• Ist f :D →Reine stetige Funktion, so ist auch|f| :x → |f(x)|stetig, denn diese Funktion ist die Komposition aus f und| ã |.
• Die Funktionx→exp(x2) ist stetig aufR.
4.3 S¨atze ¨uber stetige Funktionen
EineNullstelleeiner Funktion f :D→Rist einp∈Dmit f(p)=0.
Satz 4.3.1(Zwischenwertsatz). Seien a < b inR und sei f : [a,b] → R eine stetige Funktion mit f(a)<0< f(b). Dann hat f eine Nullstelle, d.h., es existiert ein p∈(a,b)mit f(p) =0. Dasselbe gilt, wenn man f(a) >0> f(b) voraussetzt.
Beweis. SeiMdie Menge allerx∈[a,b] mit f(x)<0 und seisdas Supremum der beschr¨ankten MengeM. Nach Satz 3.1.28 ist die ZahlsGrenzwert einer Folgean∈M. Da f stetig ist, konvergiert die Folge f(an)≤0 gegen f(s) und daher ist auch f(s) ≤ 0. Nach demselben Satz gibt es eine Folge bn M, die von oben gegenskonvergiert und da f(s) ≤0< f(b) ists<bund man kannbn ∈ [a,b] annehmen. Da f(bn) ≥0 folgt f(s)≥ 0 und zusammen also f(s)=0. Damit ist die erste Aussage bewiesen. Die zweite folgt, indem man f durch−f ersetzt und die erste Aussage anwendet.
Korollar 4.3.2. Jede reelle Polynomfunktion f(x) 0ungeraden Grades hat eine Nullstelle inR.
Beweis. Sei f(x) =a0+a1x+ã ã ã+adxdmitdungerade undad 0. Gegebe- nenfalls ersetzt man f furch −f, so dass manad > 0 annehmen kann. F ¨ur eine nat ¨urliche Zahlnist
f(n)=nd
a0 nd + a1
nd−1 +ã ã ã+ ad−1 n +ad
.
Da die Folge 1n gegen Null geht, konvergiert der Klammerausdruck gegen ad > 0. Insbesondere gilt f(n) > 0 f ăur groòen ∈ N. Dad ungerade ist, gilt ferner
f(−n)=−nd
−a0 nd + a1
nd−1 +ã ã ã − ad−1 n +ad
.
80 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Die Zahlnkann, wenn n ăotig, vergr ăoòert werden, so dass auch dieser Klam- merausdruck>0 ist. Dann ist f(−n)< 0< f(n). Nach dem Zwischenwert- satz hat die stetige Funktion f in dem Intervall [−n,n] eine Nullstelle.
Korollar 4.3.3. a) Sei f : [a,b] → R eine stetige Funktion undαeine reelle Zahl zwischen f(a)und f(b), so existiert ein p∈[a,b]mit f(p)=α.
b) Ist I ein Intervall und ist f :I →Reine stetige Funktion, so ist f(I)wieder ein Intervall.
Beweis. Teil (a) folgt, in dem man den Zwischenwertsatz auf die Funktion f(x)−αanwendet.
Eine TeilmengeM⊂Rist genau dann ein Intervall, wenn zu je drei Zahlen r <s<tinRmitr,t ∈Mauch die mittleresinMliegt. Seien alsor<s <t mitr,t ∈ f(I), etwar= f(a) undt= f(b) mita,b∈ I. Nach Teil (a) gib es ein c∈Izwischenaundb, so dass f(c)=s. Also liegt in der Tatsin f(I), so dass
auch Teil (b) bewiesen ist.
Definition 4.3.4. Eine Funktion f :D→ Rheiòtbeschrăankte Funktion, falls das Bild f(D) beschr¨ankt ist, es also einT>0 gibt, so dass
|f(d)| ≤T f ¨ur jedesd∈D.
Man sagt, f nimmt ihr Maximum an, wenn das Bild f(D) ein Maximum hat.
Analog f ¨ur das Minimum. Man nennt dann jedes x ∈ D, in dem f(x) = max(f(D)) gilt, einMaximumder Funktion und ebenso f ¨ur das Minimum.
Beispiele 4.3.5.
• Betrachte Die Funktion (1,∞)→R,x→1/x. Sie ist beschr¨ankt, nimmt aber weder Maximum noch Minimum an. Erweitert man den Defini- tionsbereich auf [1,∞) mit derselben Abbildungsvorschrift, nimm sie ihr Maximum, nicht aber ein Minimum an.
• Die Funktion R → R, x → x2 ist nicht beschr¨ankt. Sie nimmt ein Minimum inx=0 an, aber kein Maximum.
Definition 4.3.6. Einkompaktes Intervallist ein Intervall der Form [a,b] mit a,b∈R.
