ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THÚY THI CÁC MÔ ĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN THÚY THI CÁC MÔ ĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn "Các môđun t-mở rộng môđun t-Baer" trung thực, nội dung có dẫn chứng cụ thể, rõ ràng Nguyễn Thúy Thi LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Trương Công Quỳnh tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy giáo tận tình giảng dạy tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số Khóa 33 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn đến gia đình, đơn vị tơi cơng tác bạn bè quan tâm, tạo điều kiện, động viên giúp đỡ để tơi hồn thành việc học Nguyễn Thúy Thi TRANG THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: CÁC MÔĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER Ngành: Đại số Lý thuyết số Họ tên học viên: Nguyễn Thúy Thi Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trương Công Quỳnh Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Trong luận văn này, chúng tơi trình bày tổng quan chứng minh số tính chất đặc trưng "môđun t-mở rộng"và "môđun t-Baer" Từ khái niệm môđun cốt yếu môđun đóng ta có khái niệm tổng qt mơđun t-cốt yếu t-đóng Khái niệm mơđun t-mở rộng tổng qt hóa mơđun mở rộng Một mơđun mơđun t-mở rộng mơđun t-đóng hạng tử trực tiếp Do đó, mơđun mở rộng môđun Z2 -xoắn môđun t-mở rộng Từ đó, thiết lập mối liên hệ mơđun t-mở rộng với mơđun t-đóng t-cốt yếu là: môđun M môđun t-mở rộng môđun M môđun t-cốt yếu hạng tử trực tiếp M Một mơđun t-mở rộng tổng trực tiếp môđun mở rộng không suy biến môđun Z2 -xoắn Đặc biệt, Z-môđun hữu hạn sinh môđun t-mở rộng Ảnh đồng cấu môđun t-mở rộng t-mở rộng môđun bất biến hồn tồn mơđun t-mở rộng t-mở rộng Khái niệm mơđun t-Baer tổng qt hóa mơđun Baer mở rộng không suy biến Chúng thiết lập mối quan hệ chặt chẽ tính chất môđun t-mở rộng môđun t-Baer Lớp môđun t-Baer bao gồm môđun t-mở rộng, môđun Baer không suy biến Một mơđun t-Baer tổng trực tiếp hai môđun Baer suy biến Z2 -xoắn Đồng thời, mối liên hệ môđun t-Baer môđun Baer, là, mơđun M mơđun Baer Z2 (M ) hạng tử trực tiếp M M môđun t-Baer ∩ϕ∈T ker(ϕ) hạng tử trực tiếp ∩ϕ∈T ϕ−1 (Z2 (M )) với tập khác rỗng T S Ngồi ra, chúng tơi mối liên hệ chặt chẽ môđun t-mở rộng môđun Baer, mơđun mơđun t-mở rộng mơđun t-Baer t-đối khơng suy biến Từ tính chất vành -mở rộng, đưa khái niệm vành -t-mở rộng Đặc biệt, vành R vành -t-mở rộng phải R-môđun phải môđun t-mở rộng, R-môđun phải môđun t-Baer, R-môđun phải không suy biến môđun xạ ảnh Chúng nêu lên đặc trưng vành R mà R-môđun phải tự (lần lượt môđun tự hữu hạn sinh, môđun xạ ảnh xyclic) môđun t-Baer Đề tài mở hướng nghiên cứu môđun t-mở rộng mạnh mơđun t-Baer mạnh Từ khóa: Mơđun t-cốt yếu t-đóng, Mơđun t-mở rộng, Mơđun t-Baer, Mơđun t-đối không suy biến, Vành -t-mở rộng Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài PGS TS Trương Công Quỳnh Nguyễn Thúy Thi INFORMATIONPAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: t-EXTENDING MODULES AND t-BAER MODULES Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Nguyễn Thúy Thi Supervisor: Assoc Prof Truong Cong Quynh Training institution: The University of Education - University of Da Nang Abstract: In this thesis, we expose an overview and proof of some the characteristics of "textending modules"and "t-Baer modules" From the notions of essential submodules and closed submodules we have a more general notion that are t-essential submodules and t-closed submodules The notion of t-extending modules are a generalization of extending modules A module is a t-extending module if every t-closed submodule is a direct summand As a consequence, every extending module and every Z2 -torsion module are t-extending From there, we establish connections between t-extending modules with t-closed modules and t-essential submodules: a module M is t-extending module if and only if every submodule of M is t-essential submodule in a direct summand of M A t-extending module is a direct sum of a nonsingular extending module and a Z2 -torsion module In particular, every finitely generated Z-module is t-extending Every homomorphic image of a t-extending module is t-extending and every fully invariant submodule of a t-extending module is t-extending The notion of t-Baer modules are a generalization of extending and nonsingular Baer modules We establish close connections between the properties of t-extending and t-Baer The class of t-Baer modules contains t-extending and nonsingular Baer modules A t-Baer module is exactly a direct sum of two modules, a nonsingular Baer module, and an other Z2 -torsion module Also, we show connections between t-Baer modules and Baer modules that a module M is Baer and Z2 (M ) is a direct summand of M if and only if M is t-Baer and ∩ϕ∈T ker(ϕ) is a direct summand of ∩ϕ∈T ϕ−1 (Z2 (M )) for every nonempty subset T of S In addition, a close connection exists between t-extending modules and t-Baer modules, in fat, a module is t-extending if ang only if it is t-Baer anf t-cononsingular From the properties of -extending rings, we show the notion os -t-extending rings In particular, a ring R is right -t-extending if ang only if every right R-module is a t-extending module, every right R-module is a t-Baer module, every nonsingular R-module is t-Baer module, every nonsingular R-module is projective We characterize a ring R for which every free (resp., finitely generated free, cyclic projective) right R-module is t-Baer The topic opens the way for the further study on strongly t-extending modules and strongly t-Baer modules Key words: t-essential and t-closed submodules; t-extending module; t-Baer module; t-cononsingular module; -t-extending ring Supervisor’s confirmation Student Assoc Prof Truong Cong Quynh Nguyen Thuy Thi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ký hiệu R End(M ) N ≤M K ≤e M K ≤tes M K ≤tc M Z(M ) Z2 (M ) E(M ) M ⊕N rR (X) : : : : : : : : : : : Vành có đơn vị = Tập tự đồng cấu M N môđun M K môđun cốt yếu M K môđun t-cốt yếu M K mơđun t-đóng M Môđun suy biến M Môđun suy biến cấp hai M Bao nội xạ M Tổng trực tiếp hai môđun M N Linh hóa tử phải X R, lM (A) rR (X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X} : Linh hóa tử trái A M , lM (A) = {x ∈ M | xa = 0, a ∈ A} MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN TÓM TẮT ĐỀ TÀI INFORMATIONPAGE OF MASTER THESIS DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.2 Các kết liên quan CHƯƠNG MÔĐUN t-MỞ RỘNG 2.1 Mơđun t-cốt yếu t-đóng 2.2 Môđun t-mở rộng 11 CHƯƠNG CÁC MÔĐUN t-BAER 16 3.1 Môđun t-Baer 16 3.2 Môđun t-đối không suy biến 19 3.3 Vành -t-mở rộng 