Đại số Lie
Cố định một trường F. Định nghĩa 1.1.1.
Cho L là không gian véctơ trên trường F và xét
[,] : L×L −→ L (x, y) 7−→ [x, y] là một phép toán trên L.
Khi đó, (L,[,]) được gọi là một đại số Lie trên trường F nếu phép toán [,] thỏa mãn a) [,] là song tuyến tính; tức là, ∀x, y, z ∈ L,∀λ, β ∈ F ta có:
[x, λy +βz] = λ[x, y] +β[x, z]. b) [,] là phản xạ; tức là [x, x] = 0,∀x ∈ L. c) [,] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi; tức là [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[x, z], y] = 0,∀x, y, z ∈ L.
Chiều dim F (L) của không gian véctơ L được xác định là số chiều của đại số Lie L, trong đó [,] được gọi là tích Lie Đại số Lie L được coi là đại số Lie giao hoán khi điều kiện [x, y] = 0 được thỏa mãn cho mọi x, y thuộc L.
Nhận xét 1.1.1 Từ điều kiện (b) ta suy ra điều kiện
Trong không gian véctơ con K của đại số Lie L, K được gọi là đại số Lie con của L nếu K đóng với tích Lie, tức là với mọi x, y thuộc L, thì [x, y] thuộc K Khi x khác 0, K có thể được xác định là đại số Lie con một chiều của L với tích Lie tầm thường, nghĩa là [y, y'] = 0 cho mọi y, y' thuộc K Do đó, khi đề cập đến K như một đại số con của L, ta hiểu rằng K là đại số Lie con của L.
Vớ dụ 1.1.1 Với (A,ã) là một đại số Lie kết hợp trờn F, ta định nghĩa một phộp toỏn mới [−,−] : AìA →A,(x, y) 7→ [x, y] = xãy −y ãx.
Khi A là một đại số Lie trên F, đặc biệt là khi A = End(V) với V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F, thì (End(V),[−,−]) trở thành một đại số Lie Chúng ta ký hiệu gl(V) cho End(V) khi xem nó như một đại số Lie Nếu cố định một cơ sở của V, ta có thể đồng nhất gl(V) với đại số các ma trận n×n trên F, ký hiệu là gl(n,F) hoặc đơn giản là gl(n), với kích thước gl(V) và gl(n,F) đều bằng n² Phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V tương ứng với phép nhân hai ma trận Chúng ta sẽ xác định cụ thể tích Lie trên gl(n,F) như sau:
Cơ sở {e_ij} của không gian ma trận gl(n,F) được định nghĩa với e_ij là ma trận có phần tử tại vị trí (i, j) bằng 1 và các phần tử khác bằng 0 Phép nhân hai ma trận trong cơ sở này được xác định bởi công thức: e_ij * e_kl = δ_jk * e_il, trong đó δ_jk là ký hiệu Kronecker.
Để xác định tích Lie trong không gian vector, ta chỉ cần xem xét các cơ sở {e_ij} với quy tắc: [e_ij, e_kl] = e_ij.e_kl - e_kl.e_ij = δ_jk.e_il - δ_li.e_kj Kết quả của phép toán này tạo ra một ma trận có các thành phần là 0, 1, và -1.
Ví dụ 1.1.2 Xét sl(n) = sl(n,F) = {x ∈ gl(n,F)|T r(x) = 0}, ở đó
Không gian véctơ con sl(n) là một phần của sl(n) vì tính chất T r(ax + by) = aT r(x) + bT r(y) = 0 với mọi a, b thuộc F và x, y thuộc sl(n) Hơn nữa, sl(n) cũng là đại số con của gl(n) do tính chất T r([x, y]) = T r(xy) − T r(yx) = 0 với mọi x, y thuộc sl(n) Do đó, sl(n) được gọi là đại số Lie tuyến tính đặc biệt.
Một cơ sở của sl(n) là {e ij } i6=j ∪ {h j } n−1 i=1 với hi = eii −ei+1,i+1.
Ví dụ 1.1.3 Đại số symplectic đối xứng: sp(2l) =sp(2l,F)
|m, n, p, q ∈ gl(l,F) thỏa mãn : n t = n, p t = t, m t = −q. Ở đó x t là chuyển vị của x, s 0 I l
The Lie algebra sp(2l) is a subalgebra of gl(2l), closed under the Lie bracket operation It is also a subalgebra of (2, F), with a dimension of dim sp(2l) = 2l² + l The basis for sp(2l) consists of the following elements: e_ii - e_{i+1,i+1} for 1 ≤ i ≤ l; e_ij - e_{l+j,l+i} for 1 ≤ i ≠ j ≤ l; e_{i,l+i} for 1 ≤ i ≤ l; e_{i,l+j} + e_{j,l+i} for 1 ≤ i < j ≤ l; e_{l+i,i} for 1 ≤ i ≤ l; and e_{l+i,j} - e_{l+j,i} for 1 ≤ i < j ≤ l.
Trong đại số A, với d ∈ End F (A), ánh xạ tuyến tính d : A−→ A được gọi là vi phân nếu thỏa mãn công thức Leibniz: d(a.b) = d(a).b + a.d(b) Tập hợp các vi phân của A được ký hiệu là Der(A) Với các vi phân d, d 0 ∈ Der(A), ta có những tính chất quan trọng liên quan đến chúng.
Do đó [d, d 0 ] ∈ Der(A) Vậy Der(A) là đại số Lie con của gl(A).
Trong không gian có chiều dim L = 2, giả sử L được sinh bởi hai vector cơ sở {e1, e2}, ta xác định tích Lie không tầm thường trên L Với tính chất phản giao hoán của tích Lie, ta có các quan hệ [e1, e1] = [e2, e2] = 0 và [e1, e2] = −[e2, e1] Đặt [e1, e2] = y = αe1 + βe2 với điều kiện y khác 0, ta có [e1, y] = βy và [e2, y] = −αy Nếu chọn x sao cho L = , thì sẽ có [x, y] = λy với λ khác 0, cho thấy tích Lie không tầm thường Thay x bằng x/λ, ta nhận được L = và [x, y] = y.
Như vậy chỉ có hai đại số Lie 2 chiều( sai khác một đẳng cấu) là đại số Lie giao hoán và đại số Lie xác định như ở trên.
Ví dụ 1.1.6 Không gian R 3 với tích có hướng a×b xác định như sau: (a 1 , a 2 , a 3 )×(b 1 , b 2 , b 3 ) = det i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3
! là một đại số Lie, với tích Lie: e 1 ×e 2 = e 3 , e 2 ×e 3 = e 1 , e 3 ×e 1 = e 2 Trong đó i, j, k là cơ sở chính tắc của R 3
Iđêan và đồng cấu
Định nghĩa 1.2.1 Không gian véctơ con I của đại số Lie L được gọi là một iđêan của L nếu [x, y] ∈ L,∀x ∈ L, y ∈ I.
Ví dụ 1.2.1 Hai iđêan tầm thường của L là: 0 và L.
Ví dụ 1.2.2 Tâm của L : Z(L) = {z ∈ L|[x, z] = 0,∀x ∈ L} là một iđêan của L Ta có: L giao hoán khi và chỉ khi Z(L) =L. Định nghĩa 1.2.2.
Với L, L 0 là hai đại số Lie trên trường F, một ánh xạ tuyến tính φ :
L −→ L 0 được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu:φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)],∀x, y ∈
L Đồng cấu φ được gọi là đơn cấu nếu Kerφ = 0, toàn cấu nếuImφ = L 0 , đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.
Trong một đồng cấu φ: L → L0, ta có thể xác định rằng Kerφ là một iđêan của L, trong khi Imφ là một đại số con của L0 Cụ thể, nếu x thuộc Kerφ và y thuộc L, thì [y, x] cũng thuộc Kerφ, vì φ([y, x]) = [φ(y), φ(x)] = 0 Hơn nữa, với φ(x) và φ(y) thuộc Imφ, ta có [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) cũng thuộc Imφ.
Nếu φ : L −→ L 0 là một đồng cấu đại số Lie, thì L/Kerφ đồng isomorph với Imφ Nếu I là một iđêan của L nằm trong Kerφ, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ψ : L/I −→ L 0 sao cho biểu đồ giao hoán được thỏa mãn.
OO với π : L −→ L/I là phép chiếu chính tắc.
(2) Nếu I ⊂ J là những iđêan của L thì J/I là một iđêan của L/I và (L/I)/(J/I) đẳng cấu tự nhiên với L/J.
