Một số tính toán trên iđean chiều không và vành tọa độ của đa tạp

Vành đa thức

Vành đa thức một biến

a) Xây dựng vành đa thức một biến.

Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1 Gọi P là tập hợp các dãy phần tử trong A.

(a 0 , a 1 , , a n , )/a i ∈ A, ∀i ∈N , a i = 0 tất cả trừ một số hữu hạn o

Trên P ta xác định hai quy tắc cộng và nhân như sau:

Khi đó (P,+,.) lập thành vành giao hoán có đơn vị gọi là vành đa thức Thật vậy, hai quy tắc cộng và nhân cho ta hai phép toán trong P.

1 (P,+) là một nhóm giao hoán vì:

• Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp.

• Phần tử không là dãy (0,0, ,0, ).

• Phân tử đối của dãy (a 0 , a 1 , , a n , ) là dãy (−a 0 , −a 1 , , −a n , ).

2 (P,.) là một nữa nhóm giao hoán vì:

• Do A giao hoán nên: X i+j=k a i b j = X i+j=k b j a i Vì vậy phép nhân có tính chất giao hoán.

• Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng nên ∀m = 0, 1, 2, Ta có:

Vì vậy phép nhân trong P có tính chất kết hợp.

Vì vậy phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng trong P.

4 Dãy (1,0, ,0, ) là phần tử đơn vị của P Do đó P là 1 vành giao hoán có đơn vị 1.

Xét dãy: x = (0, 1, 0, , 0, ) Theo quy tắc nhân, ta có: x 2 = (0, 0, 1, 0, , 0, ) x 3 = (0, 0, 0, 1, , 0, )

Ta quy ước viết: x 0 = (1, 0, , 0, ) Xét ánh xạ: f : A → P a 7→ (a, 0, , 0, ) f (a + b) = (a + b, 0, , o, ) = (a, 0, , 0, ) + (b, 0, , 0, ) = f (a) + f (b) f (ab) = (ab, 0, , 0, ) = (a, 0, , 0, )(b, 0, , 0, ) = f (a)f(b) f (a) = f(b) ⇔ (a, 0, , 0, ) = (b, 0, , 0, ) ⇔ a = b

Vậy f là đơn cấu và bảo toàn hai phép toán Vì f đơn cấu nên ta đồng nhất mỗi phần tử a ∈ A với f (a) ∈ P tức là: a = f (a) = (a, 0, , 0, ) ∈ P

Vành A là một vành con của vành P, trong đó các phần tử của P được biểu diễn dưới dạng dãy (a₀, a₁, , aₙ, ), với điều kiện aᵢ = 0 cho tất cả các i trừ một số hữu hạn Do đó, ta có thể giả định rằng n là số lớn nhất sao cho aₙ ≠ 0 Mỗi phần tử trong P có thể được viết theo cách này.

Các phần tử của vành P thường được biểu diễn dưới dạng đa thức, cụ thể là: a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0, với a_i thuộc A và i = 0, n Định nghĩa 1.1.1 cho biết vành P được gọi là vành đa thức của biến x với hệ tử trong A, ký hiệu là A[x] Các phần tử trong vành này được gọi là đa thức của biến x lấy hệ tử từ A Một ví dụ về đa thức là f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0.

• a i , i = 0, n gọi là các hệ tử thứ i của đa thức.

• a i x i , i = 0, n gọi là các hạng tử thứ i của đa thức.

• a 0 x 0 = a 0 gọi là hạng tử tự do.

• a n x n với a n 6= 0 gọi là hạng tử cao nhất. b) Bậc của đa thức. Định nghĩa 1.1.2 Cho đa thức: f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x 1 + a 0 x 0 với a n 6= 0, n ≥ 0.

Bậc của đa thức f(x) được ký hiệu là deg f(x), với hệ tử a_n là hệ tử cao nhất và a_0 là hệ tử tự do Định lý 1.1.3 cho biết rằng với hai đa thức f(x) và g(x) trong A[x] (với g(x) khác 0), luôn tồn tại hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) trong A[x] sao cho f(x) = g(x)·q(x) + r(x), trong đó r(x) có thể bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của g(x) q(x) và r(x) lần lượt được gọi là thương và dư trong phép chia f(x) cho g(x) Nếu r(x) = 0, ta nói rằng f(x) chia hết cho g(x), ký hiệu là g(x)|f(x).

Chứng minh * Chứng minh sự tồn tại hai đa thức q(x) và r(x).

- Nếu deg f (x) < deg g(x) thì đặt q(x) = 0 và r(x) = f (x) Khi đó ta có: f(x) = g(x).q(x) + r(x), deg r(x) = deg f(x) < deg g(x).

- Nếu deg f (x) ≥ deg g(x) thì đặt h 1 (x) = a n b −1 m x n−m Khi đó hạng tử cao nhất của g(x)h 1 (x) là: b m x m b −1 m a n x n−m = a n x n

Do đó, đặt: f 1 (x) = f (x) − g(x)h 1 (x) thì f 1 (x) là đa thức bậc thực sự nhỏ hơn bậc của f (x) Có hai khả năng xảy ra:

+ Nếu deg f 1 (x) < deg g(x) thì đặt: q(x) = h 1 (x), r(x) = f 1 (x).

Ta có: f (x) = g(x).q(x) + r(x). deg r(x) = deg f 1 (x) < deg g(x).

+Nếu deg f 1 (x) > deg g(x), giả sử: f 1 (x) = c 0 + c 1 x + + c k x k

Ta có công thức h 2 (x) = c k b −1 m x k−m và f 2 (x) = f 1 (x) − g(x)h 2 (x) Tiếp tục phân tích f 2 (x) tương tự như đã làm với f(x) và f 1 (x), chúng ta sẽ thu được một chuỗi các đa thức với bậc giảm dần: f(x), f 1 (x), f 2 (x), và tiếp tục như vậy.

Sau một số bước hữu hạn, chúng ta sẽ tìm thấy một đa thức k(x) = 0, hoặc nếu k(x) ≠ 0 thì bậc của k(x) sẽ nhỏ hơn bậc của g(x) Quá trình này có thể được mô tả qua dãy các đẳng thức sau: f1(x) = f(x) − g(x)h1(x), f2(x) = f1(x) − g(x)h2(x), và tiếp tục cho đến fk(x) = fk−1(x) − g(x)hk(x).

