CĂc kát quÊ liản quan
Vẵ dử
2.3 Mởt số tẵnh chĐt cừa lợp t-mổun nỷa ỡn.
Ch÷ìng 3 V nh t-nûa ìn
Trẳnh b y mởt số tẵnh chĐt cừa v nh t- nỷa ỡn, mổun khổng suy bián v v nh t-nỷa ỡn v iãu kiằn dƠy chuyãn.
3.2 Mởt số tẵnh chĐt v kát quÊ liản quan.
3.3 V nh t-nỷa ỡn v iãu kiằn dƠy chuyãn.
CH×ÌNG 1 KIN THÙC CHUN BÀ
1.1 Các khái niệm cơ bản: 1.1.1 Cho MR với N ≤ M, N được gọi là hình thức trực tiếp của M, tồn tại một mảng con P của M sao cho M = N ⊕ P Khi đó, P là mảng con phụ của N trong M.
Nhữ vêy, N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M khi v ch¿ khi
∃P ≤ M M = N +P v N ∩ P = 0 ành nghắa 1.1.2 Mởt mổun con K cừa M l cốt yáu trong M, kỵ hiằu
K ≤ e M , trong trữớng hủp vợi mồi mổun con L ≤M, K ∩L = 0 suy ra
L = 0 Định nghĩa 1.1.3: Cho U là một mô hình mở U được gọi là nửa xô theo M nếu tồn tại một ánh xạ f: K → M và một ánh xạ g: K → U thỏa mãn một R-đồng cấu h: M → U sao cho v = v.f Định nghĩa 1.1.4: Cho U là một mô hình mở U được gọi là xô Ênh theo
M R (hay U l M-xÔ Ênh) là một không gian mồi với cấu trúc: M R → N R và mồi ỗng cĐu v: U R → N R Trong đó, tồn tại một không gian R-ỗng cĐu v: U → M sao cho v = g.v Định nghĩa 1.1.5 cho thấy phần tỷ lệ của v trong R là l lụy ¯ng náu e 2 = e Định nghĩa 1.1.6 chỉ ra rằng cho M R và X ⊆ M, linh hoạt tỷ lệ của X trong R được xác định bởi ann(X) = {x ∈ R|xr = 0, x ∈ X} Cuối cùng, định nghĩa 1.1.7 nêu rõ một phần tỷ lệ x của v trong R được gọi là phần tỷ lệ chẵn quy, tồn tại a ∈ R sao cho x = xax.
Mởt A là một mổun phÊi trản v nh R ữủc gồi l chia ữủc náu xA = A vợi mồi phƯn tỷ chẵnh quy x ∈ R Mổun con khổng suy bián M, kỵ hiằu Z(M) là têp hủp cừa mổun M l têp hủp.
Z(M) = {m ∈ M : r R (m) ≤ e R R} = {m ∈ M | mI = 0, I ≤ e R R} Định nghĩa 1.1.9 cho biết rằng mổun con suy bián cấp 2 (hay còn gọi là l xoưn Goldie) Z2(M) là một mổun con của M và được xác định bởi Z(M/Z(M)) = Z2(M)/Z(M) Nếu A là một mổun con của M, thì Z(M) ∩ A = Z(A), dẫn đến Z2(M) ∩ A = Z2(A) Một mổun M được gọi là mổun suy bián nếu Z(M) = M và không suy bián nếu Z(M) = 0 Định nghĩa 1.1.10 chỉ ra rằng một mổun M được gọi là Z2-xoưn nếu Z2(M) = M.
Ró r ng, mồi mổun suy bián l mổun Z 2 -xoưn ối vợi mởt mổun trản mởt v nh l v nh khổng suy bián phÊi, cĂc khĂi niằm vã suy bián v Z 2 -xoưn l giống nhau ối vợi mởt mổun con A cừa M, A l mổun Z 2 - xoưn khi v ch¿ khi A l mởt mổun con cừa Z 2 (M) Mổun con N ữủc gồi l õng trong M náu vợi mồi mổun con K cừa M m N ≤ e K thẳ K = N Mổun M ữủc gồi l mổun mð rởng náu mồi mổun con õng l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp, ho°c tữỡng ữỡng, mồi mổun con l mổun cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp Mởt R-mổun phÊi ữủc gồi l mổun Baer náu.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các khái niệm liên quan đến tập hợp và không gian Đối với mọi N ≤ M, l s (N) = Se vợi e 2 = e ∈ S n o õ Tương tự, đối với mọi I ≤ s S, r M eM vợi mọi e 2 = e ∈ S n o õ Định nghĩa 1.1.16 cho biết rằng một mảng M là mảng K-ối khổng suy biến nếu mảng con N của M có l s (N) = 0, điều này chỉ ra rằng N là cốt yếu trong M Định nghĩa 1.1.17 chỉ ra rằng mảng M được gọi là có giao hàng tỷ mảnh nếu giao giữa mọi hàng tỷ trực tiếp của M là một hàng tỷ trực tiếp Cuối cùng, định nghĩa 1.1.18 khẳng định rằng một vecto R được gọi là vecto P-mð rỗng nếu mối quan hệ giữa chúng là như nhau.
R-mổun tỹ do l mổun mð rởng. ành nghắa 1.1.19 Mổun B ữủc gồi l A-xÔ náu mồi phƯn bũ cừa B trong A⊕B l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp.
1.2 CĂc kát quÊ liản quan
Mằnh ã 1.2.1 Theo Rizvi v Roman , mồi mổun mð rởng khổng suy bián l mổun Baer.
