Các kiến thức chuẩn bị
Không gian Banach, cơ sở trong không gian Banach
1.1.1 Định nghĩa Không gian định chuẩn là một cặp (E,k.k), trong đó E là một K-không gian vectơ và k.k là một ánh xạ từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) kxk ≥ 0, kxk= 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
(ii) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈ K và mọi x ∈ E;
(iii) kx+yk ≤ kxk+kyk, với mọi x, y ∈ E.
1.1.2 Nhận xét Nếu k.k là một chuẩn trên E thì công thức d(x, y) kx−yk là một metric trên E Metric này được gọi là metric sinh bởi chuẩn.
1.1.3 Định nghĩa Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Cho E và F là các không gian định chuẩn cùng với ánh xạ tuyến tính f: E → F Tính liên tục của f tương đương với tính bị chặn của nó, tức là tồn tại một hằng số k > 0 sao cho kf(x)k ≤ kkxk với mọi x ∈ E Ký hiệu L(E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, và L(E, F) được định nghĩa là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định bởi kfk := inf{k > 0 : kf(x)k ≤ kkxk} = sup kxk=1 kf(x)k cho mọi f ∈ L(E, F).
Không gian định chuẩn E được gọi là đẳng cấu với không gian định chuẩn
F nếu tồn tại đẳng cấu tuyến tính f : E → F sao cho f và f −1 liên tục Khi đó f được gọi là một đẳng cấu giữa E và F.
1.1.4 Định lý ([4]) (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử E là không gian
Banach, F là không gian định chuẩn và {f α } α∈ V là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó, với mỗi x ∈ E, nếu sup α∈ V kf α (x)k < +∞ thì sup α∈ V kf α k< +∞.
1.1.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử E là không gian định chuẩn trên trường
K Ta gọi E ∗ = L(E,K) = {f : E → K sao cho f là ánh xạ tuyến tính liên tục } là không gian đối ngẫu (hoặc liên hợp) của E và gọi E ∗∗ = L(E ∗ ,K) là không gian đối ngẫu thứ hai (hoặc không gian liên hợp thứ hai) của E.
Trong không gian E, ta xét tôpô yếu nhất sao cho mọi hàm f thuộc E* đều liên tục Tôpô này được gọi là tôpô yếu trên E, ký hiệu là σ(E, E*), và nó được hình thành từ chuẩn trên E, được gọi là tôpô mạnh Rõ ràng, σ(E, E*) yếu hơn tôpô mạnh Một dãy {x_n} trong E được xem là hội tụ yếu đến x thuộc E nếu với mỗi lân cận
U của x trong σ(E, E ∗ ) tồn tại n 0 sao cho x n ∈ U với mọi n ≥ n 0 Người ta chứng minh được rằng dãy x n hội tụ yếu tới x nếu và chỉ nếu f(x n ) → f(x) với mọi f ∈ E ∗
1.1.6 Định nghĩa ([2]) Ánh xạ π : E →E ∗∗ cho bởi π(x)(f) = f(x) với mọi x ∈ E, f ∈ E ∗ được gọi là ánh xạ chính tắc.
1.1.7 Định lý ([2]) Ánh xạ chính tắc π : E → E ∗∗ là tuyến tính và thỏa mãn kπ(x)k= kxk với mọi x ∈ E Do đó, π là phép nhúng đẳng cự E vào E ∗∗
Trên E ∗ đã có tôpô sinh bởi chuẩn kfk := inf{k > 0 : kf(x)k ≤ kkxk} = sup kxk=1 kf(x)k, ∀f ∈ E ∗
Tôpô yếu nhất trên không gian đối ngẫu E ∗ được xác định bởi ánh x : E ∗ → K, trong đó x(f) = f(x) với mọi f thuộc E ∗, và các ánh x này là liên tục cho mọi x thuộc E Tôpô này được gọi là tôpô yếu sao trên E ∗ và được ký hiệu là σ(E ∗ , E).
1.1.8 Định nghĩa ([2]) Không gian định chuẩn E được gọi là phản xạ nếu ánh xạ chính tắc π là đẳng cấu.