Khi đó, cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được: f k (x) = f (x) − g(x) h 1 (x) + h 2 (x) + + h k (x)

* Tính duy nhất của q(x) vàr(x) Giả sử có cặp đa thứcq(x), r(x) và q 1 (x), r 1 (x) đều thỏa mãn: f (x) = g(x).q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x), r(x) 6= 0 f (x) = g(x).q 1 (x) + r 1 (x), deg r 1 (x) < deg g(x), r 1 (x) 6= 0

Từ đó, ta có: deg r 1 (x) − r(x)

< deg g(x). Thậy vậy, vì deg r(x) < deg g(x), deg r 1 (x) < deg g(x) nên: deg r 1 (x) − r(x)

< deg g(x) Điều này mâu thuẫn với (1.1) Vậy r 1 (x) − r(x) = 0 hayr 1 (x) = r(x) Từ đó suy ra: q(x) = q 1 (x) (đpcm). d) Hàm đa thức. Định nghĩa 1.1.4 Cho đa thức: f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x 1 + a 0 x 0 ∈ A[x] với a n 6= 0, n ∈N

Xét ánh xạ: ϕ f : A → A b 7→ ϕ f (b) = a n b n + + a 1 b 1 + a 0 , a i ∈ A, i = 1, n, n ∈NKhi đó ϕ f được gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f.

Vành đa thức nhiều biến

a) Xây dựng vành đa thức nhiều biến.

Vành đa thức nhiều biến lấy hệ tử trong A được xây dựng theo phương pháp quy nạp Định nghĩa 1.1.5 nêu rõ rằng A là vành giao hoán có đơn vị.

A n = A n−1 [x n ] Vành A n = A n−1 [x n ]kí hiệu là A[x 1 , x 2 , , x n ] và được gọi là vành đa thức n biến x 1 , x 2 , , x n lấy hệ tử trong vành A, các phần tử trongA n có dạngf (x 1 , x 2 , , x n ).

Từ định nghĩa trên ta có dãy vành

A ⊂ A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⊂ A n trong đó A i−1 là vành con của A i với i = 1, n.

Xét vành A 1 [x 2 ] = A[x 1 , x 2 ] là vành đa thức theo biến x 2 lấy hệ tử trong A 1 = A[x 1 ] Vậy mỗi phần tử của A[x 1 , x 2 ] có thể viết dưới dạng: f (x 1 , x 2 ) = a 0 (x 1 )x 2 + a 1 (x 1 )x 2 + + a n (x 1 )x 2 với a i (x 1 ) ∈ A[x 1 ] a i (x 1 ) = b i0 + b i1 x 1 + + b im i x m 1 i với i = 0, n

Trong vành A[x₁, x₂], phép nhân phân phối đối với phép cộng cho phép biểu diễn một đa thức f(x₁, x₂) dưới dạng f(x₁, x₂) = c₁x₁^a₁₁x₂^a₂₁ + c₂x₁^a₁₂x₂^a₂₂ + + cₘx₁^a₁ₘx₂^a₂ₘ, với cᵢ ∈ A, các aᵢ₁, aᵢ₂ là số tự nhiên và (aᵢ₁, aᵢ₂) khác nhau khi i ≠ j Các cᵢ được gọi là hệ tử, còn cᵢx₁^aᵢ₁x₂^aᵢ₂ là các hạng tử của đa thức f(x₁, x₂) Bằng quy nạp, đa thức f(x₁, x₂, , xₙ) trong vành A[x₁, x₂, , xₙ] có thể viết dưới dạng f(x₁, x₂, , xₙ) = c₁x₁^a₁₁ xₙ^aₙ₁ + + cₘx₁^a₁ₘ xₙ^aₙₘ, với cᵢ ∈ A và (aᵢ₁, , aᵢₙ) khác nhau khi i ≠ j Đa thức f(x₁, x₂, , xₙ) = 0 chỉ khi tất cả các hệ tử của nó bằng 0 Định nghĩa bậc của đa thức cho thấy rằng nếu f(x₁, , xₙ) ∈ A[x₁, , xₙ] khác 0, thì f(x₁, , xₙ) = c₁x₁^a₁₁ xₙ^aₙ₁ + + cₘx₁^a₁ₘ xₙ^aₙₘ với cᵢ khác 0 và (aᵢ₁, , aᵢₙ) khác nhau khi i ≠ j.

Bậc của đa thức f(x₁, , xₙ) đối với biến xᵢ là số mũ cao nhất của xᵢ xuất hiện trong các hạng tử của đa thức Nếu biến xᵢ không có mặt trong đa thức f(x₁, , xₙ), thì bậc của f đối với xᵢ được xác định là 0.

Bậc của hạng tử c i x a 1 i1 x a n in là tổng các số mũ a i1 + + a in

Bậc của đa thức đối với tất cả các biến, hay bậc toàn phần, là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của đa thức Định nghĩa hàm đa thức được đưa ra như sau: cho đa thức f(x₁, , xₙ) = c₁x₁ᵃ¹₁ xₙᵃⁿ₁ + + cₘx₁ᵃ¹ₘ xₙᵃⁿₘ ∈ A[x₁, , xₙ] với cᵢ ≠ 0, i = 1, m và (aᵢ₁, , aᵢₙ) khác (aⱼ₁, , aⱼₙ) khi i ≠ j Ánh xạ ϕ_f: Aⁿ → Aᵇ được xác định bởi ϕ_f(b) = c₁bᵃ¹₁ bᵃⁿ₁ + + cₘbᵃ¹ₘ bᵃⁿₘ, trong đó cᵢ ≠ 0, i = 1, m và (aᵢ₁, , aᵢₙ) khác (aⱼ₁, , aⱼₙ) khi i ≠ j Hàm ϕ_f được gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f.

Iđêan

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là vành giao hoán Khi đó I ⊂ A được gọi là iđêan của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Cho A là một vành, thì A luôn có các iđêan tầm thường là 0 và A.

Tập nZ = {nz/z ∈ Z, n ∈ N*} là một iđêan của vành Z Định nghĩa 1.2.3 nêu rõ rằng, cho A là vành giao hoán có đơn vị, thì I (với I ≠ A) được xem là một iđêan nguyên tố của A nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.

2) Nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I. Định nghĩa 1.2.4 Cho A là vành giao hoán có đơn vị Khi đó I 6= A là iđêan cực đại của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

2) Nếu tồn tại J là iđêan của A mà I ⊂ J thì J = I hoặc J = A.

Nhận xét 1.2.5 1) Cho A là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan nguyên tố của A khi và chỉ khi A/I là miền nguyên.

2) Cho A là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan cực đại của A khi và chỉ khi A/I là trường. Định nghĩa 1.2.6 Cho I ⊂ k[x 1 , , x n ] là iđêan Khi đó, căn của I là:

Iđêan I được gọi là iđêan căn nếu √ I = I. Định nghĩa 1.2.7 Cho f 1 , , f s ∈ k[x 1 , , x n ] Khi đó hf 1 , , f s i = {p 1 f 1 + + p s f s : p i ∈ k[x 1 , , x n ] với i = 1, s} là iđêan sinh bởi các đa thức f 1 , , f s

Ví dụ 1.2.8 Cho hai đa thức: f 1 = x 2 + z 2 − 1 và f 2 = x 2 + y 2 + (z − 1) 2 − 4.

Đa tạp afin

Không gian afin

Định nghĩa 1.3.1 Cho k là trường, n ∈N ∗ , không gian afin n− chiều trên k là: k n = {(a 1 , , a n ) : a 1 , , a n ∈ k}.

