1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

dd dãy, đặc trưng euler poincaré và ứng dụng vào nghiên cứu cấu trúc một số lớp mở rộng của môđun cohen macaulay

102 74 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 102
Dung lượng 638,23 KB

Nội dung

▼ô❝ ▲ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❈❤✉➮♥ ❜Þ ✶✵ ✶✳✶✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ❑✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ✶✳✸✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❞❞✲❉➲② ✈➭ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦ ✷✳✶✳ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❞❞✲❞➲② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦ ❝đ❛ ♣❤ø❝ ❑♦s③✉❧ ✷✳✸✳ ▲✐➟♥ ❤Ư ✈í✐ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✹✺ ✸✳✶✳ ▲ä❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ❤Ư t❤❛♠ sè tèt ✸✳✷✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✸✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾ ❈❤➢➡♥❣ ✹✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ✹✳✶✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ✳ ✳ ✹✳✷✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦ ✈➭ ❤➺♥❣ sè ✹✳✸✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ t❤❛♠ sè ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✶ ✼✵ ✳ ✳ ✳ ✳ IF (M ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✻ ▼ë ➤➬✉ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ♠♦❞✉❧♦ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➲ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tõ ❧➞✉ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ❚õ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ✺✵ ❝đ❛ t❤Õ ❦û tr➢í❝✱ ❙❡rr❡ ➤➲ ❝❤Ø r❛ ❝ã t❤Ĩ ❞ï♥❣ ♣❤ø❝ ❑♦s③✉❧ ➤Ĩ tÝ♥❤ ❜é✐ ❝đ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ✈í✐ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè✱ tõ ➤ã ➤➢❛ r❛ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐✱ sè ❜é✐ ✈í✐ ➤é ❞➭✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ❑♦s③✉❧✳ ❈➳❝ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ư ➤ã ➤➢ỵ❝ t✐Õ♣ tơ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ❆✉s❧❛♥❞❡r✲❇✉❝❤s❜❛✉♠ ✈➭ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤➳❝✱ ❞➱♥ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ♠➭ ♥❣➭② ♥❛② trë t❤➭♥❤ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ➜Ó ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝✱ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ❑ý ❤✐Ư✉ m M ✱ R ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ ✱ tr♦♥❣ ➤ã x ✳ ( ) ❧➭ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐✱ ❑❤✐ ❞✃✉ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ①➯② r❛✱ (M/xM ) = e(x, M ) M ị ữ s ó ề e(x, M ) ➤è✐ ✈í✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ❝❤♦ ❧➭ ♠ét ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ❧➭ ♠ét x = x1 , , x d ∈ m (M/xM ) M (R, m) t❛ ❧✉➠♥ ①Ðt M ✳ ◆♦❡t❤❡r dim M = d ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❧✉➠♥ ❝ã e(x, M ) ❧➭ sè ❜é✐ ❝ñ❛ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tå♥ t➵✐ x s❛♦ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ ❈ã t❤Ĩ ♥ã✐ ột tr ữ trú ợ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦ü ✈➭ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ♥❤✃t tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✳ ◆Õ✉ (M/xM ) = e(x, M ) ▼❛❝❛✉❧❛② t❛ ❝ò♥❣ ❝ã M ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ❧➭ ❈♦❤❡♥✲ x M ❝ñ❛ ✳ ▼ë ré♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭② ❝đ❛ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧➭ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ❞♦ ❙t s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè I(M ) = ✳ ✱ ✳ ❝❦r❛❞ ✈➭ ❱♦❣❡❧ ➤➢❛ r❛✳ ➜ã ❧➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ I(M ) t❤á❛ ♠➲♥ M (M/xM ) ❝❤✃t (M/xM ) = e(x, M ) + I(M ) ◆❤➢ ✈❐② ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧➭ ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ✈í✐ t➢➡♥❣ e(x, M ) + C tù C ♠➭ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè ♥❤➢ ♠➠➤✉♥ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ✳ ❍➺♥❣ sè ✈➭ ❝ã t➟♥ ❧➭ ❤➺♥❣ sè ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ❝ñ❛ tÝ♥❤ M ◆➝♠ ✶✾✼✾✱ ❜❛ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ◆✳ ❚✳ r ét M x u ă M ✳ C ♥❤á ♥❤✃t ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ❝đ❛ I(M ) ❈➳❝ ♠➠➤✉♥ ♥❤➢ ✈❐② ❝ã r✃t ♥❤✐Ò✉ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✶ x ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ❘â r➭♥❣ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ❧➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ♠➠➤✉♥ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ❝đ❛ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠➠➤✉♥ s✉② ré♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ó♥ s✉② r✃t ré♥❣✳ ♥❤❛♥❤ ▲ý tr♦♥❣ t❤✉②Õt t❤❐♣ ❦û ✽✵ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ➤➬✉ t❤❐♣ ❦û ✾✵ ❝đ❛ t❤Õ ❦û ✷✵ ❜ë✐ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣✱ ❙❝❤❡♥③❡❧✱ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣✱ ❙t ❨❛♠❛❣✐s❤✐✱ ❚❛❦❛②❛♠❛✱ ❍×♥❤ ọ số ý ệ u ă ó ề ø♥❣ ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈➭ x(n) = xn1 , , xnd d ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ t❤× ✈í✐ n1 , , n d ❝❦r❛❞✱ ❱♦❣❡❧✱ ▲✳ ❚✳ ❍♦❛✱ ❇r♦❞♠❛♥♥✱ ●♦t♦✱ ✱ ✈í✐ n1 , , n d > (M/x(n)M ) = n1 nd e(x, M ) + I(M ) ➤đ ❧í♥ ✭➤Ĩ ♥❣➽♥ ❣ä♥ t❛ sÏ ❞ï♥❣ ❦ý ❤✐Ö✉ (M/x(n)M ) M ✳ ◆Õ✉ ✮✱ ♥ã✐ M ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✱ ❙❤❛r♣ ➤➷t ❝➞✉ ❤á✐✿ ❤➭♠ (M/x(n)M ) r✐➟♥❣✱ ❝ã ❞➵♥❣ ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n1 , , n d ❦❤✐ n1 , , n d n1 , , n d n1 , , n d ✳ ❑❤✐ ❦❤➠♥❣❄ ❑❤➠♥❣ ❦❤ã ó tể tì ợ í ụ ỉ r ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❧➭ ♣❤đ ➤Þ♥❤✱ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❝➞✉ ❤á✐ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➭♦ t❤× ❤➭♠ (M/x(n)M ) ❝ã ❞➵♥❣ ➤❛ t❤ø❝✳ ▼ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ➤➢ỵ❝ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ➤➢❛ r❛ tr♦♥❣ ❬✽❪ q✉❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✉♣✲❞➲②✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✾❪ ➠♥❣ ❝ò♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t ❤➭♠ (M/x(n)M ) t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ♠ét ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❦ý ❤✐Ư✉ ❧✐♥❤ ✈➭♥❤ t❛ s✉② ✈➭♥❤ x ❝đ❛ ●♦r❡♥st❡✐♥✱ M s❛♦ ❝❤♦ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ (M/x(n)M ) a(M ) = a0 (M )a1 (M ) ad−1 (M ) ❤ã❛ ❧➭ ❧✉➠♥ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ ❜ë✐ ♠ét ➤❛ t❤ø❝✳ tư ❝đ❛ t❤➢➡♥❣ r❛ ❧✉➠♥ ♠➠➤✉♥ ❝đ❛ tå♥ ➤è✐ ♠ét t➵✐ ➤å♥❣ ✈➭♥❤ ♠ét ❤Ư ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ●♦r❡♥st❡✐♥ t❤❛♠ ✈í✐ ➤➲ tõ xi ∈ a(M/(xi+1 , , xd )M ) i = 1, , d ✱ ✳ r➺♥❣ ❧✉➠♥ ❧➭ ✈➭♥❤ tå♥ t➵✐ (M ) = Ann(Hmi (M )) Hmi (M ) ♠ét ❦Õt x = x1 , , x d sè r❛ R ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝✳ ❈ô t❤Ĩ ❤➡♥✱ ♣❤➢➡♥❣ t❤× ❝❤Ø ❑❤✐ ✈➭♥❤ ❝đ❛ q✉➯ t❤á❛ M ❝ñ❛ ♠➲♥ ✳ ❑❤✐ ❧➭ R ❙❝❤❡♥③❡❧✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ▼ét ❤Ư t❤❛♠ sè ♥❤➢ ✈❐② ➤➢ỵ❝ t➳❝ ❣✐➯ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝✱ ❤➡♥ ♥÷❛ ❦❤✐ ➤ã d (M/x(n)M ) = n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ), ✭ ✮ i=0 ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ♠ä✐ n1 , , n d > ✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ s❛✉ ➤ã ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❑❛✇❛s❛❦✐ sư ❞ơ♥❣ ♥❤➢ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ t❤❡♥ ❝❤èt ➤Ĩ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ✷ ▼❛❝❛✉❧❛② ❤ã❛ ♠ét ➤❛ t➵♣ ➤➵✐ sè ❞♦ ❋❛❧t✐♥❣s ➤➷t r❛✱ tõ ➤ã ➤➢❛ r❛ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❝❤♦ ❣✐➯ t❤✉②Õt ❝đ❛ ❙❤❛r♣ ✈Ị ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tå♥ t➵✐ ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤ã t❤ó❝ ➤➮② ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦ü ❤➡♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ♥➭② ❝ò♥❣ ♥❤➢ ø♥❣ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥✳ ❇➯♥ t❤➞♥ ❝➳❝ ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ã r✃t ♥❤✐Ò✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t tèt✳ ❍➬✉ ❤Õt ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥➭② ➤Ị✉ ❞♦ ❝➳❝ ❤Ư t❤❛♠ sè ♥➭② t❤á❛ ♠➲♥ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭ ✮ ë tr➟♥✳ ❱× ✈❐② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➷t ✈✃♥ ➤Ị ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư t❤❛♠ sè t❤á❛ ♠➲♥ ✭ ✮ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ❝➳❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❈➳❝ ❤Ư t❤❛♠ sè ♥❤➢ ✈❐② ❧➭ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ❝đ❛ ệ ợ ị ĩ tr ▼ét ♠ë ré♥❣ ❦❤➳❝ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❦❤➳❝ ❧➭ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ❚❛ ❣ä✐ M ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M, s❛♦ ❝❤♦ Mi /Mi−1 (M0 ) < ∞ dim M0 < dim M1 < < dim Mt = d t ứ s ỗ rộ ✈í✐ i = 1, 2, , t ✳ ❈➳❝ ❧ä❝ ♥❤➢ ✈❐② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ▼❛❝❛✉❧❛② ✐➤➟❛♥ ✈➭ ♥❣✉②➟♥ s✉② ré♥❣✮✳ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝đ❛ ❈❤ó s✉② ý r➺♥❣ ré♥❣ ♠➠➤✉♥ ❧➭ t❤á❛ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ♠➲♥ ❦❤✐ ❝➳❝ tré♥ ♠➠➤✉♥ ❧➱♥✱ ❈♦❤❡♥✲ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ dim R/p = dim M ❝➳❝ ❤♦➷❝ dim R/p = ✭tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✮✱ t❤× ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ tè ♥❣✉②➟♥ ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ❧✐➟♥ ré♥❣ ❦Õt ❞➲② ❝đ❛ ❝ã ❝➳❝ ➤è✐ ♠➠➤✉♥ ❝❤✐Ị✉ ❦❤➳ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② tï② ý✱ t❤❛② ➤æ✐ tõ ❞➲② ✈➭ ➤Õ♥ ❈♦❤❡♥✲ dim M ✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❦❤➳❝ ❜✐Ưt ❝➡ ❜➯♥ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ♥➭②✳ ❈✃✉ tró❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ①✉✃t ❤✐Ư♥ tù ♥❤✐➟♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈➭♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tỉ ợ ợ t ị ĩ t tr ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ tr♦♥❣ ❬✸✽❪✱ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♠➠➤✉♥ tr➟♥ ✈➭♥❤ ị ợ ét ◆❤➭♥ ❬✶✽❪✱ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❬✸✼❪✳ ❍✐Ö♥ ♥❛② ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ♠➠➤✉♥ ♥➭② ➤❛♥❣ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ❝➳❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ tr tổ ợ ý tết tị ❬✷✵❪✱ ✳ ✳ ✳ ✮✳ ❇➟♥ ❝➵♥❤ ➤ã✱ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② tõ ❦❤Ý❛ ❝➵♥❤ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ✈✃♥ ➤Ị q✉❛♥ trä♥❣ ✈➭ t❤✉ ❤ót ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ❈➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ t✐➟✉ ❜✐Ĩ✉ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ ❦Ĩ ➤Õ♥ ❬✶✽❪✱ ❬✷✽❪✱ ❬✸✼❪✱ ❬✸✽❪✳ ❝❤✃t ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤✃t ❧➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② q✉❛ tÝ♥❤ tr✐Ưt t✐➟✉ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝đ❛ ➤è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ▼ét ♠ë ré♥❣ ❦❤➳❝ ❦❤➳ tù ♥❤✐➟♥ ❝đ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ▼➠➤✉♥ t➢ỵ♥❣ ❞➲② ➤➢ỵ❝ ◆✳ ❚✳ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝đ❛ ❈➢ê♥❣ ❞➲② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ✈➭ ✈➭ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ➤➢❛ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥➭②✳ r❛ s✉② tr♦♥❣ ré♥❣ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ❜➭✐ ❞➲② sÏ ❜➳♦ ❧➭ ❝❤Ø ❬✶✽❪✳ ❤❛✐ r❛ ➤è✐ r➺♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè t❤á❛ ♠➲♥ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭ ✮ ë tr➟♥✳ ❚õ ➤ã ❝❤ó♥❣ t➠✐ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ➤Ĩ q✉❛② ❧➵✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ♥➭②✳ ▼➷❝ ❞ï ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ❦❤➳ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉✱ t✉② ♥❤✐➟♥ ❝ò♥❣ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✱ ❝➳❝ ❦ü t❤✉❐t ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ✈í✐ ❤❛✐ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ë tr➟♥ ❧➭ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ ♠❛♥❣ ➤➷❝ t❤ï ❝ñ❛ tõ♥❣ ❧í♣ ♠➠➤✉♥✳ ▲✉❐♥ ➳♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❜è♥ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❧➭ ❝❤➢➡♥❣ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥➟✉ ❧➵✐ ♥❣➽♥ ❣ä♥ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ q✉❡♥ ❜✐Õt tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ➤Ĩ t✐Ư♥ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❈ơ t❤Ĩ ❧➭ tr♦♥❣ ❚✐Õt ✶✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ♥➟✉ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✱ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞✲❞➲②✱ ❞✲❞➲② ♠➵♥❤✱ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝ ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥✱ ❝❤ñ ②Õ✉ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✹✻❪✱ ❬✹✸❪✳ ❚r♦♥❣ ❚✐Õt ✷✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝✱ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ✈➭ ♠ét số tí t ủ ú ợ trì tr ❬✾❪✱ ❬✶✵❪✱ ❬✸✵❪✱ ❬✸✶❪✳ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò ➤➷❝ tr rPré ủ ứ s ợ trì ❜➭② tr♦♥❣ ❚✐Õt ✸✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ❝❤ñ ②Õ✉ tõ ❬✶✼❪✱ ❬✹✺❪✳ ❈➳❝ ❚r♦♥❣ ❦Õt q✉➯ ❈❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ✷ ❧✉❐♥ ❝❤ó♥❣ ➳♥ t➠✐ ➜ã ❧➭ ❝➳❝ ❞➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö i = 1, 2, , s tì ợ trì tệ x1 , , x s ∈ m xn1 , , xni i ❧➭ ❞✲❞➲② tr♦♥❣ ♥✐Ö♠ ❝➳❝ ❈❤➢➡♥❣ ❞❞✲❞➲② tr➟♥ ✷✱ ♠ét ✸ tr➟♥ ✹✳ ♠➠➤✉♥✳ n1 , , n s ni+1 M/(xi+1 , , xns s )M ✳ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ✈➭ >0 ✱ ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❧➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❞❞✲❞➲② ❝đ❛ ❤Ư t❤❛♠ sè t❤➠♥❣ q✉❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐ ✈➭ sè ❜é✐✳ ❈ơ t❤Ĩ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✽✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sư x = x1 , , x d ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M✳ ❈➳❝ ➤✐Ị✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ x ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲② tr➟♥ M ✳ ✭✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐ n1 , , nd > 0✱ d (M/x(n)M ) = n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ) i=0 ✭✐✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ a0 , a1 , , ad s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n1 , , nd > 0✱ d (M/(xn1 , , xnd d )M ) = n n i i=0 ▼ét ❤Ö q✉➯ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ❧➭ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ➤Ị✉ ❧➭ ❞❞✲❞➲②✳ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ tõ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ t❤× ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② ✈í✐ sè ♠ò ➤đ ❧í♥ ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝✳ t❤❛♠ sè t❤❛♠ sè k ❧➭ ❞❞✲❞➲② ✈➭ ❤Ö x = x1 , , x d ❝ñ❛ ♣❤ø❝ ❑♦s③✉❧ ❝ñ❛ t❤❛♠ ❝ñ❛ M M sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ❧➭ ❉♦ ➤ã sù tå♥ t ủ ệ t ỗ ệ t ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ø♥❣ ✈í✐ x ❧➭ d (−1)i−k (Hi (x, M )), χk (x, M ) = i=k ✺ tr♦♥❣ ➤ã Hi (x, M ) ♥ã✐ r➺♥❣ χ0 (x, M ) = e(x, M ) ❞➱♥ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ❑♦s③✉❧ t❤ø ✈➭ χk (x, M ) i ✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❙❡rr❡ ✈í✐ ♠ä✐ k = 0, 1, , d ✱ χ1 (x, M ) = (H0 (x, M )) − χ0 (x, M ) = (M/xM ) − e(x, M ) ➤Õ♥ ✳ (M/x(n)M ) ◆❤➢ ✈❐② tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ χ1 (x(n), M ) ✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t❤ø❝ ❝đ❛ ❤➭♠ x t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ➤❛ ❧➭ ❞❞✲❞➲② t❤× d−1 χ1 (x(n), M ) = n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ) i=0 ➜✐Ò✉ ❣✐➯ ♥➭② ◆✳ ❚✳ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❈➢ê♥❣ χk (x(n), M ) ❧➭ ♠ét ❬✶❪✿ ❝➞✉ ♣❤➯✐ ♠ét ➤❛ ❤á✐ ♠ë ❝❤➝♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ x ♥Õ✉ t❤❡♦ ❧✉❐♥ ❧➭ ♠ét n1 , , n d ➳♥ t✐Õ♥ ❤Ư ✈í✐ sÜ t❤❛♠ ♠ä✐ ❦❤♦❛ sè ❤ä❝ ❝ñ❛ ♣✲❝❤✉➮♥ k > ❄ ❚r➯ t➳❝ t➽❝ ❧ê✐ t❤× ❝➞✉ ❤á✐ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ã ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ t❤ø ❤❛✐ ❝đ❛ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✸✮✳ x = x1 , , x d ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤♦ ❞❞✲❞➲② tr➟♥ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ M✳ ●✐➯ sư x ❧➭ ♠ét M ✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ n1 , , nd > 0✱ d−k χk (x(n), M ) = n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )Hk−1 (xi+2 , ,xd ,M ) ) i=0 ❍Ö q✉➯ ❧❐♣ tø❝ ❧➭ tr➯ ❧ê✐ ❦❤➻♥❣ ị ò ỉ r tờ ủ ❤➭♠ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥✳ χk (x(n), M ) ❍➡♥ ♥÷❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✳ P❤➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ➤➢ỵ❝ ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝ã ♠ét ❤Ö t❤❛♠ ❞❞✲❞➲②✱ ✈➭♥❤ R sè ❧➭ M trì ó sử tờ ợ sư ❧➭ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✳ ➤➯♠ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ➤ã ❚r♦♥❣ M ❞ơ♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ●✐➯ t❤✐Õt ♥➭② ❜➯♦ ➤Ị✉ ❝ã ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲②✱ ❜➟♥ ❝➵♥❤ ❝ã ♥❤✐Ị✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦❤➳❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ã sư ❞ơ♥❣ ❞❞✲❞➲② ♥❤➢ tÝ♥❤ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ q✉Ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r②✱ ✳ ✳ ✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ tr♦♥❣ t❤ù❝ tÕ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ✈Ý ❞ô ✈➭♥❤ R ❦❤➠♥❣ ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉ ♥❤➢♥❣ ✈➱♥ ❧➭ ❝❛t❡♥❛r②✱ ❝ã q✉Ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧➭ ➤ã♥❣ ✈➭ ❝ã ❤Ö t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲②✳ ❚r♦♥❣ t✐Õt ✻ ❝✉è✐ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❜á ❣✐➯ t❤✐Õt R ❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✱ ❝❤Ø ❣✐➯ sö M ❝ã ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù t❤❛② ➤ỉ✐ ❝đ❛ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦❤➳❝✳ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ❜❛♥ ➤➬✉ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭② ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛ ✈➭ ♠ét ➤ tr➢ê♥❣ ợ ệt ủ ị ý rệt ể ts ợ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ t✐Õt ❝✉è✐ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ➤➢ỵ❝ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ tr➢í❝ ❤Õt ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❧ä❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ❤Ư t❤❛♠ sè tèt✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥➭② ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ✈➭ ❝➯ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ❚❛ ♥ã✐ ♠ét ❧ä❝ F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M M ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝đ❛ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ♥Õ✉ dim M0 < dim M1 < < dim Mt = dim M = d ✳ ✳ ❑ý ❤✐Ö✉ di = dim Mi sè tèt ➤è✐ ✈í✐ x1 , , x di F ♥Õ✉ x = x1 , , x d ▼ét ❤Ö t❤❛♠ sè (xdi +1 , , xd )M ∩ Mi = ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❝đ❛ Mi ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ i = 0, 1, , t ✈í✐ ✳ ❑❤✐ ➤ã ✈➭ t❛ ❝ã t❤Ĩ ①Ðt ❤✐Ư✉ t IF,M (x) = (M/xM ) − e(x1 , , xdi , Mi ) i=0 IF,M (x) ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝ã ♥❤✐Ị✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❤✐Ư✉ ①Ðt ▼❛❝❛✉❧❛② IF,M (x) tr➢í❝ s✉② ❧✉➠♥ n1 , , n d IF,M (x) t❤× ré♥❣ ❧➭ ➤➞② ✈➭ ♠ét ❤➭♠ ♥❤✐Ò✉ sè ♥➭② t➢➡♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ✈✃♥ ❝ø✉ ➤Ị ➞♠✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠✱ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♠➠➤✉♥ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ ❦❤✐ IM (x) = (M/xM )−e(x, M ) tr♦♥❣ ①Ðt ✳ ✳ ✳ ✳ ➤➵✐ sè IF,M (x(n)) ❈ò♥❣ (M/xM ) ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ ❝❤ó ý ❣✐❛♦ ♥❤➢ r➺♥❣ ❤♦➳♥✳ ♠ét ❜✃t ❈♦❤❡♥✲ ❈ơ t❤Ĩ✱ ❤➭♠ t❤❡♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t