Der Satz von Stone-Weierstraò

Satz 12.7.1(Tychonov). X=Š

i∈IXiist genau dann kompakt ist, wenn alle Faktoren Xi kompakt sind.

Beweis. Da die Projektion pi : X → Xi stetig ist, so ist jedes Xi kompakt, fallsXkompakt ist. Die schwierige Richtung ist die Umkehrung. Seien also alleXi kompakt. SeiF =(Fν)ν∈N eine Familie abgeschlossener Mengen mit der endlichen Schnitteigenschaft (jeweils endlich viele haben nichtleeren Schnitt). Es gibt dann eine maximale FamilieF∗=(Fν)ν∈N∗ mitF∗⊃ F, die die endliche Schnitteigenschaft hat. Dies folgt leicht aus dem Lemma von Zorn, da man aus einer linear geordnete Mengen von Familien mit end- licher Schnitteigenschaft durch Vereinigung eine obere Schranke gewinnt, die wieder die endliche Schnitteigenschaft hat.

(A) SindF1, . . . ,Fn∈ F∗, so ist auchF1∩ã ã ã∩FninF∗wie aus der Maximalităat vonF∗folgt.

(B) IstS⊂Xirgendeine Teilmenge mit der EigenschaftS∩Fν ∅f ¨ur jedes Fν∈ F∗, dann istS∈ F∗, wie aus der Maximalit¨at folgt.

Seii∈ I. Die Familie abgeschlossener Mengen (pi(Fν))ν∈N∗ hat die endliche Schnitteigenschaft, also gibt es wegen der Kompaktheit von Xi ein zi in deren Schnitt. Sei

U=Ui1 ì ã ã ã ìUinì

ii1,...,in

Xi

eine offene Umgebung vonz= (zi)i∈I. Seik ∈ {1, . . . ,n}. So gibt es zu jedem Fν∈ F∗ein f ∈Fνmitpik(f)∈Uik, also gilt mitSk =p−1i

k (Uik), dassSk∩Fν

∅ ist. Nach (B) ist Sk ∈ F∗. Nach (A) ist dann U = S1 ∩ ã ã ã ∩Sn ∈ F∗. Insbesondere hatUalso nichtleeren Schnitt mit jedemF∈ F∗, also auch mit jedemF ∈ F. Da die Umgebungen U dieser Form eine Umgebungsbasis bilden, liegt z im Abschluss von Fν also in Fν f ¨ur jedes ν ∈ N. Damit ist

‰

n∈NFnnichtleer undXist kompakt.

12.8 Der Satz von Stone-Weierstraò

Definition 12.8.1. Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Man sagt, eine stetige Funktion f : X → C verschwindet im Unendlichen, falls es zu jedemε >0 ein KompaktumK⊂Xgibt so dass|f(x)|< εf ¨ur jedesx∈XK.

Sei C(X) die Menge aller stetigen Funktion von X nach C und C0(X) die

270 KAPITEL 12. ALLGEMEINE TOPOLOGIE Menge aller stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden. Sie enth¨alt die MengeCc(X) aller stetigen Funktionen mit kompakten Tr¨agern.

Lemma 12.8.2. Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Jedes f ∈ C0(X) ist beschr¨ankt und die Supremumsnorm

fX=sup

|f(x)|:x∈X

macht C0(X)zu einemBanach-Raum, also einem vollst¨andigen normierten Vek- torraum.

Beweis. Sei f ∈ C0(X). Zuε = 1 gibt es dann ein KompaktumK ⊂ X mit

|f(x)| < ε f ¨ur x ∈ XK, also ist f ausserhalb eines Kompaktums K be- schr¨ankt. Da f stetig ist, ist f(K) ⊂ C kompakt, also beschr¨ankt, damit ist f ¨uberall beschr¨ankt. Daher ist die Sup-Norm aufC0(X) wohldefiniert.