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 32 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần lý thuyết môđun mở rộng, môđun Baer vành tương ứng phát triển nhiều, đóng vai trị quan trọng lý thuyết vành môđun Một số cấu trúc lớp vành cổ điển thông qua lớp môđun nghiên cứu Khái niệm môđun mở rộng đề cập đến từ cơng trình Von Neumann vào năm 1930 Một số tác giả giới thiệu nghiên cứu nhiều tổng qt hóa khái niệm mơđun mở rộng Smith v Tercan, Dung, Celik, Dogruăoz, Birkenmeier, Kamal v Sayed, Zeng, Takli Tercan Một môđun M gọi mơđun mở rộng mơđun đóng hạng tử trực tiếp (hay môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M ) Môđun xoắn Z2 (M ) môđun M đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất mơđun M Khái niệm "mơđun t-mở rộng"là tổng qt hóa mơđun mở rộng Tính chất Baer vành lần xem xét Kaplansky Một vành R gọi vành Baer phải linh hóa tử phải tập R sinh phần tử lũy đẳng iđêan phải Trong năm gần đây, Rizvi Roman nghiên cứu thiết lập mối liên hệ chặt chẽ mơđun mở rộng mơđun Baer; điều làm để đưa khái niệm môđun t-Baer, tổng qt hóa mơđun Baer mở rộng khơng suy biến Nhằm tìm hiểu tính chất mơđun t-mở rộng, môđun t-Baer mối quan hệ chặt chẽ tính chất này, định hướng PGS.TS Trương Công Quỳnh, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ : “CÁC MƠĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MƠĐUN t-BAER” Mục tiêu nghiên cứu Thơng qua luận văn, trình bày tổng quan số đặc trưng môđun t-mở rộng môđun t-Baer Chỉ mối quan hệ môđun t-mở rộng môđun t-cốt yếu, mơđun t-đóng Mối quan hệ tính chất môđun t-mở rộng, môđun 19 Định lý 3.1.6 Nếu M mơđun t-Baer hạng tử trực tiếp M môđun t-Baer Chứng minh Ta chứng minh M = M1 ⊕ M2 môđun t-Baer với M1 mơđun Z2 -xoắn M2 môđun t-Baer Thật vậy, giả sử I2 iđêan trái S2 = End(M2 ), A = {1M1 ⊕ ϕ : ϕ ∈ I2 } I = SA Khi đó, tM (I) = M1 ⊕ tM2 (I2 ) Theo giả thiết, tM (I) hạng tử trực tiếp M Vì vậy, tM2 (I2 ) hạng tử trực tiếp M2 Giả sử N hạng tử trực tiếp M , ta có M = K ⊕ N Vì M môđun t-Baer nên Z2 (M ) = Z2 (K) ⊕ Z2 (N ) hạng tử trực tiếp M Do đó, Z2 (K) hạng tử trực tiếp K Đặt L = Z2 (K) ⊕ N Khi đó, L hạng tử trực tiếp M chứa Z2 (M ), theo Định lý 3.1.2, L có tính chất SSIP với hạng tử chứa Z2 (L) = Z2 (M ) Giả sử ψ ∈ End(L) ϕ = ψπL , πL phép chiếu tắc lên L Khi đó, ϕ−1 (Z2 (M )) = πL−1 ψ −1 (Z2 (M )) Vì M môđun t-Baer nên ϕ−1 (Z2 (M )) hạng tử trực tiếp M Ta có: M = ϕ−1 (Z2 (M )) ⊕ M L = ψ −1 (Z2 (M )) ⊕ πL M Do đó, ψ −1 (Z2 (M )) hạng tử trực tiếp L Theo Định lý 3.1.2(3), L môđun t-Baer, theo chứng minh trên, N môđun t-Baer 3.2 Môđun t-đối không suy biến Định nghĩa 3.2.1 Ta nói mơđun M mơđun t-đối khơng suy biến với môđun N M , tS (N ) = tS (M ) suy N môđun t-cốt 20 yếu M Hơn nữa, ta nói mơđun M mơđun t-đối không suy biến mạnh với môđun N M , tS (N ) = tS (M ) suy N môđun cốt yếu M Theo Mệnh đề 2.1.2, môđun Z2 -xoắn, môđun t-đối không suy biến mạnh môđun t-đối không suy biến Bên cạnh đó, mơđun đơn mơđun t-đối khơng suy biến mạnh Ngồi ra, M mơđun Z2 -xoắn, M mơđun t-đối khơng suy biến mạnh M = Đối với môđun không suy biến, khái niệm K -đối không suy biến, t-đối không suy biến mạnh t-đối không suy biến tương đương Mệnh đề 3.2.2 Cho M môđun (1) M môđun t-đối không suy biến với môđun N M chứa Z2 (M ) tS (N ) = tS (M ) suy N môđun cốt yếu M (2) Nếu M mơđun t-đối khơng suy biến