(3) Nếu I, J là những iđêan củaL thì tồn tại một đẳng cấu giữa (I+J)/J và I/(I ∩J).
(1) Xét ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ: ψ : L/Kerφ−→ Imφ, x+Kerφ 7−→ φ(x). Đây là đồng cấu đại số Lie vì: ψ([x+Kerφ, y+Kerφ])
Đồng cấu ψ là đẳng cấu vì nó là toàn cấu và cũng là đơn cấu với Kerψ = {x + Kerψ|ψ(x + Kerψ) φ(x) = 0} = 0 + Kerφ, do đó L/Kerφ ∼= Imφ Ngoài ra, tồn tại ánh xạ tuyến tính π : L/I −→ L 0 giữa các không gian véctơ sao cho biểu đồ giao hoán Từ đó, ta chứng minh được ψ([x+I, y +I]) = [ψ(x), ψ(y)] với mọi x, y ∈ L, cho thấy ψ là đồng cấu giữa các đại số Lie.
(2) Với mọi x+I ∈ J/I, y+I ∈ L/I ta có [y+I, x+I] = [yx] +I ∈ J/I do [yx] ∈ J nên J/I là một iđêan của L/I Xét phép chiếu chính tắc:π : L/I −→L/J, ta cóKerπ = {x+I|x ∈ J} = J/I và Imπ = L/J nên theo ý (a) ta có: (L/I)/(J/I) ∼= (L/J).
(3) Xét toàn cấu ψ : I −→ (I + J)/J, x 7−→ x + J Khi đó ta có Kerψ = {x ∈ I|x ∈ J} = I ∩J, vậy ta được (I +J)/J ∼= I/(I ∩J). Định nghĩa 1.2.4.
Cho L là một đại số Lie và V là một không gian véctơ Một biểu diễn của đại số LieL trong V là một đồng cấu đại số Lie φ : L −→gl(V).
Nếu dim L = 1 thì L = Fe, và trong trường hợp này, ánh xạ φ : L −→ gl(V) được xác định bởi ảnh của e Do đó, một biểu diễn trong tình huống này được thể hiện qua một tự đồng cấu của V.
Ví dụ 1.2.4 Cho L =< {e 1 , e2, , en} > Khi đó, một đồng cấu φ :
L −→ gl(V) được xác định bởi các ảnh φ(e i ) Điều kiện cần và đủ để L giao hoán là các tự đồng cấu φ(e i ) giao hoán.
Ví dụ 1.2.5 Biểu diễn tự nhiên: Đại số Lie gl(n) có một biểu diễn n chiều được cho bởi ánh xạ đồng nhất id : gl(n) −→ gl(F n ) Tương tự khi
L là một đại số Lie con của gl(n), ta cũng có biểu diễn n chiều tự nhiên.
Trong đại số Lie L, với x ∈ L, ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính adx: L → L bằng công thức adx(y) = [x, y] Ánh xạ adx được coi là một vi phân, thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là adx[y, z] = [adx(y), z] + [y, adx(z)].
Các vi phân của đại số Lie L có dạng adx được gọi là vi phân trong, trong khi các vi phân còn lại được gọi là vi phân ngoài Chúng ta xem xét ánh xạ ad: L −→ Der(L), với x 7→ adx Ánh xạ ad là một đồng cấu giữa các đại số Lie.
[adx, ady](z) x ◦ady(z)−ady ◦adx(z)
Ánh xạ ad[x, y](z) là một biểu diễn của Lie algebra L, với Der(L) ⊂ gl(L) dẫn đến sự sinh ra ánh xạ ad từ L đến gl(L) Ánh xạ này được gọi là biểu diễn phụ hợp của L Đặc biệt, nếu [x, y] = 0 cho mọi y ∈ L, thì adx = 0, từ đó suy ra Ker(ad) = Z(L).
Ví dụ 1.2.7 Đại số dẫn suất của Llà [L, L] =< {[x, y]|x, y ∈ L}> Đây là một iđêan củaLvì[P α x,y[[x, y], z] = P α x,y[[x, y], z] = P α x,y([x,[y, z]]+ [[x, z], y]) ∈ [L, L] Thương L/[L, L] là một đại số Lie giao hoán vì [x+ [L, L], y+ [L, L]] = [x, y] + [L, L] = 0 + [L, L] L giao hoán khi và chỉ khi [L, L] = 0.
Bổ đề 1.2.5 Nếu x ∈ [L, L] và φ : L −→ gl(n) là một biểu diễn thì
Chứng minh Do x ∈ [L, L] nên ta có thể biểu diễn x = P[a i , b i ], với a i , b i ∈ L Từ T r([φ(a i ), φ(b i )]) = T r(φ(a i ).φ(b i ) − φ(b i ).φ(a i )) = 0, ta có: T r(φ(x)) = T r(φ(P[a i , b i ])) =PT r([φ(a i ), φ(b i )]) = 0.
Ví dụ 1.2.8 Với L = gl(n) thì [L, L] = sl(n) Nên nếu K là đại số con của gl(n) thì [K, K] là đại số con của sl(n).
Đại số Lie Lũy linh và Định lý Engel
Xét dãy các iđêan của đại số Lie L (chuỗi giảm các iđêan):
L 0 = L, L 1 = [L, L], , L i = [L, L i−1 ], Định nghĩa 1.3.1 L được gọi là lũy linh nếu tồn tại n sao cho: L n = 0.
Rõ ràng các đại số giao hoán là lũy linh.
Đại số Lie π n, bao gồm các ma trận tam giác trên thực sự, là lũy linh Cụ thể, tập hợp Am = {x = (xij) ∈ gl(n,F) | xij = 0, ∀j - i < m} cho thấy rằng với mọi x = (xij) ∈ Am và y = (yij) ∈ π n, chúng ta có thể xác định mối quan hệ giữa chúng.
[x, y] = P(x ij y jl e il )−P(x ij y ki e kj ).
Do x ij = 0,∀j−i < m và y kl = 0,∀k−l < 1 nên :
[x, y] = P j−i≥m,l−j≥1(xijyjleil)−P j−i≥m,i−k≥1(xijykiekj) ∈ Am+1. Vậy π n m ⊂A m , đặc biệt khi m = n thì π n m = 0 hay π n là lũy linh.
Mệnh đề 1.3.2 Cho L là một đại số Lie Khi đó:
(1) Nếu L là lũy linh thì các đại số con và ảnh đồng cấu của L cũng lũy linh.
(2) Nếu L/Z(L) là lũy linh thì L cũng là lũy linh.
(3) Nếu L là lũy linh và khác 0 thì Z(L) 6= 0.
(1) Với K là đại số con của L thì K n ⊆ Ln, nên nếu L là lũy linh, nghĩa là tồn tại n sao cho Ln = 0, thì K n = 0 Do đó nếu L lũy linh thì
K lũy linh Tương tự, từ φ([L, L]) = [φ(L), φ(L)], ta có: φ(n) = φ(L)n, nên nếu L lũy linh thì φ(L) lũy linh.
(2) Từ L/Z(L) là lũy linh, suy ra tồn tại n sao cho: Ln ⊆ Z(L). Vậy: L n+1 = [L, L n ] ⊆ [L, Z(L)] = 0.
(3) Nếu n là lũy linh thì tồn tại n sao cho L n = 0, L n−1 6= 0, nên
L n−1 ⊆ Z(L). Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử x ∈ L được gọi là ad-lũy linh nếu ad x là tự đồng cấu lũy linh, tức là tồn tại n sao cho: (adx) n = 0.
Bổ đề 1.3.4 Nếu x∈ gl(V) là một tự đồng cấu tuyến tính lũy linh của
V thì x là ad-lũy linh.
Chứng minh Với x ∈ gl(V) là một tự đồng cấu lũy linh, tồn tại n sao cho: x n = 0 Ta xác định hai tự đồng cấu tuyến tính của gl(V) như sau:
L :gl(V) −→ gl(V), y 7→ xy và R : gl(V) −→gl(V), y 7→yx.
Do LR(y) = xyx = RL(y) nên L, R giao hoán Từ x n = 0 và L n (y) x n y, R n (y) = yx n , ta có L n = 0 = R n Do đó L, R là lũy linh.
Do đó x là ad-lũy linh.
Chú ý id ∈ gl(V) là ad-lũy linh nhưng không lũy linh như một tự đồng cấu.
Bổ đề 1.3.5 Nếu L là lũy linh thì mọi phần tử của L là ad-lũy linh.
