Initial- und Final-Topologien

12.5 Initial- und Final-Topologien

Viele wichtige und n ¨utzliche Topologien sind nur implizit gegeben. Die meisten sind Initial- oder Final-Topologien. Diese sind jeweils durch Abbil- dungen von oder in topologische R¨aume induziert.

Initialtopologien

Definition 12.5.1. Sei X eine Menge und fi : X → Yi eine Familie von Abbildungen, wobei die Yi topologische R¨aume sind. Die Initialtopologie auf X induziert durch die Familie (fi)i∈I ist die kleinste Topologie aufX, bez ¨uglich der alle fi stetig sind. Also ist es die Topologie, die durch alle Urbilder fi−1(U) offener MengenU⊂Yierzeugt wird.

Beispiele 12.5.2.

• SeiA⊂Xeine Teilmenge des topologischen RaumsX. Die Teilraum- topologie vonAist genau die Initialtopologie, die von der Inklusions- abbildungi:A→Xinduziert wird.

• Sei (Xi)i∈Ieine Familie topologischer R¨aume. SeiX=Š

i∈IXidas karte- sische Produkt der R¨aumeXi. DieProdukttopologieaufXist die Initial- Topologie der Koordinaten-Projektionen pi : X → Xi. Sie wird also erzeugt von allen Mengen der Form

Ui×

ij

Xj,

wobeiUi ⊂Xieine offene Menge ist. Nach Lemma 12.4.1 ist jede offene Menge inXeine Vereinigung von Mengen der Gestalt





i∈E

Ui



×





iE

Xi



,

wobeiE⊂Ieine endliche Teilmenge der IndexmengeIist.

Lemma 12.5.3. Die Topologie aufRn, die durch die euklidische Metrik definiert wird, stimmt mit der Produkttopologie vonRn=Šn

j=1R¨uberein.

Beweis. Eine MengeU⊂Rnist genau dann offen in der euklidischen Metrik, wenn sie eine Vereinigung von offenen B¨allen ist. Sie ist genau dann offen in der Produkt-Topologie, wenn sie eine Vereinigung von offenen Quadern

264 KAPITEL 12. ALLGEMEINE TOPOLOGIE (a1,b1)ì ã ã ã ì(an,bn) ist. Um also zu zeigen, dass diese Topologien ăuberein- stimmen, reicht es, zu zeigen, dass jeder offene Quader eine Vereinigung offener B¨alle und jeder offene Ball Vereinigung offener Quader ist. Sei also Q=(a1,b1)ì ã ã ã ì(an,bn) ein offener Quader und seix ∈Q. Dann liegt der BallBr(x) mit Radius

r=min(|a1−x1|, . . . ,|an−xn|,|bn−xn|, . . . ,|bn−xn|)

ganz inQ. Also gibt es zu jedemx∈Qeinen offenen BallBxmitx∈Bx⊂Q, so dass Q = 

x∈QBx gilt. Sei umgekehrt ein offener BallB gegeben und sei x ∈ B. Dann enth¨alt B einen offenen Ball Br(x) mit Zentrum x. Dieser wiederum enth¨alt einen offenen Quader, derxenth¨alt.

Proposition 12.5.4. Sei X eine Menge versehen mit der Initial-Topologie induziert durch die Abbildungen fi:X→Yi, i∈I. Eine Abbildungα:W →X von einem topologischen Raum W ist genau dann stetig, wenn alle Abbildungen fi◦α:W → Yistetig sind.

Beweis. Sei αstetig, dann ist fi ◦αals Komposition stetiger Abbildungen selbst auch stetig. Andersherum, nimm an, dass alle fi ◦αstetig sind. Sei Edas System von Teilmengen vonXder Form fi−1(U) wobeiUeine offene Teilmenge von Yi ist. Dann erzeugt Edie Topologie O von X. Sei Oα die gr ăoòte Topologie aufX, dieαstetig sein lăasst, dann, da fi◦αstetig ist, folgt E ⊂ Oα, deshalbO ⊂ Oα, also istαstetig.

Beispiel 12.5.5. F ¨ur eine gegebene Familie von topologischen R¨aumenXi, i∈I, seiX=Š

i∈IXidas Produkt derXi, versehen mit der Produkttopologie.

Seipi : X →Xi diei-te Projektion. Eine Abbildung f : W → Xvon einem topologischen RaumWist genau dann stetig, wenn alle Abbildungenpi◦f : W →Xistetig sind. Dies bedeutet zum Beispiel, dass f ¨ur zwei topologische R¨aume X,Yund y0 ∈ Ydie Abbildung X→ X×Y, diexauf (x,y0) wirft, stetig ist.