M/Z2 (M ) môđun K -đối không suy biến Chứng minh (1) (⇒) Theo Mệnh đề 2.1.2(3), M môđun t-đối không suy biến với môđun N M có chứa Z2 (M ), N môđun cốt yếu M (⇐) Giả sử N môđun M tS (N ) = tS (M ) Vì tS (N + Z2 (M )) = tS (N ) nên theo giả thiết suy N + Z2 (M ) môđun cốt yếu M Do đó, N mơđun t-cốt yếu M (2) Đặt S = End(M/Z2 (M )) cho N/Z2 (M ) môđun M/Z2 (M ) cho lS (N/Z2 (M )) = Khi tS (N ) = tS (M ) Thật vậy, ϕ ∈ tS (N ), ϕ : M/Z2 (M ) → M/Z2 (M ) xác định ϕ(m + Z2 (M )) = ϕ(m) + Z2 (M ) đồng cấu với ϕ(N/Z2 (M )) = Do đó, ϕ = ϕ ∈ tS (M ); vậy, tS (N ) = tS (M ) 21 Khi đó, theo giả thiết ta có N mơđun t-cốt yếu M nên N/Z2 (M ) môđun cốt yếu M/Z2 (M ) Kết sau quan hệ tương đương môđun t-mở rộng với môđun t-Baer cụ thể; Định lý 1.2.8 cho môđun môđun mở rộng K -không suy biến mơđun Baer K -đối khơng suy biến Định lý 3.2.3 Các khẳng định sau tương đương môđun M : (1) M môđun t-mở rộng; (2) M môđun t-Baer t-đối không suy biến; (3) M môđun t-Baer C = tM (tS (C)) với mơđun t-đóng C ; (4) M môđun t-Baer với mơđun t-đóng C M tS (C) = tS (M ), C = M Chứng minh (1) ⇒ (2) Theo Định lý 2.2.2, M = Z2 (M )⊕M M mơđun mở rộng Theo Bổ đề 1.2.9, môđun mở rộng không suy biến mơđun Baer; đó, M mơđun Baer Theo Định lý 3.1.2, M môđun t-Baer Ta cần chứng minh M môđun t-đối không suy biến Thật vậy, theo Mệnh đề 3.2.2(1), N môđun M chứa Z2 (M ), tS (N ) = tS (M ) có nghĩa N mơđun cốt yếu M Vì M mơđun t-mở rộng nên N môđun t-cốt yếu hạng tử trực tiếp K M , ta có M = K ⊕ K Theo Mệnh đề 2.1.2(3), N môđun cốt yếu K Nếu K = 0, phép chiếu tắc πK : M → K thuộc tS (N ) mà không thuộc tS (M ), mâu thuẫn với giả thiết Vì thế, K = 0, tương tự với N môđun cốt yếu M , ta có điều phải chứng minh (1) ⇒ (3) Theo chứng minh (1) ⇒ (2), M mơđun t-Baer Gọi C mơđun t-đóng M Khi đó, C ≤ tM (tS (C)) Theo giả thiết, C hạng tử trực tiếp M nên ta viết M = C ⊕ C Hiển nhiên, π ∈ tS (C) π phép chiếu tắc C Giả sử 22 m ∈ tM (tS (C)) Khi đó, π (m) ∈ Z2 (M ) C chứa Z2 (M ) nên π (m) = Do đó, m ∈ C C = tM (tS (C)) (2) ⇒ (4) Ta có: M mơđun t-Baer t-đối khơng suy biến với mơđun t-đóng C M mà tS (C) = tS (M ) C = M (3) ⇒ (4) Giả sử C mơđun t-đóng M cho tS (C) = tS (M ) Theo giả thiết ta có: C = tM (tS (C)) = tM (tS (M )) = M (4) ⇒ (1) Theo Định lý 2.2.2, môđun M chứa Z2 (M ) môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M Giả sử N môđun Do M môđun t-Baer nên N ≤ tM tS (N ) = eM với e ∈ S phần tử lũy đẳng Nếu N khơng cốt yếu eM tồn mơđun khác khơng L ≤ eM cho L ∩ N = Gọi C phần bù L M mà chứa N Do L môđun không suy biến nên theo Mệnh đề 2.1.7, C mơđun t-đóng Ta chứng minh tS (C) = tS (M ) Thật vậy, giả sử ϕ ∈ tS (C), đó, ϕC ≤ Z2 (M ) suy ϕN ≤ Z2 (M ) ϕ ∈ tS (N ) Do vậy, ta có ϕeM ≤ Z2 (M ) tương tự ϕL ≤ Z2 (M ) Từ suy ϕ(C ⊕ L) ≤ Z2 (M ) Như vậy, C ⊕ L ≤ ϕ−1 (Z2 (M )) Mặt khác, C ⊕ L môđun cốt yếu M , ϕ−1 (Z2 (M )) mơđun cốt yếu M Do đó, theo Hệ 2.1.8, ϕ−1 (Z2 (M )) = M , suy ϕ ∈ tS (M ) Từ suy ra, tS (C) = tS (M ) Theo giả thiết, C = M , L = 0, mâu thuẫn với giả thiết Do đó, N mơđun cốt yếu hạng tử trực tiếp eM M Vậy M môđun t-mở rộng Hệ 3.2.4 Các khẳng định sau tương đương môđun M : (1) M môđun mở rộng không suy biến; (2) M môđun t-Baer môđun t-đối không suy biến mạnh; 23 (3) M môđun t-Baer C = tM (tS (C)) với mơđun đóng C ; (4) M môđun t-Baer với mơđun đóng C M , tS (C) = tS (M ), C = M Chứng