Chứng minh Từ L là lũy linh, ta có: L n = 0 nên với mọi x 0 , x 1 , , x n ∈
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một đại số Lie L con của gl(V), với V là không gian véctơ hữu hạn chiều khác 0 trên F Đặc biệt, khi x 1 = x 2 = = x n = x ∈ L, ta có (ad x) n (x 0 ) = 0 cho mọi x 0 ∈ L, dẫn đến (ad x) n = 0, cho thấy x là ad-lũy linh Định lý 1.3.6 chỉ ra rằng nếu L chứa các tự đồng cấu lũy linh, thì tồn tại một véctơ khác không v ∈ V sao cho Lv = 0, trong đó Lv = {xv|x ∈ L}.
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo chiều của L.
Với dim L = 1 và L = Fx, tồn tại một số n sao cho x^n = 0 Khi đó, với véctơ khác không v0 ∈ V, ta có x^n(v) = 0 Đặt v_i = x_i(v) ∈ L, với i = 1, n Có tồn tại một i nhỏ nhất sao cho v_i ≠ 0 và v_(i+1) = 0 Khi đặt v = v_i ≠ 0, ta suy ra Lv = 0.
Trong trường hợp tổng quát: gọi K là một đại số con thực sự của L. Khi đó, K tác động lên không gian véctơ L với biểu diễn phụ hợp, theo
Bổ đề 1.3.4 khẳng định rằng các phần tử của K tác động lũy linh lên không gian véctơ L/K Cụ thể, với mỗi y ∈ K, ánh xạ φ(y) : L/K −→ L/K được định nghĩa bởi x + K 7→ [y, x] + K, cho thấy tính tuyến tính nhờ vào cấu trúc của tích Lie Ánh xạ φ : K −→ gl(L/K) là một tự đồng cấu giữa các đại số Lie, chứng minh rằng các phần tử của K không chỉ tác động lũy linh lên L mà còn lên không gian véctơ L/K Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một véctơ khác không x + K ∈ L/K bị triệt tiêu bởi tác động của K, dẫn đến x ∈ L, x /∈ K và [x, K] ⊆ K Do đó, K 0 = K + Fx trở thành một đại số con của K.
L chứa K là một iđêan, do đó mọi đại số con của L cũng là một iđêan với chiều 1 trong một đại số con khác của L Vì L có chiều hữu hạn, điều này dẫn đến những kết luận quan trọng về cấu trúc của các đại số con trong L.
L có một iđêan I với đối chiều 1: L = I ⊕ F x Theo giả thiết quy nạp, không gian véctơ V 0 = {v ∈ V|I v = 0} là khác không và x-bất biến Đối với y ∈ I và v ∈ V 0, ta có: yxv = xyv + [y, x]v = 0, cho thấy x là lũy linh Điều này dẫn đến việc tồn tại một véctơ khác không v ∈ V 0 bị triệt tiêu bởi x, từ đó suy ra Lx = 0 Định lý Engel (Định lý 1.3.7) khẳng định rằng nếu mọi phần tử của đại số Lie hữu hạn chiều L là ad-lũy linh, thì L cũng lũy linh.
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng với L là một đại số Lie hữu hạn chiều có các phần tử là ad-lũy linh, thì đại số Lie adL ⊂ gl(L) đáp ứng các giả thiết của định lý đã đề cập Điều này dẫn đến sự tồn tại của phần tử x ∈ L sao cho [L, x] = 0.
Do đó L/Z(L) bao gồm các phần tử ad-lũy linh và có chiều nhỏ hơn
L Theo quy nạp, L/Z(L) là lũy linh Vậy L là lũy linh, theo Mệnh đề 1.3.3.
Trong không gian véctơ hữu hạn chiều V với dim V = n, một flag được định nghĩa là một chuỗi các không gian con: 0 = V₀ ⊂ V₁ ⊂ ⊂ Vₙ = V, trong đó dim Vᵢ = i Đối với x ∈ End(V), x được coi là ổn định với flag nếu xVᵢ ⊂ Vᵢ cho mọi i.
Hệ quả 1.3.8 chỉ ra rằng, với L là một đại số con của gl(V), trong đó V là một không gian véctơ hữu hạn chiều khác không trên trường F, nếu L chứa các tự đồng cấu lũy linh, thì sẽ tồn tại một cờ (flag) (V i) của V ổn định dưới tác động của L.
L, với xV i ⊂ V i−1 ,∀i,∀x ∈ L Nói cách khác, tồn tại một cơ sở của V phụ thuộc vào L là một đại số con của πn, với n= dimV.
Chúng ta chứng minh quy nạp theo n = dimV, giả sử mệnh đề đúng với mọi đại số con L₀ của gl(V₀) khi dim V₀ < dim V và L₀ gồm các tự đồng cấu lũy linh Theo định lý, tồn tại v₁ ∈ V là một véctơ khác không thỏa mãn Lv₁ = 0 Xét V₁ = Fv₁ và W = V/V₁, với x ∈ L ⊂ gl(V) Do V₁ ⊂ Kerx, ta có ánh xạ x: V/V₁ → V Kết hợp với ánh xạ chiếu ρ: V → V/V₁, ta có ánh xạ φ(x) ∈ gl(V) Do đó, ánh xạ φ: L → gl(W) là một đồng cấu giữa các đại số Lie, và vì x là tự đồng cấu lũy linh, nên φ(x) cũng là tự đồng cấu lũy linh.
Và dim W < dimV Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một flag của W ổn định dưới tác động của L và thỏa mãn: φ(x)W i ⊂ W i−1 ,∀i,∀x ∈ L Khi đó:
{0} ⊂ V1 ⊂ ρ −1 (W1) ⊂ ⊂ ρ −1 (W n−1 ) là một flag của V ổn định dưới tác động của L.
Bổ đề 1.3.9 Với L lũy linh và K là một iđêan của L, nếu K 6= 0 thì
Chứng minh L tác động lên K theo biểu diễn phụ hợp, nên theo Định lý 1.3.6 thì tồn tại x ∈ K sao cho [L, x] = 0 hay x ∈ K ∩Z(L).
Đại số Lie nửa đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ 18
Đại số Lie nửa đơn và tiêu chuẩn Cartan
Định nghĩa 2.1.1 Cho L là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường
F. a) L được gọi là đơn nếu L không giao hoán và không tồn tại một iđêan khác không thực sự trong L. b) L được gọi là nửa đơn nếu L không có iđêan giải được khác không nào, tức là rad(L) = 0.
Từ định nghĩa, có thể rút ra những nhận xét quan trọng về đại số Lie: i) Nếu L là đại số Lie đơn, thì L = [L, L], dẫn đến việc L không giải được ii) Đại số Lie đơn L cũng là đại số Lie nửa đơn, nhưng điều ngược lại không luôn đúng iii) Mỗi iđêan đều là một đại số Lie, từ đó hình thành khái niệm iđêan đơn.
Ví dụ 2.1.1 xem xét đại số Lie đơn L = sl(2,F) với đặc trưng của trường F khác 2 Cơ sở chuẩn tắc của L được xác định bởi {x, y, z}, trong đó các phép toán Lie cho ra kết quả [x, y] = h, [h, x] = 2x và [h, y] = 2y Nếu I là một iđêan khác không của L, thì phần tử khác không của I có thể được biểu diễn dưới dạng ax + by + ch.
[x, ax+ by+ ch] = a[x, x] +b[x, y] +c[x, h] = bh−2cx ∈ I.
Tương tự: −2ay ∈ I Do a, b, c không đồng thời bằng 0 nên một trong ba phần tử x, y, h thuộc I, suy ra I = L Vậy L là đơn.
Đại số Lie đơn L = sl(n,F) có cơ sở chuẩn tắc {e_ij} với i,j = 1,n Hệ sinh của sl(n,F) được xác định bởi {e_ij} với i khác j và {e_ii - e_jj} với i khác j Các tích Lie trên cơ sở chuẩn tắc của gl(n,F) được mô tả bằng đẳng thức [e_ij, e_kl] = δ_jk e_il - δ_li e_kj Đặc biệt, với i khác j, ta có [e_ij, e_ji] = e_ii - e_jj và [e_ii - e_jj, e_ij] = 2e_ij, dẫn đến [L, L] = L Để chứng minh L là đại số Lie đơn, ta cần chỉ ra rằng L không có iđêan nào khác ngoài 0 và L Giả sử I là một iđêan khác không của L, với mọi x = (x_kl) ∈ L ta có x = P_kl x_kl e_kl.