Mằnh ã 1.2.2 Náu RR l v nh mð rởng thẳ mồi R-mổun xiclic khổng suy bián l mổun mð rởng. ành lẵ 1.2.3 Cho R l v nh khổng suy bián phÊi v M l R-mổun phÊi b§t ký Khi â Z(M/Z(M)) = 0.
Mằnh ã 1.2.4 BĐt ký mổun con C ⊆ M, cĂc kh¯ng ành sau tữỡng ÷ìng:
(2) C l mổun (cốt yáu) õng trong M;
luôn không suy biến.
Mằnh ã 1.2.7 Cho C l mởt mổun con cừa mởt mổun M CĂc kh¯ng ành sau ¥y l t÷ìng ÷ìng:
(1) Tỗn tÔi mởt mổun con S sao cho C l cỹc Ôi, C ∩S l mổun
(3) C chựa Z 2 (M) v C/Z 2 (M) l mổun con õng cừa M/Z 2 (M);
(4) C chựa Z 2 (M) v C l mổun con õng cừa M;
(5) C l phƯn bũ giao cừa mổun con õng khổng suy bián cừa M;
(6) M/C l mổun khổng suy bián. ành lẵ 1.2.8 CĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng vợi mởt mổun M:
(2) Vợi mội mổun con A cừa M, A2 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M vợi A 2 /A = Z 2 (M/A);
(3) M = Z 2 (M)⊕M 0 trong õ M 0 l mởt mổun mð rởng (khổng suy bián);
(4) Mồi mổun con cừa M chựa mổun Z 2 (M) l mổun cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M;
(5) Mồi mổun con cừa M l mổun t-cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M;
Với mỗi một mảng A của M, tôi mởt sỹ phân tách M/A N/A⊕N 0 /A sao cho N là một hằng số tỷ lệ trực tiếp của M và N 0 ≤ tes M Hình 1.2.9 cho thấy M là một mảng Baer Khi đó, mọi hằng số tỷ lệ trực tiếp
N cừa M cũng l mởt mổun Baer. ành lẵ 1.2.10 CĂc kh¯ng ành sau Ơy l tữỡng ữỡng ối vợi mởt v nh R:
(2) Mồi R-mổun khổng suy bián l mổun xÔ Ênh;
(3) Vợi mồi R-mổun M, tỗn tÔi mởt mổun con xÔ Ênh M 0 vợi M Z 2 (M)⊕M 0 ;
(5) Mồi R-mổun l mổun t-mð rởng;
(6) Mồi R-mổun xÔ Ênh l mổun t-mð rởng;
(7) Mồi R-mổun khổng suy bián l mổun Baer, v Z 2 (R R ) l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa R;
(8) Mồi R-mổun khổng suy bián l mổun mð rởng, v Z 2 (R R ) l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa R.
Mằnh ã 1.2.11 CĂc kh¯ng ành sau Ơy l tữỡng ữỡng ối vợi mồi mổun con A cừa R-mổun M.
(2) (A+ Z2(M))/Z2(M) l mổun con cốt yáu trong M/Z2(M).
(4) M/A l mổun Z 2 -xoưn. ành lẵ 1.2.12 Cho R l v nh, cĂc kh¯ng ành sau tữỡng ữỡng
(2) M l mổun t-Baer v t-ối khổng suy bián;
(3) M l mổun t-Baer v C = tM(tS(C)) vợi mồi mổun con t- âng C;
(4) M l mổun t-Baer v vợi mồi mổun con t-õng C cừa M náu tS(C) = tS(M), thẳ C = M.
CH×ÌNG 2 CC MặUN T-NÛA èN
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và mô tả các đặc tính của lớp mũi t-nỷa ớn Các kết quả trong bài viết được tham khảo từ nhiều tài liệu uy tín.
2.1 ành nghắa mổun t-nỷa ỡn ành nghắa 2.1.1 Mổun M ữủc gồi l mổun t-nỷa ỡn náu vợi mồi mổun con N cừa M tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp K cừa M sao cho
Chú ỵ 2.1.2 đề cập đến khái niệm và mối quan hệ giữa các mô hình t-nỷa ỡn và mô hình t-nỷa ỡn trũng nhau, cùng với các mô hình khổng suy biến Theo hằng số 2.3.4(1), các mô hình t-nỷa ỡn sẽ được biểu diễn thông qua các mô hình con t-nỷa ỡn của nó.
Vật dữ liệu 2.2.1 cho thấy mồi mổun Z2-xoưn là mổun t-nỷa ỡn theo Mằnh ã 1.1(4) với K = 0 Đồng thời, mồi mổun Z2-xoưn cũng là mổun t-nỷa ỡn dõ õ liên quan đến mồi mổun M, trong khi mổun con Z2 (M) là mổun t-nỷa ỡn Nếu M có mồi mổun con cốt yáu L thì M/L sẽ là mổun t-nỷa ỡn.
Vẵ dử 2.2.2 Mồi mổun nỷa ỡn M l mổun t-nỷa ỡn vẳ mồi mổun con N cừa M l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M v N ≤ tes N.
, trong õ F l mởt trữớng ữỡng nhiản, I 0 F
0 F l mởt iảan phÊi cốt yáu cừa R v L 0 0
0 F l mởt R-mổun ỡn khổng suy bián Gồi Γ v Λ l cĂc têp hủp tũy ỵ,
M 1 = Q Γ R/I, M 2 = ⊕ Λ L v M = M 1 ⊕ M 2 Ta chựng minh rơng M l mởt R-mổun t-nỷa ỡn.
