Damit Integrierbarkeit stets sichergestellt ist, werden in diesem Kapitel nur stetige Funktionen integriert, die auòerhalb einer kompakten Menge ver- schwinden.
Definition 10.2.1. Ist f ¨urj=1, . . . ,nein kompaktes IntervallIj =[aj,bj]⊂R gegeben und istQ=I1ì ã ã ã ìIn⊂Rnder Quader mit denIjals Kanten, ist ferner f :Q→Rstetig, so setze
Q
f(x)dx
b1
a1
. . .
bn
an
f(x1, . . . ,xn)dxn . . .dx1. Lemma 10.2.2. In der Berechnung von
Q f(x)dx kann man die Integrations- reihenfolge ¨andern, es gilt also f ¨ur eine beliebige Permutation σ : {1, . . . ,n} → {1, . . . ,n}:
Q
f(x)dx=
bσ(1)
aσ(1)
. . .
bσ(n)
aσ(n)
f(x1, . . . ,xn)dxσ(n) . . . dxσ(1).
Beweis. Es reicht, dies f ¨ur die Vertauschung zweier benachbarter Koordina- ten zu zeigen, also reicht es, den Falln = 2 zu betrachten. F ¨ur diesen Fall
wurde die Behauptung in Satz 10.1.6 gezeigt.
Definition 10.2.3. DerTr¨ager(engl.: support) einer Funktion f :Rn→Rist der topologische Abschluss von f−1(R {0}), also
supp f
x∈Rn: f(x)0 .
10.2. STETIGE FUNKTIONEN MIT KOMPAKTEN TR ¨AGERN 219 Es bezeichneC(Rn) den Vektorraum aller stetigen Funktionen f : Rn →R undCc(Rn) sei der Unterraum aller Funktionen f ∈ C(Rn) mit kompaktem Tr¨ager, also
Cc(Rn)=
f ∈C(Rn) : suppf ist kompakt .
Sei nunf ∈Cc(Rn), dann gibt es einen kompakten QuaderQmit suppf ⊂Q
und die Zahl
Rn
f(x)dx
Q
f(x)dx h¨angt nicht von der Wahl eines solchen QuadersQab.
Satz 10.2.4(Linearit¨at und Positivit¨at). F ¨ur f,g∈Cc(Rn)undλ∈Rgilt a)
Rn
f(x)+g(x)dx=
Rn
f(x)dx+
Rn
g(x)dx, b)
Rnλf(x)dx=λ
Rn
f(x)dx.
c) Gilt f ≥0, also f(x)≥0f ¨ur jedes x∈Rn, so folgt
Rn f(x)dx ≥0.
Beweis. Alle drei Aussagen gelten f ¨ur einfache Integrale und folgen allge-
mein durch iterierte Anwendung dieser Tatsache.
Definition 10.2.5. Sei f : Rn → Rund a ∈ Rn, so definiert man die um a translatierte Funktionτafdurch
τaf(x)= f(x−a).
x f
x+a τaf
Satz 10.2.6(Translationsinvarianz). F ¨ur jedes f ∈Cc(Rn)gilt
Rn
f(x)dx=
Rnτaf(x)dx.
220 KAPITEL 10. INTEGRATION IMRN
Auòerdem gilt
Rn
f(x)dx=
Rn
f(−x)dx.
Beweis. F ¨ur n = 1 folgt dies aus der Substitutionsregel. Allgemein durch Anwenden der Substitutionsregel in jeder Koordinate.
Axiomatische Charakterisierung des Integrals
Wie hier gezeigt wird, ist das Integral bis auf skalare Vielfache eindeutig festgelegt durch die Linearit¨at, Positivit¨at und Translationsinvarianz. Man k ¨onnte daher auch diese Eigenschaften zur Definition machen und alles, was man ¨uber Integralrechnung wissen will aus diesem Axiomen folgern.
Definition 10.2.7. Eine lineare Abbildung I : Cc(Rn) → R nennt man ein positives Funktional, falls gilt
f ≥0 ⇒ I(f)≥0.
Das Funktional heiòttranslationsinvariant, falls I(τaf)=I(f) f ¨ur jedesa∈Rngilt.
Lemma 10.2.8. Ist I ein positives Funktional, so gilt f ¨ur f,g∈Cc(Rn):
f ≤g ⇒ I(f)≤I(g).
