F ¨ur einα=(α1, . . . , αn)∈Nn
0 schreibt man
|α|=α1+ã ã ã+αn, α!=α1!ã ã ãαn!,
wobei 0! auf den Wert 1 gesetzt wird. F ăurx∈Rnseixα =xα11ã ã ãxαnn.F ăur eine
|α|-mal stetig differenzierbare Funktion fschreibt man auch Dαf =Dα11ã ã ãDαnnf = ∂|α|
∂xα11ã ã ã∂xαnn.
Lemma 9.3.1. Sei U ⊂ Rn offen und f : U → R eine k-mal stetig partiell differenzierbare Funktion. Sei x ∈ U undξ ∈ Rn so dass die Strecke x+[0,1]ξ ganz in U liegt. Dann ist die Funktion
g: [0,1]→R, g(t)= f(x+tξ) k-mal stetig differenzierbar und es gilt
∂kg
∂tk(t)=
|α|=k
k!
α!Dαf(x+tξ)ξα. Die Summe l¨auft ¨uber alleα∈Nn0 mit|α|=k.
Beweis. Induktion nachk. F ¨urk=0 ist nichts zu zeigen. F ¨ur den Induktions- schritt wird vorausgesetzt, dass die Aussage f ¨urkbewiesen ist. Ist f schon (k+1)-mal stetig differenzierbar, so folgt aus der Formel, dass ∂∂tkgk(t) stetig differenzierbar ist, also ist g ebenfalls (k+1)-mal stetig differenzierbar. Es folgt nach Induktionshypothese,
∂k+1g
∂tk+1(t)= ∂
∂t
∂kg
∂tk(t)= ∂
∂t
|α|=k
k!
α!Dαf(x+tξ)ξα.
9.3. TAYLOR-FORMEL UND LOKALE EXTREMA 201 Seih=Dαf, so folgt nach der Kettenregel
∂
∂th(x+tξ)=Dh(x+tξ)ξ= n
j=1
Djh(x+tξ)ξj.
Es ist DjDα = Dβ, wobei |β| = k +1 und durchl¨auft α alle Multiindizes vom Betragkund l¨auft jvon 1 bisn, so durchl¨auftβalle Multiindizes vom Betragk+1, allerdings sogar mehrfach. Man schreibt (α,j) →β, wenn der Multiindexβ sich auf diese Weise ausαund jergibt. Dies ist genau dann der Fall, wennβi =αif ¨uri jundβj=αj+1. Es folgt
∂k+1g
∂tk+1(t)=
β
(α,j)→β
k!
α!
Dβf(x+tξ)ξβ. Es ist aber
(α,j)→β
k!
α! =
j:βj>0
k!βj
β! = k!
β!
j:βj>0
βj
=|β|=k+1
= (k+1)!
β! .
Satz 9.3.2(Taylor Formel). Sei U⊂Rnoffen, x∈U ein Punkt undξ∈Rn ein Vektor, so dass die Strecke x+[0,1]ξganz in U liegt. Sei f :U→Reine k-mal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann existiert einθ∈[0,1]so dass
f(x+ξ)=
|α|<k
Dαf(x) α! ξα+
Restglied
|α|=k
Dαf(x+θξ)
α! ξα.
Beweis. Sei g(t)= f(x+tξ). Nach der Taylor-Formel in einer Variablen gibt es einθ∈[0,1] mit
g(1)=
k−1
m=0
g(m)(0)
m! + g(k)(θ) (k)! .
Mit Lemma 9.3.1 folgt die Behauptung.
Korollar 9.3.3. Sei U⊂Rnoffen und f :U→Reine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x∈ U undδ >0so dass Bδ(x) ⊂U ist. Dann gilt f ¨urξ∈ Rnmit
||ξ||< δ,
f(x+ξ)=
|α|≤k
Dαf(x)
α! ξα+o
||ξ||k .
202 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHNUNG IMRN Wobei o(||ξ||k)f ¨ur einen Resttermφ(ξ)mitlimξ→0 φ(ξ)||ξ||k =0steht.
Beweis. Nach dem letzten Satz gibt es ein vonξabh¨angigesθ∈[0,1] mit f(x+ξ)=
|α|≤k−1
Dαf(x)
α! ξα+
|α|=k
Dαf(x+θξ)
α! ξα
=
|α|≤k
Dαf(x)
α! ξα+
|α|=k
rα(ξ)ξα
=φ(ξ)
,
wobei rα(ξ) = Dαf(x+θξ)−Dα! αf(x). Wegen der Stetigkeit der Abbildung Dαf gilt limξ→0rα(ξ) = 0. Es folgt limξ→0φ(ξ)||ξ||k = 0, denn f ¨ur |α| = k gilt |||ξξα|||k =
|ξ1|α1ããã|ξn|αn
||ξ||α1ããã||ξ||αn ≤1.