Ró r ng Z2(M) = M1 Gồi N l mởt mổun con cừa M Vẳ M2 l mổun nỷa ỡn, N ∩M2 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M2 Hỡn nỳa,
Vêy theo Mằnh ã 1.2.11(4) ta cõ N ∩M 2 ≤ tes N.
Mởt số tẵnh chĐt v kát quÊ liản quan
3.3 V nh t-nỷa ỡn v iãu kiằn dƠy chuyãn.
CH×ÌNG 1 KIN THÙC CHUN BÀ
1.1 Các khái niệm cơ bản: Đối với MR và N ≤ M, N được gọi là hình thức trực tiếp của M nếu tồn tại một mảng con P của M sao cho M = N ⊕ P Khi đó, P là mảng con phụ của N trong M.
Nhữ vêy, N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M khi v ch¿ khi
∃P ≤ M M = N +P v N ∩ P = 0 ành nghắa 1.1.2 Mởt mổun con K cừa M l cốt yáu trong M, kỵ hiằu
K ≤ e M , trong trữớng hủp vợi mồi mổun con L ≤M, K ∩L = 0 suy ra
L = 0 Định nghĩa 1.1.3: Cho U là một mô hình, U được gọi là nới xô theo M nếu tồn tại một ánh xạ f: K → M và một ánh xạ g: K → U thỏa mãn một R-đồng cặp v: M → U sao cho v = v.f Định nghĩa 1.1.4: Cho U là một mô hình, U được gọi là xô Ênh theo.
M R (hay U l M-xÔ Ênh) là một không gian với mồi to n cĐu g : M R → N R và mội ỗng cĐu v : U R → N R, trong đó tỗn tÔi mởt R-ỗng cĐu v : U → M sao cho v = g.v Phần tỷ lệ của v nh R được gồi là lụy ¯ng náu e 2 = e Đối với M R và X ⊆ M, linh hoạt tỷ lệ của X trong R được định nghĩa là ann(X) = {x ∈ R|xr = 0, x ∈ X} Cuối cùng, một phần tỷ lệ x của v nh R được gồi là phần tỷ lệ chẵnh quy tỗn tÔi a ∈ R sao cho x = xax.
Mô hình A là một phân phối xác suất trên R, với mỗi phần tử x thuộc R Định nghĩa 1.1.8 cho biết rằng một mô hình con khổng suy biến M có thể được xác định bởi tập hợp Z(M), là tập hợp hợp của mô hình M.
Z(M) được định nghĩa là tập hợp các phần tử m thuộc M sao cho r R (m) ≤ e R R, và có thể viết lại dưới dạng {m ∈ M | mI = 0, I ≤ e R R} Định nghĩa 1.1.9 mô tả mổun con suy bián cấp 2, hay còn gọi là l xoưn Goldie, Z2(M) là một mổun con của M, thỏa mãn điều kiện Z(M/Z(M)) = Z2(M)/Z(M) Nếu A là một mổun con của M, thì Z(M) ∩ A = Z(A) và do đó Z2(M) ∩ A = Z2(A) Một mổun M được gọi là mổun suy bián khi Z(M) = M và không suy bián khi Z(M) = 0 Định nghĩa 1.1.10 chỉ ra rằng một mổun M được gọi là Z2-xoưn nếu Z2(M) = M.
Ró r ng, mồi mổun suy bián l mổun Z 2 -xoưn ối vợi mởt mổun trản mởt v nh l v nh khổng suy bián phÊi, cĂc khĂi niằm vã suy bián v Z 2 -xoưn l giống nhau ối vợi mởt mổun con A cừa M, A l mổun Z 2 - xoưn khi v ch¿ khi A l mởt mổun con cừa Z 2 (M) Mổun conN ữủc gồi l õng trong M náu vợi mồi mổun con K cừa M m N ≤ e K thẳ K = N Mổun M ữủc gồi l mổun mð rởng náu mồi mổun con õng l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp, ho°c tữỡng ữỡng, mồi mổun con l mổun cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp Mởt R-mổun phÊi ữủc gồi l mổun Baer náu.
Trong lý thuyết tập hợp, với mọi N nhỏ hơn hoặc bằng M, l s(N) = Se vợi e² = e thuộc S n o õ Đối với mọi I nhỏ hơn hoặc bằng s S, r M eM vợi mọi e² = e thuộc S n o õ Định nghĩa 1.1.16 cho biết một mảng M là mảng K-ối khổng suy biến nếu mảng con N của M, l s(N) = 0, cho thấy N là cốt yếu trong M Định nghĩa 1.1.17 mô tả mảng M được gọi là có giao hống tỷ mỉ nếu giao của mọi hống tỷ trực tiếp của M là một hống tỷ trực tiếp Cuối cùng, định nghĩa 1.1.18 xác định một v nh R được gọi là v nh P-mð rỗng nếu mồi.
R-mổun tỹ do l mổun mð rởng. ành nghắa 1.1.19 Mổun B ữủc gồi l A-xÔ náu mồi phƯn bũ cừa B trong A⊕B l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp.
1.2 CĂc kát quÊ liản quan
Mằnh ã 1.2.1 Theo Rizvi v Roman , mồi mổun mð rởng khổng suy bián l mổun Baer.
Mằnh ã 1.2.2 Náu RR l v nh mð rởng thẳ mồi R-mổun xiclic khổng suy bián l mổun mð rởng. ành lẵ 1.2.3 Cho R l v nh khổng suy bián phÊi v M l R-mổun phÊi b§t ký Khi â Z(M/Z(M)) = 0.
