CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC
3.5. Môđun đồng điều địa phương phân bậc và môđun đồng điều Koszul
Chúng ta xét các môđun phân bậc trên vành Noether phân bậc 𝑅 và 𝐼 là ideal phân bậc của 𝑅. Các trường hợp khác sẽ được nói rõ.
Định nghĩa 3.5.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc. Môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun𝑀theo iđêan 𝐼 , ký hiệu∗𝐻𝑖𝐼(𝑀), được xác định bởi
𝐻𝑖𝐼
∗ (𝑀) = lim∗⟵
𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀). Định nghĩa này đúng đắn, do sự xác định của lim
⟵𝑡
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀). Hơn nữa ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀) là môđun con của 𝐻𝑖𝐼(𝑀).
Chú ý 3.5.2. (Các chứng minh trong phần này có sử dụng lại các kết quả trong Chú ý 2.2.2) Với 𝑀,𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓:𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu phân bậc. Khi đó, với mọi 𝑖 ≥0 biểu đồ sau giao hoán với các đồng cấu là thuần nhất
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑀) →Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝑁) ↓ ↓
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑀) → Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝑁).
62
Do đó tồn tại đồng cấu ∗𝐻𝑖𝐼(𝑓):∗𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑁). Hơn nữa ∗𝐻𝑖𝐼(−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù từ phạm trù ∗ℳ(𝑅) vào chính nó. Các hàm tử này nói chung là không khớp. Do ∗𝐻0𝐼(𝑀) ∗≅ ∗lim⟵
𝑡
(𝑅/𝐼𝑡⨂𝑀) nên kiểm tra được tồn tại phép biến đổi đẳng cấu tự nhiên các hàm tử ∗𝐻0𝐼(−) và ∗∧𝐼 (−). Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh {∗𝐻𝑖𝐼(−)}𝑖≥0 là một dãy nối dương trong phạm trù ∗ℳ(𝑅).
Giả sử 0→ 𝐴→ 𝐵𝑓 → 𝐶 →𝑔 0 là dãy khớp ngắn. Dựa vào các đồng cấu nối (thuần nhất) 𝛿𝑖𝑡: Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶) → Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡,𝐴),𝑡 ≥ 0 có biểu đồ sau giao hoán
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶)→ Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐴) ↓ ↓
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐶) →Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐴).
Từ đó có đồng cấu nối ∗𝐻𝑖𝐼(𝛿):∗𝐻𝑖𝐼(𝐶) → 𝐻∗ 𝑖−1𝐼 (𝐴). Từ dãy khớp dài của Tor dẫn tới phức sau
…→ 𝐻∗ 𝑖+1𝐼 (𝐵) → 𝐻∗ 𝑖+1𝐼 (𝐶)�⎯⎯⎯⎯� 𝐻∗𝐻𝑖+1𝐼 (𝛿)∗ 𝑖𝐼(𝐴)→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝐵) →
…→ 𝐻∗ 1𝐼(𝐶)�⎯⎯⎯� 𝐻∗𝐻1𝐼(𝛿)∗ 0𝐼(𝐴)→ 𝐻∗ 0𝐼(𝐵) → 𝐻∗ 0𝐼(𝐶)→ 0. Giả sử có biểu đồ giao hoán trong phạm trù ∗ℳ(𝑅), với các dòng là khớp
0→ 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0 0→ 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ →0. Chúnga có biểu đồ giao hoán,với các đồng cấu là thuần nhất
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐶) → Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑘,𝐴)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶) → Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡,𝐴)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑘,𝐶′)→ Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑘,𝐴′)
Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡,𝐶′) →Tor𝑖−1𝑅 (𝑅/𝐼𝑡,𝐴′). Từ đó biểu đồ sau giao hoán trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
𝐻𝑖𝐼
∗ (𝐶) → 𝐻∗ 𝑖−1𝐼 (𝐴)
𝐻𝑖𝐼
∗ (𝐶′)→ 𝐻∗ 𝑖−1𝐼 (𝐴′).
