Đại số Lie và đồng cấu
Định nghĩa 1.1.1 Cho glà một không gian vectơ trên trường K Khi đó, g được gọi là đại số Lie trênK nếu tồn tại phép toán
(1) [ , ] tuyến tính theo từng biến;
(3) [ , ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là
Số chiều của đại số Lie g, ký hiệu là dim K(g), được xác định bởi số chiều của không gian vectơ g Đại số Lie g được coi là giao hoán khi tích Lie [A, B] = 0 với mọi A, B thuộc g.
Ví dụ 1.1.2 Xét không gian vectơ 3 chiều thực g=
Xác định [A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈g Khi đó g là đại số Lie 3 chiều thực, kí hiệu g=so(3).
Đại số kết hợp g = End(V) của các tự đồng cấu của không gian vectơ V được ký hiệu là g = gl(V) và là một đại số Lie, với tích Lie được xác định bởi [f, g] = f ◦ g − g ◦ f, với mọi f, g thuộc g Tương tự, đại số kết hợp g = Mat(n,K) của các ma trận vuông cấp n trên trường K cũng là một đại số Lie, ký hiệu là g = gl(n,K), với tích Lie được xác định theo cách tương tự.
[A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈g. Định nghĩa 1.1.4 Cho g là đại số Lie trên trường K và tập con h⊂g Khi đó, h được gọi là đại số Lie con của g nếu:
(1) h là không gian vectơ con của g;
(2) h bảo toàn tích Lie, tức là ∀A, B ∈h, ta có [A, B ] ∈h.
Khi đó, điều kiện (2) có dạng [h,h] ⊂h.
Xét các tập con của đại số Lie g = gl(n,R), trong đó h = sl(n,R) là tập hợp các ma trận A thuộc g với điều kiện Tr A = 0, và k = so(n) là tập hợp các ma trận A thuộc g thỏa mãn A^T = -A, với A^T là ma trận chuyển vị của A Như vậy, h và k là các đại số Lie con của g.
Ví dụ 1.1.6 Cho g là một đại số Lie trên trường K và a là một không gian vectơ con của g Khi đó:
Z g (a) = {X ∈g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈a} là một đại số Lie con của g, gọi là tâm hóa của a trong g. Định nghĩa 1.1.7 Cho đại số Lie g và tập con a⊂g Ta gọi a là iđêan của g nếu:
(1) a là không gian vectơ con của g;
Ví dụ 1.1.8 Cho g là một đại số Lie trên trường K Khi đó,
Z(g) = {X ∈g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈g} là một iđêan của g, gọi là tâm của g.
Từ định nghĩa của iđêan ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.9 xác định rằng nếu a và b là các iđêan của đại số Lie g, thì các tập hợp a∩b, a+b, và [a,b] cũng là các iđêan của g, trong đó [g,g] luôn là một iđêan của g Định nghĩa 1.1.10 nêu rõ rằng g là đại số Lie trên trường K và a là một iđêan thuộc g.
Khi đó, không gian vectơ thương g/a = {X +a | X ∈ g} là một đại số Lie, được gọi là đại số Lie thương với tích Lie
[, ] :g/a×g/a−→g/a (X +a, Y +a) 7−→ [X, Y ] +a. Định nghĩa 1.1.11 Cho g,h là các đại số Lie trên trường K Khi đó, ánh xạϕ :g→h là được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu:
(1) ϕ là ánh xạ tuyến tính;
Đồng cấu ϕ bảo toàn tích Lie, nghĩa là ϕ([A, B]) = [ϕ(A), ϕ(B)] cho mọi A, B thuộc đại số Lie g Đồng cấu ϕ được coi là đơn, toàn hoặc đẳng cấu nếu nó là ánh xạ đơn, toàn hoặc song ánh Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với đại số h, ký hiệu g ∼ = h, nếu tồn tại một đồng cấu ϕ: g → h là đẳng cấu đại số Lie.
Khi đó, Ker ϕ là một iđêan của g và Im ϕlà đại số Lie con của h.
Ví dụ 1.1.12 Cho g là đại số Lie, h là đại số Lie con của g và a là iđêan củag Khi đó, i :h−→g
X 7−→ X là một đơn cấu đại số Lie, gọi là phép nhúng chính tắc và p :g−→g/a
X 7−→ X +a là một toàn cấu đại số Lie, gọi là phép chiếu chính tắc.
Ví dụ 1.1.13 Cho g là đại số Lie trên trường K Khi đó, ad : g−→gl(g) = End K (g)
Y 7−→ ad X (Y ) = [X, Y ] là đồng cấu đại số Lie Hơn nữa, Ker ad = Z(g).
Định lý 1.1.14 cho thấy rằng nếu ϕ : g → h là một đồng cấu đại số Lie và a là một iđêan của g nằm trong Ker ϕ, thì tồn tại một đồng cấu duy nhất ϕ : g/a → h sao cho ϕ = ϕ ◦ p, với p : g → g/a là toàn cấu chính tắc.
Biểu diễn liên hợp và đại số Lie lũy linh
Biểu diễn liên hợp của đại số Lie được định nghĩa như sau: Cho V là một không gian vectơ và g là đại số Lie trên trường K, một biểu diễn của g trong V là một đồng cấu đại số Lie π : g → gl(V ), trong đó gl(V ) là đại số Lie các tự đồng cấu tuyến tính của V Theo định nghĩa tích Lie [ , ] trong gl(V ), π được coi là biểu diễn của g nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(2) π([X, Y ]) = π(X)π(Y ) − π(Y )π(X), ∀X, Y ∈g. Định nghĩa 1.2.3 Cho g là đại số Lie trên trường K Khi đó, đồng cấu ad : g−→gl(g) = End K (g)
Y 7−→ ad X (Y ) = [X, Y ] là một biểu diễn và được gọi là biểu diễn liên hợp của g.