1.1.9 Định lý ([4]) (Banach-Steinhaus) Giả sử E là không gian Banach,
Trong không gian định chuẩn F, {f α} α∈ V là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào F Giả sử rằng với mọi x ∈ E, tồn tại giới hạn lim f α (x) = f(x) trong F Khi đó, f : E → F được xác định là một toán tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được f là tuyến tính Với mỗi x ∈ E vì
{f α (x)} hội tụ nên sup α kf α (x)k < +∞ Theo nguyên lý bị chặn đều tồn tại
K >0 sao cho kf α k ≤ M, với mọi α Từ đó ta có kf(x)k = klim α f α (x)k = lim α kf α (x)k ≤ lim α kf α kkxk ≤ Mkxk.
Vậy, f là tuyến tính liên tục
1.1.10 Định nghĩa ([2]) Cho E là không gian định chuẩn và E ∗ là đối ngẫu của E Họ {f i } i∈I ⊂ E ∗ được gọi là đồng liên tục nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của O trong E sao cho |f i (x)| < ε, với mọi x ∈ U, với mọi i ∈ I.
1.1.11 Nhận xét (1) Nếu họ {f i } i∈I là đồng liên tục thì U = {x ∈ E :
|f i (x)| < 1, ∀i ∈ I} là lân cận của O trong E Thật vậy, chọn ε = 1, khi đó từ định nghĩa họ đồng liên tục suy ra tồn tại lân cận V của 0 trong E sao cho
Vậy U là lân cận của 0.
(2) Từ |f i (x)| ≤ kf i kkxk suy ra họ {f i } i∈I với kf i k = 1, với mọi i ∈ I là họ đồng liên tục Thật vậy, vì
|f i (x)| ≤ kxk, ∀x ∈ E, ∀i ∈ I nên |f i (x)| < ε với mọi x∈ U = B(0, ε) Do đó họ {f i } i∈I là đồng liên tục.
1.1.12 Định nghĩa ([4]) 1) Một đại số phức A là một không gian véctơ
A trên trường C cùng với một phép nhân trong trên A thoả mãn các điều kiện: i) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; ii) x(y+ z) = xy +xz, (x+y)z = xz +yz, ∀x, y, z ∈ A; ii) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A,∀α ∈ C.
2) Một đại số Banach A là một đại số phức thoả mãn các điều kiện i) A là một không gian Banach với chuẩn k.k nào đó cho trước; ii) kxyk 6 kxkkyk, với mọi x, y ∈ A; iii) Tồn tại e ∈ A sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ A; iv) kek = 1.
Cho E là không gian định chuẩn trên trường K, ký hiệu L(E) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E, với I E là toán tử đồng nhất trên E Trong L(E), phép nhân trong được định nghĩa là phép hợp thành các ánh xạ, do đó L(E) trở thành một đại số phức Một phần tử T ∈ L(E) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại P ∈ L(E) sao cho T P = P T = I E Nếu E là không gian Banach, thì L(E) cũng là một đại số Banach với chuẩn thông thường trên L(E).
1.1.13 Định nghĩa ([4]) Giả sử E và F là các không gian định chuẩn (i) Toán tử tuyến tính T : E → F được gọi là toán tử compact nếu ảnh
T(B) của hình cầu đơn vị B trong E là compact tương đối trong F (tức là bao đóng của T(B) là compact trong F).
(ii) Toán tử tuyến tính T được gọi là hữu hạn chiều nếu T(E) là không gian con hữu hạn chiều của F.
1.1.14 Nhận xét (i) Ta dễ dàng chứng minh được mọi toán tử compact là toán tử liên tục.
Mọi không gian hữu hạn chiều đều đẳng cấu với K^n, và mọi tập bị chặn của K^n là compact tương đối Do đó, mọi toán tử liên tục và hữu hạn chiều đều là toán tử compact.
1.1.15 Định nghĩa ([4]) Giả sử E và F là các không gian định chuẩn và
T : E → F là toán tử tuyến tính liên tục Toán tử T ∗ : F ∗ → E ∗ xác định bởi
T ∗ (f)(x) = f(T(x)), ∀x ∈ E được gọi là toán tử liên hợp của T.
1.1.16 Định lý([4]) (Schauder).Giả sửE và F là hai không gian Banach và T ∈ L(E, F) Khi đó, T là toán tử compact khi và chỉ khi T ∗ là toán tử compact.
