Một số tính chất của tích lie đối với các hàm và liên thông trên đại số

ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Đạo hàm Lie trên đại số Lie

Chương 2 Tích Lie của đạo hàm Lie và liên thông tuyến tính trên đại số Lie

Chương này giới thiệu ba nội dung chính: tích Lie của đạo hàm Lie, tích Lie của đạo hàm hiệp biến, và tích Lie giữa đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến Nội dung được chia thành ba phần rõ ràng.

I Tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G

II Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G

III Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến

Luận văn này được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo vì đã hỗ trợ và chỉ dẫn trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, khoa Toán, và phòng đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh, vì sự nhiệt tình giảng dạy, góp ý và hỗ trợ trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên và hỗ trợ trong suốt quá trình học tập.

CHƯƠNG I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie

I ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ LIE

Nhƣ ta đã biết, một môđun G trên vành K (K giao hoán, có đơn vị 1 (10)), đó là một nhóm cộng Aben G với phép nhân vô hướng

K G G , ( , )a x a a x , thỏa mãn các tiên đề:

4 1 ; a x y ax ay a b x ax bx a b x a bx x x

a nhận thấy rằng, trong trường hợp K là một trường thì G là một không gian véctơ trên trường K

G đƣợc gọi là một đại số trên K, nếu G đƣợc trang bị một phép toán tích trong “.” : G G G

( , )x y a x.y có tính chất song tuyến tính Nghĩa là:

+) Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì đại số G đƣợc gọi là đại số giao hoán

+) Nếu tích trong có tính chất kết hợp thì đại số G đƣợc gọi là đại số kết hợp

+) Nếu x.y = 0; x y, G thì đại số G được gọi là đại số tầm thường

+) Trong luận văn này, ta quy ƣớc viết: x.y = xy

1.1.2 Ví dụ Giả sử M là một đa tạp khả vi thực n chiều

Ta ký hiệu: F(M) ={ f | f : MR f, khả vi} là tập các hàm khả vi trên đa tạp

M Các phép toán đƣợc trang bị trên F(M) là:

Khi đó, F(M) là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R

Thật vậy: +) F(M) cùng với phép toán 1) và 2) là một không gian véc tơ

+) Để chứng minh F(M) là một đại số, ta cần kiểm tra các điều kiện của 3

+) Tích các ánh xạ trong F(M)có tính chất giao hoán, kết hợp

+) Phần tử đơn vị là ánh xạ: : p 1;  p M

Vậy F(M) là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R

Đại số Lie G trên K được định nghĩa với phép nhân ký hiệu là [,] G được gọi là đại số Lie nếu phép nhân này thỏa mãn hai tính chất quan trọng: tính chất phản xứng, tức là [x, y] = -[y, x] cho mọi x, y thuộc G, và hệ thức Jacobi, được biểu diễn bởi công thức [x, y, z] + [y, z, x] + [z, x, y] = 0 cho mọi x, y, z thuộc G.

Chú ý: +) Điều kiện i) có thể thay bằng   x x ,  0;   x G

+) Chiều trên K của môđun G đƣợc gọi là chiều của đại số Lie G

 Mọi đại số tầm thường G đều là đại số Lie

Cho G là một không gian n-chiều trên K, trong đó cấu trúc đại số Lie trên G được xác định bởi từng cặp véctơ trong cơ sở đã chọn {\( e_1, e_2, , e_n \)}.

      Các hệ số C ij k ,1  i j n đƣợc gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie

1 Không gian véctơ R 3 với tích Lie của hai véctơ là tích có hướng thông thường của hai véctơ, thì R 3 là một đại số Lie trên R

Nhắc lại, tích có hướng được định nghĩa như sau : x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3) ẻ R 3 , ta cú :

Thật vậy, ở đây ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức

 [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính

Với mọi x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3), z(z1, z2, z3) ẻ R 3 và a, b ẻ K ta cú :

* [ ,x ay+ bz]= Ùx (ay+ bz)

 [,] thoả mãn tính chất phản xứng

Với mọi xẻ R 3 thỡ [x,x] = xÙ = x 0

 [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi

2 Ta ký hiệu tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K là Mat n (K) Trên Matn (K) ta trang bị tớch Lie [x, y] = xy – yx với mọi x, yẻ Matn (K) Khi đú, Matn (K) với tích Lie nhƣ trên là một đại số Lie

Ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie

 [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính

Thật vậy, "x y z, , ẻ Mat K n ( ) và ,a bẻ K ta cú:

, , ax by z ax by z z ax by a xz zx b yz zy a x z b y z

Tương tự ta cũng kiếm tra được [ x ay, + bz ]= a x y [ , ]+ b x z [ , ]

 [,] thoả mãn tính chất phản xứng

Thật vậy, vỡ [ x x, ]= xx- xx= 0 với mọi xẻ Mat K n ( )

 [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi

Thật vậy, "x y z, , ẻ Mat K n ( ) ta cú :

    yzx yx. x yz zy yz zy x xyz xzy z

    yzx yx y zx xz zx xz y z zxy xzy

 yx   yx  yx yx z xy xy z zxy z xyz z

Vậy Mat n (K) với tích Lie nhƣ trên là một đại số Lie

Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K Ta đặt:

  x y ,  xy  yx;  x y ,  G Khi đó, G là đại số Lie Chứng minh

Ta kiểm tra tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của   ,

*) [,] thoả tính chất phản xứng

    yzx yx. x yz zy yz zy x xyz xzy z

    yzx yx y zx xz zx xz y z zxy xzy

 yx   yx  yx yx z xy xy z zxy z xyz z

Giả sử V là không gian véctơ trên trường K Ta xét tích Lie:

 f g ,   f g  g f với f g ,  En V d( ) Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K, ( ở đây End(V) là tập các tự đồng cấu tuyến tính: V V )

+) End(V) với hai phép toán cộng các ánh xạ và nhân ánh xạ với số thực thông thường lập thành một không gian véctơ thực

+) Thoả mãn tính chất phản xứng

+) Thoả mãn hệ thức Jacobi

+) Giả sử G, G’ là hai đại số Lie trên trường K Một đồng cấu tuyến tính :G G'

  đƣợc gọi là đồng cấu Lie nếu và chỉ nếu :

+) Một đồng cấu Lie  đƣợc gọi là đẳng cấu Lie nếu  là song ánh

+) : GG' ,  đẳng cấu Lie thì   1 đẳng cấu Lie

+) Nếu có đẳng cấu Lie : GG' thì ta nói G đẳng cấu với G’ và ta viết

+) Quan hệ đẳng cấu Lie trong tập hợp các đại số Lie là một quan hệ tương đương

Ta ký hiệu ( ) { |L G    là các tự đẳng cấu của đại số Lie G} Như vậy, L(G) tạo thành một nhóm với phép nhân được định nghĩa là phép hợp thành các tự đẳng cấu Lie.

1.3.2 Ví dụ a) Cho G là đại số Lie trên trường R Khi đó, ánh xạ đồng nhất trên G là một đồng cấu Lie b) Ta xét G(0,0, , , ) | , ,a b c a b cR 

Trên G ta trang bị phép toán tích Lie nhƣ sau :

Khi đó, ánh xạ : G  R 3 , (0,0, , , )a b c ( , , )a b c là một đồng cấu Lie Ở đây R 3 là đại số Lie trên R với tích Lie trong ví dụ 1.2.3

Thật vậy, G với tích Lie trên là một đại số Lie Ánh xạ : G  R 3 , (0,0, , , )a b c ( , , )a b c là ánh xạ tuyến tính

Giả sử G và G’ là hai đại số Lie kết hợp trên K, và :GG' là một đồng cấu Lie Khi đó, hình ảnh của , ký hiệu Im, sẽ là một đại số Lie con của G’ Đồng thời, nhân của , ký hiệu Ker, sẽ là một Iđêan của G.

Chứng minh i) Giả sử ', ' Imx y   x y, G saocho x: '( );x y'( ).y

Suy ra Im là con của G’

Vậy Im là đại số Lie con của G’ ii) x y, Ker( )x ( )y 0

Suy ra axbyKerKer là môđun con của G

Bây giờ ta chứng minh:  G K , er    K er 

II ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE

2.1 Định nghĩa và tính chất

Giả sử G là đại số Lie trên K, ánh xạ X : G → G được gọi là phép đạo hàm trên đại số Lie G nếu và chỉ nếu X thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, X là ánh xạ K-tuyến tính; thứ hai, X[x, y] = [X(x), y] + [x, X(y)] cho mọi x, y thuộc G.