Tập hợp các biểu diễn liên hợp của một đại số Lie cũng là đại số Lie Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.4 Ký hiệu adg = {ad X | X ∈ g} Trên adg ta định nghĩa phép toán
Trong đại số Lie, công thức [ad X, ad Y] = ad X ◦ ad Y − ad Y ◦ ad X được áp dụng cho mọi phần tử X, Y thuộc không gian g Điều này cho thấy rằng adg là một đại số Lie, đồng thời adg cũng là một đại số Lie con của gl(g) Để chứng minh điều này, ta xem xét mọi phần tử X, Y, Z thuộc g và mọi số m, n thuộc K.
• [ , ] tuyến tính theo từng biến vì ta có:
[m ad X +n ad Y , ad Z ] = (m ad X +n ad Y ) ◦ ad Z − ad Z ◦(m ad X +n ad Y )
= m(ad X ◦ ad Z − ad Z ◦ ad X ) + n(ad Y ◦ ad Z − ad Z ◦ ad Y )
[ad X , m ad Y +n ad Z ] = m[ad X , ad Y ] + n[ad X , ad Z ].
• [ad X , ad X ] = ad X ◦ ad X − ad X ◦ ad X = 0.
• [ , ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi vì ta có:
[ad X , [ad Y , ad Z ]] = [ad X , ad Y ◦ ad Z − ad Z ◦ ad Y ]
= ad X ◦ ad Y ◦ ad Z − ad Y ◦ ad Z ◦ ad X [ad Y , [ad Z , ad X ]] = [ad Y , ad Z ◦ ad X − ad X ◦ ad Z ]
= ad Y ◦ ad Z ◦ ad X − ad Z ◦ ad X ◦ ad Y [ad Z , [ad X , ad Y ]] = [ad Z , ad X ◦ ad Y − ad Y ◦ ad X ]
= ad Z ◦ ad X ◦ ad Y − ad X ◦ ad Y ◦ ad Z Suy ra [ad X , [ad Y , ad Z ]] + [ad Y , [ad Z , ad X ]] + [ad Z , [ad X , ad Y ]] = 0.
Vậy adg là một đại số Lie.
Ví dụ 1.2.5 Ta sẽ tìm biểu diễn liên hợp của đại số Lie g=so(3) =
Ta có g là một đại số Lie 3 chiều Chọn một cơ sở {E 1 , E 2 , E 3 } củag như sau: (
= −α 2 E 1 + α 1 E 2 Suy ra ad X có thể được đồng nhất với ma trận: ad X =
1.2.2 Đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.2.6 Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K. Khi đó, ta định nghĩa g0 =g,g1 = [g0 ,g],g2 = [g1 ,g], ,g k = [g k−1 ,g],
Dãy giảm g 0 ⊇g 1 ⊇g 2 ⊇ ⊇g k ⊇ được gọi là chuỗi tâm dưới của g. Đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại k ∈N sao cho g k = 0.
Kết quả dưới đây cho chúng ta các điều kiện cần và đủ của một đại số Lie lũy linh.
Mệnh đề 1.2.7 khẳng định rằng, với g là đại số Lie trên trường K, các điều kiện sau đây là tương đương: i) g là đại số Lie lũy linh; ii) tồn tại một số nguyên dương l thỏa mãn.
[[ [[X 0 , X 1 ], X 2 ] , X l−1 , X l ] = 0, ∀X 0 , X 1 , , X l ∈g. iii) Tồn tại một dãy giảm C 0 g, C 1 g, , C l g các iđêan của g thỏa mãn
Ví dụ 1.2.8 Đại số Lie Heisenberg (3 chiều) g=
# a, b, c ∈R là đại số Lie lũy linh.
Chứng minh Thật vậy, xét các phần tử
Vậy g là đại số Lie lũy linh.
Mệnh đề 1.2.9 Cho g là đại số Lie lũy linh Khi đó, các đại số Lie con và đại số Lie thương của g đều lũy linh.
Mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.2.9 nói chung không đúng Tuy nhiên, với trường hợp tâm của đại số Lieg ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.2.10 chỉ ra rằng, đối với đại số Lie lũy linh g, nếu g khác 0 thì trung tâm Z(g) cũng khác 0, và nếu g/Z(g) là đại số Lie lũy linh thì g cũng sẽ là đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.2.11 nêu rõ rằng một tự đồng cấu f thuộc End V được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số nguyên dương n sao cho f^n = 0 Định lý Engel khẳng định mối liên hệ giữa đại số Lie của các tự đồng cấu lũy linh của V và đại số Lie của các ma trận tam giác trên với đường chéo bằng không.
Định lý 1.2.12, hay còn gọi là định lý Engel, áp dụng cho không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường K và đại số Lie g gồm các tự đồng cấu lũy linh của V Theo định lý này, g là lũy linh, tồn tại phần tử v khác không trong V sao cho với mọi X thuộc g, X(v) = 0, và có một cơ sở của V sao cho ma trận của X thuộc g có dạng tam giác trên ngặt.
Mệnh đề sau cho thấy vai trò của biểu diễn liên hợp trong việc xác định tính lũy linh của đại số Lie.
Mệnh đề 1.2.13 Cho g là đại số Lie Xét adg= {ad X | X ∈g} Khi đó, g là đại số Lie lũy linh nếu và chỉ nếu đại số Lie adg là lũy linh.