minh (1)⇒ (2) M môđun mở rộng không suy biến nên M môđun t-mở rộng, theo Định lý 3.2.3, M mơđun t-Baer mơđun t-đối khơng suy biến mạnh (1) ⇒ (3) Cho M môđun mở rộng không suy biến nên M môđun t-mở rộng, theo Định lý 3.2.3, M môđun t-Baer C = tM (tS (C)) với mơđun đóng C (2) ⇒ (4) Giả sử M môđun t-Baer môđun t-đối không suy biến mạnh, theo Định lý 3.2.3, ta suy ra, M môđun t-Baer với mơđun đóng C M , tS (C) = tS (M ), C = M (3) ⇒ (4) Theo chứng minh Định lý 3.2.3 ((3)⇒(4)), ta có M mơđun t-Baer C = tM (tS (C)) với mơđun đóng C M tS (C) = tS (M ), C = M (4) ⇒ (1) Theo Định lý 3.1.2, M = Z2 (M ) ⊕ M với M mơđun M Rõ ràng, M mơđun đóng M tS (M ) = tS (M ); đó, M mơđun cốt yếu M tương tự M = M môđun không suy biến Mặt khác, theo Định lý 3.9((3) ⇒ (1)), M môđun mở rộng Một tổng trực tiếp môđun t-mở rộng không thiết phải môđun t-mở rộng Thật vậy, R = Z[x], R R-mơđun mở rộng R ⊕ R R-môđun mở rộng theo [6, Example 2.4] Tuy nhiên, R môđun không suy biến phải Do đó, R R-mơđun t-mở rộng R⊕R môđun t-mở rộng 3.3 Vành -t-mở rộng Định nghĩa 3.3.1 Ta nói vành R vành -t-mở rộng phải R-môđun tự môđun t-mở rộng Rõ ràng, vành -mở rộng phải vành -t-mở rộng phải Hơn nữa, R vành Z2 -xoắn phải, tức Z2 (RR ) = R, M Z2 (RR ) ≤ Z2 (M ), suy Z2 (M ) = M với R-môđun M Do vậy, R vành -t-mở rộng phải 24 Kết nêu đặc trưng vành -t-mở rộng phải Cụ thể, kết mô tả vành R mà R-môđun môđun t-Baer; Định lý 1.2.11 vành R có R-mơđun mơđun Baer, vành nửa đơn Định lý 3.3.2 Các khẳng định sau tương đương vành R: (1) R vành -t-mở rộng phải; (2) Mọi R-môđun không suy biến môđun xạ ảnh; (3) Với R-môđun M , tồn môđun xạ ảnh M , với M = Z2 (M ) ⊕ M ; (4) Mọi R-môđun môđun t-Baer; (5) Mọi R-môđun môđun t-mở rộng; (6) Mọi R-môđun xạ ảnh môđun t-mở rộng; (7) Mọi R-môđun không suy biến môđun Baer, Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R; (8) Mọi R-môđun không suy biến môđun mở rộng, Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử M R-môđun không suy biến Khi đó, tồn R-mơđun tự F môđun K F cho M ∼ = F/K Do F/K không suy biến nên K2 = K với K2 /K = Z2 (F/K) Do đó, theo Định lý 2.10(2), K hạng tử trực tiếp F Điều suy M môđun xạ ảnh (2) ⇒ (3) Giả sử M R-mơđun Vì M/Z2 (M ) khơng suy biến nên M/Z2 (M ) mơđun xạ ảnh Do đó, M = Z2 (M ) ⊕ M với môđun M M Ta lại có M mơđun khơng suy biến Vì vậy, M mơđun xạ ảnh (3) ⇒ (2) Hiển nhiên (2) ⇒ (4) Theo ta có M = Z2 (M ) ⊕ M với mơđun M M Giả sử C mơđun đóng M Do M không suy biến nên theo Mệnh đề 2.1.7, M /C khơng suy biến Vì thế, theo giả thiết, M /C môđun xạ ảnh, tương tự C hạng tử trực tiếp M 25 Suy M mơđun mở rộng, đó, theo Bổ đề 1.2.2, M môđun Baer Như vậy, theo Định lý 3.1.2, M môđun t-Baer (4) ⇒ (5) Giả sử M R-môđun K ≤ M Xét ϕ : M ⊕ (M/K) → M ⊕ (M/K) xác định ϕ(m, m + K) = (0, m + K) với m, m ∈ M Theo giả thiết, M ⊕ (M/K) môđun t-Baer; đó, theo Định lý 3.1.2, ϕ−1 (Z2 (M ⊕ (M/K))) hạng tử trực tiếp M ⊕ (M/K) Hơn nữa, ta có: ϕ−1 (Z2 (M ) ⊕ Z2 (M/K)) = K2 ⊕ (M/K) K2 /K = Z2 (M/K ) Do đó, K2 hạng tử trực tiếp M , vậy, theo Định lý 2.2.2(2), M môđun t-mở rộng (5) ⇒(6) ⇒ (1) (4) ⇒ (7) hiển nhiên (7) ⇒ (8) Chứng minh tương tự (4) ⇒ (5) cách giả sử K mơđun đóng M ; lưu ý M/K môđun không suy biến theo Mệnh đề 2.1.7 (8) ⇒ (1) Theo Định lý 2.2.2(3), suy Z2 (F ) hạng tử trực tiếp F với R-môđun tự F Hệ 3.3.3 Các khẳng định sau tương đương vành