Đại số Lie I Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa đại số Lie
Giả sử G là một đại số trên K G đƣợc gọi là đại so Lie nếu tích trong
(x,y)^>[x,y\ thỏa mãn đồng thời: a [x,y] = -[y,x],\/x,yeG b [[x,yịz]+[[y
[[* ,x],yJ = 0, Vx,y,z Eơ (hệ thức Jacobi) [,] đƣợc gọi là tích Lie hay móc Lie
So chiều của đại so Lie chính là số chiều của không gian véc tơ G
Với G là không gian véc tơ hữu hạn chiều có dimG = n, cấu trúc đại số Lie G được xác định bởi móc Lie của từng cặp véc tơ trong cơ sở {e1, e2, , en} đã chọn trước trên G, với k = l.
Ví dụ
a) Với G là không gian véc tơ ơclit thông thường 3 chiều M 3 , định nghĩa [ x , y } =
X A y là tích có hướng thông thường thì G là đại số Lie trên M
• G = M 3 là modun với 2 phép toán cộng và nhân thông thường
• Phép toán \x,y\ = X A y là song tuyến tính vì Vx, y, z E M 3 ta có:
Suy ra G = M 3 là đại số
• Tính phản xứng thỏa mãn vì Vx, yel 3 , XA y = -y A X
• Bằng các phép tính toán trực tiếp, dễ chứng minh đƣợc hệ thức Jacobi:
[[x>y]>z]+[[y>z],x] + [[z,x],iy]= ( x Ay) A Z + ( y A Z ) A X + ( z A X ) Ay=0 b) Mỗi không gian véc tơ V trên K là đại số Lie với tích Lie:
[x,y]=0 ,\/x,yeV Đại số Lie này được gọi là đại số Lie tầm thường c) M (M) = {A I A là ma trận vuông cấp n trên M } với tích Lie:
[A ? B] - A.B - B.A là một đại số Lie
Với phép cộng, phép nhân thông thường các ma trận và tích trong được định nghĩa ở trên thì M (M) là một đại số
Ta kiểm tra điều kiện của đại số Lie:
= ABC - BAC - CAB + CBA + BCA - CBA - ABC + ACB
Vậy M (M) là đại số Lie í 0 a b\ a^h^c e M f là không gian véc tơ thực 3 chiều
Xác định tích trong [A? B] = A.B - B.A ,VA,B eH
Khi đó H là đại số Lie.
Đại số Lie con
Với G là đại số Lie trên K Với M, N là các không gian con của G, ta ký hiệu: [M?N]
= ([ wớ,ô]|ffớeM,ôeiVV( [M,N] là khụng gian con sinh bởi M, N)
Nhận xét: Neu A, B, c là các không gian véc tơ con của G thì:
1.3.1 Định nghĩa Cho đại số Lie G có N là không gian con N đƣợc gọi là đại so Lie con của G nếu [N,N] cN
1.3.2 Ví dụ a Dễ kiểm tra ỊoỊvà G là các đại số Lie con của đại số Lie G b Xét G = M (R)và H = {A = (a^nl A T = - A } cG
Trong đó A là ma trận chuyển vị của ma trận A; - A là ma trận đối của ma trận A
• H là không gian véc tơ con của G vì với V A, BeH và với V p E M thì:
(aA + PB) T = OC A T +PB T => aA + pB eH
• VA, B e H, [A, B Ỵ ={AB-BAf = (AB) T - (.BAf =B T A T - A T B T
Suy ra [A,B] eH hay [H,H]cH Vậy H là đại số
Iđêan của đại số Lie
Không gian con N của đại số Lie G được gọi là Iđêan của G nếu điều kiện [N,G] nằm trong N Hơn nữa, Iđêan M của đại số Lie G được xem là tâm của G nếu M là Iđêan cực đại.
Nhận xét: - {0}> G là các Iđêan của đại số Lie G
- Mỗi Iđêan của G là một đại số Lie con của G
- Tâm của G là một đại số Lie con giao hoán
1.4.2 Mệnh đề Nếu M, N là hai Iđêan của đại số Lie G thì M D N, M+N,
[M,NJ cũng là các Iđêan của G
M ? N là hai Iđêan của đại số Lie G nên [G,M]cM ^G^ỊCÌV[M,JV]C[G,JV]C]V
[ M , N ] = [ N , M ] c [G,M] cM , N] hay [M 9 Af] là đại số Lie con của G [G, [ M , N Ĩ ] < ^ [ M , [ N , G ] ] + [ N , [ G M]] c= [M, N ] + [ N , M ] = [M, A^] Từ đó suy ra [M, ] là Iđêan của G
Hề quả là ỉđêan của G.