Từ định lí Engel và mệnh đề trên ta thu được một điều kiện cần và đủ cho các đại số Lie lũy linh.
Mệnh đề 1.2.14 Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, g là lũy linh nếu và chỉ nếu ad X lũy linh với mọi X ∈g.
Ví dụ 1.2.15. g=sl(2,R ) = a c −a b a, b, c ∈R không phải là đại số Lie lũy linh.
1 0 là cơ sở của g Khi đó
Với mọi X = aE + bF + cG ∈g, ∀a, b, c ∈R, ta có ad X (E) = [X, E] = −2bF + 2cG. ad X (F ) = [X, F ] = −cE + 2aF. ad X (G) = [X, G] = bE − 2aG.
Ma trận của ad X đối với cơ sở {E, F, G} là
Vì A k 6= 0, ∀k ∈K nên A không lũy linh.
Từ đó ad X không lũy linh Vậy g không lũy linh.
Dạng Killing của đại số Lie
Định nghĩa 1.3.1 Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K Khi đó, ánh xạ
B :g×g−→K (X, Y ) 7−→ B(X, Y ) = Tr(ad X ◦ ad Y ) là một dạng song tuyến tính trên g và được gọi là dạng Killing của g.
Từ định nghĩa của dạng Killing ta thu được một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.3.2 Với mọi X, Y, Z ∈g, ∀α ∈K ta có
Mệnh đề 1.3.3 Với mọi X, Y, Z ∈g ta có
Mệnh đề 1.3.4 Cho g là một đại số Lie trên trường K và a là một iđêan bất kỳ của đại số Lie g Đặt a ⊥ = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a} Khi đó, a ⊥ là một iđêan của g.
Định nghĩa 1.3.5 nêu rõ rằng với đại số Lie hữu hạn chiều g và dạng Killing B tương ứng, tập hợp rad B được xác định là tập các phần tử X thuộc g sao cho B(X, Y) = 0 với mọi Y thuộc g Để biết thêm chi tiết về cách chứng minh các mệnh đề liên quan, bạn có thể tham khảo tài liệu [1].
Ta có rad B là một iđêan của g Dạng Killing B được gọi là không suy biến nếurad B = {0}.
Một tính chất quan trọng của dạng Killing là không thay đổi giá trị qua mọi đẳng cấu đại số Lie Điều này thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.6 Mọi đẳng cấu đại số Lie ϕ : g → g đều bảo toàn dạng Killing, tức là với mọi X, Y ∈g, ta có
Đại số Lie giải được
Định nghĩa 1.4.1 Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K. Đặt g 0 =g,g 1 = [g,g], ,g k+1 = [g k ,g k ],
Ta có một dãy giảm g 0 ⊃g 1 ⊃ ⊃g k ⊃ được gọi là chuỗi hoán tử của g.
Khi đó, g được gọi là giải được nếu ∃k ∈N : g k = {0}.
Ví dụ 1.4.2 Xét đại số Lie 3 chiều g= t 0 x
! t, x, y ∈R như là đại số Lie con củagl(3,R ) Ta có: g 0 =g g 1 = [g,g] =
Suy ra g là đại số Lie giải được.
Bằng phép chứng minh qui nạp ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.4.3 Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều Với mỗi k ∈ N ta đều có g k ⊆g k
Từ Mệnh đề 1.4.3 ta suy ra rằng: Nếu glà đại số Lie lũy linh thì ggiải được. Mệnh đề 1.4.4 Cho ϕ :g→h là một toàn cấu đại số Lie Khi đó, ϕ(g k ) = h k , ∀k ∈N
Hệ quả 1.4.5 Nếu g là đại số Lie giải được và ϕ : g →h là một đồng cấu đại số Lie thì ϕ(g) cũng là đại số Lie giải được.
Các mệnh đề sau cho ta một số tính chất của đại số Lie giải được.
Mệnh đề 1.4.6 Cho g là đại số lie giải được Khi đó, các đại số Lie con, đại số Lie thương của g là giải được.
Mệnh đề 1.4.7 Cho g là đại số Lie Nếu a là một iđêan giải được của g sao cho g/a giải được thì g cũng giải được.
Mệnh đề 1.4.8 khẳng định rằng với đại số Lie hữu hạn chiều g, tồn tại duy nhất một iđêan giải được R trong g, gọi là căn của g, ký hiệu R = radg Định lý 1.4.9, hay Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất, cung cấp tiêu chuẩn để xác định tính giải được của g Cụ thể, g là đại số Lie giải được nếu và chỉ nếu với mọi X ∈ g và mọi Y ∈ [g, g], ta có B(X, Y) = 0 hoặc B(g, [g, g]) = 0 Phép chứng minh cho định lý này có thể tham khảo trong tài liệu [3, Theorem 1.43].
Ví dụ 1.4.10 Xét đại số Lie g=
Ta có g là một đại số Lie 3 chiều.
#) là cơ sở của g Khi đó
X = αE + βF + γG , Y = aE + bF + cG, với α, β, γ, a, b, c ∈R Ta có: ad X (E) = −γF , ad X (F ) = 0 , ad X (G) = αF.
Ma trận của ad X đối với cơ sở {E, F, G} là
Tương tự ta có: ad Y (E) = −cF , ad Y (F ) = 0 , ad Y (G) = aF.
Ma trận của ad Y đối với cơ sở {E, F, G} là
Khi đó, ma trận của ad X ◦ ad Y đối với cơ sở {E, F, G} là
Suy ra dạng Killing của g:
Vì B(X, Y ) = 0, ∀X, Y ∈g nên g là đại số Lie giải được.
TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE17 2.1 Đạo hàm của đại số Lie
Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie
Mệnh đề 2.2.1 Cho g và h là các đại số Lie trên trường K.