F ¨ur die Vollst¨andigkeit sei (fj)j∈N eine Cauchy-Folge. Sei x ∈ X. Wegen

|fi(x)− fj(x)| ≤ fj− fiXist fj(x) eine Cauchy-Folge inC, also konvergent gegen eine komplexe Zahl, die f(x) genannt wird. Dann ist f : X→Ceine Funktion und die Folge fjkonvergiert punktweise gegen f. Es ist zu zeigen, dass sie gleichmăaòig konvergiert. Sei ε > 0, dann existiert ein j0 so dass

fj− fiX< εf ¨ur allei,j≥ j0gilt. F ¨urj≥ j0undx∈Xgilt dann also

|fj(x)− f(x)|=lim

i |fj(x)− fi(x)| ≤ε.

Durch ¨Ubergang zum Supremum ¨uber allex∈Xfolgt

fj− fX≤ε

f ¨ur jedes j≥ j0, also konvergiert die Folge in der Norm gegen f.

Um zu zeigen, dass fstetig ist seiU⊂Ceine offene Menge. Es ist zu zeigen, dass f−1(U) offen ist. Sei alsox0∈ f−1(U). Dann ist f(x0)∈Uund es existiert einε >0 so dassUε

f(x0)

⊂U. Es gibt nun ein jmit|f(x)− fj(x)|< ε/3 f ¨ur jedesx∈X. Dann istV= fj−1

Uε/3 f(x0)

offen inX. Es ist zu zeigen, dass x0∈V⊂ f−1(U).

Hieraus folgt die Offenheit von f−1(U). Zun¨achst ist|fj(x0)− f(x0)| < ε/3, also fj(x0)∈Uε/3

f(x0)

was nichts anderes heiòt alsx0∈V.

Weiter seix∈V, dann ist|fj(x)− f(x0)|< ε/3, also

|f(x)− f(x0)| ≤ |f(x)− fj(x)|+|fj(x)− fj(x0)|

≤ |f(x)− fj(x)|+|fj(x)− f(x0)|+|f(x0)− fj(x0)|

< ε 3+ ε

3+ ε 3 =ε.

12.8. DER SATZ VON STONE-WEIERSTRASS 271 Das heiòt f−1(x)∈ f−1(Uε(x0))⊂ f−1(U). Daher ist f−1(U) offen und also ist

f stetig.

Der Beweis, dass fim Unendlichen verschwindet sei dem Leser zur ¨Ubung

gelassen.

Definition 12.8.3. SeiXein topologischer Raum. EineKompaktifizierungist eine Abbildungc:X→Z, wobeiZein kompakter Raum ist,cdichtes Bild hat und cein Hom ăoomorphismus aufs Bild ist, das heiòt cist stetig und injektiv und die Umkehrabbildung ist stetig auf dem Bild vonc.

Lemma 12.8.4. Zu jedem nichtkompakten Hausdorff-Raum X gibt es eine Kom- paktifizierungX die durch Hinzunahme eines einzigen Punktes entsteht, die soge-† nannteEinpunktkompaktifizierung.

Beweis. SeiXein nichtkompakter topologischer Raum und∞sei ein neuer Punkt. SetzeX†= X∪ {∞}. AufX†wird wie folgt eine Topologie installiert.

Eine TeilmengeU⊂†Xheiòt offen, falls

• U⊂XundUist offen in der Topologie vonX, oder

• ∞ ∈UundXUist eine kompakte Teilmenge vonX.

Die Inklusionc: X →X†ist ein Hom ¨oomorphismus aufs Bild ist, wie aus der Definition der Topologie aufX†klar wird. Um zu zeigen, dassXdicht in

†Xist, reicht es zu zeigen, dass jede Umgebung des Punktes∞schon Punkte ausXenthăalt. Dies ist aber klar, daXselbst nicht kompakt ist. Schlieòlich ist zu zeigen, dassX†auch wirklich kompakt ist. Sei hierzu (Ui)i∈I eine offene Uberdeckung von¨ X. Dann existiert ein† i0mit∞ ∈Ui0. Die MengeK=XUi0 muss nach Definition kompakt sein und dieUimitii0bilden eine offene Uberdeckung von¨ K, daher reichen endlich viele.

Lemma 12.8.5. Sei X ein Hausdorff-Raum.

• Ist X kompakt, so ist C0(X)=C(X).