1.1.17 Định nghĩa ([8]) Giả sử E là không gian Banach vô hạn chiều. Dãy {x n } ⊂ E được gọi là cơ sở( cơ sở Schauder) của E nếu với mọi x ∈ E, tồn tại duy nhất dãy các vô hướng {α n } ⊂ K sao cho x ∞
1.1.18 Ví dụ Xét không gian các dãy l p n x = {x n } ⊂ K :
Khi đó, dãy {e n } ⊂ l p được cho bởi e n = (0, ,1
,0, ), n = 1,2, là cơ sở của l p Thật vậy, với mọi x = (x 1 , , x n , ) ∈ l p ta có k→∞lim
Ta có x k ∈ l p và kx k −xk p = (
Dãy vô hướng {x n} với x n=1 và e n là duy nhất, chứng minh rằng {e n} là cơ sở của không gian l p Tương tự, chúng ta cũng có thể chứng minh rằng {e n} là cơ sở của không gian c 0, nơi chứa các dãy hội tụ tới 0 với chuẩn kxk = sup n≥1.
1.1.19 Nhận xét Nếu không gian Banach E có cơ sở {x n } thì nó khả ly.Bởi vì, span{x n } = E Không gian span{x n } là không gian tuyến tính con đóng sinh bởi dãy {x n }.
Các phiếm hàm hệ số liên kết với cơ sở
1.2.1 Định nghĩa ([8]) Giả sử {x n } là cơ sở của không gian Banach E. Dãy các phiếm hàm tuyến tính {f n } xác định bởi f j (x) =α j , x n
X i=1 α i x i ∈ E, j = 1,2, (1) được gọi là dãy các phiếm hàm hệ số liên kết với cơ sở {x n }, hay đơn giản là dãy các phiếm hàm hệ số và viết tắt là a.s.c.f.
1.2.2 Nhận xét Nếu {x n } là cơ sở của không gian Banach E và {f n } là a.s.c.f thì với mọi x ∈ E có thể biểu diễn dưới dạng x ∞
1.2.3 Mệnh đề ([8]).Giả sử {x n } là một dãy trong không gian Banach
E sao cho x n 6= 0(n = 1,2, ) và giả sử A 1 = {{α n } ⊂ K|
P i=1 α i x i hội tụ } là không gian tuyến tính cùng với chuẩn k{α n }k = sup
Khi đó, A 1 là không gian Banach.
1.2.4 Mệnh đề ([8]) Giả sử E là không gian Banach với cơ sở {x n } và {f n } là a.s.c.f Khi đó
(a) Không gian Banach A 1 giới thiệu trong Mệnh đề 1.2.3 là đẳng cấu với E bởi ánh xạ
, x ∈ E xác định một chuẩn trên E tương đương với chuẩn ban đầu trên E.
1.2.5 Định lý ([8]) Giả sử {x n } là cơ sở của không gian Banach E. Khi đó, các phiếm hàm hệ số f n liên kết với cơ sở {x n } là liên tục trên E, nghĩa là f n ∈ E ∗ Hơn nữa, tồn tại hằng số M sao cho
1.2.6 Hệ quả([8]) Giả sử E là không gian Banach với cơ sở {x n } và {f n } là các a.s.c.f Khi đó
1≤n 0 khi và chỉ khi sup
1≤n 0 tùy ý Khi đó, tồn tại d 0 = d 0 (ε, n) ∈ ∆ sao cho kS n (x)k − kS n (y d )k ≤ kS n (x)−S n (y d )k < ε (d ≥ d 0 ).
Cuối cùng, vì kxk ≤ sup
E được lấy tùy ý nên ta có kxk ≤ v (x ∈ P
E), nghĩa là P E ⊂ vS E Vậy Định lý được chứng minh.
2.1.5 Định nghĩa ([8]) (i) Giả sử E, F là hai không gian Banach Dãy {x n } ⊂ E được gọi là làm trội dãy {y n } ⊂ F nếu với mọi dãy các vô hướng {α n }mà
P i=1 α i y i hội tụ Trong trường hợp đó, ta viết{x n } {y n }.
(ii) Ta nói dãy {x n } làm trội ngặt dãy {y n } và viết {x n } {y n } nếu như tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục u ∈ L([x n ],[y n ]) sao cho u(x n ) = y n (n 1,2, ).