Giả sử τ :g→ Derh là một đồng cấu đại số Lie Đặt f=g×h là tích trực tiếp của các không gian vectơ g và h Khi đó, f trở thành một đại số Lie trên trường K, với tích Lie được xác định theo cách cụ thể.
Chứng minh Thật vậy, đồng nhất phần tử A ∈ g với phần tử (A, 0) ∈ f và phần tử X ∈h với phần tử (0, X ) ∈f.
Vì [ , ] g , [ , ] h tuyến tính theo từng biến và τ, τ (A), với A ∈g, là những ánh xạ tuyến tính nên [ , ] f tuyến tính theo từng biến.
Vì [ , ] f tuyến tính theo từng biến nên để chứng minh đồng nhất thức Jacobi cho ba phần tử bất kỳ thuộc f ta sẽ quy về các trường hợp sau:
(1) Nếu cả ba phần tử này đều thuộcg hoặc cả ba đều thuộc h thì đồng nhất thức Jacobi hiển nhiên đúng.
(2) Nếu hai phần tử A, B ∈g và một phần tử X ∈h thì
(3) Nếu một phần tử A ∈g và hai phần tử X, Y ∈h thì
Vậy [ , ] f là một tích Lie.
Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie g và h, ký hiệu g⊕ τ h, được định nghĩa là một đại số Lie trên không gian vectơ g×h Định nghĩa này dựa trên Mệnh đề 2.2.1 và sử dụng tích Lie để xác định cấu trúc của đại số Lie mới.
1) Trong trường hợp τ = 0 thì tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie g và h quy về tổng trực tiếp của hai đại số Lie g và h với tích Lie:
2) Nếu τ = ad thì hoán tử của tổng nửa trực tiếp g⊕ ad a có dạng
Cho không gian vectơ V trên trường K với dim V = n, ta xem V là đại số Lie giao hoán với tích Lie tầm thường Có thể xây dựng tổng nửa trực tiếp gl(n,K) ⊕ τ V, trong đó τ ∈ Hom(gl(n,K), Der V) đại diện cho tác động cảm sinh của gl(n,K) lên V, được xác định bởi τ(A)v = Av cho mọi A ∈ gl(n,K) và v ∈ V.
Với mọi A ∈gl(n,K ) và với mọi u, v ∈ V thì điều kiện Leibniz được thỏa mãn, tức là
Hoán tử của gl(n,K ) ⊕ τ V cho bởi
Phép nhân của tổng nửa trực tiếp được định nghĩa như sau
Ví dụ 2.2.5 Xét đại số Euclid e(3) có dạng e(3) =
Dựa vào đẳng cấu giữa đại số Lie gl(4,R ) với R 4×4 ta có các đẳng cấu sau ( u ∈R 3 : u =
Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian e(3) được biểu diễn dưới dạng so(3) ⊕ τ R^3, trong đó hàm τ: so(3) → DerR^3 được xác định bởi τ(A)X = AX cho mọi A thuộc so(3) và mọi X thuộc R^3 Điều này được hiểu là phép nhân hai vectơ trong R^3 thông qua biểu diễn ma trận của chúng trong không gian R^4×4.
Do đó τ (A)[u, v] = [τ(A), v] + [u, τ (A)v], ∀A, B ∈so(3), ∀u, v ∈R 3 và theo định nghĩa, hoán tử của tổng nửa trực tiếp so(3) ⊕ τ R 3 có dạng
Các tính chất của tổng nửa trực tiếp
Trong phần 2.3.1, chúng ta xem xét tổng nửa trực tiếp g⊕ τ h của đại số Lie g và h Đại số Lie g, được đồng nhất với g⊕ τ 0, là một đại số Lie con của tổng nửa trực tiếp g⊕ τ h, trong khi đại số Lie h, đồng nhất với 0 ⊕ τ h, là một iđêan của tổng này Đặc biệt, g là một iđêan của g⊕ τ h nếu và chỉ nếu tổng nửa trực tiếp này chuyển thành tổng trực tiếp Điều này được khẳng định qua mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 2.3.2 Cho tổng nửa trực tiếp g⊕ τ h của hai đại số Lie g và h. Khi đó,
Chứng minh (i) Với mọi (X, 0) ∈g⊕ τ 0, ∀(X 0 , Y 0 ) ∈g⊕ τ h, ta có:
Khi đó, [g× 0,g×h] τ ⊂g⊕ τ 0 nếu và chỉ nếu [(X, 0), (X 0 , Y 0 )] τ ∈g⊕ τ 0. Điều này tương đương với
Vậy [g× 0,g×h] τ ⊂g⊕ τ 0 nếu và chỉ nếu τ (g)h= 0.
(ii) Với mọi (0, Y ) ∈ 0 ⊕ τ h, ∀(X 0 , Y 0 ) ∈g⊕ τ h, ta có
Trong bài viết này, chúng ta xem xét cấu trúc của tổng nửa trực tiếp các đại số Lie, cụ thể là g⊕ τ h, trong đó 0 ⊕ τ h là một iđêan của g⊕ τ h Định lý 2.3.3 cung cấp các tính chất quan trọng về tâm của tổng nửa trực tiếp này, cho thấy rằng Z (g⊕ τ h) nằm trong Z (g) × Ker τ (g) Điều này khẳng định mối quan hệ giữa các tâm của đại số Lie g và h trong tổng nửa trực tiếp.
Chứng minh (i) Với mỗi (A, B) ∈ Z(g⊕ τ h) và với mọi (X, 0) ∈g×h, ta có
(ii) Với mọi (A, B ) ∈ Z (g⊕ τ h), với mọi (0, Y ) ∈g×h, ta có
Từ đây suy ra ad B (Y ) + τ (A)Y = 0.