Với xG, ánh xạ ad x đƣợc xác định nhƣ sau :

Khi đó, ad x là ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie G

  ad ( x aybz) x ay, bz

Vậy adx là ánh xạ K - tuyến tính

Mặt khác, ta lại có :

Nhƣ vậy, ad x là một ánh xạ đạo hàm

*) Trong trường hợp G = R 3 , khi đó :

Là một ánh xạ đạo hàm trên không gian R 3

Ta ký hiệu F = { X | X là phép đạo hàm trên đại số Lie G} Các phép toán trên F đƣợc xác định bởi:

Tập F cùng với các phép toán (1), (2), (3) lập thành một đại số Lie trên K

+) Rõ ràng, với các phép toán (1) và (2) thì F là một môđun trên K

+) Ở đây ta cần kiểm tra hai tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong F

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta đƣợc:

Bây giờ, ta ký hiệu: Ga = {adx |xG} Trên Ga, ta trang bị các phép toán sau:

3 [ad ad x , y ]:GG z ad x ad y   z ad y ad x   z ad [ , ] x y   z

Việc kiểm tra nhận xét này tương tự như nhận xét (2.1.3)

Với các phép toán (1), (2), (3) thì G a là đại số Lie con của F

Ga với hai phép toán (1) và (2) là một môđun trên K Ở đây, ta kiểm tra tính phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong G a

Thật vậy, ad ad x , y G a ta có:

+) [ad ad x , y ]ad x ad y ad y ad x

[ , ]. y x x y y x ad ad ad ad ad ad

  +)[[ d ,a x ad y ],ad z ]=[ad x ad y ad y ad ad x , z ]

ad x ad y ad z ad y ad x ad z ad z ad x ad y ad z ad y ad x (1)

[[ad ad y , z ],ad x ] [ ad y ad z ad z ad ad y , x ]

ad y ad z ad x ad z ad y ad x ad x ad y ad z ad x ad z ad y (2)

[[ad ad z , x ],ad y ] [ ad z ad x ad x ad ad z , y ] z x y x z y y z x y x z ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta đƣợc:

[[ad ad x , y ],ad z ]+[[ad ad y , z ],ad x ] [[ ad ad z , x ],ad y ]=0.

Ta suy ra Ga là đại số Lie trên K Để chứng minh Ga là đại số con của F ta kiểm tra các phép toán trên F

 adx + ady = adx+y ad ax ( ) [a , ]z  x z

[ad ad x , y ] z ad x ad y z ad y ad x z

Ta suy ra Ga là đại số con của F

Vậy G a là đại số Lie con của F.

TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến

Luận văn này được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo vì đã tận tình chỉ bảo trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo bộ môn Hình học – Tôpô, khoa Toán, và phòng đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên và hỗ trợ trong suốt quá trình học tập.

CHƯƠNG I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie

I ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ LIE

Nhƣ ta đã biết, một môđun G trên vành K (K giao hoán, có đơn vị 1 (10)), đó là một nhóm cộng Aben G với phép nhân vô hướng

K G G , ( , )a x a a x , thỏa mãn các tiên đề:

4 1 ; a x y ax ay a b x ax bx a b x a bx x x

a nhận thấy rằng, trong trường hợp K là một trường thì G là một không gian véctơ trên trường K

G đƣợc gọi là một đại số trên K, nếu G đƣợc trang bị một phép toán tích trong “.” : G G G

( , )x y a x.y có tính chất song tuyến tính Nghĩa là:

+) Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì đại số G đƣợc gọi là đại số giao hoán

+) Nếu tích trong có tính chất kết hợp thì đại số G đƣợc gọi là đại số kết hợp

+) Nếu x.y = 0; x y, G thì đại số G được gọi là đại số tầm thường

+) Trong luận văn này, ta quy ƣớc viết: x.y = xy

1.1.2 Ví dụ Giả sử M là một đa tạp khả vi thực n chiều

Ta ký hiệu: F(M) ={ f | f : MR f, khả vi} là tập các hàm khả vi trên đa tạp

M Các phép toán đƣợc trang bị trên F(M) là:

Khi đó, F(M) là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R

Thật vậy: +) F(M) cùng với phép toán 1) và 2) là một không gian véc tơ

+) Để chứng minh F(M) là một đại số, ta cần kiểm tra các điều kiện của 3

+) Tích các ánh xạ trong F(M)có tính chất giao hoán, kết hợp

+) Phần tử đơn vị là ánh xạ: : p 1;  p M

Vậy F(M) là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R

Đại số G trên K được gọi là đại số Lie nếu phép nhân được ký hiệu là [,] thỏa mãn tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi Cụ thể, với mọi phần tử x, y thuộc G, ta có tính chất phản xứng: [x, y] = -[y, x] Đồng thời, hệ thức Jacobi yêu cầu rằng với mọi phần tử x, y, z thuộc G, tổng của các biểu thức [x, y, z] + [y, z, x] + [z, x, y] phải bằng 0.