Mằnh ã 1.2.4 BĐt ký mổun con C ⊆ M, cĂc kh¯ng ành sau tữỡng ÷ìng:
(2) C l mổun (cốt yáu) õng trong M;
C = X ∩ M, với X là không gian lồi trực tiếp của bao nở xô E(M) Định nghĩa N là một mô-đun con của bĐt ký M Ta định nghĩa N ∗ là một mô-đun con của M chứa N, và N ∗ /N = Z(M/N) Quá trình này dẫn đến việc định nghĩa các khái niệm tứơng tự như N ∗∗ và N ∗∗∗ Rõ ràng, 0 ∗ chính là Z(M) Đối với mô-đun con N ⊆ M, ta có N ∗∗∗ = N ∗∗ Khi đó, M/N ∗ có thể không phải là không suy biến, nhưng M/N ∗∗ luôn không suy biến.
Mằnh ã 1.2.7 Cho C l mởt mổun con cừa mởt mổun M CĂc kh¯ng ành sau ¥y l t÷ìng ÷ìng:
(1) Tỗn tÔi mởt mổun con S sao cho C l cỹc Ôi, C ∩S l mổun
(3) C chựa Z 2 (M) v C/Z 2 (M) l mổun con õng cừa M/Z 2 (M);
(4) C chựa Z 2 (M) v C l mổun con õng cừa M;
(5) C l phƯn bũ giao cừa mổun con õng khổng suy bián cừa M;
(6) M/C l mổun khổng suy bián. ành lẵ 1.2.8 CĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng vợi mởt mổun M:
(2) Vợi mội mổun con A cừa M, A2 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M vợi A 2 /A = Z 2 (M/A);
(3) M = Z 2 (M)⊕M 0 trong õ M 0 l mởt mổun mð rởng (khổng suy bián);
(4) Mồi mổun con cừa M chựa mổun Z 2 (M) l mổun cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M;
(5) Mồi mổun con cừa M l mổun t-cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M;
Để xây dựng một mô hình phân tách M/A N/A⊕N 0 /A, cần đảm bảo rằng N là một hằng số tỷ trực tiếp của M với điều kiện N 0 ≤ tes M Hình ảnh 1.2.9 cho thấy M là một mô hình Baer, trong đó mọi hằng số tỷ trực tiếp được xác định rõ ràng.
N cừa M cũng l mởt mổun Baer. ành lẵ 1.2.10 CĂc kh¯ng ành sau Ơy l tữỡng ữỡng ối vợi mởt v nh R:
(2) Mồi R-mổun khổng suy bián l mổun xÔ Ênh;
(3) Vợi mồi R-mổun M, tỗn tÔi mởt mổun con xÔ Ênh M 0 vợi M Z 2 (M)⊕M 0 ;
(5) Mồi R-mổun l mổun t-mð rởng;
(6) Mồi R-mổun xÔ Ênh l mổun t-mð rởng;
(7) Mồi R-mổun khổng suy bián l mổun Baer, v Z 2 (R R ) l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa R;
(8) Mồi R-mổun khổng suy bián l mổun mð rởng, v Z 2 (R R ) l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa R.
Mằnh ã 1.2.11 CĂc kh¯ng ành sau Ơy l tữỡng ữỡng ối vợi mồi mổun con A cừa R-mổun M.
(2) (A+ Z2(M))/Z2(M) l mổun con cốt yáu trong M/Z2(M).
(4) M/A l mổun Z 2 -xoưn. ành lẵ 1.2.12 Cho R l v nh, cĂc kh¯ng ành sau tữỡng ữỡng
(2) M l mổun t-Baer v t-ối khổng suy bián;
(3) M l mổun t-Baer v C = tM(tS(C)) vợi mồi mổun con t- âng C;
(4) M l mổun t-Baer v vợi mồi mổun con t-õng C cừa M náu tS(C) = tS(M), thẳ C = M.
CH×ÌNG 2 CC MặUN T-NÛA èN
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và mô tả một số tính chất của lớp mũi tên ẩn Các kết quả trong bài viết này được tham khảo từ các tài liệu [4], [6], [9], [10].
2.1 ành nghắa mổun t-nỷa ỡn ành nghắa 2.1.1 Mổun M ữủc gồi l mổun t-nỷa ỡn náu vợi mồi mổun con N cừa M tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp K cừa M sao cho
Chú ỵ 2.1.2 trình bày khái niệm và mối quan hệ giữa các mảng t-nỷa ỡn và mảng trũng nhau, liên quan đến các mảng khổng suy biến Theo quy định 2.3.4(1), các mảng t-nỷa ỡn sẽ được biểu diễn thông qua các mảng con t-nỷa ỡn của chúng.
Với mô hình 2.2.1, mồi mổun Z2-xoưn được xác định là mổun t-nỷa ỡn theo Mằnh ã 1.1(4) với điều kiện K = 0 Đồng thời, mồi mổun Z2-xoưn cũng tương ứng với mồi mổun M, trong đó mổun con Z2(M) là mổun t-nỷa ỡn Nếu M có một mổun con cốt yáu L, thì tỷ lệ M/L sẽ là mổun t-nỷa ỡn.
Vẵ dử 2.2.2 Mồi mổun nỷa ỡn M l mổun t-nỷa ỡn vẳ mồi mổun con N cừa M l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M v N ≤ tes N.