• Ist X nichtkompakt, so ist C0(X) die Menge der stetigen Funktionen f , die durch f(∞) =0zu einer stetigen Funktion auf der Einpunktkompaktifizie- rungX¯ =X∪ {∞}fortgesetzt werden k¨onnen.

Beweis. Klar nach Konstruktion.

272 KAPITEL 12. ALLGEMEINE TOPOLOGIE Die MengeC0(X) ist ein komplexer Vektorraum. Mit f,g ∈ C0(X) ist aber auch das punktweise Produkt f g : X → C, x → f(x)g(x) in C0(X). Dieses Produkt ist

• bilinear: (f,g)→ f gist linear in jedem Argument, also

(λf +àf)g=λf g+àfg, sowie f(λg+àg)=λf g+àf g f ăur alle f,f,g,g∈C0(X) undλ, à∈C, sowie

• assoziativ: f(gh)=(f g)hf ¨ur alle f,g,h∈C0(X).

Ein Vektorraum A zusammen mit einem bilinearen assoziativen Produkt A×A → A nennt man eine Algebra. Eine Unteralgebraist ein Unterraum B⊂ A, der unter dem Produkt abgeschlossen ist, d.h., derBãB⊂Berf ăullt.

Auch ¨uberRdefiniert man Algebren in analoger Weise.

Beispiele 12.8.6.

• Mn(C) ist eineC-Algebra und die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ist eine Unteralgebra.

• IstXein nichtkompakter Hausdorff-Raum, so istC0(X) eine Algebra undCc(X) ist eine Unteralgebra.

Satz 12.8.7(Satz von Stone-Weierstraò).

Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und sei A⊂C0(X)eine Unteralge- bra so dass

(a) A trennt Punkte, d.h. f ¨ur je zwei xy in X gibt es f ∈A mit f(x) f(y), (b) f ¨ur jedes x∈X gibt es ein f ∈A so dass f(x)0, und

(c) A ist abgeschlossen unter komplexer Konjugation, das heiòt f ∈A ⇒ f ∈A.

Dann ist A dicht in C0(X).

Diese komplexe Version des Satzes ist eine Konsequenz der folgenden reel- len Version in welcher die NotationCR0(X) f ¨ur den reellen Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktion ausC0(X) benutzt wird.

12.8. DER SATZ VON STONE-WEIERSTRASS 273

Satz 12.8.8(Satz von Stone-Weierstraò ăuberR).

Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A⊂CR0(X)eine reelle Unter- algebra von CR0(X)so dass

(a) A trennt Punkte und

(b) f ¨ur jedes x∈X gibt es ein f ∈A so dass f(x)0.

Dann ist A dicht in CR0(X).

Zun¨achst wird gezeigt, wie die komplexe Version aus der reellen folgt.

Nimm also an, dassA⊂C0(X) eine Unteralgebra ist, die den Bedingungen des komplexen Stone-Weierstraò-Satzes gen ăugt. Dann giltA = AR +iAR, wobeiAR = A∩CR0(X). Dies folgt aus der Zerlegung f = Re(f)+iIm(f) mit Re(f) = 12(f + f¯) und Im(f) = 2i1(f − f¯) inAR. Da Adie Bedingungen des komplexen Satzes erf ¨ullt, erf ¨ullt AR die des reellen. Die Anwendung des reellen Stone-Weierstraò liefert dann f ăur den topologischen Abschluss:

AR =CR0(X) undA=AR+iAR =C0(X).

Es gen ¨ugt also, die reelle Version zu zeigen.

Lemma 12.8.9(Satz von Dini). Sei X ein kompakter topologischer Raum und sei(fn)n∈N eine monoton wachsende Folge stetiger Funktionen fn : X → R, die punktweise gegen eine stetige Funktion f :X→Rkonvergiert. Dann konvergiert die Folge(fn)gleichmăaòig gegen f .