không suy biến phải R: (1) R -mở rộng phải; (2) Mọi R-môđun không suy biến môđun xạ ảnh; (3) Với R-môđun M , tồn môđun xạ ảnh M với M = Z(M ) ⊕ M; (4) Mọi R-môđun môđun t-Baer; (5) Mọi R-môđun môđun t-mở rộng; (6) Mọi R-môđun xạ ảnh môđun mở rộng; (7) Mọi R-môđun không suy biến môđun Baer; (8) Mọi R-môđun không suy biến môđun mở rộng 26 Chú ý 3.3.4 Nhắc lại vành gọi vành -mở rộng hữu hạn phải R-môđun tự hữu hạn sinh môđun mở rộng (theo [7]) Một vành R gọi vành -t-mở rộng hữu hạn phải R-môđun tự hữu hạn sinh môđun t-mở rộng Phép chứng minh Định lý 3.3.2 Hệ 3.3.3 điều kiện tương tự vành vành -t-mở rộng hữu hạn phải -mở rộng hữu hạn phải không suy biến phải môđun khẳng định (2)–(8) môđun hữu hạn sinh Hệ 3.3.5 Các khẳng định sau tương đương với vành R: (1) R vành -t-mở rộng phải tất R-môđun Z2 -xoắn môđun xạ ảnh; (2) R vành nửa đơn Chứng minh Ta có vành R gọi vành nửa đơn R-mơđun mơđun xạ ảnh, đó, theo Định lý 3.3.2, (1)⇔ (2) Bổ đề 3.3.6 Các khẳng định sau tương đương vành R: (1) Mọi R-môđun không suy biến môđun nửa đơn; (2) R/Z2 (RR ) vành nửa đơn Chứng minh Nếu (1) R/Z2 (RR ) R-mơđun nửa đơn Khi đó, R/Z2 (RR ) R/Z2 (RR )-môđun nửa đơn Ngược lại, giả sử M R-mơđun Vì M/Z2 (M ) mơđun nửa đơn R/Z2 (RR )-mơđun nên mơđun nửa đơn R-mơđun Do đó, R-mơđun khơng suy biến mơđun nửa đơn Ví dụ 3.3.7 Ta biết mơđun nửa đơn môđun không suy biến mơđun xạ ảnh Vì vậy, theo Bổ đề 3.3.6 Định lý 3.3.2, R vành cho R/Z2 (RR ) vành nửa đơn R vành sau chứng tỏ vành Gọi R = S -t-mở rộng vành -t-mở rộng Ví dụ -mở rộng T , S vành nửa đơn, T = Z2 (TT ) TT vành không mở rộng; tức là, T = Q[u, v] với u2 = v = uv = Khi đó, T mơđun địa phương I iđêan cực đại T Z(TT ) = I ≤e TT (theo [9, Example 7.14]) Vì thế, T = Z2 (TT ) 27 Mặt khác, TT khơng phân tích khơng giao hai iđêan khác không Qu Qv Suy ra, TT không mở rộng Ta lại có, Z2 (RR ) = T Theo Bổ đề 3.3.6, môđun không suy biến môđun nửa đơn, đó, xạ ảnh Theo Định lý 3.3.2, R vành -t-mở rộng vành -mở rộng phải Z2 -xoắn phải Mệnh đề 3.3.8 Các khẳng định sau tương đương vành R: (1) RR vành t-mở rộng; (2) Mọi R-môđun xyclic không suy biến môđun xạ ảnh; (3) Với R-mơđun xyclic M tồn mơđun xạ ảnh M với M = Z2 (M ) ⊕ M ; (4) Mọi R-môđun xyclic môđun t-mở rộng; (5) Mọi R-môđun xyclic xạ ảnh t-mở rộng Chứng minh (1) ⇒ (2) Gọi M R-môđun xyclic khơng suy biến Khi đó, tồn iđêan phải I R cho M ∼ = R/I Theo Mệnh đề 2.1.7, I mơđun t-đóng Do đó, I hạng tử trực tiếp R Suy ra, M môđun xạ ảnh Chứng minh (2) ⇔ (3) (2) ⇒ (4) tương tự chứng minh Định lý 3.3.2, (4) ⇒ (5) ⇒ (1) hiển nhiên Hệ 3.3.9 Các khẳng định sau tương đương vành không suy biến phải R: (1) RR mở rộng; (2) Mọi R-môđun xyclic không suy biến môđun xạ ảnh; (3) Với R-môđun xyclic M , tồn môđun xạ ảnh M với M = Z(M ) ⊕ M ; (4) Mọi R-môđun xyclic môđun t-mở rộng; (5) Mọi R-môđun xyclic xạ ảnh môđun mở rộng Hệ 3.3.10 Các khẳng định sau tương đương vành R: 28 (1) RR vành t-mở rộng, tất R-môđun Z2 - xoắn xyclic môđun xạ ảnh; (2) R vành nửa đơn Trong Định lý 3.3.2, đưa đặc trưng vành R mà môđun môđun t-Baer Từ đó, đưa đặc trưng mơđun tự xạ ảnh t-Baer Theo [12, Định lý 3.3], môđun tự xạ ảnh môđun Baer R vành nửa nguyên sơ di truyền Kết chứng minh tương tự Định lý 3.3.11 Các khẳng định sau tương đương vành R: (1) Mọi R-môđun tự môđun t-Baer; (2) Mọi R-môđun xạ ảnh môđun