, trong õ F l mởt trữớng ữỡng nhiản, I 0 F
0 F l mởt iảan phÊi cốt yáu cừa R v L 0 0
0 F l mởt R-mổun ỡn khổng suy bián Gồi Γ v Λ l cĂc têp hủp tũy ỵ,
M 1 = Q Γ R/I, M 2 = ⊕ Λ L v M = M 1 ⊕ M 2 Ta chựng minh rơng M l mởt R-mổun t-nỷa ỡn.
Ró r ng Z2(M) = M1 Gồi N l mởt mổun con cừa M Vẳ M2 l mổun nỷa ỡn, N ∩M2 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M2 Hỡn nỳa,
Vêy theo Mằnh ã 1.2.11(4) ta cõ N ∩M 2 ≤ tes N.
2.3 Mởt số tẵnh chĐt cừa lợp mổun t-nỷa ỡn
Tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một số yếu tố quan trọng liên quan đến việc mở rộng một mô hình t-nhà ở Đặc biệt, các không gian sau đây sẽ được xem xét để phát triển mô hình một cách hiệu quả.
(3) M = Z 2 (M)⊕M 0 vợi M 0 l mởt mổun nỷa ỡn khổng suy bián;
(4) Mồi mổun con khổng suy bián cừa M l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp;
(5) Mồi mổun con cừa M cõ chựa Z 2 (M) l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp.
GồiN l mởt mổun con khổng suy bián cừa M, với K là một hÔng tỷ trỹc tiáp của M sao cho K ≤ tes N Ta có M = K⊕K 0 và N = K ⊕ (N ∩ K 0) Điều này cho thấy N ∩ K 0 ∼= N/K là một mổun Z2-xoưn theo Mằnh ã 1.2.11(4) Tuy nhiên, N ∩ K 0 là một mổun khổng suy bián, và vì vậy nó phải bằng 0, dẫn đến N = K là một hÔng tỷ trỹc tiáp của M.
M 0 là một phần bù của M trong M, theo định lý 1.2.11(3), ta có M 0 ≤ tes M và M 0 là một không gian con của M Từ đó suy ra rằng L ∼= M/M 0 và M = Z 2 (M) ⊕ M 0 Hơn nữa, theo định lý, tồn tại một không gian con N 0 của M 0 là một không gian con tách biệt của M và cũng là một không gian tách biệt của M 0 Chúng ta có thể khẳng định rằng M 0 là một không gian con của M.
(3) ⇒ (1) Gồi N l mởt mổun con cừa M Vẳ M 0 l mởt mổun nỷa ỡn nản N ∩ M 0 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M 0 Do õ N ∩M 0 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M M°t khĂc N/(N ∩ M 0 ) ∼= (N + M 0 )/M 0 ≤
M/M 0 ∼= Z2(M) Theo Mằnh ã 1.2.11(4) vẳ vêy N∩M 0 ≤ tes N iãu n y cõ nghắa l M l mởt mổun t-nỷa ỡn.
(3) ⇒ (5) Gồi N l mởt mổun con cừa M cõ chựa Z 2 (M) Theo giÊ thiát N = Z 2 (M)⊕(N ∩M 0 ) v N ∩M 0 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M 0
Do õ N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.
(5) ⇒ (2) iãu n y dạ d ng suy ra theo ành nghắa
(2) ⇒ (3) Vẳ mồi mổun nỷa ỡn khổng suy bián l mổun xÔ Ênh nản M/Z 2 (M) l mổun xÔ Ênh Vẳ vêy Z 2 (M) l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M 2
Hằ quÊ 2.3.2 Cho M l mởt mổun t-nỷa ỡn Khi õ, ta cõ
(1) Mồi mổun con cừa M l t-nỷa ỡn.
(2) Mồi Ênh ỗng cĐu cừa M l t-nỷa ỡn.
(2) Cho f : M → L l mởt to n cĐu Theo ành lỵ 2.3.1(3) ta cõ
M = A⊕B, trong õ A l mổun con Z 2 -xoưn cừa M v B l mổun con nûa ìn cõa M Ta câ
L = f(M) = f(A) +f(B) = f(A) + [(f(A)∩ f(B))⊕B 0 ] = f(A)⊕B 0 vợi B 0 l mởt mổun con cừa B Vẳ vêy L l mổun t-nỷa ỡn theo ành lþ 2.3.1(3) 2
Hằ quÊ 2.3.3 Tờng trỹc tiáp cĂc mổun t-nỷa ỡn l mổun t-nỷa ỡn. Gồi S(M) l tờng cừa tĐt cÊ cĂc mổun con ỡn khổng suy bián cừa
M Náu khổng tỗn tÔi cĂc mổun con nhữ vêy, ta quy ữợc S(M) = 0 Ró r ng, S(M) l mởt mổun con bĐt bián ho n to n cừa M.
Hằ quÊ 2.3.4 Cho M l mởt mổun Khi õ
(1) Z 2 (M)⊕S(M) l mổun con t-nỷa ỡn lợn nhĐt cừa M.
(2) M l mổun con t-nỷa ỡn khi v ch¿ khi M = Z 2 (M)⊕S(M).Hằ quÊ 2.3.5 M l mổun t-nỷa ỡn khi v ch¿ khi M khổng cõ mổun con thỹc sỹ t-cốt yáu m chựa Z 2 (M).