Beweis. Sei ε > 0 gegeben. F ¨ur jedes x ∈ X existiert einnx ∈ Nmit f(x)− ε < fn(x) ≤ f(x) f ¨ur jedes n ≥ nx. Sei Ux := {y ∈ K : f(y)−ε < fnx(y)}. Dann ist{Ux : x ∈ X} eine offene ¨Uberdeckung vonX. Da Xkompakt ist, gibt esx1, . . . ,xl ∈ X mitX = l

j=1Uxj. Dann gilt ‘f − fn‘X < εf ¨ur jedes

n≥N=max{nt1, . . . ,ntl}.

Lemma 12.8.10. Sei A eine Unteralgebra von CR0(X). Liegt f im topologischen Abschluss A von A, dann liegt auch|f|in A.

Sind f,g∈A, dann folgtmax(f,g),min(f,g)∈A.

Beweis. Zun¨achst wird der Beweis auf den Fall reduziert, dass f inAliegt.

Ist f ∈A, so existiert eine Folge fninAmit f =limn fn. Also auch

|f|=|lim

n fn|=lim

n |fn|,

274 KAPITEL 12. ALLGEMEINE TOPOLOGIE da die Betragsfunktion stetig ist. Sind also alle|fn|inA, so auch|f|.

Es bleibt also der Fall 0 f ∈ A. Durch ¨Ubergang zu ‘f1‘

Xf, kann f(X) ⊂ [−1,1], also f(x)2 ∈ [0,1] f ¨ur jedes x ∈ X angenommen werden. Induktiv wird eine Folge (pn) von Funktionen auf [0,1] definiert, so dassp1≡0 und

pn+1(t)=pn(t)−1

2(pn(t)2−t), t∈[0,1].

Die Folge pn(t)

w¨achst monoton gegen die Wurzelfunktion √

t. Um dies zu beweisen, wird per Induktion gezeigt, dass 0≤pn(t) ≤ √

tundpn(0)=0 f ¨ur jedesn∈N. Dies ist klar f ¨urn=1 und f ¨urn+1 folgt es aus

pn+1(t)− √

t=(pn(t)− √ t)− 1

2(pn(t)− √

t)(pn(t)+ √ t)

=(pn(t)− √ t)

1−1

2(pn(t)+ √ t)

≤0, da pn(t)− √

t ≤ 0 und pn(t)+ √

t ≤ 2√

t ≤ 2. Also, da pn+1(t) −pn(t) =

1

2(t−pn(t)2) ≥ 0, ist die Folge pn(t)

monoton wachsend und beschr¨ankt durch √

t. Sie konvergiert also gegen eine Funktion 0 ≤ g(t) ≤ √

t. Dann haben wir

0=g(t)−g(t)=lim

n

pn+1(t)−pn(t)

=lim

n

1

2(t−pn(t)2)= 1

2(t−g(t)2), mit anderen Worten g(t) = √

t. Da g stetig ist, konvergiert die Folge (pn) nach Satz 12.8.9 gleichmăaòig auf [0,1] gegeng.

Sei fn(x) = pn(f(x)2) f ăur x ∈ X. Dann konvergiert (fn) gleichmăaòig gegen

­f2=|f|aufX. Da aber fneine Linearkombination von Potenzen von f ist, liegt es inAf ¨ur jedesn∈N. Damit also|f| ∈A.

Die letzte Aussage folgt, daAebenfalls eine reelle Algebra ist und max(f,g)= 1

2(f+g+|f−g|) sowie min(f,g)= 1

2(f+g− |f−g|).

Beweis des Satzes von Stone-Weierstraò. Zunăachst wird gezeigt, dass es zu jedem Paar x,y ∈ X mit x y ein g ∈ A gibt, so dass g(x) g(y) und g(x),g(y) 0. W¨ahle g1 ∈ Amit g1(x) g1(y). Ist g1(x)g1(y) 0, so setze g = g1 und fertig. Andernfalls nimm an, dass etwa g1(y) 0. Dann ist g1(x)=0. W¨ahle g2∈Amitg2(x)0. Dann istg2(x)=g2(y) oderg2(y)=0.

Im Falle dass g2(x) = g2(y) definiere g = g1 +g2 und falls g2(y) = 0 setze g = g1+àg2 mità ∈ R so dass g1(y) àg2(x) 0. In beiden Făallen sieht man, dass 0 g(x)g(y)0.