Ví dụ 1.3.2 Với k =R thì k n =R n là một không gian afin Cụ thể nếu n = 1 thì R 1 được gọi là đường thẳng afin, nếu n = 2 thì R 2 được gọi là mặt phẳng afin.

Mệnh đề 1.3.3 Cho k là trường vô hạn và f ∈ k[x 1 , , x n ] Khi đó hàm đa thức: ϕ f : k n → k

(a 1 , , a n ) 7→ ϕ f (a 1 , a n ) bằng 0 khi và chỉ khi f = 0 ∈ k[x 1 , , x n ].

(⇒)Cần chứng minh nếuϕ f (a 1 , , a n ) = 0, ∀(a 1 , , a n ) ∈ k n thì f = 0.Với n = 1, lấy f ∈ k[x] : deg(f ) = m với m ∈ N Giả sử ϕ f = 0, ∀a ∈ k mà k là trường vô hạn nên ϕ f có vô hạn nghiệm Do đó f = 0.

Giả sử mệnh đề đúng với n − 1 Lấyf ∈ k[x 1 , , x n ] sao cho ϕ f = 0 Ta có: f =

Giả sử ϕ g i 6= 0, tồn tại (a 1 , , a n−1 ) ∈ k n−1 sao cho ϕ g i (a 1 , , a n−1 ) 6= 0 Khi đó: f(a 1 , , a n−1 , x n ) =

Suy ra ϕ f 6= 0 (vô lý) Nên ϕ g i = 0 suy ra g i = 0 Vì vậy f = 0.

Bổ đề 1.3.4 Cho k là trường vô hạn và f, g ∈ k[x 1 , , x n ] tồn tại hai hàm đa thức ϕ f : k n → k và ϕ g : k n → k

Đa tạp afin

Để trình bày các lý thuyết về đa tạp afin một cách dễ dàng, chúng tôi sẽ ký hiệu hàm đa thức xác định bởi f là f(a₁, , aₙ), trong đó a₁, , aₙ thuộc kⁿ và f thuộc k[x₁, , xₙ] Định nghĩa 1.3.5 nêu rõ rằng cho k là trường, f₁, , fₛ thuộc k[x₁, , xₙ] và hàm đa thức fᵢ: kⁿ → k được xác định bởi đa thức fᵢ với i = 1, s.

Khi đó V (f 1 , , f s ) được gọi là đa tạp afin xác định bởi f 1 , , f s

3) Trong R 2 , đa tạp V (x 2 + y 2 − 1) là đường tròn tâm 0, bán kính 1.

Các điểm thuộc đa tạp afin xác định bới các đa thức f 1 , f 2 , f 3 ∈ I có thể được kí hiệu là V (I) được tính như sau:

(0; 0); (1; 1); (−1; 1); (1; −1); (2; −1) Định nghĩa 1.3.8 Cho V là một tập điểm tùy ý trong k n Kí hiệu

Khi đó, ta thấy I V là iđêan và được gọi là iđêan của tập điểm V trongk[x 1 , , x n ]. Nếu V chỉ gồm một điểm a thì ta kí hiệu là I a

4) Nếu V ⊂ k 2 là tập hợp các điểm trên đường parabol x 2 − y = 0 thì

MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN

CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ

Toàn bộ các Định nghĩa trong chương này được chúng tôi tổng hợp, trích dẫn từ các tài liệu [4] và [5].

Cơ sở Gr¨ obner

Thứ tự đơn thức, thuật toán chia

Một đơn thức trong k[x₁, , xₙ] có dạng x^α₁₁ x^α₂₂ x^αₙₙ, trong đó αᵢ là số nguyên không âm, thường được viết gọn là x^α với α = (α₁, α₂, , αₙ) là vectơ số mũ Bậc của đơn thức được xác định bằng tổng các số mũ |α| = α₁ + α₂ + + αₙ Theo định lý cơ sở Hilbert, mọi iđêan I trong k[x₁, , xₙ] đều có một tập sinh hữu hạn, tức là tồn tại một tập hữu hạn các đa thức {f₁, , fₖ} ⊂ k[x₁, , xₙ] cho mỗi iđêan I.

I = hf 1 , f 2 , , f n i. Định lý 2.1.3 ([4], Th.7, Ch.2) Cho I 1 ⊂ I 2 ⊂ I 3 ⊂ ⊂ là chuỗi các iđêan tăng trong k[x 1 , , x n ] Khi đó, tồn tại số nguyên N ≥ 1 sao cho:

Trong lý thuyết đại số, một quan hệ ">" trong tập hợp các đơn thức xα trên k[x₁, , xₙ] được gọi là thứ tự đơn thức nếu thỏa mãn các điều kiện: (a) ">" là quan hệ thứ tự toàn phần; (b) nếu xα > xβ thì xα.xγ = xα+γ > xβ.xγ = xβ+γ; (c) ">" được sắp thứ tự tốt Thứ tự từ điển, ký hiệu là > lex, được xác định khi xα > lex xβ nếu α - β ∈ Zⁿ và thành phần khác 0 đầu tiên bên trái là số dương Thứ tự từ điển phân bậc, ký hiệu là > grlex, được xác định với điều kiện rằng xα > grlex xβ khi và chỉ khi n.

Thứ tự từ điển ngược phân bậc kí hiệu là > grevlex được định nghĩa cho các đơn thức x α và x β trong k[x 1 , , x n ] Cụ thể, x α > grevlex x β khi và chỉ khi n.

X i=1 β i thìα − β ∈Z n và thành phần khác 0 đầu tiên bên phải là số âm.

Ví dụ 2.1.8 Cho đa thức f = 3x 2 y 4 z 2 − 4z 4 + x 5 + 9x 4 z 4 ∈ k[x, y, z] Khi đó đa thức trên được sắp xếp theo chiều giảm dần của các đơn thức ứng với các thứ tự đơn thức trên:

• Với thứ tự từ điển f = x 5 + 9x 4 z 4 + 3x 2 y 4 z 2 − 4z 4

• Với thứ tự từ điển phân bậc f = 9x 4 z 4 + 3x 2 y 4 z 2 + x 5 − 4z 4

• Với thứ tự từ điển ngược phân bậc f = 3x 2 y 4 z 2 + 9x 4 z 4 + x 5 − 4z 4

Các thứ tự nêu trên là thứ tự đơn thức, và để kiểm tra điều này, chúng ta dựa vào Định nghĩa (2.1.4) Rõ ràng, điều kiện a) và c) đã được thỏa mãn, do đó, để hoàn tất chứng minh, chỉ cần chỉ ra rằng điều kiện b) cũng thỏa mãn.

Thật vậy, với thứ tự từ điển x α > lex x β và x γ ∈ k[x 1 , , x n ]với α = (α 1 , α n ) và β = (β 1 , , β n ) và γ = (γ 1 , , γ n ) Ta có:

Mà x α > lex x β nên α − β có thành phần khác 0 đầu tiên bên trái là số dương.

