𝑀) =⋯= (𝑥𝑘 +𝐼𝑖𝑀) = 0, hay 𝑥0, … ,𝑥𝑘 ∈ 𝐼𝑀. Suy ra 𝑥 ∈ 𝐼𝑀. ∎
Kết hợp Hệ quả 3.3.5 và Hệ quả 2.1.5 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.4.6. Cho 𝑀 là môđun phân bậc. Khi đó các phát biểu sau tương đương:
(i) 𝐼𝑀 =𝑀. (ii) ∗𝐿𝐼0(𝑀) = 0. (iii) ∗∧𝐼 (𝑀) = 0. (iv) 𝐿𝐼0(𝑀) = 0. (v) ∧𝐼(𝑀) = 0.