Chú ý: +) Điều kiện i) có thể thay bằng   x x ,  0;   x G

+) Chiều trên K của môđun G đƣợc gọi là chiều của đại số Lie G

 Mọi đại số tầm thường G đều là đại số Lie

Cho G là một không gian n-chiều trên K, với cấu trúc đại số Lie trên G được xác định bởi các cặp véctơ từ cơ sở đã chọn  e_1, e_2, , e_n  trong G.

      Các hệ số C ij k ,1  i j n đƣợc gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie

1 Không gian véctơ R 3 với tích Lie của hai véctơ là tích có hướng thông thường của hai véctơ, thì R 3 là một đại số Lie trên R

Nhắc lại, tích có hướng được định nghĩa như sau : x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3) ẻ R 3 , ta cú :

Thật vậy, ở đây ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức

 [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính

Với mọi x(x1, x2, x3), y(y1, y2, y3), z(z1, z2, z3) ẻ R 3 và a, b ẻ K ta cú :

* [ ,x ay+ bz]= Ùx (ay+ bz)

 [,] thoả mãn tính chất phản xứng

Với mọi xẻ R 3 thỡ [x,x] = xÙ = x 0

 [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi

2 Ta ký hiệu tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K là Mat n (K) Trên Matn (K) ta trang bị tớch Lie [x, y] = xy – yx với mọi x, yẻ Matn (K) Khi đú, Matn (K) với tích Lie nhƣ trên là một đại số Lie

Ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie

 [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính

Thật vậy, "x y z, , ẻ Mat K n ( ) và ,a bẻ K ta cú:

, , ax by z ax by z z ax by a xz zx b yz zy a x z b y z

Tương tự ta cũng kiếm tra được [ x ay, + bz ]= a x y [ , ]+ b x z [ , ]

 [,] thoả mãn tính chất phản xứng

Thật vậy, vỡ [ x x, ]= xx- xx= 0 với mọi xẻ Mat K n ( )

 [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi

Thật vậy, "x y z, , ẻ Mat K n ( ) ta cú :

    yzx yx. x yz zy yz zy x xyz xzy z

    yzx yx y zx xz zx xz y z zxy xzy

 yx   yx  yx yx z xy xy z zxy z xyz z

Vậy Mat n (K) với tích Lie nhƣ trên là một đại số Lie

Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K Ta đặt:

  x y ,  xy  yx;  x y ,  G Khi đó, G là đại số Lie Chứng minh

Ta kiểm tra tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của   ,

*) [,] thoả tính chất phản xứng

    yzx yx. x yz zy yz zy x xyz xzy z

    yzx yx y zx xz zx xz y z zxy xzy

 yx   yx  yx yx z xy xy z zxy z xyz z

Giả sử V là không gian véctơ trên trường K Ta xét tích Lie:

 f g ,   f g  g f với f g ,  En V d( ) Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K, ( ở đây End(V) là tập các tự đồng cấu tuyến tính: V V )

+) End(V) với hai phép toán cộng các ánh xạ và nhân ánh xạ với số thực thông thường lập thành một không gian véctơ thực

+) Thoả mãn tính chất phản xứng

+) Thoả mãn hệ thức Jacobi

+) Giả sử G, G’ là hai đại số Lie trên trường K Một đồng cấu tuyến tính :G G'

  đƣợc gọi là đồng cấu Lie nếu và chỉ nếu :

+) Một đồng cấu Lie  đƣợc gọi là đẳng cấu Lie nếu  là song ánh

+) : GG' ,  đẳng cấu Lie thì   1 đẳng cấu Lie

+) Nếu có đẳng cấu Lie : GG' thì ta nói G đẳng cấu với G’ và ta viết

+) Quan hệ đẳng cấu Lie trong tập hợp các đại số Lie là một quan hệ tương đương

Ta ký hiệu ( ) { |L G    là các tự đẳng cấu của đại số Lie G} Như vậy, L(G) tạo thành một nhóm với phép nhân là phép hợp thành các tự đẳng cấu Lie.