Chựng minh Theo Mằnh ã 1.2.11(2) chúng ta cõ mởt mổun con L cừa
CĂc v nh t -nỷa ỡn v cĂc iãu kiằn dƠy chuyãn
Nhữ chúng ta ữủc biát mởt mổun M cõ tẵnh chĐtACC (tữỡng ựng,
DCC) trản cĂc mổun con cốt yáu khi v ch¿ khi M/Soc(M) l mổun Noether (tữỡng ựng, Artin); xem [8, Mằnh ã 5.15] Ta cõ cĂc °c trững sau cừa mởt v nh t-nỷa ỡn phÊi.
Mằnh ã 3.3.1 CĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng ối vợi mồi v nh R
(2) Mồi R-mổun khổng suy bián cõ tẵnh chĐt ACC trản cĂc mổun con cốt yáu;
(3) Mồi R-mổun khổng suy bián cõ tẵnh chĐt DCC trản cĂc mổun con cốt yáu.
Chựng minh (1)⇒ (2) Theo ành lỵ 3.2.2(3) mồi mổun khổng suy bián trản mởt v nh t-nỷa ỡn l mổun nỷa ỡn v do õ nõ khổng cõ mổun con cốt yáu thỹc sỹ.
(2) ⇒ (1) Gồi M l mởt R-mổun khổng suy bián Theo giÊ thiát
M ( N ) cõ tẵnh chĐtACC trản cĂc mổun con cốt yáu v do õ(M/Soc(M)) ( N ) ∼M ( N ) /Soc(M ( N ) ) l mổun Noether Vẳ vêy M/Soc(M) = 0, do õ M l mổun nỷa ỡn Cõ nghắa l R l mởt v nh t-nỷa ỡn phÊi.
(1) ⇔(3) Chùng minh t÷ìng tü 2 ành lẵ 3.3.2 CĂc kh¯ng ành sau Ơy l tữỡng ữỡng ối vợi mởt v nh R
(1) R l mởt v nh t-nỷa ỡn phÊi;
(2) Rad(R) l v nh Z 2 -xoưn v R/Z 2 (R R ) thọa mÂn tẵnh chĐt DCC vợi iảan phÊi chẵnh;
(3) Z 2 (R R ) l mởt iảan nỷa nguyản tố v R/Z 2 (R R ) thọa mÂn tẵnh chĐt DCC vợi iảan phÊi chẵnh.
Chùng minh (1) ⇒ (2) Theo ành lþ 2.3.1(3), Rad(R) = Rad(Z 2 (R R )) l v nh Z 2 -xoưn Kh¯ng ành thự hai l ữỡng nhiản do R/Z 2 (R R ) l mởt v nh nûa ìn.
(2) ⇒(1) Trữợc hát lữu ỵ rơng R cõ cĂc tẵnh chĐt sau:
Mỗi ideal phái I không phải là Z2-xoăn của cỏ mởt ideal phái tối tiểu không suy biến gồi là A Thật vậy, phần bù của Z2(I) trong I là một ideal phái không suy biến khác 0 của R được chứa trong I Do đó, chúng ta có thể chồn một phần tỷ tối tiểu A/Z2(RR) trong tập {N/Z2(RR): N là một ideal phái chính không suy biến khác 0 của R được chứa trong I} Vậy A là một ideal phái không suy biến tối thiểu được chứa trong I Mỗi ideal phái tối tiểu không suy biến A của R là một hạng tử trực tiếp của RR Thật vậy, do Rad(R) là một Z2-xoăn nản tồn tại một ideal phái cũi J của R không chứa A Do đó, A∩J = 0 và A⊕J = R Giả sử rằng R không phải là t-nỷa ỡn và khi đó R không phải Z2-xoăn Gọi A1 là một ideal phái tối tiểu không suy biến của R.
R Theo (ii) ta cõ R = A1⊕I1 M°t khĂc vẳ RR khổng phÊi t-nỷa ỡn nản
I1 không phải là Z2-xoắn và theo điều kiện (i), tồn tại một dãy A2 tối thiểu không suy biến A2 ≤ I1 Hơn nữa, theo điều kiện (ii), A2 là một không tỷ trực tiếp của R, đồng thời nó cũng là một không tỷ trực tiếp của I1, do đó ta có thể viết I1 = A2 ⊕ I2.
R = A1 ⊕ A2 ⊕ I2 là một biểu thức quan trọng trong lý thuyết đại số, trong đó I2 không phải là Z2-xoắn Để xây dựng mối quan hệ giữa các yếu tố này, chúng ta cần xem xét chuỗi giám sát I1, I2 Các hàm tỷ trực tiếp của R và mối liên hệ giữa chúng chứa Z2(RR) Mọi A n không bị suy biến, do đó I1/Z2(RR) và I2/Z2(RR) tạo thành một chuỗi chuyển giám sát chính xác của R/Z2(RR), từ đó tạo ra các ứng dụng thú vị trong nghiên cứu toán học.
(1) ⇒(3) Ró r ng rơng R/Z2(RR) l mởt v nh nỷa ỡn.
(3) ⇒ (1) Trong ph²p chùng minh (2) ⇒ (1), ho n to n câ thº thay thá lêp luên (ii) nhữ sau:
GồiAl mởt iảan phÊi tối tiºu khổng suy bián cừaR TứA/Z 2 (R R ) ∼ Ata kát luên rơngA/Z 2 (R R )l mởt iảan phÊi tối tiºu cừaR/Z 2 (R R ) Tuy nhiản vẳR/Z 2 (R R )l v nh nỷa ỡn nản A/Z 2 (R R ) l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa R/Z 2 (R R ), viát R/Z 2 (R R ) = A/Z 2 (R R )⊕J/Z 2 (R R ) Vêy R = A⊕J, nghắa l A l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa R.
