Đại số Lie giải được
Chương 2: Phân loại đại số Lie toàn phương giải được có chiều nhỏ hơn
Chương này trình bày định nghĩa và các tính chất của đại số Lie toàn phương, đại số Lie toàn phương giải được, cùng với mở rộng kép của đại số này Ngoài ra, chúng tôi cũng đề cập đến một số kết quả liên quan đến bài toán phân loại đại số Lie toàn phương giải được với chiều nhỏ hơn hoặc bằng 7 Nội dung được chia thành hai mục chính.
Đại số Lie toàn phương 29 2.2 Phân loại đại số Lie toàn phương giải được có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 7 39
Phân loại đại số Lie toàn phương giải được có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 7 là nội dung chính của luận văn hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ, người đã tận tình hướng dẫn và hỗ trợ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy (Cô) trong Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số tại Viện Sư phạm tự nhiên, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trường ĐH Vinh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Kinh tế Công nghiệp Long An vì đã tổ chức và tạo điều kiện tốt nhất trong suốt thời gian học tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy (Cô) và các đồng nghiệp tại nơi tác giả giảng dạy đã hỗ trợ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến vợ và các con, những chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình học tập Món quà tinh thần này là sự tri ân dành cho gia đình thân yêu Mặc dù đã nỗ lực nhiều, nhưng do năng lực còn hạn chế, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các nhà khoa học và đồng nghiệp để hoàn thiện luận văn tốt hơn.
Nghệ An, ngày 15 tháng 5 năm 2018
Chương 1 Đại số Lie giải được
Trong luận văn trườngKđược hiểu là trường các phứcCvà các không gian vectơ ở đây là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên C.
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày lại định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của đại số Lie và đại số Lie giải được Các khái niệm này là rất cơ bản và đã được nhiều tác giả đề cập trong các bài giảng, giáo trình hoặc sách chuyên khảo Chúng tôi chủ yếu tham khảo tài liệu "Bài giảng Lý thuyết nhóm Lie" của Đỗ Ngọc Diệp và "Lie groups, Lie algebras and representations" của Brian C Hall.
Không gian vectơ G trên trường K được gọi là đại số Lie trên K nếu nó được trang bị một phép nhân, được gọi là tích Lie.
(x, y) 7−→ [x, y] sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn:
L 1 Tích Lie là toán tử song tuyến tính, tức là ∀x, y, z ∈ G,∀λ, à ∈ K, thì:
L 2 Tích Lie phản xứng, tức là: [x, y] = −[y, x],[x, x] = 0, ∀x, y ∈ G.
L 3 Tích Lie thỏa mãn đẳng thức Jacôbi, tức là:
Nhận xét Từ điều kiện (L 2 ) ta suy ra điều kiện L 2 ′ : [x, y] = −[y, x] Và khi char(K) ̸= 2 thì (L 2 ) và L 2 ′ tương đương.
+) Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.
+) Nếu [a, b] = 0,∀a, b ∈ G thì ta nói tích Lie của đại số Lie là tầm thường và đại số LieG được gọi là giao hoán.
ChoG là một không gian hữu hạn chiều n trên trường K Cấu trúc đại số Lie trên G được xác định bởi tích Lie của các cặp vectơ trong cơ sở đã chọn {e1, e2, , en}.
Các hệ số \(c_{ij}\) được gọi là hằng số cấu trúc đại số LieG trong cơ sở đã chọn Mỗi đại số Lie \(K\)-đại số đều là một \(K\)-đại số, và ngược lại, mỗi \(K\)-đại số có thể được xem như một \(K\)-đại số Lie khi định nghĩa tích Lie dựa trên hoán tử của phép nhân Điều này dẫn đến một định lý quan trọng trong lý thuyết đại số.
1.1.2 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số) Cho G là một K− đại số Trên G định nghĩa tích Lie như sau:
Khi đó,G cùng với tích Lie trên trở thành một K− đại số Lie.
Theo định lý đã nêu, mọi đại số Lie đều là một đại số không kết hợp Ngược lại, không phải mọi đại số đều là đại số Lie, nhưng khi chọn tích Lie là hoán tử, mọi đại số sẽ trở thành đại số Lie.
ChoG là đại số Lie vàH là không gian vectơ con của G Không gian conH được xem là đại số Lie con củaG khi H đóng với tích Lie.
Ví dụ 1 Cho (A, ) là đại số kết hợp trên trường K Ta định nghĩa phép toán
Khi đó (A,[−,−]) trở thành một đại số Lie trên trường K Nói riêng ta có đại số
M at(n, K) các ma trân vuông cấp n phần tử trên K là một đại số Lie với tích Lie được xác định:
[A, B] = A.B−B.A, ∀A, B ∈ M at(n, K), trong đó phép nhân ''.'' là phép nhân các ma trận Đại sốM at(n, K) được ký hiệu là gl(n, K) hay đơn giản là gl(n).
Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, và A = End(V) là đại số các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V Trong trường hợp này, End(V) trở thành một đại số Lie, với tích Lie được xác định một cách rõ ràng.
Đại số Lie tuyến tính tổng quát được định nghĩa bởi công thức [f, g] = g.f − f.g, với f, g thuộc End(V) Trong đó, phép nhân ''.'' biểu thị việc hợp thành hai toán tử tuyến tính trên không gian V Khi xác định một cơ sở cố định của V, chúng ta có thể đồng nhất gl(V) với gl(n, K), tức là đại số các ma trận vuông cấp n với các phần tử trên trường K, và có kích thước dim(gl(V)) = dim(gl(n, K)) = n² Phép hợp thành hai toán tử tuyến tính trên V tương ứng với phép nhân hai ma trận Chúng ta cũng xác định tích Lie trên gl(n, K).
Cơ sở {e_ij} của không gian ma trận gl(n, K) được định nghĩa với mỗi ma trận e_ij có phần tử tại vị trí (i, j) bằng 1 và các phần tử khác bằng 0 Phép nhân hai ma trận trong cơ sở này được xác định bởi công thức e_ij e_kl = δ_jk e_il, trong đó δ_jk là ký hiệu Kronecker, có giá trị 1 nếu k = j và 0 nếu k khác j.
0nếu k ̸= j là ký hiệu Kronecker.
Do tính song tuyến tính của tích Lie nên để xác định tích Lie, ta chỉ cần xác định trên cơ sở{e ij } như sau:
[e ij , e kl ] = e ij e kl −e kl e ij = δ jk e il −δ li e kj đây là ma trận có các thành phần là0,1,−1.
Trong đại số Lie của các vi phân, cho K là một đại số và d thuộc End K (A) Toán tử tuyến tính d : A −→ A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu nó tuân theo công thức Leibniz, cụ thể là d(x.y) = d(x).y − x.d(y).
Tập các toán tử vi phân trên Ađược ký hiệu là Der(A) Khi đó ∀d, d ′ ∈ Der(A), ta cã:
Do đó[d, d ′ ] ∈ Der(A) Vậy Der(A) là đại số Lie con của gl(A).
Ví dụ 4 Xét đại số Liegl(n, K) Ký hiệu sl(n, K) {
} là tập hợp các ma trận vuông cấp n, phần tử trên K, có vết bằng không Khi đó sl(n, K) là không gian vectơ con của gl(n, K), vì:
T r(aA+ bB) =a.T r(A) + b.T r(B) = 0,∀a, b ∈ K,∀A, B ∈ sl(n, K). Mặt khác
T r([A, B]) = T r(AB−BA) =T r(AB)−T r(BA) = 0,∀A, B ∈ sl(n, K).
Vậy, sl(n, K) là đại số Lie con của gl(n, K) Đại số sl(n, K) được gọi là đại số tuyến tính đặc biệt.
Chú ý Từ Ví dụ 4 ta thấydim(sl(n, K)) = n 2 −1 và ta có thể chỉ ra được một cơ sở của sl(n, K) là {e ij } i̸=j ∪ {h i } n−1 i=1 , với h i = e ii −e i+1i+1
Một trường hợp cụ thể, khin = 2, ta có sl(2, K) {
Ví dụ 5 Đại số đối xứng sp(2n, K) {
, trong đóX T là chuyến vị củaX và A [ 0 I n
, với I n là đơn vị củagl(n, K). Khi đó dễ dàng chứng minh được:
+)sp(2n, K) là đại số Lie con của gl(2n, K).
+)sp(2n, K) là đại số Lie con của sl(2n, K) và dim(sp(2n, K)) = 2n 2 +n.
1.2.1 Định nghĩa ChoG là đại số Lie và I là không gian vectơ con của G Không gian conI được gọi là iđêan củaG, nếu:
Ví dụ 1 Cho G là đại số Lie ĐặtZ(G) = {z ∈ G | zx = xz,∀x ∈ G} gọi là tâm củaG Khi đó Z(G) là iđêan của G Ta có G giao hoán khi và chỉ khi Z(G) = G.
Ví dụ 2 Cho I,J là hai iđêan của đại số Lie G Khi đó:
Đại số con [G,G] = {[x, y] | x, y ∈ G} được gọi là đại số dẫn xuất của G Đại số G được coi là giao hoán khi và chỉ khi [G,G] = 0 Nếu G là đơn, thì [G,G] ̸= {θ} và G chỉ có hai iđêan tầm thường là {θ} và G Điều này dẫn đến việc nếu G đơn thì Z(G) = {θ} và [G,G] = G.