[e ij , x] = P kl x kl [e ij , e kl ]
= P kl x kl (δ jk e il −δ li e kj )
= P kl δ jk x kl e il −P kl δ li x kl e kj
Kết quả của phép toán là một ma trận được tạo ra bằng cách lấy ma trận có dòng thứ j là dòng j của x, trong khi các dòng khác bằng 0, và trừ đi ma trận có cột thứ i là cột i của x, với các cột khác bằng 0 Nếu I chỉ chứa các ma trận đường chéo, thì với x = (xkl) ∈ I, sẽ tồn tại i 6= j sao cho x ii − x jj 6= 0, vì nếu không, x ii sẽ bằng 0 cho mọi i, dẫn đến T r(x) = 0 Theo tính toán, ma trận [e ij , x] = P l x jl e il − P k x ki e kj ∈ I sẽ có phần tử ở cột i, dòng j là x jj − x ii 6= 0 Do đó, I chứa phần tử không có dạng đường chéo x = (x ij ) với x J i 6= 0, trong đó i 6= j.
[eij,[eij, x]] = [eij,P l xjleil −P k xk,iek,j]
= P l x jl [e ij , e il ]−P k x ki [e ij , e kj ]
= P l x jl (δ J i e il −δ li e ij )−P k x k,i (δ jk e ij −δ J i e kl )
Vì [e ij ,[e ij , x]] ∈ I và a J i 6= 0, nên e ij ∈ I Do đó, [e ij , e J i ] = e ii − e jj ∈ I Trong trường hợp n = 2, điều này cần được chứng minh, trong khi với n > 2 và k 6= i, j, ta có [e ij , e jk ] = e ik ∈ I Hơn nữa, với l 6= i, k, ta cũng có e lk = [e li , e ik ] ∈ I Qua các chứng minh tương tự, các ma trận đường chéo của L cũng nằm trong I, do đó I = L.
Với I là một iđêan thực sự khác 0 của L, không gian véctơ thương L/I là một đại số Lie, gọi là đại số Lie thương, với tích Lie được xác định: [x+I, y+ I] = [x, y] +I Tích này được định nghĩa tốt vì với x−x 0 u ∈ I, y−y 0 = v ∈ I ta có: [x, y]−[x 0 , y 0 ] = [u, y 0 ] + [x 0 , v] + [u, v] ∈ I.
Đại số con K của đại số Lie L có chuẩn tắc hóa được ký hiệu là N L(K), được xác định bởi N L(K) = {x ∈ L|[x, K] ⊂ K} N L(K) không chỉ là một đại số con của L mà còn là đại số con lớn nhất của L chứa K như một iđêan Để chứng minh điều này, nếu x, y thuộc N L(K), thì theo đồng nhất thức Jacobi, ta có [[x, y], k] ∈ K cho mọi k thuộc K Hơn nữa, K là một iđêan của N L(K), và khi K = N L(K), K được gọi là tự chuẩn tắc.
Tâm của một tập hợp con X ⊂ L, ký hiệu CL(X), được xác định là CL(X) = {X ∈ L|[X, X] = 0} Theo đồng nhất thức Jacobi, CL(X) là một đại số con của L Khi X = L, ta có CL(L) = Z(L).
Mệnh đề 2.1.2 Mỗi đại số Lie 3 chiều hoặc là đơn hoặc là giải được.
Chứng minh Mỗi đại số Lie một chiều là giao hoán.
Trong đại số Lie 2 chiều, nếu L =< x0 > và x, y ∈ L với x = αx0, y = βx0, thì ta có [x, y] = αβ[x0, x0] = 0 Điều này cho thấy đại số Lie này hoặc là giao hoán hoặc là giải được Giả sử {U, V} là cơ sở của L, khi [U, V] = 0, với mọi x, y ∈ L, ta có x = α1U + β1V và y = α2U + β2V Do đó, [x, y] = [α1U + β1V, α2U + β2V] = 0.
Nếu [U, V] khác 0 và thuộc không gian L, thì [U, V] có thể biểu diễn dưới dạng aU + bV với b khác 0 (a và b không đồng thời bằng 0) Đặt x = 1/b U và y = aU + bV, ta có {x, y} là một tập hợp độc lập tuyến tính, do đó chúng tạo thành một cơ sở của L Hơn nữa, [x, y] bằng [U, V] và cũng bằng y.
Cho L là đại số Lie 3 chiều Giả sử L không đơn, tức là tồn tại iđêan h $ L Ta có h = 1,2 nên theo trên h, L/h là giải được Suy ra L giải được.
= sl(2,R) là đại số Lie
Vì [L, L] = L nên L không giải được Do đó L đơn.
Ví dụ 2.1.4 Xét đại số Lie 3 chiều :
Vì [L, L] = L nên L không giải được Do đó L là đại số Lie đơn.
Mệnh đề 2.1.3 khẳng định rằng, với đại số Lie hữu hạn chiều L, ta có hai kết luận quan trọng: Thứ nhất, L/rad(L) là nửa đơn; thứ hai, nếu L là đại số Lie nửa đơn, thì L có tâm tầm thường và biểu diễn liên hợp của L là đơn ánh.
Chứng minh rằng π : L → L/radL là một toàn cấu chính tắc Giả sử h là iđêan giải được trong L/radL, từ đó suy ra a = π −1 (h) là iđêan trong L Khi đó, π(a) = h và Kerπ| a là giải được trong radL, do đó a cũng giải được Điều này dẫn đến a ⊂ rad L và h = 0, vì vậy L/radL là nửa đơn Hơn nữa, do Z(L) là iđêan giao hoán của L và L là nửa đơn, nên Z(L) = 0 Cuối cùng, Kerad = Z(L) = 0 cho thấy biểu diễn liên hợp của L là đơn ánh.
Ta xét V là một không gian véctơ hữu han chiều trên trường F, với
F là một trường đóng đại số với đặc số tùy ý Một phần tử x ∈ End(V) được gọi là nửa đơn nếu các nghiệm của đa thức tối tiểu của x trên trường F là phân biệt.
Mệnh đề 2.1.5 Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F và x ∈ End(V) Khi đó:
(1) Tồn tại duy nhất x s , x n ∈ End(V) thỏa mãn các điều kiện: x = x s +x n , x s là nửa đơn, x n là lũy linh, x s , x n giao hoán.
(2) Tồn tại các đa thức một biến p(T), q(T) với hệ số tự do bằng 0, sao cho x s = p(x), x n = q(x) Đặc biệt, x s và x n giao hoán với mọi đồng cấu giao hoán với x.
(3) Nếu A ∈ B ∈ V là các không gian con, và x(B) ⊂ A, thì x s (B) ⊂ A và x n (B) ⊂ A.
Phân tích x = x s + x n như trên được gọi là phân tích Jordan- Chevalley của x; x s và x n được gọi là phần nửa đơn và phần lũy linh của x.
Trong không gian véctơ hữu hạn chiều V, với x thuộc EndV, ta có thể phân tích Jordan cho x dưới dạng x = x s + x n Khi đó, phép toán ad x cũng có thể được phân tích thành ad x = ad x s + ad x n, thể hiện phân tích Jordan của ad x trong End(EndV).
Biểu diễn khả quy đầy đủ
Cho L là một đại số Lie Để dễ dàng hơn trong việc diễn đạt, ta sử dụng ngôn ngữ các môđun thay vì ngôn ngữ các biểu diễn Định nghĩa 2.2.1 cho biết rằng không gian véctơ V cùng với phép toán L × V → V, ký hiệu là (x, v) 7→ x.v hay xv, được gọi là L−môđun nếu thỏa mãn các điều kiện: ∀x, y ∈ L; v, w ∈.
Nếu φ : L → gl(V) là một biểu diễn của L, thì V trở thành một L-môđun với phép toán x.v = φ(x)v Ngược lại, nếu V là một L-môđun, thì phép toán φ(x)v = x.v sẽ xác định một biểu diễn Hơn nữa, nếu W ⊂ V là một L-môđun, thì W được gọi là một L-môđun con của V.
Để xác định W ⊂ V có phải là một L-môđun con của V hay không, ta cần kiểm tra điều kiện Lw ⊂ W cho mọi w thuộc W Nếu W thỏa mãn điều kiện này, thì W sẽ được coi là một L-môđun con của V.
V /W cùng với tác động của L :x.(v +W) = xv+W là một L- môđun, gọi là L- môđun thương Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra phép toán
L×V /W →V /W, x.(v+W) 7→ x.v+W được định nghĩa tốt, vì nếu v−v 0 ∈ W thì x.(v−v 0 ) ∈ W, chứng tỏ W là một L-môđun Một đồng cấu giữa các L-môđun V và W được định nghĩa là ánh xạ tuyến tính φ : V → W thỏa mãn điều kiện φ(x.v) = x.φ(v) với mọi x ∈ F và v ∈ V L-môđun V được gọi là bất khả quy nếu nó có đúng.