Dãy {x_n} ⊂ E và {y_n} ⊂ E được gọi là tương đương nếu {x_n} và {y_n} tương đương nhau, và tương đương ngặt nếu {x_n} và {y_n} tương đương ngặt Khi {x_n} và {y_n} tương đương, ký hiệu được sử dụng là {x_n} ∼ {y_n}, còn trong trường hợp {x_n} và {y_n} tương đương ngặt, ký hiệu là {y_n} ≈ {y_n}.
2.1.6 Định lý ([8]) Giả sử E, F là hai không gian Banach và giả sử {x n } ⊂ E, {y n } ⊂ F Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương (a) {x n } {y n };
(b) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho n
X i=1 α i x i với mọi dãy hữu hạn các vô hướng α 1 , α 2 , , α n ;
(c) Với mọi ψ ∈ [y n ] ∗ , hệ phương trình φ(x n ) = ψ(y n ) (n = 1,2, ) có nghiệm duy nhất φ ∈ [x n ] ∗
Nếu {x n } là cực tiểu thì các Mệnh đề trên tương đương với
(d) Tồn tại một số nguyên dương n 0 sao cho {x n } ∞ n
0. Nếu (x n , φ n )({φ n } ⊂ [x n ] ∗ ) và (y n , ψ n )({ψ n } ⊂ [y n ] ∗ ) là hệ song trực giao sao cho {ψ n } là toàn vẹn trong [y n ] thì các mệnh đề đó tương đương với (e) Mỗi x ∈ [x n ] hệ phương trình φ n (x) = ψ n (y) (n = 1,2, ) có nghiệm duy nhất y ∈ [y n ].
Nếu {x n } là cơ sở của [x n ] và {y n } ⊂ F là tùy ý thì các mệnh đề đó tương đương với
2.1.7 Mệnh đề.([8]) Cho E, F là các không gian Banach và {x n },{y n } lần lượt là cơ sở của E, F Giả sử {f n } ⊂ E ∗ ,{h n } ⊂ F ∗ là các a.s.c.f liên kết với {x n },{y n } tương ứng Khi đó,
Chứng minh (a) Nếu {x n } {y n } thì theo Định lý 2.1.6 [(f) ⇒ (a)], tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục u : E → F sao cho u(x n ) = y n (n= 1,2, ).
Vì vậy, với ánh xạ liên hợp u ∗ : F ∗ →E ∗ ta có
Vì vậy, {h n } {f n } và do đó {h n } {f n }.
Giả sử rằng {h n } {f n } Các a.s.c.f cho cơ sở {h n } của [h n ] và cơ sở {f n } của [f n ] tương ứng là {φ F (y n )} và {φ E (x n )} Ở đây, φ E và φ F là các ánh xạ chính tắc từ E vào [f n ] ∗ và từ F vào [h n ] ∗ Do đó, ta có {φ E (x n )} {φ F (y n )} Theo Định lý 2.1.4, cả φ E và φ F đều là đẳng cấu, dẫn đến kết luận {x n } {y n }.
(b) Ta có (b) là hệ quả trực tiếp của (a).