t-Baer; (3) Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R, môđun không suy biến R-môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh, tích trực tiếp R-mơđun khơng suy biến xạ ảnh môđun xạ ảnh; (4) Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R, môđun tích trực tiếp R-mơđun khơng suy biến xạ ảnh môđun xạ ảnh Chứng minh (1) ⇒ (2) theo chứng minh Định lý 3.1.6 (2) ⇒ (1) hiển nhiên (1) ⇒(3) Rõ ràng, Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R Giả sử P R-môđun xạ ảnh N môđun khơng suy biến P Khi đó, tồn R-môđun tự F môđun K ≤ F cho N∼ = F/K tồn dãy khớp ngắn ψ → K → F −→ N → Vì P mơđun xạ ảnh nên P đơn cấu với hạng tử trực tiếp Rmơđun tự R(Λ) Do đó, với λ ∈ Λ, tồn R-đồng cấu ι2 πλ ι1 từ P đến F , ι1 phép nhúng tắc P vào R(Λ) , πλ phép chiếu tắc từ R(Λ) vào thành phần thứ λ, ι2 phép nhúng tự nhiên R vào F Vì vậy, ι2 πλ ι1 ψ R-tự đồng cấu F với λ ∈ Λ 29 Do N môđun không suy biến nên ∩λ∈Λ (ι2 πλ ι1 ψ)−1 (Z2 (F )) = K Tuy nhiên, theo giả thiết, F môđun t-Baer, tương tự theo Định lý 3.1.2, K hạng tử trực tiếp F Vì vậy, N mơđun xạ ảnh Giả sử γ∈Γ Pγ tích trực tiếp R-môđun xạ ảnh không suy biến Pγ Khi đó, tồn dãy khớp ψ → K → F −→ Pγ → γ∈Γ F R-mơđun tự do, K mơđun F ,và Pγ → Pγ π: γ∈Γ phép chiếu tắc (lên thành phần thứ γ ) Tương tự, với γ ∈ Γ, tồn R-đồng cấu ψλγ (λγ ∈ Λγ ) từ Pγ đến F cho ∩γ∈Γ ∩λγ ∈Λγ (ψλγ πγ ψ)−1 (Z2 (F )) = K Theo định lý 3.1.2, K hạng tử trực tiếp F , đó, γ∈Γ Pγ môđun xạ ảnh (3) ⇒ (4) Hiển nhiên (4) ⇒ (1) Giả sử F R-môđun tự Theo Định lý 3.1.2, ta có F có tính chất SSIP với hạng tử chứa Z2 (F ) ϕ−1 (Z2 (F )) hạng tử trực tiếp F với ϕ ∈ End(FR ) Giả sử Lα hạng tử trực tiếp F chứa Z2 (F ) với α ∈ A đó, ta có: F = Lα ⊕ Lα Gọi πLα phép chiếu tắc F Lα Theo giả thiết, môđun α∈A Lα mơđun xạ ảnh; đó, dãy khớp πL → ∩α∈A Lα → F −→α Im( πLα ) → α∈A chẻ ra, πLα đồng cấu tắc F đến Lα Do đó, ∩α∈A Lα hạng tử trực tiếp F Bây giờ, giả sử ϕ tự đồng cấu F Môđun Z2 (RR ) hạng tử 30 trực tiếp R Z2 (F ) hạng tử trực tiếp F , ta có F = Z2 (F ) ⊕ F Vì vậy, ϕ−1 (Z2 (F )) = Z2 (F ) ⊕ (F ∩ ϕ−1 (Z2 (F ))) Gọi ϕ|F hạn chế ϕ tới F πF phép chiếu tắc F lên F Xét đồng cấu πF ϕ|F : F → F Ta có: ker(πF ϕ|F ) = F ∩ ϕ−1 (Z2 (F )) Như vậy, theo giả thiết, F /F ∩ ϕ−1 (Z2 (F )) môđun xạ ảnh nên F ∩ ϕ−1 (Z2 (F )) hạng tử trực tiếp F Dó đó, ϕ−1 (Z2 (F )) hạng tử trực tiếp F Mệnh đề 3.3.12 Các khẳng định sau tương đương vành R: (1) Mọi R-môđun tự hữu hạn sinh môđun t-Baer; (2) Mọi R-môđun hữu hạn sinh xạ ảnh môđun t-Baer; (3) Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R, môđun hữu hạn sinh tích trực tiếp R-mơđun khơng suy biến xạ ảnh môđun xạ ảnh Chứng minh (1) ⇒ (3) Rõ ràng, Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R Giả sử γ∈Γ Pγ tích trực tiếp R-môđun xạ ảnh không suy biến Pγ N môđun hữu hạn sinh γ∈Γ Pγ Với γ ∈ Γ, tồn R-môđun tự R(Λγ ) cho Pγ đơn cấu tới hạng tử trực tiếp R(Λγ ) Khi đó, tồn dãy khớp ψ → K → F −→ N → F R-môđun tự hữu hạn sinh K môđun F Giả sử Pγ → Pγ π: γ∈Γ phép chiếu tắc (lên thành phần thứ γ ), ιγ phép chiếu tắc Pγ R(Λγ ) , 31 πλγ phép chiếu tắc R(Λγ ) lên thành phần thứ λ ι phép chiếu tắc từ R vào F Khi đó, ∩γ∈Γ ∩λγ ∈Λγ (ιπλγ ιγ πγ ψ)−1 (Z2 (F )) = K Theo Định lý 3.1.2, K hạng tử trực tiếp F , đó, N mơđun xạ ảnh Mệnh đề 3.3.13 Các khẳng định sau tương đương vành R: (1) RR vành t-Baer; (2) Mọi R-môđun xyclic xạ ảnh môđun t-Baer; (3) Z2 (RR ) hạng tử trực tiếp R, mơđun xyclic tích trực tiếp R-môđun xạ ảnh không suy biến môđun xạ ảnh Chứng minh (1) ⇒ (2) Do R-môđun xyclic xạ ảnh đẳng cấu đến hạng tử trực tiếp R, nên theo Định lý 3.1.6 suy môđun t-Baer (2) ⇒ (3) Thay đổi chứng minh Mệnh đề 3.3.12((1) ⇒ (3)), cách giả sử N môđun xyclic γ∈Γ Pγ F = R (3) ⇒ (1) Trong chứng minh Định lý 3.3.12 ((4) ⇒ (1)), giả sử F = R làm tương tự ta có điều phải chứng minh Sau đưa điều kiện cho vành không suy biến phải để trở thành vành Baer Hệ 3.3.14 R vành Baer vành không suy biến phải môđun xyclic tích trực tiếp R-mơđun xạ ảnh môđun xạ ảnh 32 KẾT LUẬN Trong luận văn tổng quan chứng minh lại số kết sau: (1) Giới thiệu khái niệm môđun t-mở rộng môđun t-Baer (2) Chứng minh quan hệ môđun t-mở rộng với mơđun t-đóng mơđun t-cốt yếu Một mơđun mơđun t-mở rộng môđun môđun t-cốt yếu hạng tử trực tiếp (3) Một mơđun t-mở rộng tổng trực tiếp môđun mở rộng không suy biến môđun Z2 -xoắn (4) Một mơđun t-Baer tổng trực tiếp hai môđun Baer suy biến Z2 -xoắn (5) Một môđun môđun t-mở rộng mơđun t-Baer t-đối khơng suy biến (6) Vành R vành -t-mở rộng phải R-môđun phải môđun t-mở rộng, R-môđun phải môđun t-Baer, R-môđun phải không suy biến môđun xạ ảnh (7) Mỗi R-môđun phải tự (lần lượt môđun hữu hạn sinh, môđun xạ ảnh xyclic) môđun t-Baer 33 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Trương Cơng Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình Lý thuyết vành môđun, Nhà xuất Đại học Huế [3] Lê Văn Thuyết, Lê Đức Thoang (2017), Giáo trình vành với điều kiện hữu hạn, Nhà xuất Đại học Huế Tiếng Anh [4] Asgari, Sh., Haghany, A (2011), t-Extending Modules and t-Baer Modules, Comunications in Algebra, 39:5, 1605-1623 [5] Birkenmeier, G F., Park, J K., Rizvi, S T (2002), Modules with fully invariant submodules essential in fully invariant summands Comm Algebra 30:18331852 [6] Dogruăoz, S., Smith, P F (1998), Modules which are extending relative to module classes Comm Algebra 26:1699–1721 [7] Dung, N V., Huynh, D V., Smith, P F., Wisbauer, R (1994), Extending modules Pitman Research Notes in Mathematics 313 Harlow: Longman [8] Kamal, M A., Sayed, A, (2007),On generalized extending modules Acta Math Univ, Comenianae LXXVI:193-200 [9] Lam, T Y (1998) Lectures on Modules and Rings Graduate Texts in Mathematics, Vol 189 New York/Berlin: Springer-Verlag [10] Rizvi, S T., Roman, C S (2004), Baer and quasi-Baer modules Comm Algebra 32:103–123 [11] Rizvi, S T., Roman, C S (2007), On K-nonsingular modules and applications Comm Algebra 35:2960–2982 [12] Rizvi, S T., Roman C S (2009), On direct sums of Baer modules J Algebra, 321:682-696 ... t- c? ?t yếu M? ?t mô? ?un mô? ?un t- mở rộng mô? ?un mô? ?un t- c? ?t yếu hạng t? ?? trực tiếp (3) M? ?t mô? ?un t- mở rộng t? ??ng trực tiếp m? ?đun mở rộng không suy biến mô? ?un Z2 -xoắn (4) M? ?t m? ?đun t- Baer t? ??ng trực tiếp... hai mô? ?un Baer suy biến Z2 -xoắn (5) M? ?t mô? ?un m? ?đun t- mở rộng mô? ?un t- Baer t- đối không suy biến (6) Vành R vành -t- mở rộng phải R -mô? ?un phải mô? ?un t- mở rộng, R -mô? ?un phải mô? ?un t- Baer, R -mô? ?un... t- đóng t- c? ?t yếu là: m? ?đun M mô? ?un t- mở rộng mô? ?un M mô? ?un t- c? ?t yếu hạng t? ?? trực tiếp M M? ?t mô? ?un t- mở rộng t? ??ng trực tiếp m? ?đun mở rộng không suy biến mô? ?un Z2 -xoắn Đặc bi? ?t, Z -mô? ?un hữu