Nhận xét 2.3.4 Cho tổng nửa trực tiếp g⊕ τ h của hai đại số Lie g và h. Với τ :g→ Derh ta có:
(i) Nếu τ ∈ Hom(g, Derh) thì τ(Z(g)) ⊂ Z(Derg);
(ii) Nếu τ ∈ Isom(g, Derh) thì τ (Z (g)) = Z(Derg).
Để tích các đạo hàm của hai đại số Lie trở thành đạo hàm của tổng nửa trực tiếp của chúng, cần xem xét các điều kiện cần và đủ Theo Định lý 2.3.5, cho g1, g2 là các đại số Lie trên trường K và ∂i ∈ Dergi với i = 1, 2.
∂ 1 × ∂ 2 ∈ Der(g1 ⊕ τ g2 ) nếu và chỉ nếu
Chứng minh (⇒) Giả sử ∂ 1 × ∂ 2 ∈ Der(g1 ⊕ τ g2 ) Với mọi P, Q ∈g1 ×g2 ta có
Vì mọi phần tử (A, B) ∈g 1 ×g 2 đều có thể phân tích dưới dạng
(A, B ) = (A, 0) + (0, B) nên với P = (A, 0) và Q = (0, B) ta có:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều kiện cần và đủ để tích các đồng cấu đại số Lie trở thành đồng cấu đại số Lie của các tổng nửa trực tiếp Cụ thể, định lý 2.3.6 chỉ ra rằng cho hai tổng nửa trực tiếp của đại số Lie g 1 ⊕ σ g 2 và h 1 ⊕ τ h 2, với các đồng cấu f i thuộc Hom(gi, hi) (i = 1, 2), thì với mọi A thuộc g1, ta có f 1 × f 2 thuộc Hom(g 1 ⊕ σ g 2, h 1 ⊕ τ h 2) nếu và chỉ nếu f 2 ◦ σ(A) = τ(f 1(A)) ◦ f 2.
Chứng minh (⇐) Theo giả thiết, f 1 × f 2 tuyến tính là rõ ràng.
Giả sử (A, B ), (X, Y ) ∈g 1 ×g 2 Khi đó ta có: f 1 [A, X] = [f 1 (A), f 1 (X)], f 2 [B, Y ] = [f 2 (B ), f 2 (Y )].
(⇒) Ta có (f 1 × f 2 )[K, L] σ = [(f 1 × f 2 )(K), (f 1 × f 2 )(L)] τ , ∀K, L ∈g 1 ×g 2 Lấy K = (A, 0) ∈g 1 ×g 2 và L = (0, B) ∈g 1 ×g 2 ta được
Dạng Killing và tổng nửa trực tiếp
Định nghĩa 2.4.1 Cho g⊕ τ h là tổng nửa trực tiếp của đại số Lie g và h. Dạng song tuyến tính trên g⊕ τ h xác định bởi
B((A, B), (X, Y )) = Tr(ad (A,B) ◦ ad (X,Y ) ), ∀(A, B), (X, Y ) ∈g×h được gọi là dạng Killing của g⊕ τ h.
Các kết quả dưới đây cung cấp những tính chất quan trọng về dạng Killing của tổng nửa trực tiếp các đại số Lie Định lý 2.4.2 nêu rõ rằng nếu g⊕ ad a là một tổng nửa trực tiếp của g và a, với a là một iđêan của đại số Lie g và ad là một biểu diễn liên hợp của g, thì có những hệ quả đáng chú ý liên quan đến dạng Killing.
Chứng minh Với mọi A, X, U ∈g, B, Y, V ∈a ta có
(ad (A,B) ◦ ad (X,Y ) (U, V ) = ad (A,B) (ad (X,Y ) (U, V )) = [(A, B), [(X, Y ), (U, V )] ad ] ad
=(0, (ad A+B ◦ ad Y )(U ) + (ad B ◦ ad X )(U )) + ((ad A ◦ ad X )(U ), (ad A+B ◦ ad X +Y )(V ))
=(0, (ad A+B ◦ ad Y + ad B ◦ ad X )U ) + (ad A ◦ ad X ) × (ad A+B ◦ ad X +Y )(U, V ).
Ta có thể viết lại dưới dạng ma trận
= ad A ◦ ad X 0 ad A+B ◦ ad Y + ad B ◦ ad X ad A+B ◦ ad X +Y
B((A, B), (X, Y )) = Tr(ad A ◦ ad X + ad A+B ◦ ad X+Y )
= Tr(ad A ◦ ad X ) + Tr(ad A+B ◦ ad X+Y ).
Hệ quả 2.4.3 Nếualà một iđêan giao hoán của đại số Liegtrên một trường có đặc số khác 2 thì
Chứng minh Với mọi A, X, U ∈g, B, Y, V ∈a ta có
=(0, ad A (ad Y (U )) + ad B (ad X (U))) + (ad A (ad X (U )), ad A (ad X (V )))
=(0, (ad A ◦ ad Y )(U ) + (ad B ◦ ad X )(U )) + ((ad A ◦ ad X )(U ), (ad A ◦ ad X )(V ))
=(0, (ad A ◦ ad Y + ad B ◦ ad X )(U )) + ((ad A ◦ ad X ) × (ad A ◦ ad X ))(U, V ).
Ta có thể viết lại dưới dạng ma trận
= ad A ◦ ad X 0 ad A ◦ ad Y + ad B ◦ ad X ad A ◦ ad X
B((A, B), (X, Y )) = Tr(ad A ◦ ad X + ad A ◦ ad X ) = 2 Tr(ad A ◦ ad X ).