Satz 4.3.7. a) Eine stetige Funktion f nimmt auf einem kompakten Inter- vall Minimum und Maximum an.
b) Das stetige Bild eines kompakten Intervalls ist ein kompaktes Intervall.
4.3. S ¨ATZE ¨UBER STETIGE FUNKTIONEN 81 Beweis. (a) Es gen ¨ugt, die Existenz des Maximums zu beweisen, da man durch ¨Ubergang zu −f auch die Existenz des Minimums erh¨alt. Sei S ∈ R∪ {∞} das Supremum von f
[a,b]
. Nach Satz 3.1.28 gibt es eine Folge in f
[a,b]
, die gegen S konvergiert, also gibt es eine Folge xn ∈ [a,b] so dass f(xn) →S. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraò 3.3.4 hat (xn) eine konvergente Teilfolge xnk → x und x ∈ [a,b]. Da f stetig ist, folgt f(x) = limk f(xnk)=S, also nimmt die Funktion f inxihr Maximum an.
(b) Sei f : [a,b] → Reine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall [a,b]. Nach Korollar 4.3.3 ist das Bild ein Intervall, welches nach Teil (a) dieses Satzes Maximum und Minimum in R besitzt, also ein kompaktes
Intervall ist.
Satz 4.3.8 (ε-δ-Kriterium der Stetigkeit). Eine Funktion f : D → R ist genau dann stetig im Punkt p∈ D ⊂ R, wenn es zu jedemε > 0einδ > 0 gibt, so dass f ¨ur jedes x∈D gilt
|x−p|< δ ⇒ |f(x)− f(p)|< ε.
Mit Hilfe der Quantoren kann man die Stetigkeit von fim Punktpalso wie folgt schreiben:
∀ε>0∃δ>0 |x−p|< δ ⇒ |f(x)− f(p)|< ε.
Beweis. Sei f inp stetig und seiε >0. Angenommen, es gibt keinδ >0 wie im Satz. Das bedeutet dann aber, dass es zu jedemδ >0 einx(δ) ∈ Dgibt, so dass
|x(δ)−p|< δ, aber |f(x(δ))− f(p)| ≥ε.
F ¨urn∈Nsetzeδ= n1 undxn=x(1/n). Dann folgt f ¨ur jedesn∈N
|xn−p|< 1
n, aber |f(xn)− f(p)| ≥ε.
Die erste Bedingung zeigt, dassxngegenpkonvergiert, die zweite aber, dass f(xn) nicht gegenf(p) konvergiert, was der Stetigkeit vonfinpwiderspricht.
Aus diesemWiderspruchfolgt die Behauptung.
Nun zur R ¨uckrichtung. Es sei dasε-δ-Kriterium im Punkte p ∈ Derf ¨ullt.
Seixn→peine konvergente Folge inD. Zu gegebenemε >0 existiert dann also einδ >0 mit
|x−p|< δ ⇒ |f(x)− f(p)|< ε.
82 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Zu diesemδ >0 existiert wiederum einn0∈Nso dass f ¨ur jedesn≥n0gilt
|xn−p|< δ. Damit gilt also f ¨ur jedesn≥n0schon|f(xn)− f(p)| < ε.Also ist
f stetig inp.
Korollar 4.3.9. Sei f :D→Rstetig in p∈D⊂Rund es gelte f(p) 0. Dann ist f(x)0in einer Umgebung von p, d.h. es gibt einδ >0so dass f ¨ur x∈D gilt
|x−p|< δ ⇒ f(x)0.
Beweis. Wende dasε−δ-Kriterium mitε=|f(p)|>0 an.
Definition 4.3.10. (Gleichmăaòige Stetigkeit) Eine Funktion f :D→Rheiòt gleichmăaòig stetig, wenn gilt:
• Zu jedemε >0 gibt es einδ >0 so dass f ¨ur allex,y∈Dgilt
|x−y|< δ ⇒ |f(x)− f(y)|< ε.
Der entscheidende Punkt ist der, dassδnicht von den Punkten x oder y abh¨angt, sondern nur vonε.
Proposition 4.3.11. Jede gleichmăaòig stetige Funktion ist stetig, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Beweis. Die erste Aussage ist offensichtlich. F ¨ur die zweite reicht es, ein Beispiel einer stetigen Funktion anzugeben, die nicht gleichmăaòig stetig ist.
Hierzu sei D das offene Intervall (0,1) und sei f : D → R die Funktion f(x) = 1x. Angenommen, f wăare gleichmăaòig stetig, dann găabe es f ăurε = 1 ein 0< δ <1/2 so dass f ¨ur 0<x,y<1 gilt
|x−y|< δ ⇒
1 x −1
y
<1.