Chú ỵ 3.3.3 Quan hằ (1) ⇔ (2) cừa ành lỵ 3.3.2 cõ thº diạn giÊi nhữ sau:
R là một vành vành t-nỷa, khi v ch¿ khi Rad(R) là Z2 -xoưn, và R/Z2 (R R) là một vành hoàn chỉnh trái Tương tự, quan hệ (1) ⇔ (3) của ảnh lỵ 3.3.2 có thể được diễn giải theo khái niệm của một vành hoàn chỉnh trái.
Rượu gồi là một loại đồ uống có nguồn gốc từ cây lúa mạch, thường được sử dụng trong các bữa tiệc và lễ hội Theo nghiên cứu, rượu gồi có thể được coi là một phần quan trọng trong văn hóa ẩm thực của nhiều quốc gia Hơn nữa, nó cũng có thể được chế biến từ các nguyên liệu khác nhau, tạo ra nhiều hương vị độc đáo Rượu gồi không chỉ mang lại cảm giác thư giãn mà còn là một phần không thể thiếu trong các nghi lễ truyền thống.
Hằ quÊ 3.3.4 Cho R l mởt v nh Khi õ
(1) Gi£ sû R/Z 2 (R R ) l v nh Artin ph£i Khi â R l v nh t-nûa ìn phÊi khi v ch¿ khi Rad(R) l Z 2 -xoưn khi v ch¿ khi Z 2 (R R ) l nỷa nguyản tè.
Giá sỉ R l là một phần quan trọng trong các vấn đề liên quan đến tửc phê, tỹa ối ngău trái hoặc ối ngău nhọ trái Khi sử dụng R l, cần chú ý đến việc điều chỉnh các thông số phù hợp để đảm bảo hiệu quả tối ưu trong quá trình phân tích R/Z 2 (R R) là một yếu tố cần được xem xét kỹ lưỡng trong các phương pháp nghiên cứu.
Chùng minh (1) Theo ành lþ 3.3.2(2) v ành lþ 3.3.2(3).
Theo tài liệu, nếu R là một vành tửc thì Rad(R) là lý thuyết chính của vành này Nếu R là một vành không ngẫu nhiên, thì Rad(R) bằng Z(R) Hơn nữa, nếu R là một vành ngẫu nhiên, thì Rad(R) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng Z(R) Điều này cần được chứng minh theo hình ảnh 3.3.2.
Nhưc lÔi rơng mởt v nh R ữủc gồi l v nh tỹa-Frobenius náu R l v nh Artin phÊi ho°c trĂi v v nh tỹ nởi xÔ phÊi ho°c trĂi Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá một số mối liên hệ giữa các vành tủy-Frobenius và các vành t-nûa, nhằm làm rõ các khái niệm toán học quan trọng liên quan đến chúng.
Mằnh ã 3.3.5 CĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng ối vợi mởt v nh R:
(2) R l mởt v nh t-nỷa ỡn phÊi v Z 2 (R R ) l mởt R-mổun Artin nởi xÔ.
(3) R l mởt v nh t-nỷa ỡn phÊi v Z2(RR) l mởt R-mổun Noether nởi xÔ.
(4) R l mởt v nh t-nỷa ỡn trĂi v Z 2 (R R ) l mởt R-mổun trĂi Artin nởi xÔ.
(5) R l mởt v nh t-nỷa ỡn trĂi v Z 2 (R R ) l mởt R-mổun trĂi nởi x¤ Noether.
Chứng minh rằng nếu R là vành nhiễm tửc phê, thì Rad(R) là Z_2 Một khẳng định khác là nếu R là vành Artin, thì R phải tuân theo Hằng quên 3.3.4(1) Hơn nữa, Z_2(R) là một R-mô đun Artin, vì nó là một hạng tử trực tiếp của R.
(2) ⇒ (1) Do R l v nh t-nûa ìn ph£i, R = Z2(RR)⊕R 0 trong â
R 0 l mởt v nh nỷa ỡn Vẳ vêy theo giÊ thiát R l v nh tỹ nởi xÔ phÊi Artin phÊi, nghắa l R l mởt v nh tỹa-Frobenius.
Chựng ming tữỡng tỹ ta cõ (3), (4) v (5) l tữỡng ữỡng vợi (1) 2
Hằ quÊ 3.3.6 GiÊ sỷ R l mởt v nh khổng suy bián phÊi Khi õ R l v nh tüa-Frobenius khi v ch¿ khi R l v nh nûa ìn.
Hằ quÊ 3.3.7 CĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng ối vợi mởt v nh R.
(2) R l mởt v nh Artin phÊi trong õ Rad(R) l Z2-xoưn v Z2(RR) l nởi xÔ.
Chựng minh (1) ⇒ (2) Ró r ng R l v nh Artin phÊi v Z 2 (R R ) l nởi xÔ do R l v nh tỹa- Frobenius Theo Mằnh ã 4.5, R l v nh t-nỷa ỡn ph£i Do â Rad(R) l Z 2 -xo n theo ành lþ 3.3.2
(2) ⇒ (1) Theo Hằ quÊ 3.3.4(1), R l v nh t-nỷa ỡn phÊi Vẳ vêy theo Mằnh ã 3.3.5(2) ta cõ R l v nh-Frobenius 2
Nhưc lÔi rơng mởt v nh R l v nh tỹa-Frobenius khi v ch¿ khi mồi
R-mổun cõ thº nhúng ữủc v o mởt R-mổun tỹ do khi v ch¿ khi mồi
R-mổun xyclic có thể được sử dụng để nghiên cứu các thuộc tính của không gian vector, và theo các tài liệu tham khảo, có một số điều kiện cần thiết để áp dụng lý thuyết này Kết quả nghiên cứu đã chỉ ra rằng các điều kiện này liên quan đến các tính chất của ma trận Frobenius và tính chất ổn định của hệ thống.