Vì vậy x α x γ > lex x β x γ Do đó thỏa mãn điểu kiện b).

Với thứ tự từ điển phân bậc x α > grlex x β nên hoặc n

X i=1 β i , i = 1, n và x γ ∈ k[x 1 , , x n ] với α = (α 1 , α n ) và β = (β 1 , , β n ) và γ = (γ 1 , , γ n ) Ta có: n

Suy ra x α x γ > grlex x β x γ Hoặc nếu n

Do đó x α x γ > grlex x β x γ , thỏa mãn điều kiện b).

Chứng minh tương tự với thứ tự từ điển ngược phân bậc. Định nghĩa 2.1.9 Cho thứ tự đơn thức ” > ” trên k[x 1 , , x n ] và đa thức f =X α c α x α

• Bậc toàn phần của f là multideg (f ) = max(|α|, α ∈Z n ≥0 : c α 6= 0).

• Hạng tử dẫn đầu của f (đối với quan hệ >) làc α x α với x α là đơn thức lớn nhất của f với thứ tự > Kí hiệu là LT > (f ) = c α x α

• Nếu LT (f) = cx α thì LC(f) = c là hệ tử dẫn đầu của f và LM (f ) = x α là đơn thức dẫn đầu của f.

Ví dụ 2.1.10 Cho đa thức f = 3x 3 y 2 + x 2 y 2 z 3 ⊂Q [x, y, z] Khi đó:

• Với thứ tự đơn thức x > lex y > lex z ta có:

• Với thứ tự đơn thức x > grevlex y > grevlex z ta có:

Bổ đề 2.1.11 ([4], Lem.8, Ch.2) Giả sử f, g ∈ k[x 1 , , x n ] và f, g 6= 0 Khi đó: (i) multideg(f g) =multideg(f) +multideg(g).

(ii) Nếu f + g 6= 0 thì multideg(f + g) ≤ max(multideg(f),multideg(g)) Ngoài ra nếu multideg(f ) 6=multideg(g) thì đẳng thức xảy ra.

Trong mệnh đề 2.1.12, thuật toán chia trên k[x₁, , xₙ] cho phép viết một đa thức f ∈ k[x₁, , xₙ] dưới dạng f = a₁f₁ + a₂f₂ + + aₛfₛ + r, trong đó aᵢ và r cũng thuộc k[x₁, , xₙ] Đối với mỗi i, điều kiện aᵢfᵢ = 0 hoặc LT>(f) ≥ LT>(aᵢfᵢ) được áp dụng, và r là phần dư khi chia f cho tập đa thức F = (f₁, , fₛ) Phần dư r có thể là 0 hoặc là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức không chia hết cho bất kỳ LT>(f₁), , LT>(fₛ).

Ví dụ 2.1.13 Chof = xy 2 −xz + yvà F = (f 1 , f 2 )vớif 1 = xy − z 2 , f 2 = x − yz 4

Sử dụng thuật toán chia để tìm phần dư của đa thức f khi chia cho F với thứ tự x > lex y > lex z.

− xy 2 − xz + y xy − z 2 xy 2 − yz 2 y

Tiếp tục lấy −xz + yz 2 + y chia cho x − yz 4

Do đó xy 2 − xz + y = y(xy − z 2 ) − z(x − yz 4 ) + yz 5 + yz 2 + y Vẫn sử dụng thuật toán chia cho phép chia f cho F nhưng thay đổi thứ tự của đa thức chia, ta được

Do đó xy 2 − xz + y = (y z − z)(x − yz 4 ) + y 3 z 4 + yz 5 + y.

Phần dư của phép chia không phải là duy nhất và phụ thuộc vào thứ tự của đa thức chia, điều này làm cho việc làm việc với phần dư trở nên phức tạp Do đó, cơ sở Gröbner ra đời để giải quyết vấn đề này Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày về cơ sở Gröbner và nêu bật tầm quan trọng của nó trong toán học.

Cơ sở Gr¨ obner

Định nghĩa 2.1.14 Một iđêanI ⊂ k[x 1 , , x n ]là iđêan đơn thức nếu có tập con

A ⊂Z n ≥0 sao cho I chứa các đa thức có dạng P α∈A h α x α với h α ∈ k[x 1 , , x n ]. Khi đó, ta viết:

Bổ đề 2.1.15 ([4], Lem.2, §4, Ch.2) Cho I = hx α : α ∈ Ai là iđêan đơn thức. Khi đó x β ∈ I khi và chỉ khi x β chia hết cho x α với α ∈ A nào đó.

Chứng minh (Xem [4]). Định nghĩa 2.1.16 Cho I ⊂ k[x 1 , , x n ] là iđêan khác {0} Khi đó ta định nghĩa:

(i) Tập các hạng tử dẫn đầu của các đa thức f ∈ I là

LT (I ) = {cx α : trong đó f ∈ I với LT (f ) = cx α }.

(ii) Iđêan sinh bởi các các phần tử của LT (I) là

Định nghĩa 2.1.17 Cho thứ tự đơn thức ” > ” trên k[x 1 , , x n ] và iđêan

I ⊂ k[x 1 , , x n ] Cơ sở Gr¨obner của I ( đối với >) là tập hữu hạn các đa thức

∀f 6= 0 và f ∈ I thì LT (f ) LT (g i ), với i nào đó.

Mệnh đề 2.1.18 ([4], Pro.1, §6, Ch.2) Giả sử G = {g 1 , , g t }là cơ sở Gr¨obner của I ⊂ k[x 1 , , x n ] và f ∈ k[x 1 , , x n ] Khi đó, tồn tại duy nhất r ∈ k[x 1 , , x n ] thỏa mãn hai tính chất:

(i) Không có hạng tử nào của r chia hết cho LT (g 1 ), , LT (g t ).

(ii) Tồn tại g ∈ I sao cho f = g + r. Đặc biệt r là phần dư của mọi phép chia của f cho G.

Chứng minh Sử dụng thuật toán chia ta có: f = a 1 g 1 + a 2 g 2 + + a t g t + r = g + r theo thuật toán chia thì r thỏa mãn (i) và (ii) Để chứng minh tính duy nhất của r, giả sử: f =g + r = g 0 + r 0 với g, g 0 ∈ I

LT (g 1 ), , LT (g t ) theo Bổ đề 2.1.15 ta có: LT (r − r 0 ) LT (g i ) với i nào đó Điều này mâu thuẫn với (i) nên r = r 0 Vậy r là duy nhất.

Hệ quả 2.1.19 ([5], Cor.2, §6, Ch.2) Giả sử G là cơ sở Gr¨obner của iđêan

I ⊂ k[x 1 , , x n ] đối với một thứ tự cho trước và f ∈ k[x 1 , , x n ] Khi đó f ∈ I khi và chỉ khi f G = 0.

Chứng minh (⇒) Giả sử f ∈ I theo Mệnh đề 2.1.18 ta có: f = f + 0 ⇒ r = 0 Vậy f G = 0.

(⇐) Nếu f G = 0 theo Mệnh đề 2.1.18 suy ra f ∈ I. Định nghĩa 2.1.20 Giả sử f, g ∈ k[x 1 , , x n ] và f, g 6= 0 Với thứ tự đơn thức đã cho và giả sử:

LT (f ) = cx α và LT (g) = dx β ∀c, d ∈ k.

Giả sử x γ = BCN N(x α , x β ) Khi đó S− đa thức của f và g được kí hiệu là S(f, g) và được tính theo công thức:

Ví dụ 2.1.21 Cho f 1 = x 3 − 2xy và f 2 = x 2 y − 2y 2 + x ∈Q [x, y] với thứ tự đơn thức x > lex y ta có:

= −x 2 Chú ý 2.1.22 S− đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự đơn thức.

Bổ đề 2.1.23 ([4], Lem.5, §6, Ch.2) Cho s

X i=1 c i f i là tổ hợp tuyến tính với hệ tử trong k của S− đa thức S(f j , f k ) với 1 ≤ j, k ≤ s.

= −2ax 3 y + 4ax 2 y − 2ax + 2ax 3 y − ay

Tiêu chuẩn Buchberger

Định lý 2.1.25 (Tiêu chuẩn Buchberger)([5], §3, Ch.1) Tập G = {g 1 , , g t } là cơ sở Gr¨obner của iđêan I = hg 1 , , g t i khi và chỉ khi

Chứng minh (⇒) Ta có g i , g j ∈ I nên S(g i , g j ) ∈ I Vì vậy theo Hệ quả 2.1.19 suy ra S(g i , g j ) G = 0.

(⇐) Cần chứng minh nếu S(g i , g j ) G = 0, ∀i 6= j thì

Ta có: f ∈ I = hg 1 , , g t i, tồn tại đa thức h i ∈ k[ 1 , , x n ] sao cho f = t

Theo Bổ đề 2.1.11 ta có: multideg(f ) ≤ max(multideg(h i g i )) (2)

Xét đa thức f với biểu thức X i=1 h i g i, trong đó đặtm(i) = multideg(h i g i) và δ = max(m(1), , m(t)) Từ (2) suy ra rằng multideg(f) ≤ δ Mỗi biểu diễn của đa thức f sẽ có một giá trị δ khác nhau Nhờ thứ tự đơn thức được sắp xếp tốt, ta có thể chọn biểu thức (1) của đa thức f để δ đạt giá trị nhỏ nhất Khi đã chọn được δ, ta chứng minh rằng multideg(f) = δ, dẫn đến dấu "=" trong (2) xảy ra, từ đó suy ra LT(f) ∈.

Vì tổng thứ hai và thứ ba của đa thức f có bậc toàn phần nhỏ hơn δ, giả sử rằng multideg(f) < δ, nên bậc toàn phần của tổng thứ nhất cũng phải nhỏ hơn δ.

LT (h i )g i = X m(i)=δ c i x α(i) g i = X m(i)=δ c i f i với f i = x α(i) g i Áp dụng Bổ đề 2.1.23 ta có X m(i)=δ c i f i là tổ hợp tuyến tính của các S− đa thức S(x α(j) g j , x α(k) g k ) với

= x δ−γ jk S(g j , g k ) với γ jk = BCNN (LT (g j ), LT (g k )).

Mà theo Bổ đề 2.1.23 thì S(x α(j) g j , x α(k) g k ) < δ Khi đó tồn tại c jk ∈ k sao cho

Từ giả thiết ta có: S(g i , g j ) G = 0 Áp dụng thuật toán chia, ta viết

X i=1 a ijk g i với a ijk ∈ k[x 1 , , x n ] (4) và do thuật toán chia multideg(a ijk g i ) ≤multideg(S(g j , g k )), ∀i, j, k (5) x δ−γ jk (S(g j , g k )) = x δ−γ jk t

X i=1 b ijk g i với b ijk = x δ−γ jk a ijk (6)

Từ (5) và Bổ đề 2.1.23 ta có: multideg(b ijk g i ) ≤multideg(x δ−γ jk S(g j , g k )) < δ (7) Thay (6) vào (3) ta có:

Thay (8) vào đa thức f ta có: f = t

(vô lý vì δ là giá trị nhỏ nhất với mọi biểu diễn của đa thứcf) Vậy định lí đã được chứng minh.

Chú ý 2.1.26 • Vì S(f, g) = −S(g, f) nên để kiểm tra G = {g 1 , , g t } có phải là cơ sở Gr¨obner hay không, chỉ cần thử các cặp g i , g j với i < j.

• Nếu LT (f) và LT (g) nguyên tố cùng nhau thì S(f, g) = 0.

Để kiểm tra G = {xy² − xz + y, xy − z², x − yz⁴} có phải là cơ sở Gröbner của iđêan sinh bởi các đa thức trên với thứ tự đơn thức x > lex y > lex z hay không, ta đặt: f₁ = xy² − xz + y với LT(f₁) = xy², f₂ = xy − z² với LT(f₂) = xy, và f₃ = x − yz⁴ với LT(f₃) = x.

S(f 1 , f 2 ) = xy 2 xy 2 (xy 2 − xz + y) − xy 2 xy (xy − z 2 )

= −xz + yz 2 + y = −zf 3 − yz 5 + yz 2 + y ⇒ S(f 1 , f 2 ) G 6= 0.

S(f 1 , f 3 ) = xy 2 xy 2 (xy 2 − xz + y) − xy 2 x (x − yz 4 )

S(f 2 , f 3 ) = xy 2 xy (xy − z 2 ) − xy 2 x (x − yz 4 )

Vậy G = {xy 2 − xz + y, xy − z 2 , x − yz 4 } không phải là cơ sở Gr¨obner của iđêan sinh bởi các đa thức trên.

Từ những kiến thức đã trình bày về định nghĩa và tính chất của phần dư trong phép chia theo cơ sở Gr¨obner, chúng ta đã xác định được cách kiểm tra một tập hữu hạn có phải là cơ sở Gr¨obner hay không Vấn đề tiếp theo được đặt ra là làm thế nào để tìm được cơ sở Gr¨obner cho một iđêan cụ thể Đây sẽ là nội dung chính của phần tiếp theo trong bài viết.

Thuật toán Buchberger

Định lý 2.1.28 (Thuật toán Buchberger) cho biết rằng với một lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuyết lý thuy

Output: Cơ sở Gr¨obner G = {g 1 , , g t } của I với F ⊂ G.

Với mỗi cặp {p, q } với p 6= q trong G 0 thì

Chứng minh • Chứng minh G 0 ⊂ I Theo thuật toán: G 0 = G ∪ {S} với

• Chứng minhG 0 là cơ sở Gr¨obner Vì thuật toán kết thúc khiG 0 = Gnghĩa là:

Theo tiêu chuẩn Buchberger suy ra G 0 là cơ sở Gr¨obner.

• Chứng minh thuật toán có hữu hạn bước Theo thuật toán:

Tiếp tục các bước như vậy, ta có chuỗi:

Theo Định lí 2.1.3 thì chuỗi trên sẽ dừng sau một số hữu hạn bước Khi đó:

Tìm cơ sở Gr¨obner của iđêan I với thứ tự đơn thức sau: a) Thứ tự từ điển (x > lex y > lex z). b) Thứ tự từ điển phân bậc (z > grlex y > grlex x).

-Với thứ tự từ điển (x > lex y > lex z). Đặt: f 1 = x − z 4 LT (f 1 ) = x f 2 = y − z 5 LT (f 2 ) = y

Ta thấy LT (f 1 ) và LT (f 2 ) nguyên tố cùng nhau nên S(f 1 , f 2 ) G = 0 Vậy

G = {x − z 4 , y − z 5 } là cơ sở Gr¨obner của của iđêan I.

-Với thứ tự từ điển phân bậc (z > grlex y > grlex x).

−z 5 (−z 5 + y) = −xz + y = S(f 1 , f 2 ) G Đặt: f 3 = −xz + y ⇒ LT (f 3 ) = −xz

−xz (−xz + y) = yz 3 − x 2 = S(f 1 , f 3 ) G Đặt: f 4 = yz 3 − x 2 ⇒ LT (f 4 ) = yz 3

Vậy G = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 } là cơ sở Gr¨obner của I.

Tính toán trong vành tọa độ

Vành tọa độ

Định nghĩa 2.2.1: Cho V là một đa tạp trong không gian k n và I V là lý thuyết iđêan tập điểm của V Khi đó, vành thương k[X]/I V được gọi là vành tọa độ của đa tạp V, ký hiệu là k[V].

1) Nếu V = k n thì I V = 0 nên ta có vành tọa độ k[V ] ∼ = k[X]/0 ∼ = k[X].

2) Nếu V = {a = (a 1 , , a n )/a 1 , , a n ∈ k} thì I V = hx 1 − a 1 , , x n − a n i Suy ra vành tọa độ k[V ] ∼ = k[X]/I V ∼ = k.

3) Nếu V là tập các điểm trên parabol x 2 − y = 0 thì ta có vành tọa độ k[V ] ∼ = k[x, y]/ x 2 − y ∼

4) NếuV = {(0, , 0, a d+1 , , a n )/a d+1 , , a n ∈ k}thìI V = hx 1 , , x d inên vành tọa độ k[V ] ∼ = k[X]/ hx 1 , , x d i ∼ = k[x d+1 , , x n ].

Trước khi trình bày cách tính số chiều của vành tọa độ thì chúng tôi nhắc lại về thuật toán chia trên k[x 1 , , x n ]: Cho quan hệ thứ tự trên k[x 1 , , x n ] và

∀f ∈ k[x 1 , , x n ] : f = h 1 g 1 + h 2 g 2 + + h t g t + f G (2.1) trong đó f G là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức x α ∈ /

G là cơ sở Gr¨obner nên f ∈ I khi và chỉ khi f G = 0 và phần dư được xác định duy nhất với mọi f Điều này có nghĩa: f G = g G ⇔ f − g ∈ I (2.2)

Vì đa thức đóng với phép cộng và phép nhân nên khi cho f, g ∈ k[x 1 , , x n ] ta có: f G + g G = f + g G f G g G

[f] = f + I = {f + h : h ∈ I} và tính chất quan trọng

Suy ra: f G ∈ [f ] Từ (2.2) và (2.3) cho tương ứng 1 : 1 phần dư←→ lớp f G ←→ [f ].

Khi đó, với tương ứng trên ta có: f G + g G ←→ [f] + [g] f G g G

Khi cộng và nhân các phần tử của k[x₁, , xₙ]/I với hằng số (lớp [c] với c ∈ k), ta nhận thấy rằng k[x₁, , xₙ]/I có cấu trúc không gian vectơ trên trường k Do đó, vành thương này cũng được coi là một k-đại số Đại số k[x₁, , xₙ]/I được ký hiệu là A Phần dư được đề cập ở trên là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức xᵃ ∈ /.

Từ Mệnh đề 2.2.3, ta nhận thấy rằng tập hợp các đơn thức trong A là độc lập tuyến tính, vì vậy chúng có thể được coi là cơ sở của A Nói cách khác, các đơn thức này tạo thành một hệ thống vững chắc trong không gian A.

} tạo thành cơ cở của A, các phần tử của B gọi là đơn thức cơ sở.

Vành tọa độ có cấu trúc của không gian vectơ và chiều được ký hiệu là dim k[V] Để tính số chiều của vành tọa độ, ta áp dụng công thức dim k[x₁, , xₙ]/I = dim k[x₁, , xₙ].

Tính số chiều của vành tọa độ

Mệnh đề 2.2.3 ([4], Pro.1, §3, Ch.4) Cho thứ tự đơn thức trên k[x 1 , , x n ] và

(i) Với mọi đa thức f ∈ k[x 1 , , x n ], tồn tại duy nhất r sao cho f ≡ r mod I, trong đó r là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức nằm trong phần bù của

(ii) Nếu X α c α x α ≡ 0 mod I thì c α = 0, ∀α, trong đó x α ∈ /

Giả sử G là cơ sở Gr¨obner của I và f ∈ k[x1, , xn] Theo thuật toán chia, ta có r = f G thỏa mãn f = q + r, với q ∈ I Điều này dẫn đến f - r = q ∈ I, từ đó suy ra f ≡ r mod I Theo thuật toán chia, r cũng là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức xα ∈ /.

LT (I) và theo Mệnh đề 2.1.18 thì r là duy nhất.

⊂ R [x, y ] với thứ tự đơn thức x > grlex y, ta tính đượcG = {x 3 y 2 − y, x 4 − y 2 , xy 3 − x 2 , y 4 − xy}là cơ sở Gr¨obner của I Nên

Theo Mệnh đề 2.2.3 thì f G = r là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức

1, x, x 2 , x 3 , y, xy, x 2 y, x 3 y, y 2 , xy 2 , x 2 y 2 , y 3 nằm trong phần bù của

Do đó {1, x, x 2 , x 3 , y, xy, x 2 y, x 3 y, y 2 , xy 2 , x 2 y 2 , y 3 } là cơ sở của không gian vectơ Vậy dimR [x, y]/I = dim R [x, y]/

⊂ R [x, y] với thứ tự đơn thức y > lex x, ta tính đượcG = {y − x 7 , x 12 − x 2 }là cơ sở Gr¨obner củaI.Nên

Theo Mệnh đề 2.2.3thì f G = r là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức1, x, x 2 , x 3 , , x 11 nằm trong phần bù của

Do đó {1, x, x 2 , x 3 , , x 11 } là cơ sở của không gian vectơ Vậy dimR [x, y]/I = dim R [x, y]/

Thứ tự đơn thức khác nhau trong vành tọa độ R [x, y]/I sẽ dẫn đến các cơ sở khác nhau Theo định lý 2.2.5, khi cố định thứ tự đơn thức trong C [x1, , xn], chúng ta có thể nhận diện được sự biến đổi trong cấu trúc của vành tọa độ này.