1.3.2 Ví dụ a) Cho G là đại số Lie trên trường R Khi đó, ánh xạ đồng nhất trên G là một đồng cấu Lie b) Ta xét G(0,0, , , ) | , ,a b c a b cR 

Trên G ta trang bị phép toán tích Lie nhƣ sau :

Khi đó, ánh xạ : G  R 3 , (0,0, , , )a b c ( , , )a b c là một đồng cấu Lie Ở đây R 3 là đại số Lie trên R với tích Lie trong ví dụ 1.2.3

Thật vậy, G với tích Lie trên là một đại số Lie Ánh xạ : G  R 3 , (0,0, , , )a b c ( , , )a b c là ánh xạ tuyến tính

Giả sử G và G’ là hai đại số Lie kết hợp trên K, với đồng cấu Lie :GG' Khi đó, hình ảnh Im là một đại số Lie con của G’, và nhân của đồng cấu Ker là một Iđêan của G.

Chứng minh i) Giả sử ', ' Imx y   x y, G saocho x: '( );x y'( ).y

Suy ra Im là con của G’

Vậy Im là đại số Lie con của G’ ii) x y, Ker( )x ( )y 0

Suy ra axbyKerKer là môđun con của G

Bây giờ ta chứng minh:  G K , er    K er 

II ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE

2.1 Định nghĩa và tính chất

Giả sử G là đại số Lie trên K, ánh xạ X: G → G được gọi là phép đạo hàm trên đại số Lie G nếu và chỉ nếu X thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, X là ánh xạ K-tuyến tính; thứ hai, X[x, y] = [X(x), y] + [x, X(y)] với mọi x, y thuộc G.

Với xG, ánh xạ ad x đƣợc xác định nhƣ sau :

Khi đó, ad x là ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie G

  ad ( x aybz) x ay, bz

Vậy adx là ánh xạ K - tuyến tính

Mặt khác, ta lại có :

Nhƣ vậy, ad x là một ánh xạ đạo hàm

*) Trong trường hợp G = R 3 , khi đó :

Là một ánh xạ đạo hàm trên không gian R 3

Ta ký hiệu F = { X | X là phép đạo hàm trên đại số Lie G} Các phép toán trên F đƣợc xác định bởi:

Tập F cùng với các phép toán (1), (2), (3) lập thành một đại số Lie trên K

+) Rõ ràng, với các phép toán (1) và (2) thì F là một môđun trên K

+) Ở đây ta cần kiểm tra hai tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong F

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta đƣợc:

Bây giờ, ta ký hiệu: Ga = {adx |xG} Trên Ga, ta trang bị các phép toán sau:

3 [ad ad x , y ]:GG z ad x ad y   z ad y ad x   z ad [ , ] x y   z

Việc kiểm tra nhận xét này tương tự như nhận xét (2.1.3)

Với các phép toán (1), (2), (3) thì G a là đại số Lie con của F

Ga với hai phép toán (1) và (2) là một môđun trên K Ở đây, ta kiểm tra tính phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong G a

Thật vậy, ad ad x , y G a ta có:

+) [ad ad x , y ]ad x ad y ad y ad x

[ , ]. y x x y y x ad ad ad ad ad ad

  +)[[ d ,a x ad y ],ad z ]=[ad x ad y ad y ad ad x , z ]

ad x ad y ad z ad y ad x ad z ad z ad x ad y ad z ad y ad x (1)

[[ad ad y , z ],ad x ] [ ad y ad z ad z ad ad y , x ]

ad y ad z ad x ad z ad y ad x ad x ad y ad z ad x ad z ad y (2)

[[ad ad z , x ],ad y ] [ ad z ad x ad x ad ad z , y ] z x y x z y y z x y x z ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta đƣợc:

[[ad ad x , y ],ad z ]+[[ad ad y , z ],ad x ] [[ ad ad z , x ],ad y ]=0.