2.1.8 Định lý ([8]) Giả sử {x n } là một cơ sở của không gian Banach
E, {f n } ⊂ E ∗ là các a.s.c.f đối với {x n } và giả sử V = [f n ] Khi đó
Chứng minh Từ công thức S n ∗ (g) n
P i=1 g(x i )f i (g ∈ E ∗ ) cho toán tử liên hợp S n ∗ của tổng riêng các toán tử S n ta được
[φ(x i )](f)f i (f ∈ V, n = 1,2, ), trong đó φ là ánh xạ chính tắc từ E vàoV ∗ Vì {φ(x n )} ⊂ V ∗ là a.s.c.f đối với cơ sở {f n } của V = [f n ] nên v {f n } = sup
Thay vào công thức kxk V ≤ kxk ≤ r(V 1 ) kxk V ta được v [f n ] = sup
Ngược lại, nhờ r(V) ≥ 1 v > 0 và các bất đẳng thức trước ta suy ra
2.1.9 Định lý ([8]) Giả sử V là không gian tuyến tính con của không gian liên hợp E ∗ , φ là ánh xạ chính tắc từ E vào V ∗ và giả sử W = φ(E) ⊂
V ∗ Khi đó r(W) = 1. Đặc biệt, nếu {x n } là cơ sở của không gian Banach E, {f n } là a.s.c.f đối với {x n }, V = [f n ] ⊂ E ∗ và W = [φ(x n )] = φ(E) ⊂V ∗ thì r(W) = 1, v [φ(x n )] = v [f n ]
Chứng minh Áp dụng công thức r(V) = 1 sup x∈ P
E kxk = inf x∈E x6=0 sup f ∈V kf k≤1 f x kxk
= inf x∈E, x6=0 φ∈V kπ(x)−φk kxk cho W = φ(E) ⊂ V ∗ và quan hệ kφ(x)k = kxk V ≤ kxk (x ∈ E), ta có r(W) = inf f ∈V f 6=0 sup ψ∈W kψk≤1 ψ f kfk
Do đặc trưng r(W) của không gian con W là r(W) ≤ 1, nên ta có r(W) = 1 Khẳng định thứ hai của Định lý được suy ra từ khẳng định thứ nhất, trong đó [φ(x n)] = φ(E) với {x n} là cơ sở bất kỳ của E, và φ là ánh xạ chính tắc từ E vào V ∗ = [f n] ∗ Áp dụng Định lý 2.1.8 cho cặp ({f n}, {φ(x n)}).
2.1.10 Nhận xét Công thức r(W) = 1 tương đương với ánh xạ chính tắc u từ V vào W ∗ = φ(E ∗ ) xác định bởi công thức u(f)[φ(x)] = [φ(x)](f) = f(x) (f ∈ V, φ(x) ∈ W) là một phép đẳng cự, nghĩa là sup x∈E kxk Y ≤1
2.1.11 Hệ quả Giả sử {x n } là một cơ sở của không gian Banach
E, {f n } là các a.s.c.f đối với {x n }, V = [f n ] ⊂E ∗ và φ là ánh xạ chính tắc từ E vào V ∗ Khi đó
2.1.12 Nhận xét Từ đẳng thức v [f n ] = sup
[φ(x i )](f)f i (f ∈ V) ta có công thức để tính v [φ(x n )] như sau: v [φ(x n )] = sup
2.1.13 Mệnh đề([8]).Giả sử E là không gian Banach với cơ sở {x n }, V [f n ] là không gian tuyến tính định chuẩn con của E ∗ sinh bởi các a.s.c.f.
{f n } đối với {x n } và v là chuẩn của cơ sở {x n }, nghĩa là v = sup
1≤n 0 và f ∈ E ∗ là tùy ý nên ta có kfk ≤ n
Vì vậy ta có kfk ≤ sup
Ngược lại, giả sử rằng sup
Khi đó, với dãy hữu hạn bất kỳ β 1 , β 2 , , β n các vô hướng ta có n
Theo Định lý F Helly, tồn tại f ∈ E ∗ thỏa mãn f(x n ) = α n (n= 1,2, ). Bây giờ ta chứng minh (b) và (c) Bất đẳng thức kψk ≤ n
V suy ra từ (a) áp dụng với cơ sở {f n } của V = [f n ] vì nó là a.s.c.f đối với {φ(x n )} (vì vậy n
X i=1 ψ(f i )x i là hiển nhiên Hơn nữa ta có
, (φ ∈ E ∗∗ , n = 1,2, ). Ở đây π là ánh xạ chính tắc từ E vào E ∗∗ Vì π là đẳng cự nên ta có n
= kS n ∗∗ (φ)k ≤ kS n ∗∗ kkφk = kS n kkφk ≤ vkφk
≤ vkφk, (φ ∈ E ∗∗ ). Đặc biệt, nếu ψ ∈ V ∗ thì lấy một mở rộng tùy ý φ ∈ E ∗∗ của ψ với chuẩn kφk = kψk ta được sup
Ngược lại, giả sử rằng sup
Từ đó, áp dụng (a) cho cơ sở {f n } của V = [f n ], tồn tại ψ ∈ V ∗ thỏa mãn ψ(f n ) = α n (n = 1,2, ) Lấy một mở rộng tùy ý φ ∈ E ∗∗ của ψ ta có φ(f n ) = α n (n= 1,2, ) Mệnh đề được chứng minh xong.