Một số hệ quả và tính chất liên quan
Với hai đại số Lie g và h cùng với τ ∈ Hom(g, Derh), có thể xây dựng một đại số Lie f từ tích Đề-các g×h Đại số Lie này có thể là tổng trực tiếp hoặc tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie.
Theo định lý Levi, mọi đại số Lie f đều có thể được phân tách thành tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie thành phần g và h, trong đó g là đại số Lie nửa đơn (gọi là nhân tử Levi) và h là iđêan giải được cực đại (gọi là căn) Điều này cho thấy đại số Lie cong có khả năng tác động lên iđêan h, dẫn đến hai trường hợp khác nhau.
2 Nếu [g,h] 6= 0 thì tồn tại một biểu diễn τ của đại số Lie con h.
Khi đó, ad A (X) = τ(A)X với mọi A ∈g, X ∈h và f=g⊕ τ h.
Hệ quả 2.5.2 Nếu g= Ker τ thì từ Định lí 2.3.3 ta có
Nói cách khác, với mọi A ∈g và với mọi B ∈h, ta có:
Chứng minh Vì g= Ker τ nên τ (A) = 0, τ (X) = 0, ∀A, X ∈g.
• Với mọi (A, B ), (X, Y ) ∈ Z(g⊕ τ h) Vì [(A, B), (X, Y )] τ = 0 nên ta có
Từ đây suy ra [A, X] = 0 và [B, Y ] = 0.
Hơn nữa A ∈g= Ker τ và B ∈ Ker τ(g).
• Với mọi (A, B ) ∈ Z (g) ∩ Ker τ × Z(h) ∩ Ker τ (g), ta có:
A ∈ Z(g) ∩ Ker τ suy ra A ∈ Z(g) và A ∈ Ker τ.
Từ đó ta có [A, X] = 0, ∀X ∈g và τ(A) = 0.
Ngoài ra, B ∈ Z(h) ∩ Ker τ (g) suy ra B ∈ Z(h) và B ∈ Ker τ (g).
Đại số Akivis, được xác định bởi tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie dạng Ker τ ⊕ τ h, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đại số không kết hợp, tương tự như cách đại số Lie hoạt động trong lý thuyết đại số kết hợp Để xây dựng đại số Akivis, ta cần một không gian vectơ V trên trường K, cùng với một hoán tử song tuyến tính [ , ] và một liên hợp tam tuyến tính [ , , ], trong đó các quan hệ sau đây phải được thỏa mãn cho mọi A, B, C thuộc V.
Quan hệ (iii) được gọi là đồng nhất thức Akivis, và nó có thể quy về đồng nhất thức Jacobi trong đại số kết hợp Điều này cho thấy rằng đại số Akivis thực chất là một sự mở rộng của đại số Lie.
Hệ quả 2.5.4 Với mọi X ∈g ta có ad X ×τ (X) ∈ Der(g⊕ τ h), ∀X ∈g.
Chứng minh Với mọi X, A ∈g ta có τ [X, A] = [τ (X), τ (A)].
(τ ◦ ad X )(A) = [τ(X), τ (A)]. Áp dụng Định lý 2.3.5 ta được ad X ×τ (X) ∈ Der(g⊕ τ h).
Nhận xét 2.5.5 Ta đã biết rằng với mọi đại số Lie g, tập hợp adg các đạo hàm trong củag tạo thành một iđêan của Der(g), tức là
Ta cũng có điều tương tự cho tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie.
Bổ đề 2.5.6 Cho tổng nửa trực tiếp g⊕ τ h của đại số Lie g và h Khi đó,
Chứng minh Lấy Y ∈h Vì τ(A) ∈ Derh nên ta có
Nhận xét 2.5.7 Theo Định lí Engel, đại số Lie hữu hạn chiều g là lũy linh nếu và chỉ nếu adg là đại số Lie lũy linh.
Nếu g là đại số Lie lũy linh và h là đại số Lie con của g, thì tổng nửa trực tiếp g⊕ ad h cũng sẽ là đại số Lie lũy linh Điều này cho thấy rằng mọi đại số Lie lũy linh đều có khả năng giải được, do đó g⊕ ad h cũng sẽ giải được.
Một số ứng dụng của tổng nửa trực tiếp
2.6.1 Phân tích Levi của đại số Lie Định nghĩa 2.6.1 Đại số Lie g được gọi là đại số Lie thu gọn nếu với mỗi iđêan a của g tồn tại iđêan b của g sao cho g=a⊕b.
Mỗi đại số Lie nửa đơn đều là một đại số Lie thu gọn, tuy nhiên, điều này không đúng với tất cả các đại số Lie thu gọn Theo định lý, mỗi đại số Lie thu gọn g có thể được phân tích thành dạng g = [g, g] ⊕ Z(g).
Chứng minh Nếu g là đại số Lie nửa đơn thì kết quả là tầm thường Do đó ta chỉ xét các đại số Lie không nửa đơn.
Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng mỗi đại số Lie thu gọng có thể phân tích thành tổng trực tiếp của các iđêan đơn và các iđêan một chiều.
Khi dimg = 1, điều này là hiển nhiên Nếu dimg = 2, thì không có lý do gì mà g lại đơn giản, từ đó dẫn đến sự tồn tại của một lý thuyết không tầm thường a Vì g là đại số Lie thu gọn, nên có một lý thuyết b sao cho g có thể được phân tách thành a⊕b Rõ ràng, cả a và b đều là các lý thuyết một chiều.
