Các kết quả liên quan
Trình bày một số tính chất của môđun con t-cốt yếu, môđun con t-đóng và môđun t-mở rộng
2.1 Môđun con t-cốt yếu và t-đóng
Trình bày một số tính chất của môđun t-Baer, môđun t-đối không suy biến và vành P-t-mở rộng
3.2 Môđun t-đối không suy biến.
MÔĐUN t-MỞ RỘNG 7 2.1 Môđun con t-cốt yếu và t-đóng
Môđun t-mở rộng
Trình bày một số tính chất của môđun t-Baer, môđun t-đối không suy biến và vành P-t-mở rộng
3.2 Môđun t-đối không suy biến.
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, vành R được định nghĩa là vành có đơn vị khác 0 và không yêu cầu tính giao hoán Tất cả các R-môđun được xem xét là các R-môđun phải, trừ khi có giải thích khác Các kết quả trong chương này chủ yếu được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [7], [9], [10], [11].
1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1 ChoM R và N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếp của
M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó P là môđun con phụ của N trong M. Định nghĩa 1.1.2 Một môđun con K của M là cốt yếu trong M, ký hiệu
K ≤ e M, trong trường hợp mọi môđun con L ≤ M, nếu K ∩ L = 0 thì suy ra L = 0 Định nghĩa 1.1.3 cho rằng môđun U R được gọi là nội xạ theo M R (hay U là M-nội xạ) nếu với mọi đơn cấu f: K R → M R và mỗi đồng cấu v: K R → U R, tồn tại một R-đồng cấu v: M → U sao cho v = vf Định nghĩa 1.1.4 tiếp tục khẳng định rằng môđun U R được gọi là xạ ảnh theo
M R được gọi là M-xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu g: M R → N R và mỗi đồng cấu v: U R → N R, tồn tại một R-đồng cấu v: U → M sao cho v = gv Phần tử e của vành R được gọi là lũy đẳng nếu e^2 = e Đối với M R và tập hợp X ⊆ M, linh hóa tử phải của X trong R được định nghĩa là r R (X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X}.
Cho A ⊆ R Linh hóa tử trái của A trong M là: l M (A) = {x ∈ M | xa = 0, a ∈ A}
Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết r R (x) hay l M (A) Với những linh hóa tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ ký hiệu R trong l R , r R mà chỉ viết l, r. Định nghĩa 1.1.7 Một phần tử x của vành R được gọi là phần tử chính quy nếu∃a ∈ R sao cho x = xax.
Một môđun A trên vành R được gọi là chia được nếu với mọi phần tử chính quy x ∈ R, điều kiện Ax = A được thỏa mãn Định nghĩa 1.1.8 nêu rõ rằng môđun con suy biến của môđun M, ký hiệu Z(M), là tập hợp các phần tử liên quan.
Z(M ) = {m ∈ M : r R (m) ≤ e R R } hayZ (M) = {m ∈ M | mI = 0 với I ≤ e R R nào đó}. Định nghĩa 1.1.9 Môđun con suy biến cấp hai (hay là xoắn Goldie) Z 2 (M ) là một môđun con củaM được xác định bởi
Nếu A là một môđun con của M, thì Z(M ) ∩ A = Z(A), do đó,
Một môđunM được gọi là môđun suy biến nếu Z(M ) = M và không suy biến nếuZ (M) = 0.
Môđun M được coi là Z2-xoắn nếu Z2(M) = M, và mọi môđun suy biến đều là môđun Z2-xoắn Một môđun con A của M là môđun Z2-xoắn khi và chỉ khi A là một môđun con của Z2(M) Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N ≤ eK thì K = N Ngoài ra, môđun con N của M được gọi là phần bù (theo giao) của môđun con K của M nếu N là môđun con cực đại của M với tính chất này.
Môđun M được xem là môđun mở rộng khi mọi môđun con đóng là một hạng tử trực tiếp, hoặc tương đương, mọi môđun con là môđun cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp Ngoài ra, một R-môđun được định nghĩa là môđun Baer nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
∀N ≤ M, l S (N ) = Se với e 2 = e ∈ S nào đó Tương đương,
Môđun M được xác định bởi điều kiện ∀I ≤ S, r M (I ) = eM với mỗi e 2 = e ∈ S Nếu môđun con N của M có l S (N ) = 0, thì N được coi là cốt yếu trong M Theo định nghĩa 1.1.15, môđun M được gọi là có tính chất SSIP nếu giao của mọi hạng tử trực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp Ngoài ra, theo định nghĩa 1.1.16, một vành R được gọi là vành P-mở rộng nếu mọi yếu tố trong vành này thỏa mãn điều kiện nhất định.