V = V (I) là đa tạp trong C n Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(ii) Với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại m i ≥ 0 sao cho x m i i ∈

(iii) Giả sử G là cơ sở Gr¨obner Khi đó, với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại m i ≥ 0 sao cho x m i i = LM (g i ), với g ∈ G nào đó.

(iv) C − không gian vectơ S = Span(x α /x α ∈ /

(v) C − không gian vectơ C [x 1 , , x n ]/I có chiều hữu hạn.

⊂ C [x, y] với thứ tự đơn thức x > lex y thì G = {x 2 − y 2 − 1} là cơ sở Gr¨obner của I nên

Không gian vectơ C[x, y]/I có chiều vô hạn, do đó xα ∈ {1, x, y, y², } Theo Định lý (2.2.5), số chiều của vành tọa độ C[x, y]/I cũng là vô hạn, vì V(I) là tập hợp vô hạn điểm.

Ví dụ 2.2.7 Cho thứ tự đơn thức x > grevlex y và cho

Vậy G là cơ sở Gr¨obner của I = hGi ⊂ C [x, y] Khi đó:

Các đơn thức {1, x, y, xy, y²} tạo thành cơ sở của không gian vectơ C[x, y]/I trên C Trong cấu trúc của vành thương A = C[x, y]/I, phép cộng được thực hiện như phép cộng vectơ thông thường khi biểu diễn phần tử của A theo phần tử trong cơ sở B Phép nhân trong A được xác định bởi bảng tương ứng.

1 1 x y xy y 2 x x α xy β x y y xy y 2 x y xy xy β x α xy y 2 y 2 x y xy y 2 với α = − 3xy

Ví dụ này cho thấy A có chiều hữu hạn như không gian vectơ trên C. Định lý 2.2.8 (Định lí hữu hạn)([5], §2, Ch.2) Cho k ⊂ C là một trường và

I ⊂ k[x 1 , , x n ] là iđêan Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) Đại số A = k[x 1 , , x n ]/I là hữu hạn chiều.

(ii) Đa tạp V (I) ⊂C n là tập hữu hạn.

(iii) Nếu G là cơ sở Gr¨obner của I thì với mọi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại m i ≥ 0 sao cho x m i i = LT (g) với g ∈ G.

Iđêan thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương trên gọi là iđêan chiều không Do đó iđêan ở ví dụ 2.2.7 trên chính là iđêan chiều không.

Từ định lí trên ta có thể xác định số điểm nhiều nhất củaV (I )vớiI là iđêan chiều không thông qua hệ quả sau:

Hệ quả 2.2.9 ([4], Cor.7, Ch.4) Giả sử I ⊂C [x 1 , , x n ] là iđêan chiều không, với mỗi i, x m i i ∈

, trong đó m i là lũy thừa nhỏ nhất Khi đó số điểm nhiều nhất của V (I) là m 1 m 2 m n

Ví dụ 2.2.10 Từ Ví dụ2.2.4ta có:

Theo Hệ quả2.2.9suy ra: m 1 = 1; m 2 = 12 Do đo số điểm nhiều nhất của V (I) là m 1 m 2 = 12 điểm.

Dễ dàng tìm được số điểm của V (I) là 12 điểm, thật vậy:

⊂ C [x, y] với thứ tự đơn thức x > lex y ta tính được

4 y là cơ sở Gr¨obner của I nên

Theo Hệ quả 2.2.9 suy ra: m 1 = 2; m 2 = 3 Do đó số điểm nhiều nhất của V (I) là m 1 m 2 = 6 điểm.

Tuy nhiên dễ dàng chỉ ra V (I) chỉ có 4 điểm, thật vậy:

Mệnh đề 2.2.12 ([4], Pr0.8, Ch.4) Giả sử I ⊂ C [x 1 , , x n ] là iđêan sao cho

V = V (I) là tập hữu hạn Khi đó:

(i) Số điểm nhiều nhất của V là dimC [x 1 , , x n ]/I

(ii) I là iđêan căn khi và chỉ khi số điểm của V chính là dimC [x 1 , , x n ]/I

Từ Ví dụ 2.2.11 thì dimC [x, y]/I = dim C [x, y ]/

V (I)cũng là 4 Vì vậy áp dụng Mệnh đề 2.2.12 thìI = x 2 + y − 1, xy − 2y 2 + 2y là iđêan căn.

2.3 Tính toán trên iđêan chiều không.

2.3.1 Vành địa phương. Định nghĩa 2.3.1 Vành địa phương là vành chỉ có một iđêan cực đại.

Mệnh đề 2.3.2 ([6], Pro.1.2, Ch.1) Cho R là vành và M ( R là iđêan Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) R là vành địa phương với iđêan cực đại M.

(ii) Mọi phần tử của R\M đều khả nghịch trong R.

(iii) M là i đêan cực đại và mọi phần tử có dạng 1 + m với m ∈ M khả nghịch trong R.

(1) Cho R là miền nguyên và P ⊂ R là iđêan nguyên tố Địa phương hóa của

R tại P được kí hiệu là R P là vành chứa R

, là vành con của trường các hàm hữu tỷ Khi đó, R P là vành địa phương với iđêan cực đại M = n p s : p ∈ P, s / ∈ P o.

2) Z(p) =n m n ∈Q ; m, n ∈ Z với p n o⊂Q là vành địa phương với iđêan cực đại I = hpi = n mp n với p n o (p : nguyên tố).