Giả sử kết quả đúng với đại số Lie có số chiều nhỏ hơn, chúng ta có thể chứng minh rằng kết quả cũng đúng với đại số Lie có số chiều lớn hơn Cụ thể, đại số Lie g không phải là nửa đơn, điều này dẫn đến việc g không đơn Do đó, tồn tại một lý thuyết không tầm thường trong trường hợp này.
Vì g là đại số Lie thu gọn, tồn tại iđêan b sao cho g = a⊕b Với điều kiện dima < dimg và dimb < dimg, ta áp dụng giả thiết quy nạp cho a và b, từ đó chứng minh được kết quả mong muốn Kết quả cho thấy g có thể biểu diễn dưới dạng g = a1 ⊕ ⊕ aj ⊕ aj+1 ⊕ ⊕ ak, trong đó a1, , aj là các iđêan một chiều và aj+1, , ak là các iđêan đơn.
Ta có [a n ,a m ] = 0 với n 6= m và [a i ,a i ] = 0 với i = 0, 1, , j vì chúng là các iđêan 1 chiều Từ đó ta có [g,g] =a j+1 ⊕ ⊕a k Để kết thúc chứng minh ta chỉ ra Z(g) = a 1 ⊕ ⊕a j
Ngược lại, với mọi X ∈ Z (g), X = X 1 + + X k , X i ∈ a i Khi đó, với mọi
Y ∈ai , [X, Y ] = 0 suy ra [X i , Y ] = 0 Do đó X i ∈ Z(ai ) Suy ra X i = 0, i = j + 1, , k.Vậy Z(g) ⊂a 1 ⊕ ⊕a j
Trong trường hợp g là một đại số Lie thu gọn, nó có dạng phân tích theo Định lý 2.6.3, trong đó [g,g] là đại số Lie nửa đơn và Z(g) là căn của g.
Đại số Lie hữu hạn chiều g có thể được biểu diễn dưới dạng tổng nửa trực tiếp của một đại số Lie con nửa đơn và căn của g, theo định lý phân tích Levi Cụ thể, nếu g là một đại số Lie với r = radg, thì tồn tại một đại số Lie con h của g đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn g/r, từ đó g được cấu trúc thành tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie h và r.
Về phép chứng minh chi tiết định lí này có thể tham khảo ở tài liệu [6].
2.6.2 Mở rộng của đại số Lie Định nghĩa 2.6.5 Cho a và b là hai đại số Lie Đại số Lie g gọi là một mở rộng của a bởi b nếu
0 −→b−→ i g−→ p a−→ 0 là dãy khớp các đại số Lie.
Về mặt ký hiệu, chúng ta đồng nhất đại số Lie a với hình ảnh của nó trong không gian g và xem xét như một ý tưởng của g Đồng thời, đại số Lie a cũng được đồng nhất với g/b.
−→a−→ 0 được gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại một đồng cấuf :g→g 0 sao cho biểu đồ sau giao hoán
Mệnh đề 2.6.7 Quan hệ "tương đương của hai mở rộng"là một quan hệ tương đương trên tập hợp các mở rộng của a bởi b.
Để chứng minh, rõ ràng rằng mối quan hệ này tuân thủ luật phản xạ và luật bắc cầu Để kiểm tra luật đối xứng, chỉ cần xác minh rằng nếu f : g → g' xác định sự tương đương giữa hai mở rộng thì f phải là một hàm song ánh.
Thật vậy, lấy Y ∈g sao cho f(Y ) = 0 Ta có: p(Y ) = p 0 ◦ f (Y ) = 0.
Suy ra Y ∈ Ker p = Im i Do đó, tồn tại X ∈b sao cho i(X) = Y.
Vì i 0 là đơn ánh nên X = 0 Suy ra Y = i(X) = 0 Do đó f là đơn ánh.
Lấy Y 0 ∈g 0 Vì p là toàn ánh nên tồn tại Y ∈g sao cho p(Y ) = p 0 (Y 0 ).
Do đó, tồn tại X ∈b sao cho i 0 (X) = Y 0 − f (Y ) Từ đây ta có:
Suy ra f là toàn ánh Vậy f là một song ánh.
Bổ đề 2.6.8 khẳng định rằng, với các đồng cấu đại số Lie f: g → h và g: h → g sao cho f ◦ g = Id_h, thì f được xem là toàn cấu đại số Lie và g là đơn cấu đại số Lie Hơn nữa, mối quan hệ giữa g và f được thể hiện qua công thức g = Ker f ⊕ Im g.
Chứng minh Rõ ràng f là toàn cấu đại số Lie và g là đơn cấu đại số Lie. Với mọi X ∈g, ta có: f (X) = (f ◦ g)(f(X)) = f (g(f(X))).
Suy ra f(X − (g ◦ f )(X)) = 0 Điều này có nghĩa là X − (g ◦ f)(X) ∈ Ker f.
Từ đó ta có g= Ker f + Im g.
Hơn nữa, nếu X ∈ Ker f ∩ Im g thì f(X) = 0 và X = g(Y ) với Y nào đó của h. Khi đó Y = (f ◦ g)(Y ) = f(X) = 0 Suy ra X = 0 Vậy g= Ker f ⊕ Im g.
Mệnh đề 2.6.9 khẳng định rằng cho 0 −→ b −→ i g −→ p a → 0 là một mở rộng của a bởi b, thì tồn tại một đại số Lie con c của g bù với b nếu và chỉ nếu có một đồng cấu s :a→g thỏa mãn điều kiện p ◦ s = Id a.