i=0 e(x1 , , xdi , Mi ) ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ q✉❡♥ ❜✐Õt ❣✐÷❛ ➤é ❞➭✐ ✈➭ sè ❜é✐ (M/xM ) e(x, M ) ✳ ❑Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✷✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ò s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ M ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✳ ✼ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❝ã t❤Ó tã♠ t➽t tr♦♥❣ F ✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ x = x1 , , x d tèt x = x1 , , x d ◆❤➢ ✈❐②✱ ❦❤✐ F ➤è✐ ✈í✐ F ✭✐✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ M ⊂ Mt = M t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè tèt s❛♦ ❝❤♦ IF,M (x(n)) = 0✱ ✈í✐ ♠ä✐ n1 , , nd > 0✳ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè F ✱ IF,M (x) = 0✳ ➤è✐ ✈í✐ ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè tèt F : M0 ⊂ M1 ⊂ x = x1 , , x d t❛ ❧✉➠♥ ❝ã t (M/x(n)M ) = n1 ndi e(x1 , , xdi , Mi ) i=0 ❧➭ ♠ét ➤➷❝ ➤❛ t❤ø❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ✈í✐ ♠ét ♠ä✐ ❤Ư n1 , , n d > ✱ t❤❛♠ sè ❧➭ tr♦♥❣ ❞❞✲❞➲② q✉❛ ➤ã ❤➭♠ di = dim Mi ➤é ❞➭✐ ë ✳ ❚õ ❈❤➢➡♥❣ ♠ét ✷✱ t❛ s✉② r❛ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ❧✉➠♥ ❝ã ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲②✳ ❑❤✐ ①Ðt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ e(x1 , , xdi , Mi ) tr➟♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✈➭♥❤ ❙t❛♥❧❡②✲❘❡✐s♥❡r✱ ❝➳❝ ❤Ư sè ➤➢ỵ❝ tÝ♥❤ t➢ê♥❣ ♠✐♥❤ t❤➠♥❣ q✉❛ sè ❝➳❝ ♠➷t ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ ♣❤ø❝ ➤➡♥ ❤×♥❤ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ✈➭♥❤ ➤ã✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ré♥❣ t❤× ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè F IF,M (x) < C ✱ ❝➳❝ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝đ❛ ❝❤♦ ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❑Õt q✉➯ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤Ø r❛ ❧➭ ♥Õ✉ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ✈➭ ➤è✐ ✈í✐ ❝ø✉ ➤ ✳ ➷t M C ❧➭ ♠ét ❧➭ ♠ét ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt IF (M ) = supIF,M (x) tr♦♥❣ ➤ã x x ❝ñ❛ M ❝❤➵② tr➟♥ x ➤è✐ ✈í✐ ❧ä❝ IF,M (x(n)) = IF (M ) F M ❈♦❤❡♥✲ ✈í✐ ♠ä✐ F ✳ ▲✉➠♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè x s❛♦ n1 , , n d > ✳ ❉♦ ➤ã t (M/x(n)M ) = n1 ndi e(x1 , , xdi , Mi ) + IF (M ) i=0 ✈➭ x ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲② tr➟♥ M ✳ ❍➺♥❣ sè IF (M ) ➤è✐ ✈í✐ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❤➺♥❣ sè ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ✹ ❧➭ ✈✐Ö❝ tÝ♥❤ ❤➺♥❣ sè IF (M ) I(M ) ➤è✐ ✈í✐ ❑Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ t❤ø ❤❛✐ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ t❤➠♥❣ q✉❛ ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ♠ét sè ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❚❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✷✳✻✮✳ ✽ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤♦ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ M ✈í✐ ♠ét ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲ F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M ✳ ➜➷t di = dim Mi ✱ i = 0, 1, , t − 1✳ ❑❤✐ ➤ã t di+1 −1 di+1 −1 IF (M ) = i=0 k=di ❑Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ t❤ø ❜❛ j=1 ❝ñ❛ k−1 j−1 ❈❤➢➡♥❣ ✹ (Hmj (M/Mi )) ❧➭ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✸✳✷✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ M ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ x = x1 , , xd ❝đ❛ M ✈í✐ ♠ä✐ F t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉✱ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè tèt ➤è✐ ✈í✐ F ✈➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè C s❛♦ ❝❤♦ IF,M (x(n)) C n1 , , nd > 0✳ ✭✐✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ F t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ s❛♦ ❝❤♦ IF (M ) < ∞✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤Ó ❦✐Ó♠ tr❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✿ M s✉② ré♥❣ ❞➲② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè tèt x ❝đ❛ M ➤è✐ ✈í✐ F ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② F s❛♦ ❝❤♦ ✾ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ IF,M (x) = IF,M (x21 , , x2d ) ✳ ➳ n1 , , n d > ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ♣ ❞ơ♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉✐ ♥➵♣ ➤è✐ ✈í✐ D t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ (x1 , , xd−1 )[xd (M/D1 ) : xi ] ⊆ xd (M/D1 ) + (0 : xi )M/D1 1 ✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉✐ ♥➵♣ t❛ s✉② r❛ (x2 , , xd )[xd (M/xn1 M ) : xi ] ⊆ xd (M/xn1 M ) + (0 : xi )M/xn1 M ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ❉ï♥❣ ➤ (x2 , , xd )[(xd , xn1 )M : xi ] + xn1 M ⊆ xd M + xn1 M : xi ✳ Þ♥❤ ❧ý ●✐❛♦ ❑r✉❧❧ t❛ ➤➢ỵ❝ (x2 , , xd )[(xd , xn1 )M : xi ] + xn1 M (x2 , , xd )(xd M : xi ) ⊆ n1 (xd M + xn1 M : xi ) = xd M + :M xi ⊆ n1 ❱× d1 > ♣❤➢➡♥❣ ♥➟♥ ♣❤➳♣ t❛ ❝ò♥❣ t➢➡♥❣ tù ❝ã ➤è✐ ID1 ,M/xn1 M (xn2 , xn1 , xn3 , , xnd d ) = c ✈í✐ ❞➲② x , x1 , x3 , , x d (x1 , x3 , , xd )(xd M : xi ) ⊆ xd M + :M xi x i ) ⊆ x d M + :M x i ✳ ❱❐② t❛ ❝ò♥❣ ✳ ♥❤❐♥ ❇➺♥❣ ➤➢ỵ❝ (x1 , , xd )(xd M : ✳ ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ t✐Õt ♥➭② ❝❤♦ t❛ ♠ét ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② t❤➠♥❣ q✉❛ ❤➭♠ ✽✼ IF,M (x(n)) ✳ M ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✸✳✷✳ ❈❤♦ ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❝❤✐Ị✉ d✳ ❈➳❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ M ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ F F ✭✐✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝ x1 , , xd ➤è✐ ✈í✐ F t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ (ii) ⇒ (iii) t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè tèt s❛♦ ❝❤♦ (i) ⇒ (ii) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ IF,M (x(n)) ❧➭ ❤➺♥❣ sè ✈í✐ ♠ä✐ n1 , , nd > 0✳ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✹✳✷✳✺✳ ❧➭ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ✈× IF,M (x(n)) (iii) ⇒ (i) ✿ ●✐➯ sư ❧ä❝ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ M ❧➭ ✳ q✉✐ ♥➵♣ d t❤❡♦ ✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ◆Õ✉ d = t❤× ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❧➭ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥✳ ●✐➯ sư ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠✳ D : D0 ⊂ ⊂ Dt = M ❧✉❐♥ ♥❤➢ ♣❤➬♥ ➤➬✉ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇ỉ ➤Ị ✹✳✸✳✶✱ n1 , , n d > IF (M ) < ∞✳ ID,M (x(n)) ✳ ▲❐♣ ❧➭ ❤➺♥❣ sè ✈í✐ ♠ä✐ M ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ❜➺♥❣ M ❧✉➠♥ ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ♥➟♥ d>1 ✳ ❳Ðt ❧ä❝ Dd : (xd M + D0 )/xd M ⊂ · · · ⊂ (xd M + Ds )/xd M ⊂ M/xd M tr♦♥❣ ➤ã s = t−1 ♥Õ✉ dt−1 < d − ✈➭ s = t−2 ♠ét ❞❞✲❞➲② ♥➟♥ ❧➭ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè tèt ❝đ❛ ✈í✐ i = 0, 1, , t − ✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✺✱ r❛ ♥ã✐ x1 , , xd−1 nd−1 IDd ,M/xd M (xn1 , , xd−1 ) 0, nd = ✳ ✈í✐ ●ä✐ Dd t❤á❛ ✳ ❚❛ ❝ã ♠➲♥ ❧➭ ❞❞✲❞➲② tr➟♥ M/xd M ❦✐Ư♥ M/xd M ✈í✐ ❝❤✐Ị✉✳ ❍➡♥ Di ♥÷❛✱ ❚❛ ❞Ơ ❞➭♥❣ s✉② ♠ä✐ n1 , , nd−1 > ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧➭ ❧ä❝ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ❧❐♣ ❧✉❐♥ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ♣❤➬♥ ➤➬✉ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇ỉ ➤Ị ✹✳✸✳✶ t❛ ❝ã n d−1 (M/(xn1 , ,xd−1 , xd )M ) t = ❧➭ ✳ D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M/xd M dim Di = di x ✳ ❱× (Di + xd M )/xd M ➤✐Ò✉ = ID,M (x(n)) = c ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉✐ ♥➵♣ s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ M/xd M r✐➟♥❣ M dt−1 = d − ♥Õ✉ n1 ndi e(x1 , , xdi , (Di + xd M )/xd M ) + c i=2 ✽✽ t = n1 ndi e(x1 , , xdi , Di ) + c i=2 ❉♦ ➤ã t = s+1 ✈➭ Di = :M/xd M xdi +1 xdi +1 )/(xd M + Di ) ✳ di = di ❉➱♥ Di /Di−1 M/xd M + Ds Dd s ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ tõ ❇æ Di /((xd M + Di )/xd M ) ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ré♥❣ ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✹✳✶✳✸✱ ❱× ✈❐② ➤Õ♥ i ✈í✐ ❱× D ➤Ị ✸✳✶✳✻✱ (xd M : ❧➭ ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ❧➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ i s ✈➭ ❚❛ ①Ðt ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶✳ dt−1 < d − (s = t − 1) ✳ ò ứ s rộ ữ ❝❤♦ M ✈➭ N = Dt−1 ✈➭ ❞❞✲❞➲② ❚❤❛② xd x1 , , x d ❜ë✐ x3d ✱ M/Dt−1 ➳♣ ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✸✳✸ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ −→ Hmi−1 (M/Dt−1 ) −→ Hmi−1 (M/x3d M +Dt−1 ) −→ Hmi (M/Dt−1 ) −→ 0, i 0✳ ➤Ò ✹✳✶✳✸✱ F ❱× dim Di /Mi = di − ♥➟♥ ♥Õ✉ t > t❤× t❤❡♦ ❇ỉ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠ét ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ➤ Þ♥❤ ❧ý ✹✳✸✳✷ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② t❤➠♥❣ q✉❛ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➤ỉ✐ ❝đ❛ ❤➭♠ ✳ IF,M (x(n)) ✈í✐ ♠ä✐ n1 , , n d > ❍Ư q✉➯ s❛✉ ❝đ❛ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸✳✸ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✸✳✷ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤✐Ị✉ ➤ã ✈í✐ ❤÷✉ ❤➵♥ n1 , , n d ✳ ✾✶ ❍Ö q✉➯ ✹✳✸✳✻✳ M ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❝ã ♠ét ❧ä❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ❝❤♦ ✈➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt x1 , , x d ➤è✐ ✈í✐ F s❛♦ IF,M (x) = IF,M (x21 , , x2d )✳ ❍Ö q✉➯ ✹✳✸✳✼✳ ❈❤♦ ❤Ö t❤❛♠ sè M x1 , , x d ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ F F ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ▼ét ❝ñ❛ M ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❝ã ♠ét ❧ä❝ t❤á❛ s❛♦ ❝❤♦ x1 , , x d IF,M (x1 , , xd ) = IF,M (x21 , , x2d )✳ ✾✷ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ➤è✐ ✈í✐ F ❑Õt ❧✉❐♥ ◆❤➢ ✈❐②✱ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ s❛✉✳ ✶✳ ➤ ➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞❞✲❞➲② ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② q✉❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❞❞✲❞➲② ✈➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝✳ ✷✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦ ➤è✐ ✈í✐ ❧ò② t❤õ❛ ❝đ❛ ♠ét ❤Ư t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② ✈➭ ➤➢❛ r❛ ❞➵♥❣ t➢ê♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ➤ã✳ ✸✳ ❈❤Ø r❛ sù tå♥ t➵✐ ❝đ❛ ❤Ư t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② ❦❤✐ ❝❤✉②Ĩ♥ q✉❛ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ q✉Ü tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛②✳ ✹✳ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❧ä❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤✐Ị✉✱ ❤Ư t❤❛♠ sè tèt✱ ❤➭♠ IF,M (x1 , , xd ) ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥✳ ✺✳ ❈❤Ø r❛ sù tå♥ t➵✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ✻✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt✱ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐✱ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ✼✳ ➤ ➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② q✉❛ tÝ♥❤ tr✐Ưt t✐➟✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ IF,M (x1 , , xd ) ✳ ➳ ♣ ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ ➤ã tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ①✃♣ ①Ø ✈➭ ✈➭♥❤ ❙t❛♥❧❡②✲❘❡✐s♥❡r✳ ✽✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✱ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛✱ ✳ ✳ ✳ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐✱ ❤➭♠ IF,M (xn1 , , xnd d ) ✱ ❤➺♥❣ sè IF (M ) ✱ ❤➭♠ ❍✐❧❜❡rt✲ ❙❛♠✉❡❧ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ✾✳ ➤ ❤➭♠ ➷❝ tr➢♥❣ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② q✉❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ñ❛ IF,M (xn1 , , xnd d ) ✳ ✾✸ ▼ét ✈➭✐ ❤➢í♥❣ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ✶✳ ø ♥❣ ❞ơ♥❣ ❞❞✲❞➲② ✈➭♦ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ❝➳❝ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ré♥❣ ❤➡♥ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳ ◆ã✐ r✐➟♥❣✱ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝❤♦ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝ã ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲②✳ ✷✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲② ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ✈➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❧✐➟♥ ❦Õt✱ ♠➠➤✉♥ ❘❡❡s ➤è✐ ✈í✐ ♠ét ♣❤➬♥ ❝đ❛ ❤Ư t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲②✳ ✸✳ ➳ ♣ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➲ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ➤è✐ ✈í✐ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✈➭♥❤ ❙t❛♥❧❡②✲❘❡✐s♥❡r ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈Ị tỉ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♣❤ø❝ ➤➡♥ ❤×♥❤ ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❜➳♦ ❝➳♦ ✈➭ t❤➯♦ ❧✉❐♥ t➵✐✿ ✲ ❙❡♠✐♥❛r ♣❤ß♥❣ ➤ ➵✐ sè✱ ✈✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✳ ✲ ❙❡♠✐♥❛r ❜é ♠➠♥ ➜➵✐ sè✲❍×♥❤ ❤ä❝✲❚➠♣➠✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✲❈➡✲❚✐♥ ❤ä❝✳ ✲ ❍é✐ ♥❣❤Þ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❚♦➭♥ q✉è❝ ❧➬♥ t❤ø ✻✱ ❍✉Õ ✾✴✷✵✵✷✳ ộ ị sốì ọ trt r ♦♥ ➤ ➭ ▲➵t ✶✶✴✷✵✵✸✳ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s✱ ❆❧❧❛❤❛❜❛❞✱ ■♥❞✐❛ ✶✷✴✷✵✵✸✳ ✲ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s ❛♥❞ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr②✱ ■❈❚P✱ ❚r✐❡st✱ ■t❛❧② ✻✴✷✵✵✹✳ ✲ ộ ị P sốì ọ t ố ❍å ❈❤Ý ▼✐♥❤ ✶✶✴✷✵✵✺✳ ❙❝❤♦♦❧ ❛♥❞ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛✱ ❍❛♥♦✐ ✶✴✷✵✵✻✳ ✲ ❚❤❡ ❙❡❝♦♥❞ ❏❛♣❛♥✲❱✐❡t♥❛♠ ❏♦✐♥t ❙❡♠✐♥❛r ♦♥ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛✱ ▼❡✐❥✐ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❚♦❦②♦✱ ❏❛♣❛♥ ✸✴✷✵✵✻✳ ✲ ❙❡♠✐♥❛r ♦♥ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛✱ ❋❛❝✉❧t② ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❉✉✐s❜✉r❣✲❊ss❡♥✱ ❊ss❡♥✱ ●❡r♠❛♥② ✻✴✷✵✵✻✳ ✾✹ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❈➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥ ✶✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✸✮✱ ❞❞✲❙❡q✉❡♥❝❡s P♦✐♥❝❛rÐ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ♦❢ ❑♦s③✉❧ ❝♦♠♣❧❡①✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ✷✳ ♣❛rt✐❛❧ ❙❤♦rt ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✱ ❊✉❧❡r✲ ❱✐❡t♥❛♠ ✸✶✭✸✮✱ ♣♣✳ ✸✺✸✲✸✺✽✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣✱ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ▲✳ ❚r✉♦♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ❖♥ ❛ ♥❡✇ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s✱ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✳ ❛♥❞ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ Pr♦❝✳ ❚❤❡ ✷♥❞ ❏❛♣❛♥✲❱✐❡t♥❛♠ ❏♦✐♥t ❙❡♠✐♥❛r ♦♥ ▼❡✐❥✐ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❚♦❦②♦✱ ❏❛♣❛♥✱ ♣♣✳ ✷✻✲✸✼✳ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ ❞❞✲❙❡q✉❡♥❝❡s P♦✐♥❝❛rÐ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ♦❢ ❑♦s③✉❧ ❝♦♠♣❧❡①✱ ❛♥❞ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❆♣♣❧✳ ♣❛rt✐❛❧ ❊✉❧❡r✲ ✻✭✷✮✱ ♣♣✳ ✷✵✼✲ ✷✸✶✳ ✹✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❚✳ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❑♦❞❛✐✳ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✺✳ ❈✉♦♥❣ ◆✳ ❚✳ ❛♥❞ ❉✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✸✵✱ ♣♣✳ ✹✵✾✲✹✷✽✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✱ ✻✳ ❖♥ ❖♥ t❤❡ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ str✉❝t✉r❡ ♦❢ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ✸✶✼✱ ♣♣✳ ✼✶✹✲✼✹✷✳ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ ♣✲❙t❛♥❞❛r❞ s②st❡♠s ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✱ ♣r❡♣r✐♥t✳ ✾✺ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ✭✶✾✾✺✮✱ ▲ý t❤✉②Õt ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣✱ ▲✉❐♥ ➳♥ t✐Õ♥ sÜ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❚✐Õ♥❣ ❆♥❤ ❬✷❪ ▼✳ ❆✉s❧❛♥❞❡r ♣❧✐❝✐t②✱ ❬✸❪ ❛♥❞ ❆♥♥✳ ▼❛t❤✳ ❉✳ ❆✳ ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ✭✶✾✺✽✮✱ ❈♦❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ♠✉❧t✐✲ ✻✽✱ ♣♣✳ ✻✷✺✲✻✺✼✳ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✭✶✾✼✽✮✱ ❆ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❧❛ss ♦❢ r❡❣✉❧❛r ❞♦♠❛✐♥s✱ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✺✹✱ ♣♣✳ ✸✻✻✲✸✼✸✳ ❬✹❪ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥✱ ❈✳ ❘♦tt❤❛✉s ❛♥❞ ❘✳ ❨✳ ❙❤❛r♣ ✭✷✵✵✵✮✱ ❖♥ ❛♥♥✐❤✐❧❛t♦rs ❛♥❞ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣r✐♠❡s ♦❢ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✳ ❏✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✶✺✸✱ ♣♣✳ ✶✾✼✲✷✷✼✳ ❬✺❪ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ❛♥❞ ❘✳ ❨✳ ❙❤❛r♣ ✭✶✾✾✽✮✱ ▲♦❝❛❧ ❈♦❤♦♠♦❧♦❣②✿ ❆♥ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ●❡♦♠❡tr✐❝ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❬✻❪ ❲✳ ❇r✉♥s ❛♥❞ ❏✳ ❍❡r③♦❣ ✭✶✾✾✸✮✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❈♦❤❡♥ ▼❛❝❛✉❧❛② r✐♥❣s✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬✼❪ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ ♣✲❙t❛♥❞❛r❞ s②st❡♠s ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✱ ♣r❡♣r✐♥t✳ ❬✽❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✶✾✾✵✮✱ ❖♥ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ♣♦✇❡rs ♦❢ s②st❡♠s ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣✱ ◆❛❣♦②❛ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✶✷✵✱ ♣♣✳ ✼✼✲✽✽✳ ✾✻ ❬✾❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✶✾✾✷✮✱ ❖♥ t❤❡ ❧❡❛st ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❜♦✉♥❞✐♥❣ ❛❜♦✈❡ t❤❡ ❞✐❢❢❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ ❧❡♥❣t❤s ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t✐❡s ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ s②st❡♠s ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣✱ ❬✶✵❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✶✾✾✺✮✱ ✐❞❡❛❧s ✐♥ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s✱ ❬✶✶❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❬✶✷❪ ✶✷✺✱ ♣♣✳ ✶✵✺✲✶✶✹✳ ♣✲❙t❛♥❞❛r❞ s②st❡♠s ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ ♣✲st❛♥❞❛r❞ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳ ❱✐❡t♥❛♠ ✭✶✾✾✽✮✱ ◆♦❡t❤❡r✐❛♥ s❝❤❡♠❡✱ ◆❛❣♦②❛ ▼❛t❤✳ ❏✳ ❘❡♠❛r❦s ♦♥ Pr♦❝✳ ❆✳ ▼✳ ❙✳ t❤❡ ✷✵✭✶✮✱ ♣♣✳ ✶✹✺✲✶✻✶✳ ♥♦♥✲❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧♦❝✉s ✶✷✻✱ ♣♣✳ ✶✵✶✼✲✶✵✷✷✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✸✮✱ ❞❞✲❙❡q✉❡♥❝❡s ❛♥❞ ♣❛rt✐❛❧ ❊✉❧❡r✲ P♦✐♥❝❛rÐ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ♦❢ ❑♦s③✉❧ ❝♦♠♣❧❡①✱ ❙❤♦rt ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥✱ ♥❛♠ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❬✶✸❪ ♦❢ ❱✐❡t✲ ✸✶✭✸✮✱ ♣♣✳ ✸✺✸✲✸✺✽✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ ❞❞✲❙❡q✉❡♥❝❡s ❛♥❞ ♣❛rt✐❛❧ ❊✉❧❡r✲ P♦✐♥❝❛r❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ♦❢ ❑♦s③✉❧ ❝♦♠♣❧❡①✱ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❆♣♣❧✳ ✻✭✷✮✱ ♣♣✳ ✷✵✼✲✷✸✶✳ ❬✶✹❪ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ ❖♥ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✱ ❬✶✺❪ ❑♦❞❛✐✳ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✸✵✱ ♣♣✳ ✹✵✾✲✹✷✽✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ✭✷✵✵✼✮✱ ❖♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✱ ❬✶✻❪ ♦♥ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛✱ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ❩✳ ❬✶✽❪ ✸✶✼✱ ♣♣✳ ✼✶✹✲✼✹✷✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣✱ ❉✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ▲✳ ❚r✉♦♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ❖♥ ❛ ♥❡✇ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s ♦✈❡r ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s✱ ❬✶✼❪ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ♦❢ ❱✳ ❚✳ ❝❡rt❛✐♥ Pr♦❝✳ ❚❤❡ ✷♥❞ ❏❛♣❛♥✲❱✐❡t♥❛♠ ❏♦✐♥t ❙❡♠✐♥❛r ▼❡✐❥✐ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❚♦❦②♦✱ ❏❛♣❛♥✱ ♣♣✳ ✷✻✲✸✼✳ ❑❤♦✐ ✭✶✾✾✻✮✱ s②st❡♠s ♦❢ ❖♥ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s✱ ▼❛t❤✳ ✷✷✷✱ ♣♣✳ ✸✽✸✲✸✾✵✳ ◆✳ ❚✳ ❈✉♦♥❣ ❛♥❞ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥ ✭✷✵✵✸✮✱ Ps❡✉❞♦ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✱ ✾✼ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✷✻✼✱ ♣♣✳ ✶✺✻✲✶✼✼✳ ❬✶✾❪ ❙✳ ❋❛r✐❞✐ ✭✷✵✵✹✮✱ ❙✐♠♣❧✐❝✐❛❧ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❬✷✵❪ tr❡❡s ❛r❡ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ ❏✳ ✶✾✵✱ ♣♣✳ ✶✷✶✲✶✸✻✳ ❈✳ ❆✳ ❋r❛♥❝✐s❝♦ ❛♥❞ ❍✳ ❍✳ ❚❛✐ ✭✷✵✵✻✮✱ ❲❤✐s❦❡rs ❛♥❞ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❣r❛♣❤s✱ ♣r❡♣r✐♥t✳ ❬✷✶❪ ❙✳ ●♦t♦ ✭✶✾✽✶✮✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② r✐♥❣s✱ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✼✻✱ ♣♣✳ ✷✶✹✲✷✷✺✳ ❬✷✷❪ ❙✳ ●♦t♦ ❛♥❞ ❑✳ ❨❛♠❛❣✐s❤✐ ✭✶✾✽✺✮✱ ❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ✉♥❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ str♦♥❣ ❞✲s❡q✉❡♥❝❡s ❛♥❞ ♠♦❞✉❧❡s ♦❢ ❢✐♥✐t❡ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✱ ♣r❡♣r✐♥t ✭✉♥♣✉❜✲ ❧✐s❤❡❞✮✳ ❬✷✸❪ ❆✳ ●r♦t❤❡♥❞✐❡❝❦ ✭✶✾✻✼✮✱ ▲♦❝❛❧ ❈♦❤♦♠♦❧♦❣②✱ ▲❡❝t✳ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤✳ ✹✶✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✲❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✲◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✷✹❪ ❘✳ ❍❛rts❤♦r♥❡ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr②✱ ✭✶✾✼✼✮✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✲ ❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✲◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✷✺❪ ❘✳ ❍❛rts❤♦r♥❡ ✭✶✾✻✻✮✱ ❘❡s✐❞✉❡s ❛♥❞ ❞✉❛❧✐t②✱ ▲❡❝t✳ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤✳ ✷✵✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✲❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✲◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✷✻❪ ▼✳ ❍❡rr♠❛♥♥✱ ❜❧♦✇✐♥❣ ✉♣✱ ❬✷✼❪ ❏✳ ❍❡r③♦❣ ❙✳ ■❦❡❞❛ ❛♥❞ ❯✳ ❖r❜❛♥③ ✭✶✾✽✽✮✱ ❊q✉✐♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ❛♥❞ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✲❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✲◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❛♥❞ ❉✳ P♦♣❡s❝✉ ✭✷✵✵✻✮✱ ❋✐♥✐t❡ ❢✐❧tr❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ s❤❡❧❧❛❜❧❡ ♠✉❧t✐❝♦♠♣❧❡①❡s✱ ♣r❡♣r✐♥t✳ ❬✷✽❪ ❏✳ ❍❡r③♦❣ ❛♥❞ ❊✳ ❙❜❛r❛ ✭✷✵✵✷✮✱ ❙❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ✭▼✉♠❜❛✐✱ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✱ ✷✵✵✵✮✱ ❆❧❣❡❜r❛✱ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❛♥❞ ❣❡♦♠❡tr②✱ ✸✷✼✲✸✹✵✱ P❛rt ❚❛t❛ ■♥st✳ ❋✉♥❞✳ ❘❡s✳ ❙t✉❞✳ ▼❛t❤✳✱ ■✱ ■■ ✶✻✱ ❚❛t❛ ❈✳ ❍✉♥❡❦❡ ✭✶✾✽✷✮✱ ❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❞✲s❡q✉❡♥❝❡s ❛♥❞ ♣♦✇❡rs ♦❢ ✐❞❡❛❧s✱ ❆❞✈✳ ■♥st✳ ❋✉♥❞✳ ❘❡s✳✱ ❇♦♠❜❛②✳ ❬✷✾❪ ✐♥ ▼❛t❤✳ ✹✻✱ ♣♣✳ ✷✹✾✲✷✼✾✳ ✾✽ ❬✸✵❪ ❚✳ ❑❛✇❛s❛❦✐ ✭✷✵✵✵✮✱ ❖♥ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ❬✸✶❪ ❚✳ ❑❛✇❛s❛❦✐ ✭✷✵✵✷✮✱ ❬✸✷❪ ♦❢ ◆♦❡t❤❡r✐❛♥ s❝❤❡♠❡s✱ ✸✺✷✭✻✮✱ ♣♣✳ ✷✺✶✼✲✷✺✺✷✳ ❖♥ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ▼❛❝❛✉❧❛②❢✐❝❛t✐♦♥ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ▼❛❝❛✉❧❛②❢✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s✱ ✸✺✹✭✶✮✱ ♣♣✳ ✶✷✸✲✶✹✾✳ ❚✳ ❑❛✇❛s❛❦✐ ✭✷✵✵✻✮✱ ❖♥ ❋❛❧t✐♥❣s✬ ❆♥♥✐❤✐❧❛t♦r ❚❤❡♦r❡♠✱ ❏❛♣❛♥✲❱✐❡t♥❛♠ ❏♦✐♥t ❙❡♠✐♥❛r ♦♥ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛✱ Pr♦❝✳ ❚❤❡ ✷♥❞ ▼❡✐❥✐ ❯♥✐✈❡r✲ s✐t②✱ ❚♦❦②♦✱ ❏❛♣❛♥✱ ♣♣✳ ✶✻✾✲✶✼✹✳ ❬✸✸❪ ❉✳ ❑✐r❜② ❛♥❞ ❏✲▲✳ ●❛r❝✐❛ ❘♦✐❣ ✭✶✾✽✻✮✱ ❖♥ t❤❡ ❑♦s③✉❧ ❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s ❢♦r t❤❡ ♣♦✇❡rs ♦❢ ❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② s②st❡♠✱ ❬✸✹❪ ❍✳ ▼❛ts✉♠✉r❛ ✭✶✾✽✻✮✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❦❛ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❘✐♥❣ ❚❤❡♦r②✱ ✸✸✱ ♣♣✳ ✾✻✲✶✵✶✳ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ▲♦❝❛❧ ❘✐♥❣s✱ ❬✸✺❪ ▼✳ ◆❛❣❛t❛ ✭✶✾✻✷✮✱ ❬✸✻❪ ❏✲▲✳ ●❛r❝✐❛ ❘♦✐❣ ✭✶✾✽✻✮✱ ❖♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❜♦✉♥❞s ❢♦r t❤❡ ❑♦s③✉❧ ❤♦♠♦❧✲ ♦❣② ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② ■♥t❡rs❝✐❡♥❝❡ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ s②st❡♠s✱ ❏✳ ▲♦♥❞♦♥ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✸✸✭✷✮✱ ♣♣✳ ✹✶✶✲✹✶✻✳ ❬✸✼❪ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❢✐❧t❡r❡❞ ♠♦❞✉❧❡s✳ ❋✐♦r❡♥t✐♥✐✱ ❬✸✽❪ ✭✶✾✾✽✮✱ ❖♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❢✐❧tr❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② Pr♦❝✳ ♦❢ t❤❡ ❋❡rr❛r❛ ▼❡❡t✐♥❣ ✐♥ ❤♦♥♦r ♦❢ ▼❛r✐♦ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❆♥t✇❡r♣✱ ❲✐❧r✐❥❦✱ ❇❡❧❣✐✉♠✱ ♣♣✳ ✷✹✺✲✷✻✹✳ ❘✳ P✳ ❙t❛♥❧❡② ✭✶✾✾✻✮✱ ❈♦♠❜✐♥❛t♦r✐❝s tt r ăa t r u ¨ ❙t ❝r❛❞ ❛♥❞ ✉s❡r ❇♦st♦♥✳ ❲✳ ❱♦❣❡❧ ✭✶✾✽✻✮✱ ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ❘✐♥❣s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✳ ❬✹✵❪ ▼✳ ❚♦✉s✐ ❛♥❞ ❙✳ ❨❛ss❡♠✐ ✭✷✵✵✺✮✱ ❙❡q✉❡♥t✐❛❧❧② ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s ✉♥❞❡r ❜❛s❡ ❝❤❛♥❣❡✱ ❈♦♠♠✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✾✾ ✸✸✱ ♣♣✳ ✸✾✼✼✲✸✾✽✼✳ ❬✹✶❪ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣ ❧♦❝❛❧ r✐♥❣s✱ ❬✹✷❪ ◆✳ ❱✳ ✭✶✾✽✶✮✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ▼❛t❤✳ Pr♦❝✳ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ P❤✐❧♦s✳ ❙♦❝✳ ❚r✉♥❣ ✭✶✾✽✸✮✱ ❈❛♠❜✳ P❤✐❧✳ ❙♦❝✳ ❬✹✸❪ ❆ ❆❜s♦❧✉t❡❧② s✉♣❡r❢✐❝✐❛❧ ✉♥♠✐①❡❞ ✽✾✭✷✮✱ ♣♣✳ ✷✸✼✲✷✸✾✳ s❡q✉❡♥❝❡s✱ ▼❛t❤✳ Pr♦❝✳ ✾✸✱ ♣♣✳ ✸✺✲✹✼✳ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣ ✭✶✾✽✻✮ ✱ ❚♦✇❛r❞ ❛ t❤❡♦r② ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✱ ◆❛❣♦②❛ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✶✵✷✱ ♣♣✳ ✶✲✹✾✳ ❚✐Õ♥❣ P❤➳♣ ❬✹✹❪ ❉✳ ❋❡rr❛♥❞ ❛♥❞ ▼✳ ❘❛②♥❛✉❞ ✭✶✾✼✵✮✱ ❋✐❜r❡s ❢♦r♠❡❧❧❡s ❞✬✉♥ ❛♥♥❡❛✉ ❧♦❝❛❧ ◆♦❡t❤❡r✐❡♥✱ ❬✹✺❪ ❆♥♥✳ ❙❝✳ ❊❝♦❧❡ ◆♦r♠✳ ❙✉♣✳ ❏✳ P✳ ❙❡rr❡ ✭✶✾✼✺✮✱ ✸✱ ♣♣✳ ✷✾✺✲✸✶✶✳ ❆❧❣❒❜r❡ ▲♦❝❛❧❡✳ ▼✉❧t✐♣❧✐❝✐tÐs✱ ✸r❞ ❡❞✳✱ ▲❡❝t✳ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤✳ ✶✶✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✲❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✲◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❚✐Õ♥❣ ❬✹✻❪ ◆✳ ❚✳ ➤ø❝ ❈✉♦♥❣✱ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ▼♦❞✉❧♥✱ ă U ts r ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✳ ✭✶✾✼✽✮✱ ❱❡r❛❧❧❣❡♠❡✐♥❡rt❡ ✽✺✱ ♣♣✳ ✺✼✲✼✸✳ ❜❡r ▼❛❝❛✉❧❛②❢✐③✐❡r✉♥❣✱ ▼❛t❤✳ ts ă U ❆r❝❤✳ ▼❛t❤✳ ✭❇❛s❡❧✮ ❬✹✾❪ ❜❡r ❞✐❡ ❛♥♥✉❧❛t♦r❡♥ ❧♦❦❛❧❡r ❑♦❤♦♠♦❧♦❣✐❡♥❣r✉♣♣❡♥✱ ✸✵✱ ♣♣✳ ✹✼✸✲✹✼✻✳ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ✭✶✾✽✷✮✱ ❉✉❛❧✐s✐❡r❡♥❞❡ ❑♦♠♣❧❡①❡ ✐♥ ❞❡r ❧♦❦❛❧❡♥ ❆❧❣❡❜r❛ ✉♥❞ ❇✉❝❤s❜❛✉♠✲❘✐♥❣❡✱ ▲❡❝t✳ ◆♦t❡s ✐♥ ❍❡✐❞❡❧❜❡r❣✲◆❡✇ ❨♦r❦✳ ✶✵✵ ▼❛t❤✳ ✾✵✼✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✲ Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter A watermark is added at the end of each output PDF file To remove the watermark, you need to purchase the software from http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-splitter.html ... t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ị ợ ệ t số t➽❝✳ ✷✹ ❱Ý ❞ô ✷✳✶✳✶✹✳ ❳Ðt ✈➭♥❤ R = k[[X1 , , Xd+1 ]]✱ (d > 1)✱ ỗ ũ từ ì tứ ó ệ số tr tr➢ê♥❣ M = R/I ❤✐Ư✉ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ tr♦♥❣ ➤ã k ✈í✐... ❬✹✻❪✱ ❬✹✸❪✳ ❚r♦♥❣ ❚✐Õt ✷✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❦✐Ĩ✉ ➤❛ t❤ø❝✱ ❤Ư t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ột số tí t ủ ú ợ trì tr♦♥❣ ❬✽❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✵❪✱ ❬✸✵❪✱ ❬✸✶❪✳ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ➤➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ... i=d ✳ ➜➠✐ ❦❤✐ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ò♥❣ ❣ä✐ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝ã ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ị ữ r số s ợ tÝ♥❤ q✉❛ ➤é ❞➭✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥➭② q✉❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✳✸✮ d−1 d−1

