Dạng killing trên đại số lie nửa đơn

Đại số Lie nửa đơn I Đại số Lie nửa đơn

Dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn I Vết của ánh xạ tuyến tính

Dạng Killing

Luận văn này được thực hiện tại khoa Sau đại học của Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin gửi lời kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo.

Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh, tác giả nhận được sự hỗ trợ và chỉ dẫn tận tình từ các thầy cô khoa Toán và khoa Sau đại học, đặc biệt là các giảng viên trong tổ Hình học Sự hướng dẫn của các thầy cô đã giúp tác giả hoàn thành khóa học và luận văn này Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô.

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cán bộ, giáo viên trường THPT Hà Huy Tập, tập thể lớp Cao học 16 chuyên ngành Hình học - Tôpô, cùng gia đình và bạn bè đã hỗ trợ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ.

CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN

Trong chương này, ta luôn giả thiết K là một trường có đặc số 0 và G là một đại số Lie hữu hạn chiều trên K

I Đại số Lie nửa đơn

1.1.1 Định nghĩa Một đại số Lie G được gọi là nửa đơn nếu G không có

Iđêan giao hoán khác 0 nào

1)Ta xét G R 3 với  a,b là tích có hướng của 2 véctơ a và b Khi đó không gian R 3 trở thành một đại số Lie nửa đơn

Thật vậy: Như ta đã biết R 3 là một đại số Lie trên trường R

Giả sử I là Iđêan giao hoán khác 0 của R 3 , ta có:   a I,  b I thì

  Từ tính chất của tính có hướng suy ra  a ,  bphụ thuộc tuyến tính hay  b  k  a k R Do I là Iđêan của R 3 nên

          hay  mI suy ra vô lý

Khi đó G là đại số Lie nửa đơn

 Trước hết ta chứng minh G là một đại số Lie con của M n   R

Ta chứng minh G khép kín với các phép toán

 Bây giờ ta chứng minh G là nửa đơn

Giả sử G không nửa đơn, tức là G có chứa Iđêan I giao hoán khác 0 Khi đó AI ,A  0,BI thì :

Do I là Iđêan của G nên XGthì : X,AI.

 Bây giờ ta xét các Iđêan giải được trong G:

1.1.3 Bổ đề Trong đại số Lie G tồn tại Iđêan giải được cực đại ( theo nghĩa bao hàm)

.Nhận thấy I = {0} là Iđêan giải được trong G

.Giả sử M, N là hai Iđêan giải được trong G Khi đó M+N cũng là Iđêan giải được trong G

Thật vậy, xét ánh xạ  : N  M   N  M  / M là đồng cấu tự nhiên Khi đó:

Vì NM giải được nên đại số thương N /  N  M  giải được, suy ra

(N+M)/M giải được Mặt khác M giải được nên ta suy ra N + M giải được

Do G hữu hạn chiều nên ta thấy trong G luôn tồn tại Iđêan giải được cực đại

1.1.4 Định nghĩa Một Iđêan giải được lớn nhất của G được gọi là Radican của G

1.1.5 Nhận xét G nửa đơn khi và chỉ khi radican của G bằng 0

Chứng minh : +)Trước hết ta chứng minh G là đại số Lie nửa đơn thì radican của G bằng 0 Thật vậy, ta đặt radican của G là r Nếu r  0 thì

G  thì D ( G n  1 ) là Iđêan giao hoán khác 0 của G, điều này vô lý vì G nửa đơn

+) Giả sử r  0 ta chứng minh G là đại số Lie nửa đơn

Nếu G không phải là đại số Lie nửa đơn, thì trong G tồn tại một lý thuyết giao hoán N khác không Từ đó, chúng ta biết rằng mọi lý thuyết giao hoán đều có thể giải được, do đó N cũng có thể giải được Điều này dẫn đến kết luận rằng r phải khác không, điều này là mâu thuẫn.

Lớp các đại số Lie giải được và lớp các đại số Lie nửa đơn là hai nhóm riêng biệt trong tập hợp tất cả các đại số Lie trên K.