3) Tập các hàm hữu tỉ f g của x 1 , , x n với g(p) 6= 0 tại p = (0, , 0) kí hiệu là k[x 1 , , x n ] hx 1 , ,x n i là vành địa phương với iđêan cực đại M = hx 1 , , x n i

4) Cho p = (a 1 , , a n ) khi đó k[x 1 , , x n ] M = f g , g(p) 6= 0 là vành địa phương với iđêan cực đại tại p là M = hx 1 − a 1 , , x n − a n i

2.3.2 Bội và tính bội của một điểm trên iđêan chiều không trong vành địa phương. Định nghĩa 2.3.4 Cho I là iđêan chiều không trênk[x 1 , , x n ] nên V (I) là tập hữu hạn các điểm trên k n và (0, , 0) là một điểm trong số đó Khi đó bội của

(0, , 0) trên V (I) được tính theo công thức: dim k k[x 1 , , x n ] hx 1 , ,x n i /Ik[x 1 , , x n ] hx 1 , ,x n i

Tổng quát, nếu p = (a 1 , , a n ) ∈ V (I) thì bội của p kí hiệu là m(p) được tính theo công thức: dim k[x 1 , , x n ] M /Ik[x 1 , , x n ] M trong đó M = I {p}

= hx 1 − a 1 , , x n − a n i là iđêan cực đại tại p và k[x 1 , , x n ] M = f g , g(p) 6= 0

Khi đó bội của 2 điểm trên V (I) được tính như sau: Ta có: x 2 + x 3 , y 2

, nên bội số của (0, 0) ∈ V (I) là: dim k k[x, y] hx,yi /Ik[x, y] hx,yi = dim k[x, y] hx,yi / hx 2 ,y 2 i = 4. Đặt:

Bội số của (−1, 0) ∈ V (I) là: dim k[x, y] hx+1,yi /Ik[x, y] hx+1,yi = dim k[X, Y ] hX,Y i / hX,Y 2 i = 2.

Việc xác định bội theo định nghĩa của các điểm trong V (I) trở nên khó khăn khi các ý tưởng phức tạp hơn xuất hiện Do đó, cần có phương pháp tìm kiếm khác thuận tiện hơn Trước khi giới thiệu phương pháp này, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề và định lý liên quan.

Bổ đề 2.3.6 ([5], Lem.2.3, Ch.4) Cho M i = I({p i }) ⊂ k[x 1 , x n ] là iđêan cực đại tại p i và Θ i = k[x 1 , , x n ] M i = f g , g(p i ) 6= 0

Khi đó: a) Tồn tại số nguyên d ≥ 1 sao cho ∩ m i=1 M i d

⊂ I. b) Có các đa thức e i ∈ k[x 1 , , x n ], i = 1, m sao cho n

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện liên quan đến các phần tử trong một vành đa thức k[x₁, , xₙ] và lý thuyết về các iđêan Cụ thể, nếu eᵢ ≡ 1 mod I và eᵢ eⱼ ≡ 0 mod I với i ≠ j, thì e²ᵢ ≡ eᵢ mod I Hơn nữa, eᵢ thuộc IΘᵢ nếu i ≠ j và eᵢ - 1 thuộc IΘᵢ cho mọi i Theo Định lý 2.3.7, với I là iđêan chiều không trên k[x₁, , xₙ] và V(I) = {p₁, , pₘ}, thì k[x₁, , xₙ]/I đẳng cấu với tích trực tiếp của các thành phần.

Mệnh đề 2.3.8 ([5], Pro.2.7, Ch.4) Cho I là iđêan chiều không trênk[x 1 , , x n ]. Nếu f ∈ k[x 1 , , x n ] thì det(m f − uI) = (−1) d Y p∈V (I)

Mệnh đề 2.3.8 cung cấp một phương pháp để tính bội của các điểm trong V(I) Để áp dụng, ta chọn đa thức f sao cho f(p1) = = f(pm) với p1, , pm ∈ V(I), sau đó tính ma trận mf đối với cơ sở đơn thức của k[x1, , xn]/I và xác định det(mf - uI) Nếu det(mf - uI) = h1^m1 ht^mt, trong đó h1, , ht là các đa thức bất khả quy, thì theo Mệnh đề 2.3.8, số mũ mi chính là bội của điểm pi với i = 1, t.

⊂C [x, y] với thứ tự đơn thức x > lex y Từ Ví dụ 2.2.11 ta có:

4 y là cơ sở Gr¨obner của I và

Từ đó ta có x α ∈ {1, x, y, xy} với x α ∈ /

Do đó dimC [x, y]/I = 4 Tiếp theo, ta đi tính phép nhân trong C [x, y]/I để tìm ma trận m f

Suy ra ma trận m x là m x =

Gọi m 1 , m 2 , m 3 , m 4 lần lượt là bội của điểm p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ∈ V (I) Khi đó áp dụng Mệnh đề 2.3.8 ta có: det(m x − uI) = (−1) d Y p∈V (I)

2 ) m 4 Dựa vào Mệnh đề 2.3.8 ta sẽ thấy được m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = 1 Vậy các điểm thuộc V (I) đều có bội 1.

⊂ C [x, y] với thứ tự đơn thức x > grlex y ta có G = {y 2 − 3, −x 3 + 9x + 6y} là cơ sở Gr¨obner của I Do đó

Phép nhân trong C [x, y]/I được cho bởi bảng sau:

1 1 x y x 2 xy x 2 y x x x 2 xy α x 2 y β y y xy 3 x 2 y 3x 3x 2 x 2 x 2 α x 2 y γ β δ xy xy x 2 y 3x β 3x 2 ε x 2 y x 2 y β 3x 2 δ y 2 à trong đó α = 9x + 6y β = 18 + 9xy γ = 6xy + 9x 2 δ = 18x + 9x 2 y ε = 27x + 18y à = 27x 2 + 18xy.

Từ bảng nhân trên ta có thể tìm được ma trận m x m x =

Tiếp theo ta đi tính các điểm thuộc V (I) như sau:

Từ đó suy ra các điểm thuộc V (I) là

Gọi m 1 , m 2 , m 3 , m 4 lần lượt là bội của điểm p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ∈ V (I) Khi đó áp dụng Mệnh đề 2.3.8 ta có: det(m x − uI) = (−1) d Y p∈V (I)

Dựa vào Mệnh đề 2.3.8 ta sẽ thấy được m 1 = m 2 = 2; m 3 = m 4 = 1 Vậy các điểm (− √

Trong luận văn này chúng tôi đã đạt được các kết quả như sau:

1 Tổng hợp, trích dẫn một cách có hệ thống một số định nghĩa, định lí, mệnh đề, liên quan đến cơ sở Gr¨obner, vành tọa độ, vành địa phương cũng như cách tính số chiều của vành tọa độ, tính bội của các điểm.

2 Đưa ra được một số ví dụ minh họa về cơ sở Gr¨obner, tính số chiều của vành tọa độ và tính bội của các điểm thuộc đa tạp.

Mặc dù đã cố gắng trong việc thực hiện, nhưng do kiến thức còn hạn chế, nội dung của luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và hỗ trợ từ quý thầy cô và các bạn để hoàn thiện hơn nữa.

Xin chân thành cảm ơn!

[1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính, cơ sở Gr¨obner, Nhà xuất bản ĐH Quốc Gia, Hà Nội.

[2] Hoàng Xuân Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo Dục.

[3] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn đại số giao hoán và hình học đại số, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ.

[4] David A.Cox, John Little, Donal O’Shea Ideals (2000), Ideals, Varieties, and Algorithms, An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, (Third edition) Springer.

[5] David A.Cox, John Little, Donal O’Shea (2000),Using algebraic Geometry (Second edition), Springer.

[6] Siegfried Bosch (2013), Algebraic Geometry and Commutative Algebra,Springer.