Ngày đăng: 16/03/2020, 23:14

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
[1] N. T. Cường (1995), Lý thuyết kiểu đa thức và hệ tham số p-chuẩn tắc trong vành giao hoán và ứng dụng, Luận án tiến sĩ khoa học, Hà Nội.TiÕng Anh Sách, tạp chí
Tiêu đề: Lý thuyết kiểu đa thức và hệ tham số p-chuẩn tắc trong vành giao hoán và ứng dụng
Tác giả: N. T. Cường
Nhà XB: Luận án tiến sĩ khoa học
Năm: 1995
[2] M. Auslander and D. A. Buchsbaum (1958), Codimension and multi- plicity, Ann. Math. 68, pp. 625-657 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Codimension and multiplicity
Tác giả: M. Auslander, D. A. Buchsbaum
Nhà XB: Ann. Math.
Năm: 1958
[3] M. Brodmann (1978), A particular class of regular domains, J. Algebra 54, pp. 366-373 Sách, tạp chí
Tiêu đề: A particular class of regular domains
Tác giả: M. Brodmann
Nhà XB: J. Algebra
Năm: 1978
[5] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press Sách, tạp chí
Tiêu đề: Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications
Tác giả: M. Brodmann, R. Y. Sharp
Nhà XB: Cambridge University Press
Năm: 1998
[7] D. T. Cuong (2007), p-Standard systems of parameters, localizations and local cohomology modules, preprint Sách, tạp chí
Tiêu đề: p-Standard systems of parameters, localizations and local cohomology modules
Tác giả: D. T. Cuong
Năm: 2007
[8] N. T. Cuong (1990), On the length of powers of systems of parameters in local ring, Nagoya Math. J. 120, pp. 77-88 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On the length of powers of systems of parameters in local ring
Tác giả: N. T. Cuong
Nhà XB: Nagoya Math. J.
Năm: 1990
[11] N. T. Cuong (1998), Remarks on the non-Cohen-Macaulay locus of Noetherian scheme, Proc. A. M. S. 126, pp. 1017-1022 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Remarks on the non-Cohen-Macaulay locus of Noetherian scheme
Tác giả: N. T. Cuong
Nhà XB: Proc. A. M. S.
Năm: 1998
[12] N. T. Cuong and D. T. Cuong (2003), dd-Sequences and partial Euler- PoincarÐ characteristics of Koszul complex, Short communication, Viet- nam J. Math. 31(3), pp. 353-358 Sách, tạp chí
Tiêu đề: dd-Sequences and partial Euler- PoincarÐ characteristics of Koszul complex
Tác giả: N. T. Cuong, D. T. Cuong
Nhà XB: Viet- nam J. Math.
Năm: 2003
[15] N. T. Cuong and D. T. Cuong (2007), On the structure of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules, J. Algebra 317, pp. 714-742 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On the structure of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules
Tác giả: N. T. Cuong, D. T. Cuong
Nhà XB: J. Algebra
Năm: 2007
[16] N. T. Cuong, D. T. Cuong and H. L. Truong (2006), On a new invariant of modules over local rings, Proc. The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra, Meiji University, Tokyo, Japan, pp. 26-37 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On a new invariant of modules over local rings
Tác giả: N. T. Cuong, D. T. Cuong, H. L. Truong
Nhà XB: Proc. The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra
Năm: 2006
[18] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2003), Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J. Algebra 267, pp. 156-177 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules
Tác giả: N. T. Cuong, L. T. Nhan
Nhà XB: J. Algebra
Năm: 2003
[23] A. Grothendieck (1967), Local Cohomology, Lect. Notes in Math. 41, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York Sách, tạp chí
Tiêu đề: Local Cohomology
Tác giả: A. Grothendieck
Nhà XB: Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
Năm: 1967
[24] R. Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag Berlin- Heidelberg-New York Sách, tạp chí
Tiêu đề: Algebraic Geometry
Tác giả: R. Hartshorne
Nhà XB: Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
Năm: 1977
[25] R. Hartshorne (1966), Residues and duality, Lect. Notes in Math. 20, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York Sách, tạp chí
Tiêu đề: Residues and duality
Tác giả: R. Hartshorne
Nhà XB: Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
Năm: 1966
[26] M. Herrmann, S. Ikeda and U. Orbanz (1988), Equimultiplicity and blowing up, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York Sách, tạp chí
Tiêu đề: Equimultiplicity and blowing up
Tác giả: M. Herrmann, S. Ikeda, U. Orbanz
Nhà XB: Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
Năm: 1988
[28] J. Herzog and E. Sbara (2002), Sequentially Cohen-Macaulay modules and local cohomology, Algebra, arithmetic and geometry, Part I, II (Mumbai, 2000), 327-340, Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., 16, Tata Inst. Fund. Res., Bombay Sách, tạp chí
Tiêu đề: Sequentially Cohen-Macaulay modules and local cohomology
Tác giả: J. Herzog, E. Sbara
Nhà XB: Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math.
Năm: 2002
[29] C. Huneke (1982), The theory of d-sequences and powers of ideals, Adv.in Math. 46, pp. 249-279 Sách, tạp chí
Tiêu đề: The theory of d-sequences and powers of ideals
Tác giả: C. Huneke
Nhà XB: Advances in Mathematics
Năm: 1982
[32] T. Kawasaki (2006), On Faltings' Annihilator Theorem, Proc. The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra, Meiji Univer- sity, Tokyo, Japan, pp. 169-174 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On Faltings' Annihilator Theorem
Tác giả: T. Kawasaki
Nhà XB: Proc. The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra
Năm: 2006
[34] H. Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press Sách, tạp chí
Tiêu đề: Commutative Ring Theory
Tác giả: H. Matsumura
Nhà XB: Cambridge University Press
Năm: 1986
[36] J-L. Garcia Roig (1986), On polynomial bounds for the Koszul homol- ogy of certain multiplicity systems, J. London Math. Soc. 33(2), pp.411-416 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On polynomial bounds for the Koszul homology of certain multiplicity systems
Tác giả: J-L. Garcia Roig
Nhà XB: J. London Math. Soc.
Năm: 1986

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w