2 L-môđun con (là 0 và chính nó) Tổng trực tiếp giữa các L-môđun
V 1, V 2, , V t là tổng trực tiếp của các không gian véctơ V 1 ⊕ V 2 ⊕ ⊕ V t, với tác động của L được xác định bởi công thức x.(v1, v2, , vt) = (x.v1, x.v2, , x.vt) Một L-môđun V được coi là khả quy hoàn toàn (hay khả quy đầy đủ) nếu nó là tổng trực tiếp của các L-môđun con bất khả quy.
Bổ đề 2.2.5 khẳng định rằng, đối với không gian V có chiều hữu hạn, V sẽ được coi là khả quy đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi L-môđun con W của V đều có phần bù Cụ thể, điều này có nghĩa là tồn tại một L-môđun con W0 sao cho tổng trực tiếp giữa W và W0 tạo thành không gian V, tức là V = W ⊕ W0.
Nếu V khả quy hoàn toàn, thì V có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các L-môđun con bất khả quy, tức là V = V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Vt Đối với W, một L-môđun con của V, giao của hai môđun con sẽ tạo thành một môđun con, vì vậy W i = W ∩ Vi, với i = 1, t, là một L-môđun con của Vi.
V i là L-môđun bất khả quy, do đó W i có thể bằng 0 hoặc V i Điều này dẫn đến W trở thành tổng trực tiếp của các L-môđun V i, trong khi phần bù của W trong V là tổng trực tiếp của các môđun bất khả quy còn lại Ngược lại, nếu tất cả các môđun con của V đều có phần bù, chúng ta có thể chứng minh rằng V là khả quy hoàn toàn thông qua phương pháp quy nạp theo chiều của V.
Xét một L-môđun con W khác 0 của V với chiều nhỏ nhất, ta có W là một L-môđun bất khả quy Giả thiết tồn tại L-môđun con W’ của V là phần bù của W, từ đó áp dụng giả thiết quy nạp cho W’ có chiều nhỏ hơn V, ta kết luận rằng W’ là tổng trực tiếp của các L-môđun con bất khả quy Do đó, V cũng là tổng trực tiếp của các L-môđun con bất khả quy, hay V được coi là khả quy hoàn toàn.
Ví dụ 2.2.1 Với L = Fx là đại số Lie một chiều, L-môđun V cho bởi biểu diễn φ : L → gl(2) với φ(x) 0 1
0 0 không khả quy hoàn toàn.
Giả sử v1 và v2 là một cơ sở của không gian vectơ V, từ ma trận xác định φ(x), v1 là vectơ riêng tương ứng với trị riêng 0, do đó Fx là một L-môđun con của V Nếu M = F và v = av1 + bv2 là L-môđun con bù với Fv1, thì Fv1 ⊕ M Vì v1 và v là một cơ sở của V nên b khác 0 Tuy nhiên, φ(x)(av1 + bv2) = bv1 cho thấy M không phải là môđun con, dẫn đến kết luận rằng V không khả quy hoàn toàn.
Bổ đề Schur khẳng định rằng, với một biểu diễn bất khả quy φ : L → gl(V), chỉ có các tự đồng cấu của V giao hoán với mọi φ(x) cho tất cả x ∈ L là các vô hướng.
Nếu f : V → V là một đồng cấu L-môđun, thì do F là một trường đóng đại số, tồn tại giá trị riêng k ∈ F Khi đó, Ker(f − k.id) khác không, và Ker(f − k.id) là một L-môđun con của V Vì V là bất khả quy, ta có Ker(f − k.id) = V, tức là f − k.id = 0 Do đó, nếu f : V → V là một tự đồng cấu của V thỏa mãn điều kiện f ◦ φ(x) = φ(x) ◦ f với mọi x ∈ L, thì f = c.id với c ∈ F.
Đại số Lie L được coi là một L-môđun theo biểu diễn liên hợp ad, với các L-môđun con của nó là các iđêan Nó được xác định là đơn nếu L bất khả quy dưới dạng L-môđun và là nửa đơn nếu L khả quy hoàn toàn.
Ví dụ 2.2.3 Với V là một L-môđun thì không gian đối ngẫu V ∗ cũng trở thành một L-môđun với phép toán: (x.f)(v) = −f(x.v) với f ∈
V ∗ , v ∈ V, x ∈ L Ta chỉ cần kiểm tra điều kiện (3):
Ví dụ 2.2.4 Với V và W là hai L-môđun, ký hiệuV ⊗ F W là tích tenxơ trên F Tích này cũng trở thành một L-môđun với phép toán x.(v ⊗w) =x.v ⊗w +v ⊗x.w với x ∈ L, v ∈ V, w ∈ W do : [xy].(v⊗w) = [xy].v⊗w+ v⊗[xy].w
Ví dụ 2.2.5 Với V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường
F, ta có đẳng cấu giữa V ∗ ⊗V → End(V) cho bởi (f ⊗v)(w) =f(w)v. Khi V là một L-môđun, ta có End(V) trở thành một L-môđun với tác động : (x.f)(v) = x.f(v)−f(xv), với x ∈ L, f ∈ End(V), v ∈ V.
Tổng quát hơn, nếu V, W là hai L−môđun thì Hom F (V, W) cũng là một L-môđun với tác động : (x.f)(v) = x.f(v)−f(x.v)
Với L là một đại số Lie nửa đơn và φ : L →gl(V) là một biểu diễn, ta xét dạng song tuyến tính đối xứng β(x, y) = T r(φ(x)φ(y)) trên L.
Từ các công thức T r([x, y]z) = T r(x[y, z]) và các định nghĩa liên quan, ta có thể thấy rằng Kerφ là một iđêan của L Nếu φ là biểu diễn trung thành, thì β(x, y) sẽ không suy biến Theo tiêu chuẩn Cartan, Kerβ là một iđêan giải được của L Vì L là nửa đơn, nên Kerβ = 0.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đại số Lie nửa đơn L và một dạng song tuyến tính đối xứng kết hợp β trên L Giả sử {x₁, x₂, , xₙ} là một cơ sở của L, và {y₁, y₂, , yₙ} ⊂ L là hệ véctơ độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện β(xᵢ, yⱼ) = δᵢⱼ Có một cơ sở đối ngẫu duy nhất {y₁, y₂, , yₙ} tương ứng qua β Đối với x ∈ L, giả sử [x, xᵢ] = Pⱼ aᵢⱼ xⱼ.
[x, yi] = P j bijyj Theo tính kết hợp của β ta có : a ik = P j a ij δ jk = P j a ij β(x j , y k )
= −P j b kj β(x i , y i ) = −b ki Vớiφ :L →gl(V)là một biểu diễn củaL, ta đặtc φ (β) =P i φ(x i )φ(y i ) ∈ End(V) Khi đó, với x, y, z ∈ gl(V), từ [x, yz] = [xy]z+ y[xz], ta có:
Do đó c φ (β) là một tự đồng cấu của V giao hoán với φ(L) Khi φ là biểu diễn trung thành thì dạng vếtβ(x, y) = T r(φ(x)φ(y)) là không suy biến. Định nghĩa 2.2.7.
(1) L− môđun V được gọi là trung thành nếu φ : L →gl(V) đơn cấu (tức Kerφ = 0).
Định lý Weyl cho đại số Lie nửa đơn
Bổ đề 2.3.1 Cho φ : L → gl(V) là một biểu diễn của đại số Lie nửa đơn L Khi đó, φ(L) ⊂ sl(V) Đặc biệt L tác động tầm thường lên mọi L-môđun con một chiều.
Chứng minh Từ L = [L, L] và sl(V) là đại số dẫn xuất của gl(V), ta có: φ(L) = φ([L, L]) = [φ(L), φ(L)] ⊂ [gl(V),gl(V)] = sl(V).
Theo định lý Weyl, nếu φ : L → gl(V) là một biểu diễn hữu hạn chiều của đại số Lie nửa đơn L, thì L-môđun V sẽ là khả quy đầy đủ Điều này được suy ra từ việc một ma trận 1×1 có vết bằng 0 tương đương với ma trận 0.
Để chứng minh rằng một L-môđun W có đối chiều một có phần bù là môđun con của V, ta xem xét L tác động tầm thường lên môđun có đối chiều một V/W = F, theo Bổ đề 2.3.1 Từ đó, ta có thể thiết lập một dãy các kết quả liên quan.
0→ W →V → F → 0 là dãy khớp các L-môđun.
Bằng quy nạp theo chiều của V, ta chỉ cần xét trường hợp W là bất khả quy Giả sử W 0 là môđun con khác không thực sự của W, khi đó :
Dãy khớp các L-môđun 0→ W/W 0 → V/W 0 → F → 0 có thể được phân tích bằng phương pháp quy nạp Kết quả cho thấy tồn tại một môđun con một chiều của V/W 0, được xác định là phần bù của W/W 0, và được ký hiệu là W 00/W 0.
Do đó V /W 0 = W/W 0 ⊕W 00 /W 0 và 0 → W 0 → W 00 → F → 0 là khớp. Bằng quy nạp, tồn tại một môđun con một chiều X bù với W 0 trong
W 00 sao cho W 00 = W 0 ⊕ X Vậy thì V = W ⊕ X từ W ∩ X = 0 và dimW +dimX = dimV.
Giả sử W là một không gian vector bất khả quy, với c φ là phần tử Casimir của φ Ta có c = c φ giao hoán với φ(L), trong đó clà tự đồng cấu L−môđun V Do đó, c(W) thuộc W và Kerc trở thành một L−môđun con của V, trong khi L tác động tầm thường lên.
V /W bị ảnh hưởng bởi c vì nó là tổ hợp tuyến tính của các tích của φ(x) với x thuộc L, dẫn đến việc c có vết 0 trên V /W Theo Bổ đề Schur, c tác động vô hướng lên môđun con bất khả quy W, và c không bằng 0.
T rV(c) = dimc 6= 0 Do đó, Kerc là một L-môđun con một chiều giao với W bằng 0 Do đó, V = W ⊕Kerc.
Xét trường hợp tổng quát với W là một L-môđun con khác 0 thực sự của V, ta có chuỗi ngắn 0 → W → V → V/W → 0 Không gian Hom(V, W) chứa các ánh xạ tuyến tính và được xem như một L-môđun Gọi A là không gian con của Hom(V, W) bao gồm các ánh xạ mà khi thu hẹp lên W trở thành phép nhân vô hướng, tức là f: V → W thỏa mãn f|W = λ1_W với λ ∈ F Do đó, A là một L-môđun con và nếu f|W = λ.1_W, thì với x ∈ L và w ∈ W, ta có các tính chất liên quan.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các không gian mô-đun và ánh xạ Cụ thể, ta có (x.f)(w) = x.f(w) − f(x.w) = λ(x.w) − λ(x.w) = 0, từ đó suy ra rằng (x.f)| W = 0 Đặt B là không gian con của A, bao gồm các ánh xạ có hạn chế trên W bằng 0 Qua các tính toán trước đó, ta thấy rằng B là một L-mô-đun con Không gian A/B có chiều 1, vì mỗi f ∈ A được xác định bởi modulo W qua vô hướng f| W Do đó, ta có dãy khớp các L-mô-đun: 0 → B → A → F → 0 Theo phần đầu của chứng minh, B có phần bù là một mô-đun con một chiều C của A Nếu gọi f : V → W, với f(6= 0) ∈ C là phần tử sinh của mô-đun này, thì qua việc nhân vô hướng, ta có thể giả sử rằng f| W = 1 W.
Vậy L tác động tầm thường Nên ∀x ∈ L, v ∈ V : 0 = (x.f)(v) x.f(v)−f(x.v) Do đó, Kerf là một L-môđun con của V Do f(V) ∈ W và tác động như là 1 W trên W nên V = W ⊕Kerf.
Biểu diễn của đại số Lie sl(2, F )
Trong phần này, ta xét L = sl(2,F) a b c −a
|a, b, c ∈ F với cơ sở chuẩn tắc : x 0 1
Ta có :[h, x] = 2x,[h, y] = −2y,[x, y] = h Theo Ví dụ 2.1.5 :L = sl(2,F) là đại số Lie đơn Với V là một L-môđun, theo Định lý Weyl ta có :
V = ⊕ λ∈ F V λ , ở đó V λ = {v ∈ V|h.v = λv} Khi V λ 6= 0, ta gọi λ là một trọng của h trên V và gọi V λ là không gian trọng.
Bổ đề 2.4.1 Nếu v ∈ V λ thì x.v ∈ V λ+2 và y.v ∈ V λ−2
Do V là hữu hạn chiều và V = ⊕ α∈ F Vα là tổng trực tiếp nên tồn tại
Vλ 6= 0 sao cho Vλ+2 = 0 Khi đó, mọi véctơ khác không trong Vλ được gọi là véctơ cực đại của trọng λ.
Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng véctơ cực đại để phân lớp các biểu diễn bất khả quy của sl(2,F) Trước hết, ta xét các bổ đề sau :
Bổ đề 2.4.2 V là một L-môđun bất khả quy Gọi v0 ∈ Vλ là một véctơ cực đại Đặt v −1 = 0, v i = y i! i v 0 (i ≥ 0) Khi đó : a) h.v i = (λ−2i)v i , b) y.vi = (i+ 1)vi+1, c) x.v i = i(λ−i+ 1)v i−1 (i ≥ 0).
Chứng minh Từ bổ đề 2.2.5 ta có (1), còn (2) được suy ra từ định nghĩa.
Hệ quả 2.4.3 Ta có : λ = m = dimV −1
Theo phần (3) của bổ đề 2.4.2, ta có 0 = x.v m+1 = (m+ 1)(λ+ 1−(m+ 1))v m , nên λ = m = dimV −1.
Kết quả cho thấy các biểu diễn bất khả quy của sl(2,F) có thể được mô tả qua các trọng và không gian trọng tương ứng Định lý khẳng định rằng, với L-môđun bất khả quy hữu hạn chiều và các véctơ vi được xác định theo mệnh đề 2.4.2, nếu m + 1 = dimV thì có những kết quả cụ thể liên quan.
(1) Tương ứng với h, V là tổng trực tiếp cỏc khụng gian trọng V à , à m, m−2, ,−(m−2),−m, ở đú m+ 1 = dimV và dimV à = 1 với mọi à.
(2) V có duy nhất một véctơ cực đại (sai khác một vô hướng khác không) có trọng là m (gọi là trọng cao nhất của V).
Tác động của L lên V được xác định rõ ràng từ các công thức trong bổ đề 2.4.2 Đặc biệt, có tối đa một L-môđun bất khả quy, khác biệt với một đẳng cấu cho mỗi chiều m + 1, với m ≥ 1.
Chứng minh Phần (1) được suy ra từ bổ đề 2.4.3 và 2.4.4, còn phần (3) được suy ra từ phần (1), phần (2) và bổ đề 2.4.2 Ta chứng minh phần
(2) : do V xác định duy nhất trọng cực đại λ(λ = dimV −1) nên véctơ cực đại của V là duy nhất, sai khác một vô hướng.
Hệ quả 2.4.5 chỉ ra rằng, với V là một L-môđun hữu hạn chiều và L = sl(2,F), các trị riêng của h trên V là các số nguyên Mỗi trị riêng xuất hiện cùng số lần với trị riêng đối của nó Thêm vào đó, bất kỳ phân tích nào của V thành tổng trực tiếp các môđun con bất khả quy đều có số lượng các hạng tử bằng dimV 0 cộng với dimV 1.
Trong trường hợp dimV > 0, theo định lý Weyl, không gian V có thể được phân tách thành tổng trực tiếp các môđun con bất khả quy Từ định lý này, chúng ta có thể rút ra một phần của hệ quả Để chứng minh phần hai của hệ quả, cần lưu ý rằng mỗi L-môđun bất khả quy chỉ xuất hiện duy nhất với trọng số 0 hoặc trọng số 1, không thể có cả hai.
Đại số Lie quy và đại số Lie nửa đơn cổ điển
Định nghĩa 2.5.1 Đại số Lie L được gọi là đại số Lie quy (đại số Lie reductive) nếu với mỗi iđêan a của L tồn tại iđêan b của L sao cho
Đại số Lie quy L được xem như một L-môđun (theo biểu diễn liên hợp ad) là khả quy đầy đủ Mặc dù mỗi đại số Lie nửa đơn là đại số Lie quy, nhưng điều này không đúng cho mọi trường hợp Theo định lý 2.5.2, mỗi đại số Lie quy L có thể được phân tích dưới dạng L = [L, L]⊕Z(L).