Ein positives Funktional ist also monoton.
Beweis. Beweis, es geltef ≤g, also 0≤g−f. Dann ist 0≤I(g−f)=I(g)−I(f)
alsoI(f)≤I(g).
Satz 10.2.9. Sei I: Cc(Rn) →Rein positives translationsinvariantes Funk- tional. Dann gibt es ein c≥0mit
I(f)=c
Rn
f(x)dx
f ăur jedes f ∈Cc(Rn). Das heiòt, dass das Integral im Wesentlichen das einzige positive Funktional auf Cc(Rn)ist.
10.2. STETIGE FUNKTIONEN MIT KOMPAKTEN TR ¨AGERN 221 Zum Beweis wird die Stetigkeit positiver Funktionale wie im folgenden Lemma ben ¨otigt.
Lemma 10.2.10. Sei I:Cc(Rn)→Rein positives lineares Funktional. Es sei fk∈ Cc(Rn)eine Folge, deren Tr¨ager alle in einem gemeinsamen Kompaktum K ⊂Rn liegen. Die Folge fkkonvergiere gleichmăaòig gegen die Funktion f ∈Cc(Rn). Dann gilt
klim→∞I(fk)=I(f).
Beweis. Zun¨achst wird eine Funktionχ ∈Cc(Rn) mit der Eigenschaftχ|K ≡ 1 konstruiert. Da K kompakt ist, gibt es ein R > 0 mit K ⊂ BR(0). Sei ηR : [0,∞) → [0,1] die st ¨uckweise lineare Funktion gegeben durch den Graphen:
0 R R+1
Dann seiχ(x) = ηR(||x||). F ¨ur g ∈ Cc(Rm) sei nungRn = supx∈Rn|g(x)| die Supremumsnorm, dann ist gleichmăaòige Konvergenz gleichbedeutend mit Konvergenz in der Supremumsnorm. Es gilt also
fk− fRn
k−→→∞ 0.
Offensichtlich ist
−fk− fRn ≤ fk− f ≤fk− fRn, und daχaufKkonstant eins ist, folgt
−fk− fRnχ≤ fk− f ≤fk− fRnχ.
Wegen der Monotonie also I
−fk− fRnχ
≤I fk− f
≤Ifk− fRnχ . Nun gehtIfk− fRnχ
= fk− fRnI(χ) gegen Null und die linke Seite ebenso, also gehtI(fk)−I(k)=I(fk− f) ebenfalls gegen Null.
SeiI :Cc(Rn)→Rein positives lineares Funktional und seiF∈Cc(Rn×Rn).
F ¨ur jedesy ∈ Rn kann manI auf die Funktion x →F(x,y) anwenden und schreibt dies alsIxF(x,y). Es entsteht eine Funktion in y. Beispiel: IstIdas Integral, so istIxF(x,y)=
RnF(x,y)dx.
222 KAPITEL 10. INTEGRATION IMRN Lemma 10.2.11. In der obigen Situation ist IxF(x,y) wieder ein Element von Cc(Rn)und es gilt
Rn
IxF(x,y)dy=Ix
Rn
F(x,y)dy
.
Beweis. Die Funktion F hat kompakten Tr¨ager, dieser liegt also in einem Quader der Form [−T,T]2nf ¨ur ein hinreichend grossesT >0. Das Integral
RnF(x,y)dywird durch Riemann-Summen angen¨ahert, genauer sei f ¨urk∈ N
Rk(F(x, .))=
1 2kT
nk
j1=1
ã ã ã k
jn=1
F x,2j1
kT−T, . . . ,2jn
kT−T
.
Nach der Theorie der Riemann-Summen folgt
klim→∞Rk(F(x, .))=
[−T,T]nF(x,y)dy=
RnF(x,y)dy.
Aus der Tatsache, dass die stetige FunktionFauf dem Kompaktum [−T,T]2n gleichmăaòig stetig ist, folgt nun nach Lemma 10.1.1 die gleichmăaòige Kon- vergenz, das heiòt, dass die Funktionenfolge fk(x)=Rk(F(x, .)) gleichmăaòig gegen f(x)=
RnF(x,y)dykonvergiert. Die Tr¨ager der fk liegen alle in dem Kompaktum [−T,T]n, also folgt nach Lemma 10.2.10,
Ix(Rk(F(x, .)))k−→→∞Ix
RnF(x,y)dy
.