↓ ↓ ↓
63
Như vậy {∗𝐻𝑖𝐼(−)}𝑖≥0 là một dãy nối dương từ phạm trù ∗ℳ(𝑅) vào chính nó. Nếu như xét trong lớp các môđun Artin thì Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡;𝑀),𝑖,𝑡 ≥ 0 là môđun Artin. Mà trong lớp này thì giới hạn nghịch khớp trái, nên từ dãy khớp dài các hệ nghịch của Tor dẫn tới dãy khớp
…→ 𝐻∗ 𝑖+1𝐼 (𝐵) → 𝐻∗ 𝑖+1𝐼 (𝐶)�⎯⎯⎯⎯� 𝐻∗𝐻𝑖+1𝐼 (𝛿)∗ 𝑖𝐼(𝐴)→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝐵) →
…→ 𝐻∗ 1𝐼(𝐶)�⎯⎯⎯� 𝐻∗𝐻1𝐼(𝛿)∗ 0𝐼(𝐴)→ 𝐻∗ 0𝐼(𝐵) → 𝐻∗ 0𝐼(𝐶)→ 0. Như vậy với 𝐹∘ là phép giải ∗xạ ảnh của môđun 𝑀 thì
𝐻𝑖𝐼
∗ (𝑀) = lim
⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑖(𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘), ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 𝐻𝑖( lim
⟵
∗ (𝑅/𝐼𝑡⨂𝐹∘)). Rõ ràng ∗𝐻0𝐼(𝑀) ∗≅∗∧𝐼(𝑀), do đó tồn tại toàn cấu toàn cấu tự nhiên phân bậc
𝜑𝑀
∗ :∗𝐿𝐼0(𝑀)→ 𝐻∗ 0𝐼(𝑀).
Dựa vào mối quan hệ giữa môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼(𝑀) và môđun dẫn xuất trái 𝐿𝐼𝑖(𝑀) chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.5.3. Với mọi môđun phân bậc 𝑀 và 𝑖 ≥ 0, tồn tại toàn cấu 𝜑𝑖
∗ : ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀)→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀).
Chứng minh. Chúng ta vẫn có kết quả sau trong phạm trù ∗ℳ(𝑅): cho dãy khớp các môđun phân bậc và đồng cấu thuần nhất
0→ 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 →0
trong đó 𝑃𝑘(𝑘 = 0, … ,𝑖 −1)là môđun ∗xạ ảnh. Khi đó nếu 𝑇 là hàm tử hiệp biến và cộng tính thì 𝐿𝑡𝑇(𝑀) = 𝐿𝑖+𝑡𝑇(𝐾),𝑡 ≥0.
Với 𝑖 = 0 thì ∗𝜑𝑖 có thể xem như là toàn cấu ∗𝜑𝑀 . Với 𝑖 > 0, ta sẽ xây dựng ∗𝜑𝑖 là thu hẹp của 𝜑𝑖. Xét dãy khớp trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
0→ 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 →0, do đó chúng ta có hai dãy khớp sau trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
0→ 𝑁 → 𝑃𝑖−2 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0, 0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → 𝑁 → 0.
Từ dãy khớp thứ hai và tính chất của hàm tử dẫn xuất trái có các dãy khớp sau
…→ 𝐿∗ 𝐼1(𝑃𝑖−1)→ 𝐿∗ 𝐼1(𝑁)→ 𝐿∗ 𝐼0(𝐾) → 𝐿∗ 𝐼0(𝑃𝑖−1)→ 𝐿∗ 𝐼0(𝑁) → 0.
Do 𝑃𝑖−1 là môđun ∗xạ ảnh nên ∗𝐿𝐼1(𝑃𝑖−1) = 0, theo trên thì ∗𝐿𝐼1(𝑁) ∗≅ ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀), như vậy chúng ta có dãy khớp
0→ 𝐿∗ 𝐼𝑖(𝑀)→ 𝐿∗ 𝐼0(𝐾)→ 𝐿∗ 𝐼0(𝑃𝑖−1).