Durch Multiplikation mitxyerh¨alt man
|x−y|< δ ⇒ |x−y|<xy.
W¨ahle 0<x< 12 undy=x+δ. Dann ist|x−y|=δ, und die Annahme f ¨uhrt zu
δ=|x−y|<xy=x(x+δ).
Wenn man x sehr klein w¨ahlt, wird die rechte Seite beliebig klein und es
folgt einWiderspruch!
4.3. S ¨ATZE ¨UBER STETIGE FUNKTIONEN 83
Satz 4.3.12. Jede auf einem kompakten Intervall[a,b]stetige Funktion ist auf [a,b]gleichmăaòig stetig.
Beweis. Sei f : [a,b]→Rstetig.Angenommen, f ist nicht gleichmăaòig stetig.
Dann gibt es einε >0, so dass zu jedemn∈Nzwei Elementexn,yn∈[a,b]
existieren mit
|xn−yn|< 1
n, aber |f(xn)− f(yn)| ≥ε.
Die Folge (xn) ist beschr¨ankt, hat also eine konvergente Teilfolge xnk → p ∈ [a,b]. Wegen |xnk −ynk| < n1k, konvergiert auch (ynk) gegen p. Aus der Stetigkeit von f im Punktepfolgt
klim→∞
f(xnk)− f(ynk)
= f(p)− f(p)=0,
was imWiderspruchzu|f(xnk)− f(ynk)| ≥εsteht.
Definition 4.3.13. Eine Funktion f :D→Rheiòt
streng monoton wachsend monoton wachsend
monoton fallend streng monoton fallend
, falls x< y ⇒
f(x)< f(y) f(x)≤ f(y) f(x)≥ f(y) f(x)> f(y)
,
f ¨ur allex,y∈D.
Beispiel 4.3.14. Seik∈N. Die Funktionf : [0,∞)→R,x→xkist streng mo- noton wachsend, denn aus 0≤x<yfolgt durch wiederholte Multiplikation die Ungleichung 0≤xk< yk.
Satz 4.3.15(Stetigkeit der Umkehrfunktion). Sei I ⊂Rein Intervall und f : I →Reine stetige, streng monoton wachsende (oder fallende) Funktion.
Dann bildet f das Intervall I bijektiv auf das Intervall J = f(I) ab und die Umkehrfunktion f−1: J→I ist ebenfalls stetig und streng monoton wachsend (oder fallend).
84 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Beweis. Es gen ¨ugt, anzunehmen, dass f streng monoton wachsend ist, da man sonst fdurch−fersetzen kann. Das BildJ= f(I) ist ein Intervall nach Korollar 4.3.3. Die Funktion fist offensichtlich injektiv, also ist f :I→Jeine Bijektion. Sei f−1 : J → I die Umkehrfunktion. Um einzusehen, dass f−1 streng monoton wachsend ist, w¨ahlex < yin J. W¨are nun f−1(x) ≥ f−1(y), so w¨are auchx = f
f−1(x)
≥ f f−1(y)
= y, was nicht der Fall ist, also ist f−1(x)< f−1(y).
Um die Stetigkeit von f−1zu zeigen w¨ahle eine konvergente Folgepn→p∈ J. Dann ist die Folgep−n = infk≥npk monoton wachsend undp+n = supk≥npk monoton fallend und es giltp−n ≤pn≤p+n. Ist|pk−p| ≤εf ¨ur allek≥n, so folgt
|p±n −p| ≤ ε, so dass beide Folgen gegenp konvergieren. Die Folge f−1(p−n) ist dann ebenfalls monoton wachsend. Sie ist auch beschr¨ankt, denn es gilt p−n ≤pund daher f−1(p−n)≤ f−1(p). Daher konvergiert die Folge f−1(p−n) und ebenso f−1(p+n). Es bleibt zu zeigen, dass der Limesl= limn f−1(p−n) gleich
f−1(p) ist. Da f stetig ist, gilt nun aber f(l)= f
limn f−1(p−n)
=lim
n f(f−1(p−n)))=lim
n p−n =p,
so dassl= f−1(p). Das analoge Vorgehen f ăurp+n liefert schlieòlich f−1(p−n)≤ f−1(pn) ≤ f−1(p+n), wobei die beiden ăauòeren Folgen gegen f−1(p) konver- gieren, so dass nach dem Einschlieòungskriterium auch die mittlere gegen
f−1(p) konvergiert.
Proposition 4.3.16(Allgemeine Wurzel). Sei k∈N. Die Umkehrfunktion der k-ten Potenz (0,∞) → (0,∞), x → xk, genannt die k-te Wurzel, geschrieben x→√k
x, ist stetig und streng monoton wachsend.
Beweis. Klar mit dem letzten Satz.