Beispiele 9.3.4.
• Sei f :U→Rin einer UmgebungUdes Nullpunkts definiert. Es gelte limx→0
|f(x)|
||x||α =1,
f ¨ur ein 0< α <1. Es folgt dann, dass f nicht stetig differenzierbar ist.
• Sei f : R2 →R, f(x,y) = cos(xy). Dann ist die Taylorreihe von f um Null gleich
f(x,y)= ∞
n=0
(−1)n (2n)!x2ny2n.
Definition 9.3.5. Seix∈Rnund fsei eine in einer Umgebung vonxzweimal stetig differenzierbare Funktion. DieHesse-Matrixvon f in xist dien×n- Matrix
Hessf(x)=
DiDjf(x)
1≤i,j≤n. Nach Satz 9.1.3 ist die Hesse-Matrix symmetrisch, also
Hess f(x)=Hessf(x)t.
Damit ist die Bilinearform (v,w) → v,Hwsymmetrisch, wobeiHdie Ma- trix Hess f(x) ist.
9.3. TAYLOR-FORMEL UND LOKALE EXTREMA 203 Beispiel 9.3.6. Sei f :R2 →R, f(x,y)=cos(xy). Dann ist
D1f(x,y)=−ysin(xy), D2f(x,y)=−xsin(xy).
Es folgt
Hess f(x,y)= −y2cos(xy) −sin(xy)−y2cos(xy)
−sin(xy)−y2cos(xy) −x2cos(xy)
.
Proposition 9.3.7. Sei U ⊂ Rn offen, x ∈ U und f : U → R zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt
f(x+ξ)= f(x)+
ξ,∇f(x) + 1
2ξ,Hξ+o(||ξ||2), wobei H=Hess f(x)die Hesse-Matrix von f ist.
Beweis. Nach dem Korollar gilt f(x+ξ)=
|α|≤2
Dαf(x)
α! ξα+o(||ξ||2)= 2 m=0
Pm(ξ)+o
||ξ||2 ,
wobei Pm(ξ) =
|α|=m Dαf(x)
α! ξα. Offensichtlich ist P0(ξ) = f(x). Ebenso ist P1(ξ)=
ξ,∇f(x)
. Schlieòlich gilt P2(ξ)=
|α|=2
Dαf(x) α! ξα=
n
j=1
D2jf(x)
2 ξ2j +
1≤i<j≤n
DiDjf(x)ξiξj
= 1 2
n j=1
D2jf(x)ξ2j +
1≤ij≤n
DiDjf(x)ξiξj
= 1 2
1≤i,j≤n
DiDjf(x)ξiξj= 1
2ξ,Hξ.
Lokale Extrema
SeiU⊂Rnoffen und f :U→Reine Funktion. Ein Punktx∈Uheiòtlokales Maximum, falls es eine UmgebungV⊂Uvonxgibt, so dass
f(x)≥ f(y) f ¨ur alle y∈V. Analog istxeinlokales Minimum, falls einVexistiert mit
f(x)≤ f(y) f ¨ur alle y∈V.
204 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHNUNG IMRN Ein lokales Maximumxheiòtisoliertes lokales Maximum, falls f(x)> f(y) f ăur alley∈V, yx. Analog f ¨ur Minimum. Einlokales Extremumist ein lokales Minimum oder Maximum.
Satz 9.3.8. Ist f : U → R partiell differenzierbar und hat f in x ∈ U ein lokales Extremum, so ist∇f(x)=0.
Beweis. Die Stellet=0 ist ein lokales Extremum der Funktiont→ f(x+tej).
Daher folgtDjf(x)=0 aus Satz 5.2.2.
Definition 9.3.9. SeiHeine symmetrischen×nMatrix mit reellen Eintr¨agen.
Die MatrixHheiòtpositiv definit, falls
ξ,Hξ>0 f ¨ur alleξ∈Rn{0}.
Die Matrix heiòtpositiv semidefinit, falls
ξ,Hξ ≥0 f ¨ur alleξ∈Rn.
Die Matrix heiòt negativ definit, bzw negativ semidefinit, wenn −H positiv definit bzw. positiv semidefinit ist.
Schlieòlich heiòt die MatrixH indefinit, falls es Vektoren ξ, η ∈ Rn gibt, so dass
ξ,Hξ<0< η,Hη
.
Satz 9.3.10. Jede symmetrische reelle Matrix S ist diagonalisierbar. Die Matrix S ist genau dann positiv (semi-)definit, wenn alle ihre Eigenwerte> 0(≥ 0) sind. Sie ist genau dann indefinit, wenn sie sowohl streng positive wie streng negative Eigenwerte besitzt.