Giả sử tồn tại đại số Lie con c của g bù với b, nghĩa là g = b ⊕ c Khi đó, ánh xạ hạn chế p|c từ phép chiếu trên c xác định một đẳng cấu từ c vào a = g/b.
Thật vậy, với mọi X ∈g, X +b∈g/b, tồn tại B ∈b và C ∈c sao cho
Suy ra X − C = B ∈b Từ đây ta có:
Do đó p| c là một toàn cấu.
Suy ra p| c là một đơn cấu Khi đó, ta có c ∼ =a=g/b.
Y 7→ (0, Y ) là một đơn cấu đại số Lie và phép chiếu p :g→a (X, Y ) 7→ Y là một toàn cấu đại số Lie.
Ta định nghĩa ánh xạ s = j ◦ (p| c ) −1 :a→g
Khi đó, s là một đồng cấu đại số Lie vì với mọi X, Y ∈a, ta có:
Hơn nữa, với mọi Y ∈a, ta có:
Ngược lại, giả sử tồn tại đồng cấu s :a→g sao cho p ◦ s = Id a Áp dụng Bổ đề 2.6.8, ta có: g= Ker p ⊕ Im s = Im i ⊕ Im s ∼ =b⊕ Im s.
Khi đó, c= Im s là đại số Lie con của g bù với b. Định nghĩa 2.6.10 Cho 0 → b −→ i g −→ p a → 0 là một mở rộng của a bởi b Ta nói mở rộng đã cho là:
• mở rộng tầm thường nếu tồn tại iđêan i của g sao cho g=b⊕i,
• mở rộng không cốt yếu nếu tồn tại đại số Lie con c của g sao cho g=b⊕c,
• mở rộng tâm nếu b⊂ Z(g). Định nghĩa 2.6.11 Dãy khớp ngắn 0 −→b−→ i g−→ p a→ 0 được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu s :a→g sao cho p ◦ s = Id a
Từ định nghĩa mở rộng không cốt yếu, kết hợp với Mệnh đề 2.6.9 ta có kết quả sau
Mệnh đề 2.6.12 Dãy khớp ngắn 0 −→b−→ i g−→ p a→ 0 chẻ ra nếu và chỉ nếu mở rộng g của a bởi b là mở rộng không cốt yếu.
Chứng minh Nếu dãy khớp ngắn 0 −→ b −→ i g −→ p a → 0 chẻ ra thì tồn tại một đồng cấu s :a→g sao cho p ◦ s = Id a
Khi đó, theo Mệnh đề 2.6.9, tồn tại một đại số Lie con c củag bù với b. Suy ra g là một mở rộng không cốt yếu của a bởi b.
0 −→b−→ i g−→ p a→ 0 là mở rộng không cốt yếu của a bởi b.
Khi đó, tồn tại một đại số Lie con c củag bù với b Theo Mệnh đề 2.6.9, tồn tại đồng cấus :g→g sao cho p ◦ s = Id a
Vậy 0 −→b−→ i g−→ p a→ 0 là dãy khớp ngắn chẻ ra.
Bổ đề dưới đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một mở rộng là mở rộng tầm thường.
Bổ đề 2.6.13 Mở rộng 0 −→ b −→ i g −→ p a → 0 là tầm thường nếu và chỉ nếu g đẳng cấu với b×a.
Chứng minh Giả sử rằng 0 −→ b −→ i g −→ p a −→ 0 là mở rộng tầm thường củaa bởi b.
Khi đó, tồn tại iđêan c là phần bù của b trong g, tức là ta có g=b⊕c. Trong phép chứng minh của Mệnh đề 2.6.9 ta có đẳng cấu p| c :c→a.
Ngược lại, giả sử g ∼ =b×a Khi đó, tồn tại một đẳng cấu ϕ :b×a→g.
Ta có a là phần bù của b trong b×a Suy ra ϕ(a) là phần bù của ϕ(b) = b trong ϕ(b×a) = g.
Do đó mở rộng đã cho là mở rộng tầm thường.
Bổ đề 2.6.14 Mở rộng tâm không cốt yếu là mở rộng tầm thường.
Chứng minh Cho 0 −→b−→ i g−→ p a→ 0 là mở rộng tâm không cốt yếu của a bởi b.
Vì g là mở rộng tâm của a bởi b nên ta có b⊂ Z(g).
Hơn nữa, vì mở rộng là không cốt yếu nên tồn tại c là đại số Lie con của g bù với b.
[c,g] = [c,b] + [c,c] = [c,c] ⊂c. Suy ra clà một iđêan củag Vậy mở rộng đã cho là mở rộng tầm thường.
Bây giờ ta sẽ xây dựng tất cả các mở rộng không cốt yếu của abởi b Xét mở rộng không cốt yếu có dạng
Vì việc mở rộng không phải là yếu tố chính, chúng ta có thể cố định một đại số Lie con của g bù với b Đại số Lie con này sẽ được đồng nhất với b, cho phép chúng ta xem g như một không gian vectơ a×b Để xác định cấu trúc đại số Lie trên g, điều quan trọng là xác định tích Lie của nó, có dạng như sau:
= [A, A 0 ] + [B, B 0 ] + ad A (B 0 ) − ad A 0 (B) với A, A 0 ∈a, B, B 0 ∈b và ad là biểu diễn liên hợp của g.
Ta có thể xem ad A và ad A 0 như các đạo hàm của b, vì b là một iđêan Điều này dẫn đến việc xác định một đồng cấu đại số Lie γ :a→ Der(b), trong đó γ(A) = ad A cho mọi A thuộc a.
Từ đó g=a×b trở thành một đại số Lie với tích Lie:
Nói cách khác, g là tổng nửa trực tiếp của a và b theo đồng cấu γ.