 Giả sử G là một đại số Lie, N là Iđêan của G

Xét G / N   x   x N x  G  Các phép toán trong G/N được xác định:

1.1.6 Nhận xét G/N với các phép toán trên là một đại số Lie ( G/N được gọi là đại số Lie thương của G)

+) dễ thấy rằng G/N là một đại số

+) Tính phản xứng:   x x NG / N ta có:

Vậy G/N là một đại số Lie

1.1.7 Mệnh đề (Xem [3]) Giả sử G là đại số Lie và N là radican của G thì đại số thương G/N nửa đơn

Chứng minh Gọi  : G  G N / là phép chiếu tự nhiên

Gọi S là Iđêan khác không, giải được trong G/N Đặt S    1 (S) Từ (N) 0 nên N  S Đại số

SNvà N giải được Scũng giải được chứa N Điều này mâu thuẫn với N cực đại Do đó S = 0, nghĩa là G/N không chứa Iđêan giao hoán khác 0 nên G/N là nửa đơn

 Giả sử G 1 , G 2 là đại số Lie

Ta ký hiệu G G 1G 2   g g 1, 2 /g 1G g 1; 2G 2  và các phép toán trong G được xác định như sau :

Phép nhân : xG,kK ta có kxkg 1 ,kg 2 

Khi đó G là một đại số Lie

1.1.8 Mệnh đề Nếu G1, G2 là các đại số Lie nửa đơn thì:

G G G  g g g G g G cũng là một đại số Lie nửa đơn

Chứng minh Trước hết ta chứng minh G là một đại số Lie

 do G1, G2 là đại số Lie nửa đơn

+) Bây giờ ta chứng minh G nửa đơn

Giả sử trong G có chứa Iđêan giao hoán khác không :

Mặt khác : A là Iđêan giao hoán khác không của G nên   x y ,    0 x A

Suy ra A1 là Iđêan giao hoán khác không của G1 Vô lý vì G1 nửa đơn

Mọi đại số Lie G đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một radican và một đại số Lie nửa đơn

Trang bị cho G phép tính tích Lie : xG,yG.

Khi đó G phân tích được thành tổng trực tiếp của một radican và một đại số Lie nửa đơn

 Ta chứng minh N là radican

 Dễ thấy N là đại số con của G

 Ta chứng minh: M là đại số Lie nửa đơn

 Dễ thấy M là đại số con của G

Dễ thấy  là đẳng cấu Lie  R 3 M.

Mà R 3 với tích Lie tương ứng là nửa đơn

N là Iđêan giải được lớn nhất trong G, vì G có thể được biểu diễn dưới dạng NM, với M là nửa đơn Do đó, không tồn tại một Iđêan giải được nào lớn hơn N trong G, khẳng định rằng N là một radican.

II.Đại số Lie đơn

1.2.1 Định nghĩa Đại số Lie G được gọi là đơn nếu G không giao hoán và G không chứa một Iđêan thực sự nào

Chúng ta nhận thấy rằng: Đại số Lie G là đơn thì G là nửa đơn

1) Không gian véctơ R 3 thông thường với định nghĩa  x,y xy Khi đó R 3 là một đại số Lie đơn

Với phép tích Lie  x y ,   xy  yx ,  x y ,  G

Khi đó G là một đại số Lie đơn

Dễ thấy G là một đại số Lie

Giả sử G có Iđêan thực sự I Trong G ta chọn cơ sở

Do I là Iđêan thực sự của G nên I là không gian hai chiều hoặc một chiều

Nếu I là hai chiều có cơ sở e1, e2 suy ra vô lý, vì e 1 ,e 2 e 3 không thuộc I Nếu I là một chiều có cơ sở là e 1 thì e 1 ,e 2 e 3 không thuộc I

Vậy G không có Iđêan thực sự hay G là đại số Lie đơn

1.2.3 Mệnh đề.(Xem[6]) Tích của hai đại số Lie đơn là đại số Lie đơn

Chứng minh : Cho G 1 , G2 là các đại số Lie đơn, ta có :