Wegen der Linearit¨at ist Ix
Rk(F(x, .))
=
1 2kT
nk
j1=1
ã ã ã k
jn=1
IxF x,2j1
kT−T, . . . ,2jn k T−T
. Dies ist allerdings wieder eine Riemannsche Summe, und zwar zur Funktion IxF(x,y). Istyk→yeine konvergente Folge, so konvergiert die Folge fk(x)= F(x,yk) gleichmăaòig inxgegenF(x,y), also folgt wieder nach Lemma 10.2.10, dassIxF(x,y) eine stetige Funktion ist. Ihr Tr¨ager liegt wieder in [−T,T]nalso folgt nach der Theorie der Riemann-Summen, dassIx(Rk(F(x, .))) f ¨urk→ ∞ gegen
RnIxF(x,y)dykonvergiert. Damit ist das Lemma bewiesen.
Der Beweis von Satz 10.2.9 wird nun abgeschlossen.
Definition 10.2.12. Die Faltung zweier Funktionen f,g ∈ Cc(Rn) ist die Funktion
f ∗g(x)=
Rn
f(y)g(x−y)dy.
10.2. STETIGE FUNKTIONEN MIT KOMPAKTEN TR ¨AGERN 223 Diese Funktion liegt wieder inCc(Rn) und es gilt wegen der Translationsin- varianz und der Invarianz untery→ −y,
f∗g(x)=
Rn
f(y)g(x−y)dy=
Rn
f(x+y)g(−y)dy
=
Rn
f(x−y)g(y)dy=g∗ f(x).
Das Faltungsprodukt ist also kommutativ! Mit Hilfe von Lemma 10.2.11 rechnet man dann
Rn
f(y)dy I(g)=
Rn
f(y)I(g)dy=
Rn
f(y)I(τyg)dy
=
Rn
f(y)Ix(g(x−y))dy
=Ix
Rn
f(y)g(x−y)dy
=I(f ∗g).
Wegen f ∗g= g∗ f k ¨onnen fund gvertauscht werden und es folgt
Rn
f(y)dy I(g)=
Rn
g(y)dy I(f).
W¨ahle ein festes f mit
Rn f(y)dy0 und setzec= I(f)
Rnf(y)dy, so folgt I(g)=c
Rn
g(y)dy
f ¨ur jedesg∈Cc(Rn). Damit ist Satz 10.2.9 bewiesen.
Das Faltungsprodukt ist ein n ¨utzliches Werkzeug. Als n¨achstes wird es verwendet, um zu zeigen, dass die Menge der glatten Funktionen dicht in Cc(Rn) liegt.
Definition 10.2.13. F ¨ur eine offene TeilmengeU ⊂RnseiCc(U) die Menge aller stetigen Funktionen f : U→R, die kompakten Tr¨ager inUbesitzen.
Man kann jedesf ∈Cc(U) nach ganzRnfortsetzen, indem man es auòerhalb vonUals Null definiert. Also kann manCc(U) als die Menge allerf ∈Cc(Rn) auffassen, deren Tr¨ager inUliegt.
Definition 10.2.14. SeiU⊂Rnoffen. F ¨urk∈Nsei seiCkc(U) die Menge der k-mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen mit kompakten Tr¨agern in UundC∞c (U) die der unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kom- pakten Tr¨agern. Statt ’unendlich oft differenzierbar’ sagt man auch ’glatt’.
Dann ist also C∞c (U) die Menge aller glatten Funktionen mit kompakten Tr¨agern.
224 KAPITEL 10. INTEGRATION IMRN
Satz 10.2.15. Sei U ⊂ Rneine offene Menge und f ∈ Cc(U). Dann gibt es eine Folge fj∈C∞c (U), die gleichmăaòig gegen f konvergiert.
Beweis. F ¨ur ein KompaktumK⊂Rnsei M(K)=max
x∈K ||x||
der maximale Abstand zu Null. IstM(K)< δ, so giltK⊂Bδ(0).