2.1.14 Định lý([8]).Giả sử E là không gian Banach với cơ sở {x n }, V [f n ] là một không gian tuyến tính định chuẩn con đóng của E ∗ sinh bởi các a.s.c.f {f n } đối với {x n }, φ là ánh xạ chính tắc từ E vào V ∗ và π là ánh xạ chính tắc từ E vào E ∗∗ Khi đó.
(a) Nhờ ánh xạ η : f 7−→ {f(x n )} (f ∈ E ∗ ) thì E ∗ đẳng cấu với không gian Banach các dãy vô hướng
< ∞o với chuẩn được xác định bởi công thức k{α n }k = sup
Y của đẳng cấu η trên V ánh xạ V lên không gian Banach
X i=1 α i f i hội tụ (mạnh) o với chuẩn được xác định bởi k{α n }k = sup
(c) Không gian V ∗ là đẳng cấu với không gian Banach các dãy vô hướng
< ∞o với chuẩn cho bởi công thức k{α n }k = sup
(d) Cái hạn chế τ φ(E) của đẳng cấu τ trên φ(E) ánh xạ φ(E) lên không gian Banach
X i=1 α i x i hội tụ o với chuẩn k{α n }k = sup
Nếu {x n } là một cơ sở đơn điệu thì các đẳng cấu nói trong (a), (b), (c), (d) là các đẳng cự.
X i=1 ψ(f i )x i hội tụ o và φ(E) là không gian định chuẩn con đóng trong V ∗
Cơ sở và các không gian dãy
Trong mục này, chúng tôi trình bày các mối quan hệ giữa cơ sở của không gian Banach và không gian các dãy.
Cho X là tập hợp các dãy trong K Trên tập hợp con S của X ta trang bị các phép toán cộng x+y = {x n +y n } ∈ S,∀x = {x n }, y = {y n } ∈ S và phép nhân vô hướng λx = {λx n } ∈ S,∀x = {x n } ∈ S, λ∈ K.
Nếu S là một không gian tuyến tính với các phép toán xác định và có một chuẩn khiến S trở thành không gian Banach, thì S được gọi là không gian các dãy Các không gian như l ∞, c, và c 0 với chuẩn "sup" cũng thuộc loại không gian các dãy Ngoài ra, không gian l p (với p ≥ 1) là không gian các dãy với chuẩn kxk được định nghĩa là X ∞ n=1.
2.2.1 Định nghĩa ([8]) Một không gian các dãy S được gọi là liên kết với một cơ sở của không gian Banach, nếu tồn tại một không gian Banach E với cơ sở {x n } sao cho S trùng với tập
2.2.2 Định nghĩa ([8]) Không gian γ-đối ngẫu của không gian các dãy
S là không gian các dãy S γ được xác định bởi
2.2.3 Nhận xét Với mọi không gian dãy S ta có S ⊂ S γγ
2.2.4 Định nghĩa ([8]) (i) Không gian các dãy S được gọi là γ-đầy đủ nếu S = S γγ
Không gian các dãy S được gọi là BK-không gian khi nó là không gian Banach và các phiếm hàm tọa độ trên S là liên tục Cụ thể, nếu x n = {α (n) j } và x = {α j } thuộc S, thì điều kiện lim n→∞ x n = x dẫn đến n→∞ lim α (n) j = α j cho mọi j = 1, 2,
2.2.5 Bổ đề Nếu T là một BK-không gian chứa tất cả các vectơ đơn vị e n thì γ-đối ngẫu T γ của nó cũng là một BK-không gian với chuẩn được xác định như sau: k{β j }k = sup
Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng k{β j }k < ∞, với mọi {β j } ∈
T γ Cố định {β j } ∈ T γ Xét các phiếm hàm tuyến tính trên T
X i=1 β i f i (n = 1,2, ), ở đây f i là phiếm hàm tọa độ thứ i trong T, nghĩa là f i ({α j }) = α i (i = 1,2, ).