R-môđun tự do là môđun mở rộng (theo [9]). Định nghĩa 1.1.17 Môđun B được gọi là A-xạ nếu mọi phần bù giao của
B trong A ⊕ B là một hạng tử trực tiếp (theo [8]).
1.2 Các kết quả liên quan
Bổ đề Zorn phát biểu rằng nếu S là một tập không rỗng được sắp thứ tự và mọi tập con được sắp toàn phần của S đều có một chặn trên trong S, thì S sẽ chứa ít nhất một phần tử cực đại.
Bổ đề 1.2.2 (10, Bổ đề 2.14) Mọi môđun mở rộng không suy biến là môđun Baer.
Nếu R là vành mở rộng, thì mọi R-môđun xiclic không suy biến đều là môđun mở rộng Định lý 1.2.4 khẳng định rằng R phải là vành không suy biến và M cũng phải thỏa mãn điều kiện tương ứng.
R-môđun phải bất kỳ Khi đó, Z (M/Z(M )) = 0.
Mệnh đề 1.2.5 (9, Mệnh đề 6.32) Bất kỳ môđun con C ≤ M, các khẳng định sau tương đương:
(1) C là môđun (cốt yếu) đóng trong M
C = X ∩ M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của bao nội xạ E(M) Định nghĩa N là môđun con bất kỳ của M trong R, và N ∗ được định nghĩa là môđun con của M chứa N, với N ∗ /N = Z(M/N) Quá trình này có thể lặp lại để định nghĩa N ∗∗ và N ∗∗∗ Đặc biệt, 0 ∗ tương đương với Z(M) Theo định lý, đối với bất kỳ môđun N ⊂ M, ta có N ∗∗∗ = N ∗∗ M/N ∗ có thể không phải là không suy biến, trong khi M/N ∗∗ luôn không suy biến.
Mệnh đề 1.2.8 (10, Định lý 2.12) Môđun M là mở rộng và K-không suy biến nếu và chỉ nếu M là một môđun Baer và K -đối không suy biến.
Một môđun K-không suy biến mở rộng M được xác định là môđun Baer theo Bổ đề 1.2.9 Nếu M là một môđun Baer, thì mỗi hạng tử trực tiếp N của M cũng sẽ là môđun Baer, theo Định lý 1.2.10 Hơn nữa, theo Định lý 1.2.11, trong bối cảnh của vành R, các khẳng định liên quan đến môđun Baer là tương đương với nhau.
(1) Mọi R-môđun nội xạ (phải) là môđun Baer.
(2) Mọi R-môđun (phải) là môđun Baer.
CÁC MÔĐUN t-BAER 16 3.1 Môđun t-Baer
Vành P -t-mở rộng
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, vành R được định nghĩa là vành có đơn vị khác 0 và không nhất thiết phải giao hoán Tất cả các R-môđun được xem xét đều là các R-môđun phải, trừ khi có giải thích khác Các kết quả trong chương này chủ yếu được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [7], [9], [10], [11].
1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1 ChoM R và N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếp của
M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó P là môđun con phụ của N trong M. Định nghĩa 1.1.2 Một môđun con K của M là cốt yếu trong M, ký hiệu
K ≤ e M, với mọi môđun con L ≤ M, nếu K ∩ L = 0 thì suy ra L = 0 Định nghĩa 1.1.3: Môđun U R được gọi là nội xạ theo M R (hay U là M-nội xạ) nếu với mọi đồng cấu f: K R → M R và mỗi đồng cấu v: K R → U R, tồn tại một R-đồng cấu v: M → U sao cho v = vf Định nghĩa 1.1.4: Môđun U R được gọi là xạ ảnh theo M.
M R được gọi là M-xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu g: M R → N R và mỗi đồng cấu v: U R → N R, tồn tại một R-đồng cấu v: U → M sao cho v = gv Phần tử e trong vành R được gọi là lũy đẳng nếu e^2 = e Đối với M R và tập con X ⊆ M, linh hóa tử phải của X trong R được xác định là r R(X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X}.