Hằ quÊ 3.3.8 Cho R l mởt v nh v kẵ hiằu têp S = R/Z 2 (R R ) GiÊ sỷ v nh T ho°c l v nh R ho°c l v nh S C¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng ối vợi v nh R.
(2) Mồi T-mổun Z2-xoưn cõ thº ữủc nhúng trong mởt T-mổun tỹ do;
(3) Mồi T-mổun Z 2 -xoưn xyclic trĂi v phÊi cõ thº ữủc nhúng trong mởt T-mổun tỹ do
Chúng ta cần xem xét trững hợp T = S Theo Mành 3.3.5, ta có R là nh tỷ lệ ẩn phải, do đó theo hình 3.2.2(6), S là một nh tỷ lệ ẩn Vì vậy, S không thể có mổun Z2-xoưn khác 0.
(2) ⇒ (1) Gồi M l mởt S-mổun Dạ thĐy náu Z(MR) = 0 thẳ
Z(M S) = 0 cho thấy rằng S là một mẫu không suy biến, điều này có nghĩa là mẫu R không suy biến Do đó, mẫu S cũng không suy biến Những mẫu S có Z2 -xoưn nhúng trong một mẫu không suy biến, vì vậy S không thể có mẫu Z2 -xoưn khác 0 Do đó, S là một mẫu không suy biến và có tính ổn định.
R l v nh t-nỷa ỡn phÊi, gồi M l mởt R-mổun Theo Hằ quÊ 3.2.6, ta cõ R l v nh P-t-mð rởng phÊi và do õ M = Z 2 (M)⊕M 0 trong õ M 0 l mởt R-mổun xÔ Ênh Theo giÊ thiát Z 2 (M), cõ thº nhúng ữủc trong mởt R-mổun tỹ do, tữỡng tỹ nhữ vêy vợi M Do õ R l mổun tỹa-Frobenius theo [12, ành lỵ 7.56].
Vẵ dử sau Ơy ch¿ ra rơng lợp v nh tỹa-Frobeniuss ữủc chựa trong lợp cĂc v nh t-nỷa ỡn phÊi.
Vẵ dử 3.3.9 Cho T l mởt v nh Z 2 -xoưn phÊi, vẵ dử T = Z/p 2 Z vợi p l số nguyản Theo Bờ ã 3.2.10, tẵch trỹc tiáp R = Q ∧ T l mởt v nh
Z 2 -xoưn phÊi trong õ ∧ l mởt têp vổ hÔn Tuy nhiản R khổng phÊi l v nh Noether phÊi v do õ R khổng phÊi v nh tỹa-Frobenius.
Mởt v nh R ữủc gồi là v nh F GF phÊi náu tĐt cÊ R-mổun hỳu hÔn sinh cõ thº nhúng ữủc trong R-mổun tỹ do Mồi v nh tỹa-Frobenius là một v nh F GF phÊi Theo giÊ thuyát F GF, Mồi v nh F GF phÊi là v nh tỹa-Frobenius Những viằc °t thảm (cĂc) iãu kiằn bờ sung v o mởt v nh F GF phÊi RÊm bÊo rơng R là v nh tỹa-Frobenius Kát quÊ tiáp theo chúng tổi ch¿ ra rơng cõ thº tiáp cên giÊ thuyát F GF ối vợi mởt v nh bơng cĂch nghiản cựu h nh vi cừa iảan suy bián thự cĐp.
Mằnh ã 3.3.10 CĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng ối vợi mồi v nh R
(2) R l v nh F GF tr¡i, R/Z 2 (R R ) l v nh ho n ch¿nh tr¡i, v Z 2 (R R ) l mởt R-mổun Artin nởi xÔ;
(3) R l v nh F GF tr¡i, R/Z 2 (R R ) l v nh ho n ch¿nh tr¡i, v Z 2 (R R ) l mởt R-mổun Noether nởi xÔ.
Chựng minh (1) ⇒ (2) Do mồi v nh tỹa-Frobenius l v nh t-nỷa ỡn phÊi, R/Z 2 (R R ) l v nh ho n ch¿nh trĂi theo ành lỵ 3.3.2 CĂc iãu kiằn khĂc l hiºn nhiản.
(2) ⇒ (1) Mồi v nh F GF trĂi l v nh ối ngău trĂi Do õ theo Hằ qu£ 3.3.4(2), R l v nh t-nûa ìn ph£i Do â R l v nh tüa-Frobenius theo Mằnh ã 3.3.5(2).
Mằnh ã 3.3.11 CĂc kh¯ng ành sau Ơy l tữỡng ữỡng ối vợi mởt v nh R:
(1) R l mởt v nh t-nỷa ỡn phÊi;
(2) Mồi iảan phÊi xiclic khổng suy bián cừa R l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp v R/Z 2 (R R ) thọa mÂn tẵnh chĐt ACC ối vợi iảan phÊi;
(3) Mồi iảan phÊi hỳu hÔn sinh khổng suy bián cừa R l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp v R/Z 2 (R R ) thọa mÂn tẵnh chĐt ACC ối vợi iảan phÊi.
Chùng minh (1) ⇒(2) Theo ành lþ 2.3.1(4) v ành lþ 3.2.2(6).