+) Dễ thấy G là đại số Lie không giao hoán

+) Giả sử G có Iđêan thực sự : A   a 1 , a 2 a 1  G 1 , a 2  G 2  Đặt A 1  a 1G 1  a a 1, 2 A 

Do A là I đêan của G khi đó : với mọi a a 1, 2 A g g; 1, 2 G

Suy ra  a 1, g 1  A 1 với mọi g1 G1 hay A1 là I đêan của G1 Suy ra vô lí vì

Vậy G là đại số Lie đơn

1.3.1 Định nghĩa Giả sử G là một đại số Lie trên trường K Với mỗi x  G, ánh xạ ad x là ánh xạ được xác định bởi:

 Chúng ta đã biết: Nếu G là một đại số trên K, ánh xạ: D G :  G là một ánh xạ tuyến tính có tính chất: D  x y   y D   x  x D   y gọi là ánh xạ vi phân của G

Kí hiệu: DerG  {Tập tất cả các ánh xạ vi phân của G}

1) ad x là một ánh xạ vi phân Ta còn nói ad x là vi phân trong của G sinh bởi x

2) Ánh xạ f : G Der G xác định bởi f x    ad x là một đồng cấu đại số Lie

1) Theo định nghĩa ta có y, z G ;   ,  K thì:

Vậy ad x là ánh xạ tuyến tính

2) Ta chứng minh f là đồng cấu

Thật vậy, x,yG,,K ta có f   x y   ad    x  y 

Mặt khác x,yG thì f    x y,   ad  x y ,  , nên tG luôn có:

. y x x y y x x y y x x y t y x t x ad t y ad t ad ad t ad ad t ad ad ad ad t

Từ đó suy ra ad  x y ,   ad ad x y ad ad y x  hay là:

Vậy f là một đồng cấu Lie

Nếu DDerG thì  D ad , x ad D x   , x G

G  ad a G  Khi đó Ga là một Iđêan của DerG

Chứng minh Lấy D bất kỳ thuộc DerG và ad a G a ,aG.

Ta có: D,ad a G a (Theo mệnh đề 1.3.2)

Vậy Ga là một Iđêan của DerG

Khi đó ta có các khẳng định sau :

2) Ker là tâm của G;   Ker    T G 

1)  là đồng cấu Lie vì:

; x y y x x y y x x y z y x z ad ad z ad ad z ad ad ad ad z z G

Vậy   x y ,  ad x ad y ad y ad x

1.3.6 Hệ quả Giả sử G là đại số Lie nửa đơn Khi đó  là một đẳng cấu Thật vậy:

Dễ thấy  là một toàn ánh

.Theo mệnh đề 1.3.5 ta có : Ker   T G Mà G nửa đơn nên T G =0 ,

Suy ra Ker   0 Vậy  là đơn ánh

Mặt khác  là một đồng cấu ( theo 1.3.5) nên ta có  là một đẳng cấu

1.3.7 Hệ quả Nếu  là đẳng cấu Lie : GG , thì :  ad x   1 ad    x Chứng minh

DẠNG KILLING TRÊN ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN

I Vết của ánh xạ tuyến tính

Giả sử V là một không gian vectơ n chiều với cơ sở   e i ; i1, n và

: f V  V là một ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở   e i ; i1, n là

A a i j  n Vết của f được định nghĩa là  

  là vết của ma trận A)

2.1.2 Ví dụ Cho f : 3  3 được xác định bởi f ad ad x y ; x y ,  3 với cơ sở của 3 là e 1 =(1,0,0) ; e 2 =(0,1,0); e 3 =(0,0,1)

Với mọi z thuộc 3 : z   z 1 ; z 2 ; z 3  ta có: f z   ad x ad y    z

 ma trận của f đối với cơ sở   e i ; i 1, n là:

Giả sử A, B là các ma trận vuông cùng cấp trên trường số K Khi đó:

1) Từ định nghĩa ta suy ra điều phải chứng minh

2) Giả sử A, B là các ma trận vuông cùng cấp n:

Khi đó: A.B = C với C =  c ij trong đó:

n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b

Tương tự: B.A =D với D    d ij trong đó :

Vậy Tr (AB) = Tr (BA)

Ta kí hiệu EndV ={ánh xạ tuyến tính f V: V}

2.1.4 Mệnh đề Ánh xạ Tr EndV: K là ánh xạ tuyến tính f Tr f( )

Chứng minh: Giả sử f, g là các ánh xạ thuộcEndVvà K;  e e 1 , 2 , , e n  là cơ sở của V Ta gọi A f     a ij , A b g ij là ma trận của f và g tương ứng đối với cơ sở trên

Vậy ánh xạ Tr là ánh xạ tuyến tính

2.1.5 Mệnh đề Vết của một ánh xạ tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở

Chứng minh: Giả sử đối với cơ sở   e i ; i  1, n ánh xạ tuyến tính f có ma trận là A , đối với cơ sở   i ; i 1, n thì f có ma trận là B

Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở   e i ; i1, n sang cơ sở   i ; i1, n Khi đó ta có: BP A P  1

Vậy vết của ánh xạ tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở

2.2.1 Định nghĩa Giả sử G là một đại số Lie trên trường K Ánh xạ : k : G x G  K

(x ; y) Tr  ad x ad y  được gọi là dạng Killing trong G

Từ nay ta kí hiệu dạng Killing là k(x;y) = x y

1) Ta có: xy  Tr ad  x ad y 

Tr ad  x ad z  Tr ad  y ad z  xz yz

Cho G là đại số Lie , x y z, , G , ta có:

Tr ad ad ad ad ad

Tr ad ad ad Tr ad ad ad

Tr ad ad ad ad ad

Tr ad ad ad Tr ad ad ad

Tr ad ad ad Tr ad ad ad

Tr ad ad ad Tr ad ad ad

2.2.4 Định lý Cartan (Xem [4]) Điều kiện cần và đủ để một đại số Lie G nửa đơn là dạng Killing xác định trên G không suy biến

 Giả sử G nửa đơn , ta xét :

Dễ thấy N là một không gian vectơ trên G Ta cần chứng minh N là Iđêan của

Suy ra N là Iđêan của G

Mặt khác G nửa đơn do đó N=0

Vậy dạng Killing xác định trên G không suy biến

 Ngược lại : cho dạng Killing k xác định trên G không suy biến tức N=0 , ta cần chứng minh G nửa đơn một Iđêan giao hoán của G

 Giả sử G không nửa đơn , gọi I là một Iđêan giao hoán của G , khi đó a I

0, a a x a x a x a x y ad x a x y ad ad y ad ad x G a x x G

Vì dạng Killing xác định trên G không suy biến nên suy ra a=0

2.2.5 Mệnh đề Giả sử  e 1, , e n là cơ sở trong đại số Lie G và

Khi đó G nửa đơn khi và chỉ khi A 0( với A=   A ij )

Chứng minh Theo định lý 2.2.4 ta có :

G nửa đơn   x Tr ad  x ad y     0; y G   0

2.2.6 Ví dụ Xét G = 3 với   x y ,   x y là tích có hướng của hai vectơ x và y Giả sử  e e e 1; ;2 3  là cơ sở chính tắc trong 3 Tìm A =   A ij

Ta có : A 11Tr ad  e 1 ad e 1 

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

Ma trận của ánh xạ

2.2.7 Mệnh đề Giả sử G là đại số Lie nửa đơn , D là một ánh xạ đạo hàm trên G Xét ánh xạ : f G: K xTr ad  x D 

1) f là ánh xạ tuyến tính

2) Mỗi ánh xạ f đều tồn tại duy nhất xG sao cho : f y    x y

Chứng minh 1) Với mọi ,x yG,K ta có:

2)Giả sử  e e 1, , ,2 e n  là cơ sở trong G Khi đó với ta có :

Giả sử có x x   i : x y  Tr ad  x ad y 

Tr x ad y ad x y Tr ad ad

( với A ij  Tr ad  e i ad e j  )

Vì G nửa đơn nên A ij 0 (áp dụng 2.2.5) , do đó suy ra tồn tại duy nhất   x i

Mọi ánh xạ đạo hàm của đại số Lie nửa đơn đều là ánh xạ ad

Chứng minh Ta xét ánh xạ tuyến tính:

Ta thấy   G , trong đó G là không gian đối ngẫu của các hàm tuyến tính xác định trên G , D là một ánh xạ đạo hàm tuỳ ý của G

Vì dạng Killing xác định trên G là không suy biến nên với mỗi xG ta luôn tìm được một phần tử aG xác định , thoã mãn đẳng thức:

Ta có: Tr ad( x E)Tr ad( x D)Tr ad( x ad a )

Bổ đề: Chứng minh ad E x    ad E x , 

D x x a x x a x a x ad ad ad D ad ad ad D ad ad E

Tr ad E ad E ad ad TrE ad ad ad ad

Vì dạng Killing xác định trên G không suy biến nên phải có : E x 0 ,  x G

Mà E = D- ad a nên D  ad a với mọi ánh xạ đạo hàm D của G Vậy mọi ánh xạ đạo hàm của các đại số Lie nửa đơn đều là ánh xạ ad

Mọi đẳng cấu Lie  : GG đều bảo tồn dạng Killing

Chứng minh Giả sử  là một đẳng cấu Lie , x y, G ta có:

 = x.y ( Do tính chất của hai ma trận đồng dạng)

2.2.10 Mệnh đề Giả sử G là đại số Lie nửa đơn , N là Iđêan của G Ta ký hiệu : N     x G x y    0, y N  Khi đó:

4) Nếu I là một Iđêan của N thì I cũng là một Iđêan của G

1) Dễ thấy N  là một không gian vectơ con của G Ta có:

Suy ra:   g x ,  N  ,   x N  ,    g G N  là Iđêan của G

2) Đặt A N N  Ta chứng minh A là một Iđêan trong N

Thật vậy , với x  A x N x, N  mà N và N  là các Iđêan của G nên g G

Vậy A là Iđêan trong G A là Iđêan trong N

Theo tiêu chuẩn Cartan ta có A giải được trong N , mà A là Iđêan trong G suy ra A= 0 vì G nủa đơn

Vậy NN  0 Từ đó ta có G N N 

3)Theo chứng minh trên ta có : G N N   NN  0

Khi đó:   a b n ,  b a n ,      0, n N Mà ta có:

Từ (1) , (2) và NN  0 ta suy ra N N,    0

Mọi đại số Lie nửa đơn G có thể được phân tích thành tổng trực tiếp của các đại số Lie đơn, với các đại số này là trực giao theo dạng Killing Sự phân tích này là duy nhất.

+) Nếu G là đại số Lie đơn thì G A A  ; 

  là các đại số Lie đơn ( xem [4] )

+) Nếu G không đơn , giả sử N là Iđêan khác 0 của G , khi đó theo định lý 2.2.10 ta có G N N  trong đó N và N  là Iđêan của G và

  Ta thấy N và N  là nửa đơn

Thật vậy : giả sử N không là nửa dơn ta suy ra N chứa Iđêan giao hoán M khác 0 M là Iđêan giao hoán của G  vô lý

Nếu N và N  chưa đơn ta tiếp tục quá trình phân tích ta đựoc :

 Chứng minh sự phân tích là duy nhất

Gỉa sử M 1 M 2   M s là một sự phân tích khác của G thành các Iđêan đơn

Nếu M t khác mọi N i (i= 1, ,k) thì : M N t , i   M t N i 0 nghĩa là M t thuộc tâm của G nên M t =0 ( vì G nửa đơn )