Definition 10.2.16. Eine Dirac-Folge auf Rn ist eine Folge φj ∈ C∞c (Rn) so dass
• M
supp(φj)
geht gegen Null,
• φj ≥0 und
Rnφj(x)dx=1.
Im folgenden Lemma wird die Existenz von Dirac-Folgen sichergestellt.
Lemma 10.2.17. a) Es gibt eine Dirac-Folge aufRn.
b) Ist φj eine Dirac-Folge und f eine in einer Umgebung U ⊂ Rn der Null definierte und im Nullpunkt stetige Funktion, dann gilt
Rn
φj(x)f(x)dx j−→→∞ f(0),
wobei das Integral nur definiert ist, wennsuppφj ⊂U gilt, was aber f ¨ur alle hinreichend groòen Indizes j der Fall ist.
Beweis. Die Funktion
η1(x)=
e−1/x x>0, 0 x≤0,
ist glatt auf R, hat aber keinen kompakten Tr¨ager. Die Funktion η(x) = η1(1+x)η1(1−x) ist glatt aufR, ist≥0 und hat Tr¨ager [−1,1]. Seic=
Rη(x)dx, so hat die Funktionψ= ηc Integral 1 undψj(x)=ψ(jx)jist eine Dirac-Folge aufR. Schlieòlich ist
φj(x1, . . . ,xn)=ψj(x1)ã ã ãψj(xn)
10.2. STETIGE FUNKTIONEN MIT KOMPAKTEN TR ¨AGERN 225 eine Dirac-Folge aufRn. Zu Teil (b) sei (φj) eine Dirac-Folge. Ist suppφj ⊂U, so gilt
Rnφj(x)f(x)dx− f(0)
=
Rnφj(x)
f(x)− f(0) dx
≤
Rn
φj(x) f(x)− f(0) dx.
Seiε >0, so existiert nach der Stetigkeit von f einδ >0 so dass f ¨ur||x||< δ gilt|f(x)−f(0)|< ε. Es gibt ferner einj0so dass f ¨urj≥ j0giltM(suppφj)< δ.
F ¨ur jedes j≥ j0 und jedesx ∈ Rn folgt dannφj(x) f(x)− f(0)≤εφj(x),so dass wir
Rnφj(x)f(x)dx− f(0)≤εerhalten.
F ¨ur zwei TeilmengenA,B⊂Rnsei A+B=
a+b:a∈A, b∈B . Lemma 10.2.18. Seien f,g∈Cc(Rn), dann gilt
a) supp(f∗g)⊂supp f+suppg, b) ist g glatt, so ist f∗g glatt,
c) istφjeine Dirac-Folge, so konvergiertφj∗ f gleichmăaòig gegen f . Beweis. (a) Seix∈supp(f∗g), also
Rn f(y)g(x−y)dy0. Dann existiert ein y∈supp fso dassz=x−y∈suppg, alsox=y+z∈supp f+suppg.
(b) Ist g glatt, so ist nach einer iterierten Anwendung von Satz 10.1.4 die Funktion f ∗ g stetig partiell differenzierbar und man darf unter dem In- tegral differenzieren. Auf die differenzierten Funktionen wendet man den Satz dann wieder an und sieht iterativ, dass f∗gunendlich oft stetig diffe- renzierbar ist.
(c) Man rechnet
|φj∗ f(x)− f(x)|=
Rnφj(y)
f(x−y)− f(x) dy
≤
Rnφj(y)|f(x−y)− f(x)|dy.
Seiε >0. Da f gleichmăaòig stetig ist, gibt es einδ > 0, so dass f ăur jedesy mit||y||< δgilt|f(x−y)− f(x)|< ε. F ¨ur j≥1/εgilt daher
|φj∗ f(x)− f(x)|< ε
Rnφj(x)dx=ε.
226 KAPITEL 10. INTEGRATION IMRN Nun zum Beweis von Satz 10.2.15. Sei f ∈ Cc(U) und seiKder Tr¨ager von f. DaKkompakt ist, hatKeinen positiven Abstand zu∂U, also gibt es ein δ >0 so dass aus||y||< δundx∈supp ffolgtx−y∈U.
K
U
•
Daher istφj0 ∗ f ∈C∞c (U) f ¨urj0>1/δund die Folge fj =φj+j0 ∗ ferf ¨ullt den
Satz.