Vì T là BK-không gian nên các phiếm hàm f i liên tục Suy ra F n là liên tục trong T Theo định nghĩa T γ ta có sup
Do đó, theo nguyên lý bị chặn đều ta có k{β j }k = sup
Dễ dàng kiểm tra được k{β j }klà một chuẩn trong T γ Ta cần chỉ ra với chuẩn này T γ là không gian Banach Thật vậy, giả sử {β j (n) } là dãy Cauchy trong
Trong bất đẳng thức này cho{α j } = e n ke n k với e n là các vectơ đơn vị của không gian các dãy, ta được β i (k) −β i (k+p)
Từ đó, giới hạn lim k→∞β n (k) = β n (n= 1,2, ) tồn tại Cho p → ∞ ta được sup
Từ đó ta suy ra
Do đó, {β j } ∈ T γ và k→∞lim k{β j (k) } − {β j }k = 0. Điều này chứng tỏ T γ đầy đủ.
Cuối cùng, ta chứng minh T γ là BK-không gian Giả sử {β j (k) }, {β j } ∈ T γ thỏa mãn sup
Khi đó, với {α j } = ke e n n k suy ra kβ n (k) −β n k< εke n k (k > N(ε)).
Do đó lim k→∞β n (k) = β n (n = 1,2, ) Bổ đề được chứng minh.
2.2.6 Định lý ([8]) Một không gian dãy S liên kết với cơ sở của không gian Banach nếu và chỉ nếu S chứa tất cả các vectơ đơn vị e n và tồn tại một BK-không gian γ-đầy đủ T sao cho [e n ] T = S Hơn nữa T = S γγ
Chứng minh Giả sửS là liên kết với cơ sở của không gian Banach E, nghĩa là
Ta sẽ chứng minh rằng không gian dãy Banach
X i=1 α i x i là BK-không gian γ-đầy đủ Khi đó, từ S = A 1 = [e n ] A 2 suy ra điều kiện cần của Định lý.
Giả sử {α (k) j }, {α j } ∈ A 2 sao cho lim k→∞{α (k) j } = {α j }, nghĩa là k→∞lim sup
Khi đó, với mỗi i = 1,2, ta có
Vậy A 2 là một BK-không gian Ta còn phải chứng minh A 2 là γ-đầy đủ. Trước hết, ta chỉ ra
Thật vậy, nếu {β n } ∈ A γ 2 thì vì {f n (x)} ∈ A 2 với mọi x ∈ E nên nhờ Định nghĩa của A γ 2 ta có sup
Do đó, theo nguyên lý bị chặn đều ta được sup
Suy ra, theo Mệnh đề 2.1.13 (a), tồn tại f ∈ E ∗ sao cho f(x n ) = β n (n 1,2, ) Do [x n ] = E nên rõ ràng f là duy nhất Ngược lại, nếu f ∈ E ∗ thì sup
Tiếp theo, nếu {α n } ∈ A γγ 2 thì nhờ A γ 2 = {f(x n )|f ∈ E ∗ } và theo định nghĩa của A γγ 2 ta có sup
< ∞, f ∈ E ∗ Theo nguyên lý bị chặn đều thì sup
< ∞, nghĩa là {α n } ∈ A 2 Vì vậy, A γγ 2 ⊂ A 2 Do đó, A 2 là γ-đầy đủ Ta đã chứng minh xong điều kiện cần của Định lý.
Bây giờ, giả sử rằng trong chứng minh ta cũng có S γ = A γ 2 Từ đó, S γγ A γγ 2 = A 2 Vì S = A 1 ⊂ A 2 nên ta có S γ ⊃ A γ 2 Ngược lại, giả sử {β n } ∈ S γ
Khi đó, vì {f n (x)} ∈ A 1 = S với mọi x ∈ E nên nhờ định nghĩa của S γ ta có sup
Từ đó, giống như trong chứng minh ở trên, ta suy ra rằng, tồn tại f ∈ E ∗ với f(x n ) = β n (n = 1,2, ) và do đó, {β n } ∈ A γ 2 Điều này chứng tỏ S γ = A γ 2 và S γγ = A 2
Chúng ta chứng minh điều kiện cần và đủ của Định lý bằng cách giả sử S bao gồm tất cả các vectơ đơn vị Đồng thời, tồn tại một BK-không gian γ-đầy đủ T sao cho [e n ] T = S Bằng cách áp dụng Bổ đề 2.2.5 cho không gian đối ngẫu γ T với chuẩn được xác định trong Bổ đề này, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
T = T γγ là một BK−không gian với chuẩn khác là
Chúng ta chỉ ra rằng chuẩn trong không gian T tương đương với chuẩn xuất phát trong T Cụ thể, gọi T1 là không gian với chuẩn (*) và u : x → x là ánh xạ đồng nhất từ T lên T1 Nếu x_n = {α_j(n)} và x = {α_j} ∈ T với lim n→∞ x_n = x, thì n→∞ lim u(x_n) = y = {β_j} ∈ T1 Từ đó, có thể suy ra rằng n→∞ lim α_j(n) = α_j và lim n→∞ α_j(n) = β_j cho mọi j = 1, 2,
Do đó, với mọi j, ta có α j = β j, dẫn đến u(x) = y Theo Định lý đồ thị đóng, hàm u là liên tục Tương tự, hàm u −1 cũng giữ tính liên tục Như vậy, chuẩn (*) tương đương với chuẩn xuất phát trên T.