Một số tính chất của đại số Lie
1 Cho G là một đại so Lie, khi đó Vx, y,z e [[x,y],z] = -[[.y,z],x]-[[z,x],.y]
2 +) Giả sử G là đại số Lie với phép nhân [x,y] và A là một đại số con của G
Khi đó A ổn định với phép nhân [x,y] trên G Vì vậy [x, y \ = — [ y , x\, Vx, y e A và hệ thức Jacobi thỏa mãn trên A
Vậy A là đại số Lie với phép nhân \ x ^ y \
+) Giả sử G là đại số Lie và G/H - {x + H I xe G} Khi đó G/ H là đại số Lie với các phép toán sau:
+) k(x+H) = kx + H +) [x+H , y+H] [x 5 y] + H Ta kiểm tra tính chất
X + H], y + H] = [[z , x] + H, y+ H] = [[z , x], y] + H Cộng vế theo vế ta đƣợc:
Vậy hệ thức Jacobi trong G/H thỏa mãn
3 Gọi (ơ.)5 / = 1, n là họ n đại số Lie với tích Lie [x ?ẽ y.] n
Xét G = - Ịx = (X.) \ x e G J = l,/7 j là tích trực tiếp của (ơ.), i = \,n
Dễ chứng minh đƣợc rằng G là một không gian véc tơ Định nghĩa tích trong trên G là: [,]: G X G —> G
Với: [ x , y ] = ([(>,),(>,)]) = { [ x l , y l ] , [ x 2 , y 2 ] , , [ x n , y n ] ) , trong đóX = (xi, ,x n ),y = (yi, ,y n );Xi, Ỵ i S G i , i = l , n Khi đó:
• G là một đại số với phép nhân ĩ x y ị định nghĩa ở trên
Suy ra hệ thức Jacobi thỏa mãn n _ _ _
Vậy G =m là đại số Lie với tích trong [ x , y ] - ([(*■
4 Gọi G là đại số Lie với phép nhân (x,3/) I—> [-X*,>"] - Đại số đối của G là G° với tích trong (x, y } 1-^ x y = [ y , x ị
Ta chứng minh G° cũng là đại số Lie Thật vậy: Vx, y , z E G°
Vậy G° là đại số Lie
1.5.2 Mệnh đê G là đại số kết hợp trên trường K Xác định tích trong
[ x , y ] = x y - y x , V x , y e G Khi đó G là đại so Lỉe.
Các toán tử của đại số Lie
• Vx,_yeGcó: [x,y\ = xy- yx = - (yx-xy) = - [ y , x ]
Vậy tính phản xứng ứiỏa mãn
Vậy hệ thức Jacobi thỏa mãn
II Các toán tử của đai số Lie
1.6.1 Định nghĩa Giả sử G và G‟ là hai đại số Lie, ánh xạ (p\G —>G' đƣợc gọi là một đồng cấu Lie nếu cp là ánh xạ tuyến tính và G \ạ>là tự đắng cấu Lieị cùng phép nhân các ánh xạ là một nhóm
1.6.2 Ví dụ Với G, G‟ là các đại số Lie thì:
0: ơ —ằ ơ' là một đồng cấu Lie ; idG : G —ằ G là một đẳng cấu Lie
1.6.3 Mệnh đê Cho ạ> :G —> G' là một đổng cấu Lie, khi đó:
+ Im (p là đại so Lỉe con của G ’
+ Kercp là Iđêan của G Chứng minh: +) Im (p là đại số Lie con của G‟:
11 p E K thì aa'+ fib' - aạ>{a) + p(p{ìf) - (p{aa + pb) aa'+ pb' E Imạ> Vậy Im (p là không gian con của G‟
• Do (p là đồng cấuLie nên [a^b‟] = [ộ9(a),ộ9(b)] = Ộ9([a,b]) [a^b 5 ] elmq) hay [Im (p ,Im (p ] a Im (p
Vậy Im (p là đại số Lie con của G‟
• Vì cp là ánh xạ tuyến tính nên Ker [a,b] E K QĨỌ ) hay [G,Ker f x ( y A Z ) = ( X A y ) A Z + ( Z A X ) A y
1.7.3 Mệnh đê D Ị , D 2 là các vỉ phân trên G thì: a/ aD ị + fiD 1 ; V a, p E K cũng là vi phân trên G b/ D ị D 1 — D 2 D Ị cũng là vỉ phân trên G
Chửng minh: \ / a , f 3 e K a) f = aD ì + pD 2 là ánh xạ tuyến tính vì ccD l , pD 2 là các ánh xạ tuyến tính (aD l + pD 2 )[a,b] = a D x [ ^ b] + PD 2 [ a,b]