Lemma 12.5.6. Ein topologischer Raum X ist genau dann hausdorffsch, wenn die Diagonale

∆ =

(x,x) :x∈X eine abgeschlossene Teilmenge von X×X ist.

Beweis. Der RaumXìXtrăagt die Produkttopologie, das heiòt die Familie alleroffenen Rechtecke:U×V, wobeiU,V ⊂ Xoffene Mengen sind, ist eine Topologiebasis. Daher ist die Abgeschlossenheit von ∆ ¨aquivalent dazu, dass ∆c = X×X ∆ eine Vereinigung von offenen Rechtecken ist, was wiederum bedeutet, dass es zux yin X, also (x,y) ∈ ∆c offene Mengen

12.5. INITIAL- UND FINAL-TOPOLOGIEN 265 U,Vgibt, so dass (x,y)∈U×V⊂∆c, mit anderen Worten:x∈U,y∈Vund

U∩V=∅.

Finaltopologien

Definition 12.5.7. SeiXeine Menge und sei gi :Wi →X,i∈Ieine Familie von Abbildungen von topologischen R¨aumenWi. DieFinal-TopologieaufX induziert durch die Familie (gi)i∈Iist die gr ăoòte Topologie aufX, bez ăuglich der alle gi stetig sind. Eine Teilmenge U ⊂ X ist genau dann offen in der Final-Topologie, wenn jedes Urbildg−i1(U)⊂Wioffen ist. Ein Spezialfall der Finaltopologie ist dieQuotiententopologieaufZ/∼, wobeiZein topologischer Raum ist und∼eine ¨Aquivalenzrelation. Die Quotiententopologie ist dann die Finaltopologie der ProjektionZ→Z/∼.

Beispiel 12.5.8. Ein wichtiges Beispiel einer Finaltopologie ist die Verkle- bung. SeienX,Ytopologische R¨aume,U⊂Xeine Teilmenge undφ:U→Y eine stetige Abbildung. Die Verklebung vonXundYentlangφist die Menge Xã∪Y/ ∼, wobei∼die ăAquivalenzrelation ist, die sich durch Identifikation von u ∈ U mit φ(u) ergibt. Genauer gilt a ∼ b genau dann, wenn a = b odera∈Uundb=φ(a) oder umgekehrt. Im Bild ist die Verklebung zweier gestreckter Ovale entlang der Identifikation zweier Seiten zu sehen.

φ

Proposition 12.5.9. Sei X eine Menge versehen mit der Final-Topologie induziert durch Abbildungen gi : Wi → X, i ∈ I. Eine Abbildungβ : X → Y in einen topologischen Raum Y ist genau dann stetig, wenn alle Abbildungenβ◦gi:Wi → Y stetig sind.

Beweis. Istβ:X→Ystetig so ist jede Verkn ¨upfungβ◦gistetig. Sei umge- kehrtβ :X→Yeine Abbildung, so dass jede Verkn ¨upfungβ◦gi stetig ist.

Sei dannU⊂Yeine offene Menge und seiV=β−1(U)⊂X. F ¨ur jedesi∈Iist danng−1i (V) = g−1i

β−1(U)

=(β◦gi)−1(U) offen inWi, also istVoffen und

damit istβstetig.

Beispiel 12.5.10. Ein wichtiges Beispiel einer Finaltopologie ist der Raum Cc(Rn) aller stetigen Funktionen f : Rn → Rmit kompakten Tr¨agern. F ¨ur

266 KAPITEL 12. ALLGEMEINE TOPOLOGIE jedes Kompaktum K ⊂ Rn sei CK(Rn) die Teilmenge aller stetigen Funk- tionion mit Tr¨ager inK. Mit Hilfe der Supremumsnorm installiert man auf CK(Rn) eine Metrik

dK(f,g)=f−gK=sup

x∈K

|f(x)−g(x)|.

AufCc(Rn) installiert man dann die Finaltopologie gegeben durch alle Inklu- sionenCK(Rn)→Cc(Rn), wennKdurch alle kompakten Teilmengen l¨auft.

Mit Hilfe der Proposition 12.5.9 sieht man dann, dass in Lemma 10.2.10 ge- nau die Stetigkeit des Integrals f →…

Rn f(x)dxals AbbildungCc(Rn)→R bewiesen wurde.