ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– Vế Lấ BO TRN ă C S GROBNER TRấN MễUN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC S PHM Vế Lấ BO TRN ă C S GROBNER TRÊN MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Chánh Tú Đà Nẵng - 2019 MỤC LỤC Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 VÀNH ĐA THỨC 1.1.1 Vành đa thức biến 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến ă Chng C S GBOBNER TRấN MễUN V ỨNG DỤNG ă 2.1 C SỞ GBOBNER TRÊN IĐÊAN 2.1.1 Thứ tự đơn thức thuật toán chia 2.1.2 Cơ s Grăobner trờn iờan .13 ă 2.2 C S GROBNER TRÊN MÔĐUN 19 2.2.1 Môđun vành đa thức 19 2.2.2 Th t n thc v c s Grăobner trờn mụun 23 2.2.3 Bài tốn xích hội xung (Syzygies) 32 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN k[X] Vành đa thức nhiều biến multideg(fi ) Bậc toàn phần đa thức fi I(F ) Iđêan sinh tập F  (a1 , , at )T    Chuyển vị vectơ cột    a1 a2 at        LT (f ) Hạng tử dẫn đầu đa thức f LM (f ) Đơn thức dẫn đầu đa thức f LC(f ) Hệ tử dẫn đầu f LCM (a, b) Bội chung nhỏ a b > Quan hệ thứ tự a|b a ước b f G Phần dư f chia cho G MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong i s tớnh toỏn, c s Grăobner úng vai trũ quan trọng Lý thuyết nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa luận văn tiến sĩ năm 1965 hướng dẫn người thy Wolfgang Grăobner S hỡnh thnh lý thuyt c s Grăobner da vo vic m rng thut toỏn chia hai đa thức biến sang trường hợp đa thức nhiều bin C s Grăobner trờn mụun c m rng t c s Grăobner trờn vnh v iờan Nú mang n nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt áp dụng cho iđêan tập điểm vành tọa độ đa tạp Với mong muốn bước đầu tìm hiểu đại số tính tốn hình học đại số, với gợi ý hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú, chỳng tụi ó chn ti C s Grăobner trờn môđun ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm tổng hợp, hệ thống lại cỏc kin thc liờn quan n C s Grăobner trờn vành đa thức môđun, áp dụng thuật toỏn tỡm c s Grăobner, tỡm cỏc xớch hi xung ca c s Grăobner v sinh ca mt mụun Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu l c s Grăobner mụun v ng dng ca nú Phm vi nghiờn cu - C s Grăobner mơđun - Một số cách tìm xích hội xung tập sinh môđun Phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu dựa phương pháp: - Tham khảo tài liệu, sách giáo viên, giáo trình mạng internet kiến thức liên quan đến đề tài luận văn - Phân tích, tổng hợp tài liệu chọn lọc - Tổng hợp, hệ thống kiến thức từ tài liệu liên quan - Xây dựng ví dụ minh hoạ Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, kiến thức đại số liên quan đến vành đa thức, thuật toán chia vành đa thức biến vành đa thức nhiều biến nhằm chuẩn b cho Chng ã Chng 2: C s Gră obner mơđun ứng dung Trình bày s Grăobner mụun bao gm: nh ngha, cỏch tỡm c s Grăobner v c biờt nghiờn cu ng dng việc giải tốn xích hội xung ... tức f (x1 , , xn ) = g(x1 , , xn ) ci = di , i = 1, , m 8 Chương ¨ CƠ SỞ GBOBNER TRÊN MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG ¨ 2.1 CƠ SỞ GBOBNER TRÊN IĐÊAN 2.1.1 Thứ tự đơn thức thuật tốn chia Trước tìm hiểu c s... trường hợp đa thức nhiều biến Cơ sở Grăobner trờn mụun c m rng t c s Grăobner vành iđêan Nó mang đến nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt áp dụng cho iđêan tập điểm vành tọa độ đa tạp Với mong muốn... 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến ă Chng CƠ SỞ GBOBNER TRÊN MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG ă 2.1 C S GBOBNER TRấN IĐÊAN