Vậy f = aD1 + Ị3D 2 ; Va, p e K là vi phân trên G b) Dễ thấy D = Đ Ỉ D 2 - D 2 D 1 là ánh xạ tuyến tính từơ^G
= [(DjD 2 - D 2 Dj )(a),b] + [a,( D;D 2 -D 2 Dj)(b)], \fa,b eG
Vậy D là một vi phân ừên G
1.7.4 Định lý Với G là đại so trên K thì íĐerG = {Tập tất cả các ánh xạ vỉ phân của GỊ là một đại soLỉe
Chứng minh: Ta chứng minh nếu G là đại số trên K thì íĐerG = {Tập tất cả các ánh xạ vi phân của G} là một đại số Lie
Ngoài 2 phép toán cộng ánh xạ và nhân ánh xạ với một số thông thường, ta đưa vào phép toán nhân: [f, g] = f.g - g.f, f,g E DerG
• Trước hết ta chứng tỏ [f, g] E DerG
+) Với Vx,y EG; Vô,/?eK thỡ [f,g]: ơ->ơ
[f.g](x) ứiỏa mãn [f,g](ax+/?y) = (fg-gf)(ax+/?y)
= cc.fgự) + p f g ( y ) - a g f ự ) - p.fgự) 14 ccựg-gf){x) + p ự g - g f ) ( y )
= a [ f,g](x)+/?[f,g](y) Vậy [f,g] là ánh xạ tuyến tính
+) Với Vx, y eG, ta có:
• !DerG là một đại số
DerG là một mô-đun, vì vậy để chứng minh DerG là một đại số, ta chỉ cần chứng minh rằng tích trong (f, g) dẫn đến ánh xạ song tuyến tính [f, g] Với V/J,/2?ge DerG, ta có thể khẳng định điều này.
Tương tự ta cũng có: [/, gi + #2 ]=[/>•?.]+[/> £2]
Vậy DerG là một đại số với tích trong [f, g] = f.g - g.f
• Ta chứng minh DerG là một đại số Lie
- g(hf - Jh) =fgh-gfh-hfg + hgf + ghf— hgf—fgh +Jhg + hfg-fhg - ghf + gfh = 0
Vậy £>erG là đại số Lie với tích trong [f, g] = f.g - g.f
1.8.1 Định nghĩa Giả sử G là một đại số Lie trên trường K Với mỗi X G G, ánh xạ ad ỵ là ánh xạ đƣợc xác định bởi: ad ỵ : G -^G y t - ỳ adỵiỳ) = \_x, y\
1.8.2 Định lý ad là ánh xạ đạo hàm
Chửng minh: a) ad là ánh xạ tuyến tính vì ad (^y) = [x, ( A y ) ] = >^[x,y] = Ẳad ừ)- b) ad x \y,z] = [x,\y,z]] = -[\y,z]^\ theo hệ ứiức Jacobi: [ [ x , y ị z ] + [ [ y ,z],x]+[[z,x],y] = 0
Suy ra ad x \y,z] = [ a d x { y),z] + [y, ác/, (z)]; Vy,zeG
Vậy ad là ánh xạ đạo hàm
1.8.3 Định lý Giả sử G là một đại so Lie trên trường K Khi đó: a) Nếu D E ỈDerG thì ad D( ) = [D, ad ], Vx E G b) G a = {ad x \ xe GJ là ỉđêan của ỉDerG
Chứng minh: a) VyeG ? tacó: [D,ad ](y) = (D.ad - ad D)(y)
Vậy có: [D,ad ] = ad D( - y b) Ta chứng minh G là Iđêan của DerG
Vậy G là Iđêan của DerG
G đƣợc gọi là đại số liên kết của đại số Lie G
1.8.4 Mệnh đê Giả sử G là đại so Lỉe và G là đại so liên kết của nó a Đặt ánh xạ (p: G —> G Xh> ad Khi đó ta có: a/ (p là một đong cấu Lie ; b/ Ker (p là tâm của G; c/ ad ()=!// qy{x) y/ 1 , với \Ị/ : G —> G là tự đẳng cấu tùy ý
Chửng minh: a/ +) (p là ánh xạ tuyến tính vì:
=> 9Wao = a < p ( x ) + P < p ( y ) +) Ta chứng minh Va, h E G thì Ộ9 [a,b] = [ Ộ9 (a), (p (b)]
= (ad ,ad h - ad acl b )ội)
= [ad ,acl b ](x),VxeG => ạ>[a,b] = ứíi[ab] [ a d ữ , a d b ] = [ẹ(si\ẹ(b)\,\/a,b eG b/ Ta chứng minh: Kerỹ) = T r; (T G là tâm của G) Lấy X 6 Ker
G là đẳng cấu tùy ý thì ad ( ) = ^ Z)erG là một đổng cấu đại soLie f ( x ) = a d
Đại số Lie lũy linh I Đại số Lie lũy linh ug$)
Định nghĩa
Đại số Lie G đƣợc gọi là đại so Lie lũy lỉnh nếu tồn tại n sao cho c = {0}.
Ví dụ
a) Với G là đại số Lie giao hoán thì G là đại số Lie lũy linh
= {0} (do G là đại số Lie giao hoán) b) G là đại số Lie có chiều bằng 3 với cơ sở là cùng với phép nhân:
[ , Ế?2 ] — £3 j [ € ị , ] — 0 j [ C r ỵ , ] — 0 Khi đó G là đại số Lie lũy linh
Suy ra trong G có dãy Iđêan hữu hạn C l u C 2 ZD C 3 , trong đó
Các tính chất cơ bản
G là đại so Lỉe và dãy giảm các Iđêan của G là G= Ẩ 1 u à 2 ZD ZD A ZD Khi đó A./A.+1 nằm trong tâm của G/A.+1 [G, A ] c: A +1 ; ỉ =ỉ,2, ,n Chứng minh:
Ta gọi tâm của G/A.+1 làN ứiì [G/A +1 ,N] = 0 Do A./A +1 c: N nên [ G / A M ,
Vx 6 G, Vy 6 Aị [x,y] 6 A,.+1, Vx 6 G,Vy 6 Aj [G,A l ]cA l+1 ;i=l,2, ,n
2.3.2 Định lý Với G là một đại so Lỉe thì các phát biếu sau là tương đương: a) G là đại so Lỉe lũy linh b) Tồn tại n để [Xị , [ x 2 [ x , X ] Ề Ề Ề ] = 0 , ề Vx 1 , x 2 , X E G c) Ton tại một dãy các Iđêan hữu hạn Ẩ l , Ẩ 2 , , A của G thỏa mãn:
G — Ấị H) Ầ2 Ầ =0 và A,./A,.+1 nằm trong tâm của G/ A +1
Ta chứng minh định lý theo sơ đồ (a) (b) và (a) (c)
G là lũy linh có dãy (C ) và có n E N để c =0
[x p [x 2 ,y 2 ]] = 0 , VXpX 2 6 G,Vy 2 6 C n _ 2 Cứ tiếp tục nhƣ thế ta đƣợc [x l7 [x 27 [ 7 [x _ Ỉ 7 X ] ] = 0, Vx1,x2, X E G
G là lũy linh có dãy (C ) và có n e N để c =0 Lấy A c■ => G Z) A1 Z) A2 z> Z) A =0
Với xeG,yeC ,i = l và tích Lie trong đại số thương G/A.+1 ta có: [y + C1+1? x+
C 1+1 ] = [[x+y] + C 1+1 ], [x+y] E C 1+1 = [C i+1 ] = [0] tức là có A f /A f+1 cz T(G/A +1 )■ (Ở đây T(G/A +1 ) là tâm của G/A/+1)
Giả sử có dãy Iđêan thỏa mãn (c), ta chứng minh c cA ; i = l,n và A =0
Dùng bổ đề 1.3.1 ta chứng minh c cA.; i = 1, n bằng quy nạp + Với i = lcóCi = G
= Ai ^>C 1 cA 1 + Giả sử C 1 _ 1 c: A 1 _ 1 đứng ứiì có C 1 = [G,C M ] = [G,A M ] d Aị
Theo nguyên lý quy nạp ta đƣợc c cA.; i = 1, n
2.3.3 Nhận xét Đại soLỉe Heỉsenberg trên M là lũy lỉnh Đại số Lie Heisenberg trên M là đại số Lie mà các phần tử của nó là các ma trận có dạng:
Trong đó các phần tử của ma trận là số thực hoặc phức
Thật vậy: Đặt G là tập hợp các ma trận có dạng ở trên Không khó khăn trong việc chứng minh
G là một đại số Lie với các phép toán cộng, nhân ma trận thông thường và tích Lie:
Giả sử X, Y? z là các phần tử tùy ý thuộc G, trong đó:
Vậy đại số Lie Heisenberg trên M là lũy linh
2.3.4 Định lý Giả sử G là đại so Lỉe lũy linh còn G' đại so Lie cp: G —> G' là đong cấu Lỉe thì ỉm (p cũng là một đại so Lỉe lũy linh
Vì G lũy linh nên có n E N sao cho Vx1, x 2 , ầ , X E G có
[x 1 ,[x 2 ,[ ,[x n _ 1 ,x n ] ] = 0 Lấy y ỉ ,y 2 , ,y tùy ý thuộc Imq) thì tồn tại a l7 a 27 7 a eG sao cho
(p{a.) = y.; i = 1, n Do điều kiện ở trên suy ra có \a x, [ a 2 [ a _1, a ] ]= 0 Hơn nữa vì (p là đồng cấu nên Ộ9(0) = 0, suy ra có (p{\a x , [ a 2 [ a , a ] ]) = 0
Vậy Im (p là một đại số Lie lũy linh
2.3.5 Định lý Cho G là đại so Lỉe lũy lỉnh Khi đó đại so con, đại so thương của
G cũng là đại so lũy lỉnh
Chửng minh: a) Giả sử X là đại số con của G Trước hết ta chứng minh x k G/H xh^>x+H
Do G lũy linh nên có n để [x1,[x2,[ ,[x7?_1,x;7] ] = 0, Vx ỉ ,x 2 , ,x n E G Suy ra , [ x 2 , [ [ x ^ , x n \ ]) = 0
2.3.6 Định lý Tích trực tiếp của hai đại soLie lũy linh là đại soLỉe lũy lỉnh Chứng minh:
Giả sử G1? G 2 là các đại số Lie lũy linh
Theo định lý 1.5.1 thì G = Gi X G2 = {x = b) I a E Ơ 1 ,b E ơ 2 Ị với tích Lie :
(x,y)h-> [x,y] = ([ứ p ứ:],[ốpố:]) trong đó X = ( m
Lấy trong G m phần tử C!, c2, ắ ắắ, c tùy ý , c = (a.,b k ) Ta sẽ chứng tỏ rằng:
Thật vậy: giả sử Cn = (a Jt ,b ki ), Cn_! = ( a , , b ^ ) , Cn_2 = (a, , h k{ ) thì:
Tiếp tuc quá trình trên cho đến C1 = (ũ , b, ) thì:
Hệ quả Tích trực tiếp hữu hạn các đại so Lỉe lũy linh là lũy lỉnh
Các đại so Lỉe lũy lỉnh khác 0 và không giao hoán đều có tâm khác 0
Giả sử G là đại số Lie lũy linh khác không, theo định nghĩa tồn tại số nguyên dương n sao cho G^n = [G, G^{n-1}] - {0}, với G^{n-1} khác 0 vì G không giao hoán Do đó, tồn tại phần tử y thuộc G^{n-1} sao cho y khác 0 và [G, y] = 0 hay [x, y] = 0 với mọi x thuộc G Điều này chứng tỏ rằng tâm G khác 0.
Đại số Lie lũy linh U{$)
Xét V là không gian véc tơ trên trường số thực M Ký hiệu: ff={ v Xo vớiO = VũCVlC CV„=V
Trong đó V là các không gian véc tơ con trong V, có dim V = i 'S đƣợc gọi là lá cờ trong V
2.4.1 Mệnh đe a ) U ( $ ) là đại so Lie con của EndV b) ĨẢ^B) là đại so Lie lũy linh
Chửng minh: a) ỈẤi^S) là đại số Lie con của EndV
+) Ta chứng minh ĨẢ(%) là không gian véc tơ con của EndV
V u ? v E U{$) ; \ f a , p E K và Vị 5 Vi_i E Vi > 1 ta lấy tùy ý X E Vị
Dou(ỵ.)í=X_i nênu(x)?v(x) eVị.i =>au(x),/?v(x) eVị.i =^> a u ( x ) + /?v( x ) eVị.1
=^> OCU + f3v 1 ta lấy tùy ý X E Vi thì: u(x),v(x)e V M => (u.v)(x),(v.u)(x)eV i 1 =^> [u,v](x) = (uv-vu)(x)
Vậy có ụẨ^S), U ( { S ) I c= LL(ìs) suy ra LL(ìs) là đại số Lie con của EndV b) ĨẨ^S) là đại số Lie lũy linh
Ta xét dãy G= Aj z> A 2 z> ặặặ z> A = {0}, trong đó: G = ĨẨị^S)
A.={ueEndV| u(X)ey_.} ? J A, A j c: A J+1 A A,(X)c A.(V M ) c = A j+1 (X) => A j A l c A J+1 Do đó: AjAj - AjAj c A J+1 => IA A y I c A J+1 => |G.A ; | c
A J+1 Suyra: [G,A ]cA., Vj=l,2, ,ằ =ớ> dóy Aj,A 2 , ,A là dóy cỏc Iđờan của G và theo bổ đề 2.3.1 ta có: A./A +1 nằm trong tâm của G/A +1
Vậy theo định lý 2.3.2 thì U{$) là đại số Lie lũy linh
2.4.2 Nhận xét Đại soLỉe các ma trận tam giác trên ngặt là ỉuỹ lỉnh
V là không gian véc tơ trên M Khi đó theo mệnh đề 2.4.1 thi ỈẨ.($) là đại số
Lie lũy linh Ta lấy trong V cơ sở {e1,e2,.e }, e e V , i > 1 Với mỗi u E Uịg), u có ma trận Au đƣợc xác định từ phép biến đổi cơ sơ {e 1 ,e 2 , ,e } sang cơ sở
0 0 a n _ u a„2 nên ma trận A u là ma trận tam giác trên ngặt
Với f? g Eitiị^s) mà f ? g có ma trận lần lƣợt là A f , A ta định nghĩa tích Lie trong M là:
Khi đó do 1Ầ{$) là đại số Lie lũy linh nên M cũng là đại số Lie lũy linh.
Định lý Engel
Giả sử G là đại số Lie và H là đại số Lie con của G
Tập u = { XE G I [x,H] c: H } đƣợc gọi là chuẩn hóa của H
2.5.1 Bổ đề a) u là một đại số b) H là Iđêan của u
Chứng minh: a) Với X, y, z tùy ý thuộc u thì X, y, z thuộc G nên để chứng minh u là đại số, ta chỉ cần chứng minh u khép kín đối với các phép toán
Vậy u là một đại số.
29 b) H là Iđêan của u vì: VxeUthì[x,H] cH nên có [U,H]
Nhân xét: Như vậy, từ một đại so Lie con H của đại so Lie G ta xây dựng được một đại so
Lỉe con lớn hơn nó
2.5.2 Bỗ đề G là đại số Lie lũy lỉnh, H là đại số con thực sự trong G và u là chuấn hóa của H Khỉ đó u là đại so con lớn nhất của G nhận H làm Iđêan và U*H
Giả sử có U‟ là đại số con trong G nhận H làm Iđêan
Trong trường hợp này, nếu Vx eu do [U\H] cH (bởi vì H là Iđêan của U'), thì có [x, H] c= H Theo định nghĩa của u, suy ra X eU dẫn đến U' c u Do đó, u là đại số con lớn nhất của G mà nhận H làm Iđêan.
Ta cần chứng minh U^H Do G là đại số Lie lũy linh nên tồn tại dãy:
Gọi k là số nguyên dương lớn nhất mà Ck + H ^ H Khi đó ta có:
[C k +H,H] c [C k ,H] + [H,H] c [C k ,G] + H c C k+1 + H Do k là số nguyên dương lớn nhất mà Ck + H ^ H C k+1 + H = H Vậy [C k +H,H]cH
2.5.3 Bỗ đề G là đại số Lie lũy linh, dimG = n thì trong G luôn có Iđêan H mà dỉmH = n — 1
Giả sử H là đại số con thực sự, cực đại của đại số Lie lũy linh G (tức G)
Ta gọi u là chuẩn hóa của H Theo bổ đề 2.5.1 thì u là đại số con chứa H và u khác H
Vậy có u = G và do đó H là Iđêan của G Đặt M= {Xy + h|VXeK,VheH,yeG\H}
Dễ thấy M là một đại số con chứa H, do H cực đại nên M = G
=^> H là Iđêan của M =^> Vg e G thì g = ^ y + h; X e K, h e H, y e G \ H =*
Vì dim^y^> = 1 và dimG = n dimH = n - 1
2.6 Định lý ( Định lý cơ bản của đại số Lie lũy linh )
Giả sử V là không gian véc tơ hữu hạn chiều và G là một đại so Lie trong EndV mà
X lũy lỉnh, Vx E G Khỉ đó có một véc tơveV, v^o sao cho: x(v) = 0, Vx E G Chứng minh:
Giả sử dimV = n Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp theo n
Do X lũy linh nên 3k E N*: x k (u) = 0, VueV oxo(x k “ 1 (u)) = 0,VueV ằ x(v) = 0, Vu E V (trong đú V = x k_1 (u)eV,v^0) Với bất kỳ g E G =^> g = Xx, X E K
Vậy định lý đứng với n = 1
+) Giả sử định lý đúng với mọi đại số Lie con G mà dimG < n -1 Ta chứng minh định lý cũng đứng với dimG = n
Vì G lũy linh nên theo bổ đề 2.5.3 trong G có Iđêan H mà G = (y)®H với dimH 11-1
Sử dụng giả thiết quy nạp đối với H: Vh eH, 3v ^ 0 để h(v) = 0 Đặt Q = {u e VI h(u)
= 0, Vh E H} =^> Q ^ 0 Với Vu E Q ta có [y,h](u) = v h(u) - h v(u)
Vì u E Q và [y,h] EH => [y,h](u) = 0 và h(u) = 0 => h v(u) = 0 => y(u)E Q Vậy y(u) E Q , Vu E Q
Do y lũy linh nên y (y k ~„ (u)) = 0, Vu 6 Q =í> y (u0) = 0, Vu 0 6 Q
Với VgeG,g = Xy + h suy ra có: g(u0) = Xy(u 0 )+ h(u 0 ) = 0 Vậy u0 là véc tơ cần tìm và định lý đã đƣợc chứng minh
Xét M n với cơ sở tự nhiên {e 1 , e 2 , e } và F = { f : M" M" I A f = A e M Ị ở đây Af là ma trận của f đối với cơ sở trên
2.7 Hệ quả Vf E F, khỉ đó có a(l,0, ,0) e M n thỏa mãn f(oi) =0
Giả sử a(a1?oc 2 , ,a )el n và lấy tùy ý f E F Ta có: f(a) 0 5 Vf E F A f [a] = 0, Vf E F n-ln n a 0 = ou = = a = 0 2 3 n a 1 = 1 Vậy a = (l,0, ,0)eft n (sai khác bội), thỏa mãn f(a) = 0.
Bây giờ ta ký hiệu M = a 1 2
2.8 Định lý Engel Giả sử p : G —>EndV ỉà một đổng cấu Lie sao cho p là lũy lỉnh Vx e G Khi đó tổn tại trong V lá cờ í? = {V }”=1 mà p(G)d Chửng minh:
Ta chứng minh hai định lý 2.8 và 2.6 là tương đương nhau Thật vậy:
Trước hết vì p là đồng cấu Lie nên yp(G) là một đại số Lie con trong EndV
Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo chiều của không gian véc tơ V +) Với dimV = 1 Xét lá cờ 5 r = {0,^}, Vj = V
Do giả thiết định lý 2.8 thỏa mãn định lý 2.6 nên áp dụng định lý 2.6 ta có:
Vậy định lý 2.8 đứng khi dimV = 1
+) Giả sử định lý 2.8 đứng với mọi w mà dimW = n -1, ta chứng minh định lý
Thật vậy, giả sử trong V có véc tơ v^o, p (v) = 0, Vx eG=>V=|v|©W, trong đó dimW = n - 1 Áp dụng giả thiết quy nạp cho w, tức là có lá cờ: ' S i = {W }, i = 1,2, , n-1 sao c h o 0 = W 0 c W 1 c c W„_ 1 = w mà p x (%) a W M yp x E p( G)