Cho A ⊆ R Linh hóa tử trái của A trong M là: l M (A) = {x ∈ M | xa = 0, a ∈ A}
Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết r R (x) hay l M (A) Với những linh hóa tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ ký hiệu R trong l R , r R mà chỉ viết l, r. Định nghĩa 1.1.7 Một phần tử x của vành R được gọi là phần tử chính quy nếu∃a ∈ R sao cho x = xax.
Một môđun A trên vành R được coi là chia được nếu với mọi phần tử chính quy x ∈ R, ta có Ax = A Định nghĩa 1.1.8 chỉ ra rằng môđun con suy biến của môđun M, được ký hiệu là Z(M), là tập hợp các phần tử liên quan.
Z(M ) = {m ∈ M : r R (m) ≤ e R R } hayZ (M) = {m ∈ M | mI = 0 với I ≤ e R R nào đó}. Định nghĩa 1.1.9 Môđun con suy biến cấp hai (hay là xoắn Goldie) Z 2 (M ) là một môđun con củaM được xác định bởi
Nếu A là một môđun con của M, thì Z(M ) ∩ A = Z(A), do đó,
Một môđunM được gọi là môđun suy biến nếu Z(M ) = M và không suy biến nếuZ (M) = 0.
Một môđun M được gọi là Z2-xoắn nếu Z2(M) = M, và mọi môđun suy biến đều là môđun Z2-xoắn Đối với môđun con A của M, A sẽ là môđun Z2-xoắn khi và chỉ khi A là một môđun con của Z2(M) Theo định nghĩa, môđun con N được xem là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N ≤ eK thì K phải bằng N Hơn nữa, một môđun con N của M được gọi là phần bù (theo giao) của môđun con K của M nếu N là môđun con cực đại của M với đặc tính này.
Môđun M được coi là môđun mở rộng khi mọi môđun con đóng là một hạng tử trực tiếp, hoặc tương đương, mọi môđun con là môđun cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp Thêm vào đó, một R-môđun được định nghĩa là môđun Baer nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
∀N ≤ M, l S (N ) = Se với e 2 = e ∈ S nào đó Tương đương,
Môđun M có tính chất SSIP nếu giao của mọi hạng tử trực tiếp của nó là một hạng tử trực tiếp Nếu N là môđun con của M và lS(N) = 0, thì N được coi là cốt yếu trong M Bên cạnh đó, một vành R được gọi là vành P-mở rộng nếu mọi yếu tố trong nó đều thỏa mãn điều kiện nhất định.
R-môđun tự do là môđun mở rộng (theo [9]). Định nghĩa 1.1.17 Môđun B được gọi là A-xạ nếu mọi phần bù giao của
B trong A ⊕ B là một hạng tử trực tiếp (theo [8]).
1.2 Các kết quả liên quan
Bổ đề Zorn khẳng định rằng, nếu S là một tập không rỗng được sắp thứ tự, và mọi tập con được sắp toàn phần trong S đều có một chặn trên, thì S sẽ chứa ít nhất một phần tử cực đại.
Bổ đề 1.2.2 (10, Bổ đề 2.14) Mọi môđun mở rộng không suy biến là môđun Baer.
Nếu R là vành mở rộng, thì mọi R-môđun xiclic không suy biến sẽ trở thành môđun mở rộng Định lý khẳng định rằng R là vành không suy biến và M là một môđun liên quan.
R-môđun phải bất kỳ Khi đó, Z (M/Z(M )) = 0.
Mệnh đề 1.2.5 (9, Mệnh đề 6.32) Bất kỳ môđun con C ≤ M, các khẳng định sau tương đương:
(1) C là môđun (cốt yếu) đóng trong M
C = X ∩ M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của bao nội xạ E(M) Định nghĩa N là môđun con bất kỳ của M, và N ∗ được định nghĩa là môđun con của M chứa N sao cho N ∗ /N = Z(M/N) Quá trình này có thể lặp lại để định nghĩa N ∗∗ và N ∗∗∗, với 0 ∗ tương ứng với Z(M) Theo định lý, bất kỳ môđun N ⊂ M đều có N ∗∗∗ = N ∗∗ M/N ∗ có thể không phải là không suy biến, trong khi M/N ∗∗ luôn không suy biến.