Trong nghiên cứu đại số Lie, chúng ta chỉ xem xét các đại số Lie không nửa đơn, vì trường hợp L là nửa đơn dẫn đến kết quả tầm thường Đầu tiên, cần chứng minh rằng mỗi đại số Lie quy L đều có thể phân tích thành tổng trực tiếp của các iđêan đơn và các iđêan một chiều Việc chứng minh này được thực hiện bằng phương pháp quy nạp theo kích thước của L.
+ Với n = 1 là hiển nhiên Nếu dimL = 2 thì L không đơn nên tồn tại iđêan không tầm thường a Vì L khả quy nên tồn tại iđêan b sao cho
L = a ⊕b Rõ ràng a,b là các iđêan một chiều.
Giả sử kết quả đúng với đại số Lie có số chiều nhỏ hơn dimL, ta sẽ chứng minh cho trường hợp dimL Vì L không phải là nửa đơn, nên L không đơn và tồn tại một iđêan a khác tầm thường Do L là đại số Lie quy, tồn tại iđêan b của L sao cho L = a⊕b Chúng ta chứng minh rằng dima,b < L Áp dụng giả thiết quy nạp cho a và b, ta đạt được điều cần chứng minh.
L = a 1 ⊕ ⊕a j ⊕a j+1 ⊕ ⊕a k trong đó a1, , aj là các iđêan một chiều và aj+1, , ak là các iđêan đơn.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các iđêan một chiều với điều kiện [a n , a m ] = 0 khi n khác m và [a i , a i ] = 0 với i từ 0 đến j Từ đó, ta có [L, L] = a j+1 , , a k Để hoàn tất chứng minh, ta chứng minh rằng Z(L) = a 1 ⊕ ⊕a j Rõ ràng, a 1 ⊕ ⊕a j là một phần của Z(L), với x = x 1 + +x k và x i thuộc a i Khi đó, với mọi y thuộc a i, ta có [x, y] = 0, dẫn đến [x, y] = 0, suy ra x i thuộc Z(a i) Từ đó, ta kết luận rằng x i với i từ j+1 đến k Do đó, Z(L) nằm trong a 1 ⊕ ⊕a j Nếu Z(L) = 0, thì L là tổng trực tiếp của các iđêan đơn, từ đó rút ra được một hệ quả quan trọng.
Hệ quả 2.5.3 Mỗi đại số Lie quy L là nửa đơn nếu và chỉ nếu tâm của
Dựa vào mối liên hệ giữa đại số Lie quy và đại số Lie nửa đơn, chúng ta có thể xác định cấu trúc nửa đơn của các lớp đại số Lie thực, bao gồm các ma trận trên các trường số thực R, phức C và quaternion H Trong đó, H là một đại số trên R với cơ sở {1, i, j, k}, thỏa mãn các điều kiện i² = j² = k² = -1 và ij = k, jk = i, ik = -j Các đại số này được gọi là đại số Lie nửa đơn cổ điển Theo định lý 2.5.4, nếu L là đại số Lie thực với các ma trận trên R, C hoặc H và L ổn định qua các phép toán lấy liên hợp chuyển vị, thì L được coi là đại số Lie quy.
Để chứng minh rằng a ⊥ là một lý thuyết trong L, ta bắt đầu với mọi phần tử x = (x ij ), y = (y ij ) của L và xét tích vô hướng < x, y > ReT rxy ∗, trong đó y ∗ = t (y ij ) n là ma trận suy từ y qua phép toán lấy liên hợp chuyển vị Cho a là một iđêan bất kỳ trong L, và bù trực giao của a trong L được xác định theo phép nhân vô hướng trên Từ đó, ta có thể khẳng định rằng L = a⊕a ⊥ được xem như là các không gian véctơ, và tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng a ⊥ thực sự là một iđêan của L.
Do giả thiết ta suy ra y ∗ ∈ L và a là iđêan nên [y ∗ , z] ∈ a,∀z ∈ a Hơn nữa x ∈ a ⊥ nên suy ra < [x, y], z >= − < x,[y ∗ , z] >= 0,∀z ∈ a Vậy [x, y] ∈ a ⊥ hay a ⊥ là iđêan của L.
Nói cách khác, mỗi iđêana trong L đều tồn tại iđêan a ⊥ trong L sao cho
Các đại số Lie gl(n,R) và gl(n,C) đều là đại số Lie quy nhưng không nửa đơn, do tâm của chúng bao gồm các ma trận vô hướng khác không Tương tự, đại số Lie gl(n,H) cũng là đại số Lie quy nhưng không nửa đơn, vì tâm của nó bao gồm các ma trận vô hướng với các dòng thực.
Chúng ta sẽ áp dụng mệnh đề đã nêu để xác định các đại số Lie nửa đơn cổ điển Đặc biệt, một đại số Lie quy L (được xem như đại số Lie thực) chỉ khi và chỉ khi tâm Z(L) bằng 0.
Đầu tiên, chúng ta xem xét các đại số Lie của các nhóm compact, bao gồm các ma trận phản Hermit liên quan đến phép toán lây liên hợp.
Mệnh đề 2.5.5 Xét các đại số Lie sau : u(n) = {x ∈ gl(n,C)|x+x ∗ = 0}. su(n) ={x ∈ gl(n,C)|x+x ∗ = 0, T rx = 0}. so(n) = {x ∈ gl(n,R)|x+ x ∗ = 0} sp(n) = {x ∈ gl(n,H)|x+x ∗ = 0}
Khi đó ta có : a) u(n) không là nửa đơn với n≥ 1 và su(n) là nửa đơn với n≥ 2. b) so(n) là nửa đơn với n ≥3 và sp(n) là nửa đơn với n≥ 1.
Chứng minh rằng u(n) là đại số Lie quy với tâm chứa các ma trận vô hướng thuần ảo, do đó u(n) không nửa đơn khi n ≥ 1 Ngược lại, su(n) là đại số Lie quy với tâm triệt tiêu khi n ≥ 2, cho thấy su(n) là nửa đơn Bên cạnh đó, so(n) có tâm bằng không khi n ≥ 3, chứng minh rằng so(n) là nửa đơn Cuối cùng, lý luận tương tự cho thấy sp(n) cũng là nửa đơn khi n ≥ 1.
Các đại số Lie nửa đơn phức với tâm bằng không được xem xét, trong đó đối với một đại số Lie phức L và L R là dạng thực tương ứng Cụ thể, đại số Lie thực thỏa mãn điều kiện L = L R + iL R Áp dụng tiêu chuẩn Cartan cho tính nửa đơn, ta có rằng L là nửa đơn trên C nếu và chỉ nếu L R là nửa đơn trên R Từ tính chất này và mệnh đề đã nêu, ta thu được kết quả quan trọng.
Các đại số Lie phức nửa đơn bao gồm: sl(n,C) = {x ∈ gl(n,C)|x + x^t = 0} với n ≥ 2; so(n,C) = {x ∈ gl(n,C)|T^r x = 0} với n ≥ 3; và sp(n,C) = {x ∈ gl(2n,C)|x^t J + J x = 0} với n ≥ 1, trong đó J = J_{n,n} là ma trận vuông cấp 2n, với J = 0 I.
Bây giờ chúng ta xét các đại số Lie nửa đơn thực khác với các đại số Lie nửa dơn thể hiện trong hai mệnh đề trên.
Các đại số Lie nửa đơn được xác định như sau: sl(n,R) bao gồm các phần tử x thuộc gl(n,R) với điều kiện T rx = 0, áp dụng cho n≥ 2; sl(n,H) chứa các x thuộc gl(n,H) thỏa mãn ReT rx = 0, với n≥ 1; so(m, n) là tập hợp các x thuộc gl(m+n,2R) sao cho x ∗ I m,n +I m,n x = 0, với m+n ≥3; su(m, n) bao gồm các x thuộc sl(m+n,C) với điều kiện x ∗ I m,n + I m,n x = 0, áp dụng cho m+n ≥2; sp(m, n) là tập hợp các x thuộc gl(m+n,H) thỏa mãn x ∗ Im,n + Im,n x = 0, với m+n ≥1; sp(n,R) chứa các x thuộc gl(2n,R) với điều kiện x t J n,n + J n,n x = 0, áp dụng cho n≥ 1; so ∗ (2n) bao gồm các x thuộc su(n, n) với x t I n,n J n,n + I n,n J n,n x = 0, với n≥ 2 Trong đó, J = Jn,n là ma trận vuông cấp 2n được xác định bởi.
−I n 0 và các ma trận I m,n , I n,n J n,n xác định bởi :
Tất cả các đại số Lie trong một mệnh đề đều được chứng minh là đóng (ổn định) thông qua phép lấy liên hợp chuyển vị và có tâm bằng.