Xét lá cờ 'S trong V là: 0 cz Vj cz V2 cz ặặặ cz V = V với V = 0 W_ 1 Ta có:
Hay: p (G) c: Ĩ Ắ ị ^ Ị Tức là kết luận của định lý 2.8 đúng
Vậy hai định lý 2.8 và 2.6 là tương đương nhau Do định lý 2.6 đã được chứng minh nên định lý 2.8 đúng
2.9 Một số ứng dụng của định lý Engel
Cho đại so Lỉe G Khỉ đó: G lũy linh ad lũy linh, Vx e G
(ad lũy linh, Vx E G nghĩa là tồn tại n để (ad Ỵ = 0 với Vx E G)
• Nếu G lũy linh bậc n =^> có n để [x l9 [x 2 ,[ ,[x _ l 9 x ] ] = 0, Vx ỉ ,x 2 , ,x eG cónđể [x,[x,[ ,[x,y] =0, Vx?ếyeG
^ ad là phần tử lũy linh, Vx E G
• Giả sử ad là phần tử lũy linh, Vx E G Áp dụng định lý Engel đối với biểu diễn liên hợp, ta có dãy Iđêan:
{0} d A1 d A2 d d An — G sao cho [G,Aị] d Ai+1
Giả sử G là đại so Lie, H là ỉđêan thuộc tâm của G sao cho G/jj là đại so Lỉe lũy lỉnh Khỉ đó G là đại so Lỉe lũy lỉnh
Lấy bất kỳ X E G Vì G/ H là đại số Lie lũy linh suy ra ad +H lũy linh nên tồn tại ne N để:
[ad x+H ] n = H => Vy e G đều có [ad x+H ] n (y +H) = H
[ad x+H r 1 [ad x+H ](y + H) = H [ad x+H ] n - 1 ([x + H,y+H]) = H [ad x+H ] n_1 ([X,y] + H) = H [ad x+H f 1 ([ad x (y) + H]) = H
Mà H thuộc tâm G nên [ad ] n (y) thuộc tâm G Vậy có:
[X, (ad x ) n (y)] = 0 (ad s ) n+1 (y) = 0, Vy e G => (ad x ) n+1 = 0 Vậy adx lũy linh Áp dụng
2.9.1 ta có G là đại số Lie lũy linh.
Luận văn đã đạt đƣợc những kết quả sau:
Bài viết này trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie Đặc biệt, chúng tôi sẽ chứng minh chi tiết các tính chất quan trọng như Định lý 1.5.1, Mệnh đề 1.4.2 và Mệnh đề 1.5.2, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc và ứng dụng của đại số Lie trong toán học.
Hệ thống các toán tử của đại số Lie được trình bày một cách chi tiết, trong đó bao gồm các tính chất quan trọng về đồng cấu Lie, vi phân trên đại số Lie và ánh xạ adx Các định lý như Định lý 1.7.4 được chứng minh rõ ràng, giúp làm sáng tỏ mối liên hệ và ứng dụng của các khái niệm này trong lý thuyết đại số Lie.
Đại số Lie lũy linh là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đại số, với các tính chất đặc trưng Chúng ta có thể chứng minh rằng tích trực tiếp của hai đại số Lie lũy linh vẫn là đại số Lie lũy linh Hơn nữa, IẢ(#) cũng là một đại số Lie lũy linh Định lý Engel, bao gồm Định lý 2.3.6, Mệnh đề 2.4.1 và Định lý 2.8, được chứng minh chi tiết, khẳng định các đặc điểm của đại số này Cuối cùng, Định lý 2.3.4 được phát biểu và chứng minh rõ ràng, góp phần làm sáng tỏ hơn về cấu trúc của đại số Lie lũy linh.
Đại số Lie lũy linh có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm đại số Lie Heisenberg trên không gian M và đại số Lie của các ma trận tam giác Những đại số này cho phép xác định véc tơ chung cho các ánh xạ tuyến tính trên M n, như đã đề cập trong các nhận xét 2.3.3 và 2.4.2, cũng như trong hệ quả 2.7 Để nhận biết một đại số Lie có phải là lũy linh hay không, có thể áp dụng các dấu hiệu nhận biết được nêu trong ứng dụng 2.9.1 và 2.9.2.
Thời gian tới, chứng tôi tiếp tục nghiên cứu về biểu diễn liên hợp của đại số Lie lũy linh và các ánh xạ lũy linh.