Ta suy ra Ga là đại số Lie trên K Để chứng minh Ga là đại số con của F ta kiểm tra các phép toán trên F

 adx + ady = adx+y ad ax ( ) [a , ]z  x z

[ad ad x , y ] z ad x ad y z ad y ad x z

Ta suy ra Ga là đại số con của F

Vậy G a là đại số Lie con của F

CHƯƠNG 2 TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE

VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm và đặc điểm liên quan đến tích Lie của các đạo hàm Lie, tích Lie của các đạo hàm hiệp biến, cũng như tích Lie của đạo Lie kết hợp với đạo hàm hiệp biến.

I TÍCH LIE CỦA CÁC ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ G

1.1 Đạo hàm Lie trên đại số G

Ta giả thiết G là đại số Lie trên K, F= { X | X là ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie

Giả sử XF Phép đạo hàm Lie theo hướng X trên đại số Lie G là một ánh xạ: L X :F F

Ta ký hiệu: L{L X | XF}và ta đƣa vào L các phép toán sau:

Ta nhận thấy L với hai phép toán trên là một môđun trên K

1.2 Tích Lie của các đạo hàm Lie trên đại số G

Tích Lie của L X , LY đƣợc ký hiệu [LX , LY] và đƣợc xác định nhƣ sau:

Giả sử L X , L Y là hai phép đạo hàm Lie theo hướng X, Y trên đại số Lie G;

1.2.3 Nhận xét L là một đại số Lie trên K với tích Lie [L , X L Y ]L [ , ] X Y

Thật vậy, ta kiểm tra các tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong L

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta đƣợc:

II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ G

Trong mục này, ta luôn giả thiết G là đại số Lie giao hoán, kết hợp, có đơn vị e trên K và F = { X| X là đạo hàm trên đại số Lie G}

2.1 Liên thông tuyến tính trên đại số G

Giả sử G là đại số Lie và  là một ánh xạ : F F F

( , )X Y  X Y thỏa mãn các điều kiện sau:

4  X xY  X x Y  x X Y; X Y, F, x G.Khi đó,  đƣợc gọi là một liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và  X Y đƣợc gọi là đạo hàm của trường véctơ Y dọc theo X đối với 

Giả sử G = F(R n ), F B(R n ),  là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G,

S là ánh xạ song tuyến tính từ F F F Khi đó  + S là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G

Ta kiểm tra các tiên đề của một liên thông tuyến tính:

Vậy  S là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G

Giả sử   1 , 2 là hai liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và e là đơn vị của G Khi đó      y 1 (e y) 2 là liên thông tuyến tính,  y G.

Ta chứng minh :      y 1 (e y) 2 là liên thông tuyến tính

Thật vậy, X X Y Y, ' , , ' F;x y, G Ta kiểm tra 4 điều kiện của liên thông tuyến tính của 

2.2 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G

Giả sử X F và  là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G Đạo hàm của  theo hướng X được ký hiệu L X  và được xác định như sau:

Thật vậy, áp dụng công thức

2.2.3 Mệnh đề Đạo hàm Lie L X  của liên thông tuyến tính  theo X thỏa mãn các điều kiện: a) L [ , ] X Y  L X  L Y   L L Y  X ; X Y, F. b) L aX bY   aL X  bL Y   X Y, F; a b, K.

[ , W aX bY aX bY Z Z aX bY X bY Z

TÍCH LIE CỦA CÁC ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN

Giả sử  là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và XF Đạo hàm hiệp biến theo hướng X là ánh xạ  X :F F

Từ định nghĩa của liên thông tuyến tính , ta nhận thấy rằng:

Bây giờ, ta ký hiệu    G { X | XF} và ta đƣa vào  G các phép toán sau:

  c) Vậy  G với hai phép toán trên là một môđun trên K

3.2 Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến

Tích Lie của   X , Y , đƣợc ký hiệu [  X , Y ] và đƣợc xác định bởi:

 G là một đại số Lie trên K, với tích Lie được xác định bởi

Chứng minh Ở đây, ta kiểm tra tính phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie trong  G

        Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta đƣợc:

3.3 Tích Lie của đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến

Cho X Y, F, tích Lie của L X và  Y đƣợc ký hiệu [L X , Y ] và đƣợc xác định: [L , X  Y ]ZL X  Y Z   Y  L Z X  ;  Z F

  , ta có :[L , X  Y ]ZL X  Y Z   Y  L Z X  (1) theo định nghĩa 2.2.1 (Chương 2) ta có: