BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - - VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - - VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG MÔ ĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã ngành: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Võ Thị Hồng Sương LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trương Cơng Quỳnh tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Đại số Lý thuyết số nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Võ Thị Hồng Sương MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số kết liên quan 10 CHƯƠNG MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP 13 2.1 Môđun nội xạ trực tiếp 13 2.2 Vành C2 20 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN .30 3.1 Môđun nội xạ trực tiếp đơn 30 3.2 Đặc trưng vành nội xạ trực tiếp đơn 36 3.3 Khi môđun nội xạ trực tiếp đơn môđun C3? 38 3.4 Môđun nội xạ trực tiếp đơn V -vành 43 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N R Z E(M ) soc(M ) rad(M ) J(R) r (X) , l (X) Mn (R) end (M ) K⊆e M KM Z(M ) N ⊆⊕ M R(I) Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên Bao nội xạ môđun M Đế môđun M Căn môđun M Căn Jacobson vành R Các linh hóa tử phải trái tập X Vành ma trận vuông cấp n vành R Vành tự đồng cấu môđun M K môđuncon cốt yếu môđun M K môđun bé M Tập tất môđun suy biến môđun M N hạng tử trực tiếp môđun M Tổng trực tiếp |I| môđun R MỞ ĐẦU Nói đến đại số đại khơng thể khơng nhắc đến lý thuyết vành mơđun, có ứng dụng rộng rãi đại số đại Một lớp môđun quan trọng lý thuyết vành môđun là: môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, mơđun tự do, mơđun hữu hạn sinh Ngồi đặc trưng lớp vành Artin, Nơte, nửa đơn, thông qua lớp môđun nghiên cứu năm gần Hơn nữa, đặc trưng vành nghiên cứu điều kiện nội xạ thu hút nhiều tác giả ngồi nước nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu mơđun nội xạ nhà tốn học sâu vào lớp môđun nội xạ đồng thời nghiên cứu lớp môđun nội xạ mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trực tiếp Mặt khác, lớp môđun nội xạ nghiên cứu gần mơđun nội xạ trực tiếp đơn Luận văn trình bày mơđun nội xạ trực tiếp đơn, tính chất ứng dụng q trình đưa đặc trưng vành: vành Artin chuỗi, V -vành, vành quy, LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cấu trúc môđun xuất hầu hết lý thuyết tốn học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben khơng gian vectơ Dựa vào số kết tác giả Mohamed Yousif, Yasser Ibrahim, Victor Camillo Yiqiang Zhou (2014) môđun nội xạ trực tiếp đơn, thấy cần thiết phải nghiên cứu tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn từ sử dụng chúng để nghiên cứu đặc trưng vành Chẳng hạn, vành R nửa Artin R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ, vành quy R V -vành phải (nghĩa là, R-môđun phải đơn nội xạ) R-môđun phải cyclic nội xạ trực tiếp đơn Từ lý mà chọn đề tài “Môđun nội xạ trực tiếp đơn” LỊCH SỬ VẤN ĐỀ Có hai phương pháp nghiên cứu vành: nghiên cứu nội nghiên cứu vành thơng qua M od-R Nhiều nhà tốn học lựa chọn nghiên cứu đặc trưng vành thông qua số lớp môđun Một lớp môđun đóng vai trị quan trọng mơđun nội xạ Các nhà toán học lựa chọn hướng nghiên cứu mở rộng môđun nội xạ để áp dụng vào việc đưa đặc trưng vành, tiêu biểu là: Smith, Wisbauer, Chen Zhizhong, Nicholson, Thuyet, Quynh, Dung, Huynh, Khái quát hóa là: nghiên cứu lớp mơđun tổng qt hóa mơđun nội xạ trường hợp cụ thể nội xạ trực tiếp đơn áp dụng đưa đặc trưng vành liên quan Khái niệm môđun nội xạ biết đến từ thập niên 90 kỉ XX Năm 1940, Baer đưa tiêu chuẩn môđun nội xạ : R-môđun phải M gọi nội xạ với iđêan phải I R, với f g đồng cấu I → − M mở rộng thành đồng cấu R → − M Từ nhà tốn học đưa khái niệm tương tự môđun nội xạ: Một mơđun M mơđun nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (1) Với môđun N môđun A N , đồng cấu f g A→ − M mở rộng thành đồng cấu N → − M f (2) Với môđun N , đơn cấu N → − M chẻ (3) M khơng có mở rộng cốt yếu thực Kết hợp với tiêu chuẩn mà Baer đưa ta chứng minh mơđun môđun nội xạ theo bốn cách Khi nghiên cứu mơđun nội xạ nhà tốn học xét trường hợp khái quát hóa khái niệm nội xạ đưa kết sau: - Từ tiêu chuẩn Baer, I iđêan ta có khái niệm P -nội xạ Điều tương đương với f phép nhân trái phần tử m M - Cho M, N môđun cho trước, M N thỏa mãn điều kiện (1) M gọi N -nội xạ - Trong điều kiện (1), lấy môđun N mơđun M ta có khái niệm mơđun tựa nội xạ f - Trong điều kiện (1), A → − M đơn cấu M gọi N -giả nội xạ M M -giả nội xạ M gọi giả nội xạ - Cũng điều kiện (1), A mơđun đơn M M gọi N -nội xạ cực tiểu Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, năm 1976 W.K.Nicholson đưa khái niệm môđun nội xạ trực tiếp: R-môđun M nội xạ trực tiếp cho N hạng tử trực tiếp M đơn cấu g : N → M tồn tự đồng cấu f R-môđun M cho f g = ιN Trong đó, ι : N ,→ M phép nhúng tắc (đơn cấu tắc) Năm 2014, Victor Camillo, Yasser Ibrahim Mohamed Yousif đưa khái niệm môđun nội xạ trực tiếp đơn: môđun M nội xạ trực tiếp đơn với môđun đơn A B M mà A ∼ =B B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Hơn nữa, môđun nội xạ trực tiếp nội xạ trực tiếp đơn Dựa lớp môđun môđun nội xạ nhà tốn học khai thác tính chất lớp mơđun từ mở rộng đưa đặc trưng vành ví dụ vành QF , vành P -nội xạ, vành CS , Như có nhiều tác giả nghiên cứu theo hướng việc tìm hiểu lớp môđun nội xạ trực tiếp đơn áp dụng vào số vành liên quan việc làm cần thiết MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm tính chất mơđun nội xạ trực tiếp đơn từ tổng quan vành nội xạ trực tiếp đơn để đưa đặc trưng vành chuỗi Artin, V -vành, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tài liệu, giáo trình, sách, báo viết môđun nội xạ, môđun nội xạ trực tiếp nhằm hệ thống lại tính chất cách hợp lý đưa đặc trưng vành liên quan PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong trình nghiên cứu đề tài, sử dụng phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp lơgic (tính hệ thống), phương pháp chun gia (cố vấn) ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đóng góp thiết thực việc nghiên cứu môđun nội xạ, môđun nội xạ trực tiếp, môđun nội xạ trực tiếp đơn vành C2, V vành, vành Artin chuỗi, chương trình tốn đại học sau đại học CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Chương I: Trình bày khái niệm, định lý môđun, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ, vành, vành Artin, V-vành, Chương II: Nêu định nghĩa tính chất mơđun nội xạ trực tiếp, vành C2 Chương III: Nêu định nghĩa, tính chất môđun nội xạ trực tiếp đơn, ứng dụng nêu đặc trưng vành Artin chuỗi, V -vành ... niệm mô? ?un nội xạ trực tiếp đơn: mô? ?un M nội xạ trực tiếp đơn với mô? ?un đơn A B M mà A ∼ =B B hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Hơn nữa, mô? ?un nội xạ trực tiếp nội xạ trực tiếp đơn Dựa... nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trực tiếp Mặt khác, lớp mô? ?un nội xạ nghiên cứu gần m? ?đun nội xạ trực tiếp đơn Luận văn trình bày m? ?đun nội xạ trực tiếp đơn, tính chất ứng... phải nội xạ trực tiếp đơn nội xạ, vành quy R V -vành phải (nghĩa là, R -mô? ?un phải đơn nội xạ) R -mô? ?un phải cyclic nội xạ trực tiếp đơn Từ lý mà chọn đề tài ? ?Mô? ?un nội xạ trực tiếp đơn? ?? LỊCH SỬ