0 Suy ra các đại số Lie này là nửa đơn.
Phân tích Levi của đại số Lie
Theo mục 2.5, đại số Lie quy L được coi là khả quy đầy đủ nếu L được xem như L-môđun qua biểu diễn liên hợp và có thể phân tích thành tổng trực tiếp của thành phần nửa đơn [L, L] và tâm Z(L) Đối với đại số Lie hữu hạn chiều, tính khả quy đầy đủ của biểu diễn cho phép biểu diễn L dưới dạng tích nửa trực tiếp của một đại số Lie con nửa đơn và radical của L Trước khi trình bày tính chất này, chúng ta cần xem xét khái niệm tích nửa trực tiếp của các đại số Lie Định nghĩa 2.6.1 nêu rõ rằng, nếu L là đại số Lie, a là đại số Lie con của L và b là một iđêan của L sao cho L = a⊕b là tổng trực tiếp của các không gian véctơ, thì đồng cấu π : a → Derb được xác định bởi π(a)(b) = [a, b] với mọi a ∈ a và b ∈ b.
Như vậy, a,b và π xác định đại số Lie L, ta nói rằng L là tích nửa trực tiếp của các đại số Lie a,b Kí hiệu L = a⊕ π b.
Khái niệm "tích nửa trực tiếp" tổng quát được xây dựng nhờ Mệnh để sau :
Mệnh đề 2.6.2 khẳng định rằng, cho hai đại số Lie a và b cùng với đồng cấu đại số Lie π : a → Derb, tồn tại một cấu trúc đại số Lie duy nhất trên không gian véctơ tổng trực tiếp L = a⊕b Cấu trúc này giữ nguyên tích Lie trên a và b, đồng thời thỏa mãn điều kiện [a, b] = π(a)(b) với a thuộc a và b thuộc b Trong đại số L, a được xem là một đại số Lie con, trong khi b là một iđêan của L.
Cấu trúc đại số Lie trên không gian véctơ L = a⊕b thỏa mãn điều kiện của mệnh đề nếu tồn tại là duy nhất Để chứng minh sự tồn tại của cấu trúc này, ta xác định phép toán cho mọi g = (a, b) và g 0 = (a 0 , b 0 ) như sau: [g, g 0 ] L = [a, a 0 ] a + [b, b 0 ] b + π(a)(b 0 ) − π(a 0 )(b).
Ta chứng minh [., ] L là một tích Lie thỏa mãn điều kiện của mệnh đề. Thật vậy, đồng nhất phần tử a ∈ a với phần tử (a,0) ∈ L và b ∈ b với phần tử (0, b) ∈ L, ta có
Hơn nữa, [., ] L tuyến tính theo từng biến vì [., ] a ,[., ] b tuyến tính theo từng biến và π, π(x), x ∈ a là nhứng ánh xạ tuyến tính Với mọi L (a, b) ∈ L, ta có :
Vì [., ]L tuyến tính theo từng biến nên để chứng minh đồng nhất thức Jacobi cho ba phần tử bất kì thuộc L ta sẽ quy về các trường hợp :
(1) Nếu cả ba phần tử này đều thuộc a hoặc cả ba đều thuộc b thì đồng nhất thức Jacobi là rõ.
(2) Hai phần tử a 1 , a 2 ∈ a và một phần tử b ∈ b
(3) Một phần tử a ∈ a, hai phần tử b1, b2 ∈ b Khi đó
Tích Lie L được xác định bởi các đại số Lie a và b cùng với đồng cấu đại số Lie π: a → Derb, thỏa mãn điều kiện trong mệnh đề Được định nghĩa là tích nửa trực tiếp, ký hiệu L = a⊕ π b, đại số Lie này phản ánh mối quan hệ giữa a và b thông qua đồng cấu π.
Tổng trực tiếp của các đại số Lie là một trường hợp đặc biệt của tích nửa trực tiếp, với π = 0 Định lý phân tích Levi khẳng định rằng, đối với một đại số Lie hữu hạn chiều L có căn R = radL, tồn tại một đại số Lie con h.
L đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn L/R sao cho L là tích nửa trực tiếp của h và R
Chứng minh được thực hiện chủ yếu dựa vào tính khả quy đầy đủ của các biểu diễn đại số Lie nửa đơn L/R Chúng ta sẽ xem xét ba trường hợp cụ thể để làm rõ vấn đề này.
Trường hợp 1: [L, R] = 0, điều này có nghĩa là R = Z(L) = Kerad, với
Z(L) là tâm của L và ad :L →sl(L) x 7→adx là biểu diễn liên hợp của L Từ đó ta có thể xác định biểu diễn ρ : L/R →gl(L) x+R 7→ ρ(x+R) := ad x có các tính chất sau :
+ R là một không gian con bất biến của ρ- môđun L.
+ ρ là khả quy đầy đủ (do L/R là nửa đơn), suy ra tồn tại một phần bù bất biến h của R sao cho :
L = h⊕R, với h là một đại số Lie con đẳng cấu với L/R.
Trường hợp 2: [L, R] 6= 0 và R không chứa các iđêan thực sự khác không nào. Điều này có nghĩa là [L, R] = R.
Do R là giải được, suy ra R là abel (giao hoán).
Tương tự như trong phép chứng minh định lý Weyl về tính khả quy đầy đủ của các đại số Lie nửa đơn, chúng ta có thể xác định một biểu diễn τ của đại số Lie L trong không gian gl(L) Cụ thể, biểu diễn này được định nghĩa như sau: τ : L → gl(L), với x thuộc L được ánh xạ đến gl(L) thông qua τ(x), và cho ϕ thuộc gl(L), ta có τ(x)ϕ = [adx, ϕ].
Xác định không gian con của gl(L) sau :
Khi đó, A,B,C thỏa mãn các tính chất sau:
• A/B và A/C là các biểu diễn thương của L/R.
Bây giờ xét phép chiếu chính tắc : π : A/C → A/B.
Ta có π là τ đẳng biến nên suy ra Kerπ là bất biến đối với τ.
Do L/R là nửa đơn, kerπ có một phần bù bất biến 1-chiều trongA/C, K(ϕ 0 +C), với ϕ 0 ∈ A, tức là,
Ta thấy, ϕ 0 ∈ A nên có thể giả thiết ϕ 0 |R = Id R
Từ đó K(ϕ 0 + C) = Kϕ 0 + C là một biểu diễn 1-chiều của L/R nên là tầm thường, tức là τ(L)ϕ0 ∈ C.
Xét tập hợp h = {x ∈ L|Z(x)ϕ 0 = 0} Khi đó h thỏa các tính chất sau : + h là đại số Lie con của L.
Nói cách khác định lý đúng cho trường hợp này.
Trường hợp 3: Đây là trường hợp tổng quát.
Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều dimR.
Với dimR = 1 : Định lý quy về trường hợp 2.
Với dimR > 1 và tồn tại một iđêan không tầm thường s trong R (Nếu không ta quay về trường hợp 2).
Khi đó, radL/s = R/s Theo giả thiết quy nạp, ta xác định được đại số Lie con h ∗ trong L/s sao cho
Xét phép chiếu chính tắc : p : L → L/s và p −1 (h ∗ ) = L.
Từ đó, áp dụng giả thiết quy nạp, tồn tại một đại số Lie con nửa đơn h = π −1 (h ∗ ) =s ⊕h Suy ra : L = R⊕h.
Sau một thời gian nghiên cứu và tìm hiểu về đại số Lie nửa đơn, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên, luận văn đã hoàn thành và đạt được các mục tiêu nghiên cứu với những kết quả cụ thể.
• Đã trình bày tổng quan được một số kết quả về đại số Lie nửa đơn và đại số Lie quy.
• Khảo sát biểu diễn khả quy đầy đủ của đại số Lie nửa đơn theo ngôn ngữ môđun và thể hiện cho trường hợp đại số Lie sl(2, F), với
F là một trường đóng đại số tùy ý.
Ứng dụng của việc tính khả quy đầy đủ trong biểu diễn giúp khảo sát cấu trúc của các đại số Lie hữu hạn chiều Điều này được thể hiện qua định lý phân tích Levi, cho phép phân tích sâu sắc các tính chất hình học và đại số của các đại số này.
Luận văn này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho nghiên cứu sâu hơn về đại số Lie nửa đơn và biểu diễn Mặc dù đã nỗ lực, nhưng do hạn chế về năng lực và thời gian, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và bạn đọc để hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!