Sei A =(ai,j)eine symmetrische reelle n×n-Matrix. Die Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn f ¨ur jedes k=1, . . . ,n gilt
det
a1,1 . . . a1,k
... ...
ak,1 . . . ak,k
>0.
Beweis. Lineare Algebra, siehe etwa [Fis10].
9.3. TAYLOR-FORMEL UND LOKALE EXTREMA 205 F ¨ura,b∈Rist demnach die Matrix
a bb a
genau dann positiv definit, wenn a>0 unda2−b2>0 ist, also wenna>|b|>0 ist oder wenna±b>0 ist. Die Eigenwerte dieser Matrix sind die L ¨osungen der Gleichung
(x−a)2−b2 =0⇔(x−a)2=b2⇔x−a=±b⇔x=a±b.
Womit das Kriterium im Falln=2 verifiziert ist.
Satz 9.3.11. Sei U⊂Rnoffen, f :U→Rzweimal stetig differenzierbar und x∈U ein Punkt mit∇f(x)=0.
a) IstHess f(x)positiv definit, so hat f in x ein isoliertes Minimum.
b) IstHess f(x)negativ definit, so hat f in x ein isoliertes Maximum.
c) IstHess f(x)indefinit, so besitzt f in x kein lokales Extremum. In diesem Fall nennt man x einenSattelpunktvon f .
Beweis. In einer Umgebung vonxgilt f(x+ξ)= f(x)+1
2ξ,Hξ+φ(ξ), wobeiH = Hess f(x) und φ(ξ) = o
||ξ||2
. Es gibt also zu jedem ε > 0 ein δ >0 mit
|φ(ξ)| ≤ε||ξ||2 f ¨ur||ξ||< δ.
(a) Sei H positiv definit und sei S = {ξ ∈ Rn : ||ξ|| = 1} die Sph¨are vom Radius 1. DaS kompakt ist, nimmt die stetige Funktionξ → ξ,Hξ > 0 auf Sihr Minimum an. Seiα > 0 dieses Minimum. Es ist zu zeigen, dass
ξ,Hξ ≥ α||ξ||2 f ¨ur alle ξ∈ Rn gilt. Dies ist trivial f ¨urξ = 0. F ¨urξ 0 ist
||ξ||1 ξ∈S, also
ξ,Hξ= 1
||ξ||2ξ,Hξ ||ξ||2=
1
||ξ||ξ,H 1
||ξ||ξ
||ξ||2 ≥α||ξ||2.
W¨ahleδ >0 so klein, dass|φ(ξ)| ≤ α4||ξ||2f ¨ur||ξ||< δ.Damit folgt f(x+ξ)= f(x)+ 1
2ξ,Hξ+φ(ξ)≥ f(x)+α
2||ξ||2−α
4||ξ||2 = f(x)+α 4||ξ||2, also f(x+ξ)> f(x) f ¨ur 0<||ξ||< δ.Damit hat finxein isoliertes Minimum.
Den Fall (b) f ¨uhrt man auf (a) zur ¨uck, indem man−fstatt f betrachtet.
206 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHNUNG IMRN (c) SeiHindefinit. Es ist zu zeigen, dass in jeder Umgebung vonxPunktey und yexistieren mit
f(y)< f(x)< f(y).
DaHindefinit ist, gibt es einξ∈Rn{0}mitαξ,Hξ >0.F ¨ur kleinet ist dann
f(x+tξ)= f(x)+1
2tξ,Htξ+φ(tξ)= f(x)+α
2t2+φ(tξ).
Istt hinreichend klein, so gilt |φ(tξ)| ≤ α4t2, also f(x+tξ) > f(x) f ¨urt 0 hinreichend klein. Analog zeigt man die Existenz einesη∈Rn{0}so dass f(x+tη)< f(x) f ¨ur hinreichend kleinet0.
Beispiele 9.3.12.
• Die Funktion f(x,y)=x2+y2hat in (x,y)=0 ein isoliertes Minimum, wie man mit bloòem Auge sieht. Die Hesse-Matrix Hessf(0)=
22
ist positiv definit, also sieht man’s nochmal.
• Die Funktion f(x,y) =x2−y2hat in 0 kein Extremum, da die Hesse- Matrix Hessf(0)=
2−2
indefinit ist.
• F ¨ur die Funktion f(x,y)=cos(x) cos(y) gilt
∇f(x,y)=
−sin(x) cos(y),−cos(x) sin(y) also∇f(0,0)=0. Die Hesse-Matrix ist
Hessf(x,y)= −cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x) sin(y) −cos(x) cos(y)
,
also folgt Hessf(0,0) = −Id und damit hat f in Null ein isoliertes lokales Maximum.