64
Tương tự cho hàm tử tenxơ chúng ta cũng có dãy khớp sau
0→ Tor𝑖𝑅(𝑅/𝐼𝑡;𝑀) → 𝐾/𝐼𝑡𝐾 → 𝑃𝑖−1/𝐼𝑡𝑃𝑖−1,
với mọi 𝑡 > 0. Mặt khác vì ∗giới hạn ngược khớp trái, nên dãy sau đây cũng khớp 0→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀)→ ∧∗ 𝐼(𝐾) → ∧∗ 𝐼 (𝑃𝑖−1).
Từ đó chúng ta có thể kiểm tra được biểu đồ sau giao hoán với các dòng là khớp 0 → 𝐿∗ 𝐼𝑖(𝑀) → 𝐿∗ 𝐼0(𝐾) → 𝐿∗ 𝐼0(𝑃𝑖−1)
0→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀)→ ∧∗ 𝐼(𝐾) → ∧∗ 𝐼 (𝑃𝑖−1),
trong đó đồng cấu ∗𝜑𝑖được cảm sinh từ đồng cấu ∗𝜑𝐾. Vì 𝑃𝑖−1 là môđun ∗xạ ảnh nên 𝜑𝑃𝑖−1
∗ là đẳng cấu, do đó nếu dặt 𝑇 = Im� 𝐿∗ 𝐼0(𝐾) → 𝐿∗ 𝐼0(𝑃𝑖−1)� thì đồng cấu thu hẹp của 𝜑𝑃𝑖−1
∗ , ∗𝜑�𝑃𝑖−1 :𝑇 → ∧∗ 𝐼 (𝑃𝑖−1)là đơn cấu. Khi đó
0 → 𝐿∗ 𝐼𝑖(𝑀)→ 𝐿∗ 𝐼0(𝐾) → 𝑇 →0
0→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀)→ ∧∗ 𝐼(𝐾) → ∧∗ 𝐼 (𝑃𝑖−1),
là biểu đồ giao hoán sau với các dòng là khớp. Vì ∗𝜑𝑃𝑖−1 là đơn cấu, ∗𝜑𝐾 là toàn cấu nên theo “bổ đề con rắn” chúng ta suy ra được ∗𝜑𝑖 là toàn cấu. ∎
Chú ý 3.5.4. (i) Nếu 𝑀là môđun phân bậc hữu hạn sinh thì theo Chú ý 3.4.2 (iii) với mọi 𝑖 ≥0, ∗𝐿𝐼𝑖(𝑀) = 0do đó theo Mệnh đề trên ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0.
(ii) ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀) có cấu trúc tự nhiên của môđun phân bậc trên vành phân bậc ∗∧𝐼(𝑅). Thật vậy, xét dãy khớp
0→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀)→ ∧∗ 𝐼(𝐾)→ ∧∗ 𝐼(𝑃𝑖−1)
trong chứng minh mệnh đề trên. Vì ∗∧𝐼 (𝐾) có cấu trúc tự nhiên của môđun phân bậc trên vành ∗∧𝐼 (𝑅) nên ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀) cũng có cấu trúc tự nhiên của ∗∧𝐼 (𝑅)-môđun phân bậc như là môđun con của ∗∧𝐼 (𝐾). Chúng a cũng có thể chứng minh trực tiếp tương ứng sau là phép toán ngoài
lim⟵
∗ 𝑡
𝑅/𝐼𝑡 ×∗𝐻𝑖𝐼(𝑀) → 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀)
�(𝑎𝑛+𝐼𝑛), (𝑥𝑛)� ↦(𝑎𝑛𝑥𝑛).
Mệnh đề 3.5.5. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc. Khi đó môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖𝐼
∗ (𝑀) là 𝐼-tách, với mọi 𝑖 ≥ 0, nghĩa là
⋂𝑠>0𝐼𝑠∗𝐻𝑖𝐼(𝑀) = 0.
𝜑𝑖
∗ ∗𝜑𝐾 ∗𝜑𝑃𝑖−1
𝜑𝑖
∗ ∗𝜑𝐾 ∗𝜑�𝑃𝑖−1
65
Chứng minh. Do ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀)⊆ 𝐻𝑖𝐼(𝑀) nên kết quả được suy ra từ Mệnh đề 2.2.5(i).∎
Sau đây chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa đồng điều địa phương phân bậc và đồng điều phức Koszul trong phạm trù ∗ℳ(𝑅). Bây giờ ta sẽ giả sử iđêan 𝐼 sinh bởi 𝑟 phần tử phân bậc 𝑥1, … ,𝑥𝑟 trong 𝑅, với deg(𝑥𝑖) =𝑘𝑖. Với mỗi số nguyên dương 𝑡, xét dãy phần tử 𝑥(𝑡) = (𝑥1𝑡, … ,𝑥𝑟𝑡), đôi khi xem như là iđêan.
Bổ đề 3.5.6. Cho 𝐹 là 𝑅-môđun ∗phẳng. Khi đó với bất kì số nguyên 𝑘, tồn tại số nguyên 𝑡0 >𝑘 thỏa mãn đồng cấu thuần nhất
𝐻𝑖(𝜃∘𝑡,𝑘;𝐹):𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝐹� ⟶ 𝐻𝑖�𝑥(𝑘);𝐹�
là đồng cấu không với mọi 𝑡 ≥ 𝑡0 và 𝑖 > 0.
Chứng minh. Tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.2.7. ∎ Bổ đề 3.5.7. Cho dãy khớp trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
0→ 𝐾 → 𝐹𝑖−1 → ⋯ → 𝐹1 → 𝐹0 → 𝑀 →0 với 𝐹𝑡 là các môđun ∗phẳng. Khi đó có các đẳng cấu thuần nhất
𝐻𝑗+𝑖𝑥
∗ (𝑀)≅ 𝐻∗ 𝑗𝑥(𝐾),𝑗> 0;
lim⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀� ≅Ker� ∧∗ 𝐼 (𝐾) → ∧∗ 𝐼 (𝐹𝑖−1)�.
Hơn nữa ∗𝐻𝑗+𝑖𝑥 (𝑀) ≅ 𝐻∗ 𝑗𝑥(𝐾)là đẳng cấu tự nhiên
Chứng minh. Trước tiên chúng ta chứng minh cho trường hợp 𝑖 = 1. Với mọi 𝑡 > 0 thì dãy khớp ngắn các môđun phân bậc 0 → 𝐾 → 𝐹0 → 𝑀 →0 cảm sinh dãy khớp dài của các môđun đồng điều Koszul trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
…𝑓�⎯� 𝐻𝑗+1𝑡 𝑗+1�𝑥(𝑡);𝐹0�𝑔�⎯� 𝐻𝑗+1𝑡 𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀�→ 𝐻𝛿𝑗𝑡 𝑗�𝑥(𝑡);𝐾�→ 𝐻𝑓𝑗𝑡 𝑗�𝑥(𝑡);𝐹0�→𝑔𝑗𝑡
…𝑔→ 𝐻1𝑡 1�𝑥(𝑡);𝑀�→ 𝐻𝛿0𝑡 0�𝑥(𝑡);𝐾�→ 𝐻𝑓0𝑡 0�𝑥(𝑡);𝐹0�→ 𝐻𝑔0𝑡 0�𝑥(𝑡);𝑀� →0. Khi đó chúng ta có các dãy khớp sau (các đồng cấu là thuần nhất)
0 ⟶Im𝑔𝑗+1𝑡 ⟶ 𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀� ⟶ Im𝛿𝑗𝑡 ⟶ 0, 0⟶ Im𝛿𝑗𝑡 ⟶ 𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾� ⟶ 𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐹0�
với mọi 𝑗 ≥ 0. Do các đồng cấu 𝐻𝑗+1(𝜃∘𝑡,𝑘;𝐹0) là thuần nhất nên �Im𝑔𝑗+1𝑡 �lập thành một hệ nghịch các môđun phân bậc và đồng cấu thuần nhất. Theo Bổ đề 3.5.6 thì các đồng cấu này là đồng cấu không với mọi 𝑘 và với mọi 𝑡 đủ lớn, do đó �Im𝑔𝑗+1𝑡 � thỏa tiêu chuẩn M-L và
lim⟵
∗ Im𝑔𝑗+1𝑡 = 0 với mọi 𝑗 ≥ 0. Mặt khác cũng từ Bổ đề 3.5.6 thì lim
⟵
∗ 𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐹0� = 0,𝑗>
66
0. Lấy ∗giới hạn ngược của hai dãy khớp trên với chú ý những kết quả ở trên, ∗giới hạn ngược khớp trái và Mệnh đề 3.1.5 ta thu được các đẳng cấu thuần nhất sau
lim⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅ ∗lim⟵
𝑡
Im𝛿𝑗𝑡, lim∗⟵
𝑡
Im𝛿𝑗𝑡 ≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾�,𝑗 > 0, lim⟵
∗ 𝑡
𝐻1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅ ∗lim⟵
𝑡
Im𝛿0𝑡, ∗lim⟵
𝑡
Im𝛿0𝑡 ≅Ker( lim∗⟵
𝑡
𝐻0�𝑥(𝑡);𝐾� → ∗lim⟵
𝑡
𝐻0�𝑥(𝑡);𝐹0�). Do biểu đồ sau giao hoán sau
lim⟵ 𝐻0�𝑥(𝑡);𝐾� →lim⟵𝐻0�𝑥(𝑡);𝐹0� ↓ ↓
lim⟵𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 →lim⟵𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0. Dẫn tới biểu đồ giao hoán
lim⟵
∗ 𝐻0�𝑥(𝑡);𝐾� → ∗lim⟵𝐻0�𝑥(𝑡);𝐹0� ↓ ↓
lim⟵
∗ 𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 → ∗lim⟵ 𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0. Hay ∗lim⟵
𝑡
Im𝛿0𝑡 ≅Ker( lim∗ ⟵
𝑡
𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 → ∗lim⟵
𝑡
𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0). Do 𝑥(𝑡) ⊆ 𝐼𝑡,𝐼𝑛 ⊆ 𝑥(𝑡) với 𝑛 đủ lớn nên theo Bổ đề 3.2.4 thì
lim⟵
∗ 𝑡
𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 ≅ ∗∧𝐼 (𝐾), lim
⟵
∗ 𝑡
𝐹0/𝑥(𝑡)𝐹0 ≅ ∗∧𝐼(𝐹0). Vì vậy chúng ta có các đẳng cấu thuần nhất
lim⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅ lim
⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾�,𝑗 > 0;
lim⟵
∗ 𝑡
𝐻1�𝑥(𝑡);𝑀� ≅Ker� ∧∗ 𝐼 (𝐾) → ∧∗ 𝐼(𝐹0)�.
Theo Chú ý 1.6.6 thì đẳng cấu ∗𝐻𝑗+𝑖𝑥 (𝑀)≅ 𝐻∗ 𝑗𝑥(𝐾) có tính chất tự nhiên.
Với 𝑖 > 1, dãy khớp dài cho các dãy khớp ngắn sau trong phạm trù ∗ℳ(𝑅) 0→ 𝐾1 → 𝐹0 → 𝑀 → 0, 0 → 𝐾𝑗+1→ 𝐹𝑗 → 𝐾𝑗 → 0,
với 𝐾1 = Ker(𝐹0 → 𝑀), 𝐾𝑗+1= Ker(𝐹𝑗 → 𝐹𝑗−1), 𝑗 = 1, … ,𝑖 −1. Áp dụng kết quả vừa chứng minh cho các dãy khớp ngắn này sẽ thu được các đẳng cấu thuần nhất
lim⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑗�𝑥(𝑡);𝐾� ≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻𝑗+1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−1� ≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻𝑗+1+1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−2�
≅ ⋯ ≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻𝑗+𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�,𝑗 > 0;
67 Ker� ∧∗ 𝐼 (𝐾) → ∧∗ 𝐼 (𝐹𝑖−1)� ≅ lim
⟵
∗ 𝑡
𝐻1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−1� ≅ lim
⟵
∗ 𝑡
𝐻1+1�𝑥(𝑡);𝐾𝑖−2�
≅ ⋯ ≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�.
Đẳng cấu trên có tính chất tự nhiên do các đẳng cấu thành phần là tự nhiên. ∎
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng môđun đồng điều địa phương phân bậc ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀) có thể được tính bởi đồng điều Koszul phạm trù ∗ℳ(𝑅).
Định lý 3.5.8. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc. Khi đó, với mọi 𝑖 ≥0 có đẳng cấu thuần nhất
𝐻𝑖𝐼
∗ (𝑀)≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�= ∗𝐻𝑖𝑥(𝑀).
Đẳng cấu này có tính chất tự nhiên.
Chứng minh. Rõ ràng ∗𝐻0𝐼(𝑀)≅ ∗∧𝐼 (𝑀) ≅∗lim⟵
𝑡
𝑀/𝑥(𝑡)𝑀 ≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻0�𝑥(𝑡);𝑀�. Giả sử 𝑖 > 0. Xét dãy khớp trong phạm trù ∗ℳ(𝑅)
0→ 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 →0,
với các 𝑃𝑗 là môđun ∗xạ ảnh (hiển nhiên ∗phẳng). Theo Bổ đề 3.5.6 có đẳng cấu lim⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀� ≅Ker� ∧∗ 𝐼(𝐾)→ ∧∗ 𝐼 (𝑃𝑖−1)�. Theo chứng minh phần đầu Mệnh đề 3.5.3 có dãy khớp sau (trong ∗ℳ(𝑅))
0→ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐻∗ 1𝐼(𝐾𝑖−1) → ∧∗ 𝐼 (𝐾) → ∧∗ 𝐼(𝑃𝑖−1). Kết hợp Bổ đề 3.5.6 có biểu đồ sau giao hoán sau với các cột là đẳng cấu
0 → 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀) ≅ 𝐻∗ 1𝐼(𝐾𝑖−1)→ 𝐻∗ 0𝐼(𝐾)→ 𝐻∗ 0𝐼(𝑃𝑖−1) ↓ ↓
∗∧𝐼(𝐾) → ∧∗ 𝐼 (𝑃𝑖−1) ↓ ↓ lim
⟵
∗ 𝐾/𝑥(𝑡)𝐾 → lim
⟵
∗ 𝑃𝑖−1/𝑥(𝑡)𝑃𝑖−1 ↓ ↓
0→ 𝐻∗ 𝑖𝑥(𝑀)≅ 𝐻∗ 1𝑥(𝐾𝑖−1)→ 𝐻∗ 0𝑥(𝐾) → 𝐻∗ 0𝑥(𝑃𝑖−1). Do đó cảm sinh đẳng cấu ∗𝑓𝑀:∗𝐻𝑖𝐼(𝑀)→ 𝐻∗ 𝑖𝑥(𝑀) làm biểu đồ giao hoán.
Giả sử đồng cấu thuần nhất 𝑓:𝑀 → 𝑁, khi đó có biểu đồ giao hoán sau (2.2.9) 𝐻𝑖𝐼(𝑀) → 𝐻𝑖𝐼(𝑁)
↓ ↓
68
𝐻𝑖𝑥(𝑀)→ 𝐻𝑖𝑥(𝑁). Do đó biểu đồ sau giao hoán, với các đồng cấu là thuần nhất
𝐻𝑖𝐼
∗ (𝑀) → 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑁)
↓ ↓ 𝐻𝑖𝑥
∗ (𝑀) → 𝐻∗ 𝑖𝑥(𝑁).
∎ Cho 𝑓:𝑅 → 𝑅′ là đồng cấu thuần nhất các vành phân bậc và 𝑀′ là 𝑅′-môđun phân bậc.
Khi đó 𝑀′ là 𝑅-môđun phân bậc với phép nhân vô hướng bởi 𝑓. Do đó với 𝑖 ∈ ℕ có 𝑅- môđun phân bậc 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ𝑅 và 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅). Theo Chú ý 3.5.3 (ii) thì ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀′) có cấu trúc tự nhiên của ∗∧𝐼 (𝑅′)-môđun phân bậc. Từ đồng cấu 𝑓:𝑅 → 𝑅′ cho chúng ta đồng cấu vành
∧𝐼
∗ (𝑓):∗∧𝐼 (𝑅) → ∧∗ 𝐼 (𝑅′). Do đó ∗𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅) còn có cấu trúc tự nhiên của ∗∧𝐼 (𝑅)-môđun.
Chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.5.9. Cho 𝑓:𝑅 → 𝑅′ là đồng cấu thuần nhất các vành phân bậc. Khi đó với mọi 𝑅′-môđun Artin phân bậc 𝑀′ tồn tại đẳng cấu thuần nhất 𝑅-môđun
𝐻𝑖𝐼𝑅′
∗ (𝑀′)Γ𝑅 ≅ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅)
với mọi 𝑖 ≥0. Hơn nữa đẳng cấu trên còn là đẳng cấu thuần nhất ∧𝐼 (𝑅)-môđun 𝐻𝑖𝐼𝑅′(𝑀′)Γ∧𝐼(𝑅) ≅ 𝐻𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅).
Chứng minh. Chỉ kiểm tra đẳng cấu thuần nhất ∧𝐼 (𝑅)-môđun. Giả sử iđêan 𝐼 được sinh bởi 𝑟 phần tử phân bậc 𝑥1, … ,𝑥𝑟 trong 𝑅, với deg(𝑥𝑖) =𝑘𝑖. Khi đó iđêan 𝐼𝑅′được sinh bởi các phần tử phân bậc 𝑦1,𝑦2, … ,𝑦𝑟 trong 𝑅′, với 𝑦𝑖 =𝑓(𝑥𝑖), deg(𝑦𝑖) = 𝑘𝑖. Đặt 𝑥(𝑡) = ( 𝑥1𝑡,𝑥2𝑡, … ,𝑥𝑟𝑡), 𝑦(𝑡) = ( 𝑦1𝑡,𝑦2𝑡, … ,𝑦𝑟𝑡). Từ chứng minh trong Mệnh đề 2.2.11 chúng ta sẽ có đẳng cấu thuần nhất các 𝑅-môđun
𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀) ∗≅𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀).
Do 𝑥(𝑡)𝐻𝑖�𝑥(𝑡);𝑀�= 0, 𝑥(𝑡)𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀) = 𝑦(𝑡)𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀) = 0, nên đẳng cấu trên còn là đẳng cấu thuần nhất 𝑅/𝑥(𝑡)-môđun. Do đó đẳng cấu lim
⟵ 𝑅/𝑥(𝑡)-môđun lim⟵
𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀) ≅lim
⟵𝑡
𝐻𝑖(𝑦(𝑡);𝑀), sẽ cảm sinh đẳng cấu thuần nhất ∗lim⟵ 𝑅/𝑥(𝑡)-môđun
lim⟵
∗ 𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀)≅ ∗lim⟵
𝑡
𝐻𝑖(𝑥(𝑡);𝑀)
Theo Định lý 3.5.7 ta có đẳng cấu thuần nhất của các ∗∧𝐼 (𝑅)-môđun phân bậc
69 𝐻𝑖𝐼𝑅′
∗ (𝑀′)Γ∧𝐼(𝑅) ≅ 𝐻∗ 𝑖𝐼(𝑀′Γ𝑅).