Mệnh đề 1.2.8 (10, Định lý 2.12) Môđun M là mở rộng và K-không suy biến nếu và chỉ nếu M là một môđun Baer và K -đối không suy biến.
Môđun K-không suy biến mở rộng M được xác định là môđun Baer theo Bổ đề 1.2.9 Nếu M là một môđun Baer, thì mọi hạng tử trực tiếp N của M cũng sẽ là môđun Baer, theo Định lý 1.2.10 Hơn nữa, trong bối cảnh vành R, các khẳng định được nêu trong Định lý 1.2.11 là tương đương với nhau.
(1) Mọi R-môđun nội xạ (phải) là môđun Baer.
(2) Mọi R-môđun (phải) là môđun Baer.
Trong chương này sẽ nghiên cứu khái niệm và tính chất của môđun con t-cốt yếu, t-đóng và môđun t-mở rộng, theo [4].
2.1 Môđun con t-cốt yếu và t-đóng Định nghĩa 2.1.1 Một môđun con A của M được gọi là môđun con t-cốt yếu trong M (viết là A ≤ tes M) nếu với mỗi môđun con B củaM,
Rõ ràng, nếu Alà môđun con của một môđun không suy biến thì A là môđun t-cốt yếu trong M khi và chỉ khi A là môđun cốt yếu trong M.
Mệnh đề 2.1.2 Các khẳng định sau đây là tương đương đối với một môđun con A của môđun M:
(1) A là môđun con t-cốt yếu trong M;
(2) (A + Z 2 (M ))/Z 2 (M ) là môđun cốt yếu trong M/Z 2 (M);
(3) A + Z 2 (M ) là môđun cốt yếu trong M;
Chứng minh (1) ⇒ (2) Gọi A là môđun con t-cốt yếu trong M, khi đó, tồn tại một môđun conB của M sao cho A ⊕ B là môđun cốt yếu trong M.
Vì B ≤ Z 2 (M) nên A + Z 2 (M ) là môđun cốt yếu trong M, và Z 2 (M ) là một môđun con đóng của M Do đó, (A + Z 2 (M ))/Z 2 (M ) là môđun cốt yếu trong M/Z 2 (M ).
(2) ⇒ (3) Vì (A + Z 2 (M ))/Z 2 (M ) là môđun cốt yếu trong M/Z 2 (M ) nên (A + Z 2 (M )) là môđun cốt yếu trong M.
Theo giả thiết, môđun M/(A + Z 2 (M )) là môđun suy biến và cũng là môđun Z 2 -xoắn Đồng thời, môđun (A + Z 2 (M ))/A là môđun đẳng cấu với một môđun thương của Z 2 (M ), vì vậy nó cũng được coi là môđun Z 2 -xoắn.
(4)⇒ (1) VìM/Alà môđunZ 2 -xoắn nên[M/A]/[Z(M/A)]là môđun suy biến. Tuy nhiên, [M/A]/[Z(M/A)] là đẳng cấu với M/A ∗ , trong đó A ∗ /A = Z (M/A), do đó, M/A ∗ là môđun suy biến.
Giả sử A ∩ B ≤ Z 2 (M ) với B là một môđun con nào đó của M, và b ∈ B.
M/A ∗ là môđun suy biến, tồn tại một iđêan cốt yếu I của R sao cho bI ≤ A ∗ Đối với mỗi x ∈ I, có một iđêan cốt yếu K của R với bxK ≤ A Điều này dẫn đến bxK ≤ A ∩ B ≤ Z 2 (M ), từ đó suy ra bx + Z 2 (M ) ∈ Z (M/Z 2 (M)) = 0 Kết luận, bI ≤ Z 2 (M) và b + Z 2 (M ) ∈ Z(M/Z 2 (M )) = 0, nên b ∈ Z 2 (M ) và B ≤ Z 2 (M ).
Theo Mệnh đề 2.1.2, mọi môđun con cốt yếu của M và mọi phần bù của Z2(M) đều là t-cốt yếu Lớp các môđun con t-cốt yếu của M chỉ trùng với lớp các môđun con cốt yếu của M khi M không suy biến.
Ví dụ sau chứng tỏ môđun con t-cốt yếu không là cốt yếu.
Ví dụ 2.1.4 Xét môđunM =Q p∈P Z p trong đó,P là tập hợp các số nguyên tố Khi đó, Z 2 (M ) = ⊕ p Zp 6= 0.