Tiếp theo, trong chuẩn (*) ta có k| n
X i=1 α i e i k| với mọi dãy vô hướng hữu hạn α 1 , , α n+m Do đó, áp dụng Định lý 7.1 trong
Cơ sở {e_n} là cơ sở của không gian T với chuẩn (*), từ đó suy ra nó cũng là cơ sở của T với chuẩn xuất phát Do [e_n] T = S, nên S là không gian dãy liên kết với cơ sở của không gian Banach T Định lý đã được chứng minh.
2.2.7 Định nghĩa ([8]) Giả sử S là không gian dãy Ta gọi β-đối ngẫu của S là không gian dãy S β xác định bởi
2.2.8 Nhận xét Với mọi không gian dãy S ta có S β ⊂S γ
2.2.9 Bổ đề ([8]) Nếu T là một BK-không gian chứa mọi vectơ đơn vị e n thì β-đối ngẫu T β của nó có thể chuẩn hóa để trở thành BK-không gian bởi chuẩn k{β j }k = sup
2.2.10 Mệnh đề ([8]) (a) Giả sử {y n } là một dãy trong không gian Banach E, sao cho y n 6= 0(n = 1,2, ) và giả sử A 1 = A 1 ({y n }) là không gian Banach xác định như sau
X i=1 α i y i hội tụ o với chuẩn k{α n }k = sup
A 1 ({y n }) β ∼= A 1 ({y n }) ∗ nhờ ánh xạ {β n } → h, trong đó h({α n }) ∞
X i=1 β i α i ({α n } ∈ A 1 ({y n })). Ánh xạ ngược được cho bởi h → {h(e n )}, trong đó e n là các vectơ đơn vị trong A 1 ({y n }).
(b) Nếu {x n } là cơ sở của E thì A 1 ({x n }) β ∼= E ∗ nhờ ánh xạ {β n } → f, trong đó f
Ánh xạ ngược được cho bởi f → {f(x n )}.
Chứng minh (a) Rõ ràng ánh xạ {β n } → h là tuyến tính Ngoài ra, nếu với h xác định bởi h({α n }) ∞
X i=1 β i α i ({α n } ∈ A,({y n })) thì h = 0 Suy ra β n = h(e n ) = 0 (n = 1,2, ) Như vậy, ánh xạ {β n } → h là đơn ánh.
Bây giờ, giả sử h ∈ A 1 ({y n }) ∗ tùy ý Khi đó, với β n = h(e n ), vì {e n } là cơ sở của A 1 ({y n }) nên h({α n }) =hX ∞ i=1 α i e i
Vậy {β n } → h ánh xạ A 1 ({y n }) β lên A 1 ({y n }) ∗ và ánh xạ ngược xác định bởi công thức h → {h(e n )}.
Cuối cùng ta có khk = sup
Do đó, theo định lý ánh xạ ngược của Banach thì ánh xạ {β n } → h là một đẳng cấu của A 1 ({y n }) β lên A 1 ({y n }) ∗
(b) Nếu {x n } là cơ sở của E thì A 1 ({x n }) ∼= E nhờ ánh xạ u x n :{α n } →
X i=1 α i x i và vì thế E ∗ ∼= A 1 ({y n }) ∗ nhờ ánh xạ u ∗ {x n } : f → h, trong đó h({α n }) = h u ∗ {x n }(f)i
Nhờ (a) ta có E ∗ ∼= A 1 ({x n }) β bởi ánh xạ f → {h(e n )} = {f(x n )} Mệnh đề được chứng minh.