SeiXeine Menge. EineAbstandsfunktionoderMetrikaufXist eine Abbildung d:X×X→[0,∞),
die f ¨ur allex,y,z∈Xdie folgenden drei Axiome erf ¨ullt:
• d(x,y)=d(y,x), Symmetrie
• d(x,y)=0 ⇔ x= y, Definitheit
• d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y). Dreiecksungleichung Beispiele 8.1.1.
• Auf jeder MengeXl¨asst sich diediskrete Metrikinstallieren:
d(x,y)=
0 x=y, 1 xy.
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A. Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9_8
164 KAPITEL 8. METRISCHE R ¨AUME UND TOPOLOGIE
• AufX =Rist die Abbildung d(x,y) = |x−y|eine Metrik. Ebenso ist aufX=Cdie Abbildungd(z,w)=|z−w|eine Metrik.
• Auf dem Einheitskreis X = T = {z ∈ C : |z| = 1} bieten sich zwei verschiedene Metriken an:
– die komplexe Metrik:d(z,w)=|z−w|und – die Bogenl¨angenmetrik:
d(eiα,eiβ)=min
k∈Z(|α−β+2πk|).
Lemma 8.1.2(Umgekehrte Dreiecksungleichung). Seien x,y,z∈X und d eine Metrik auf X, dann gilt
|d(x,y)−d(y,z)| ≤ d(x,z).
Beweis. Ausd(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y) folgtd(x,y)−d(y,z) ≤ d(x,z). Vertau- schen von x und z liefert d(z,y) −d(y,x) ≤ d(x,z). Zusammen folgt die
Behauptung.
Definition 8.1.3. Einmetrischer Raumist ein Paar (X,d) bestehend aus einer MengeXund einer Metrik dauf X. Ist (X,d) ein metrischer Raum und ist Y⊂Xeine Teilmenge, so ist die Einschr¨ankungd|Y×Yeine Metrik aufY.
Definition 8.1.4. Sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xn) mit Werten inX konvergiert in der Metrik gegen x∈X, falls die Folge der Abst¨anded(xn,x) gegen Null geht. Eine Folge (xn) heiòtCauchy-Folge, falls es zu jedemε >0 einn0∈Ngibt, so dass
d(xn,xm)< ε f ¨ur alle n,m≥n0. Lemma 8.1.5. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Beweis. Seixn →xkonvergent und seiε >0. Dann existiert ein n0 ∈ Nso dass f ¨ur jedesn ≥n0 die Absch¨atzungd(xn,x) < ε/2 gilt. F ¨urn,m≥n0gilt dann nach der Dreiecksungleichung
d(xn,xm)≤d(xn,x)+d(xm,x)< ε 2 +ε
2 =ε.
Definition 8.1.6. Ein metrischer Raum (X,d) heiòt vollstăandig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert.
Beispiel 8.1.7. Rist vollst¨andig, der TeilraumQaber nicht.
8.1. METRIK UND VOLLST ¨ANDIGKEIT 165 Definition 8.1.8. SeienX,Ymetrische R¨aume. EineIsometrievonXnachY ist eine Abbildungφ:X→Yso dass
d
φ(x), φ(x)
=d(x,x)
f ¨ur alle x,x ∈ X gilt. Eine Isometrie ist also eine Abbiuldung, die die Abst¨ande zwischen Punkten erh¨alt. Eine Isometrie ist stets injektiv. Ist die Isometrieφauch surjektiv, dann ist sie bijektiv und ihre Umkehrabbildung ist ebenfalls eine Isometrie. Eine bijektive Isometrie nennt man einenIso- morphismus metrischer R¨aume.
Eine TeilmengeA ⊂ X eines metrischen Raumes ist eine dichte Teilmenge, falls jeder Punkt inXGrenzwert einer Folge inAist.
Satz 8.1.9(Vervollst¨andigung). Sei X ein metrischer Raum. Dann gibt es eine Isometrieφ: X → X, wobei X ein vollst¨andiger metrischer Raum ist, so dass das Bild φ(X) dicht in X liegt. Das Paar (X, φ) nennt man eine Vervollst¨andigungvon X.
Eine Vervollst¨andigung ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinne. Ist ψ : X→Y eine weitere Isometrie mit dichtem Bild in einem vollst¨andigen metri- schen Raum Y, dann gibt es genau einen Isomorphismus metrischer R¨aume α:X→Y so dassψ=α◦φ, das heiòt, das Diagramm
X φ
ψ
X
α
Y ist kommutativ.
Beweis. Sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Vervollst¨andigung X von X kann wie folgt konstruiert werden. Zun¨achst sei ˜Xdie Menge aller Cauchy- Folgen inX. Es gibt eine kanonische Abbildung ˜φ: X→X, die jedes˜ x∈ X auf die konstante Folge xn = x abbildet. Auf dem Raum ˜X gibt es die nat ¨urliche ¨Aquivalenzrelation
(xn)∼(yn) ⇔ d(xn,yn) ist eine Nullfolge.
Insbesondere ist eine Cauchy-Folge (xn) zu jeder ihrer Teilfolgen ¨aquivalent.
Setze
XX/˜ ∼,
166 KAPITEL 8. METRISCHE R ¨AUME UND TOPOLOGIE also istXdie Menge der ¨Aquivalenzklassen in ˜X. Sei (xn) eine Cauchy-Folge inX. Man nennt die Folge einestarke Cauchy-Folge, falls
d(xm,xn) < 1 min(m,n)
f ¨ur allem,n∈Ngilt. Jede Cauchy-Folge hat eine starke Teilfolge, insbeson- dere ist also jede Cauchy-Folge zu einer starken Cauchy-Folge ¨aquivalent.
Lemma 8.1.10. Seien (xn) und (yn) inX. Dann konvergiert die Folge d(x˜ n,yn) inRund der Limes bleibt derselbe, wenn(xn)und(yn) durch ¨aquivalente Folgen ersetzt werden.
Sind(xn)und(yn)starke Cauchy-Folgen, dann gilt f ¨ur jedes k∈N, d(xk,yk) ≤ 2
k +lim
n d(xn,yn)
Beweis des Lemmas. F ¨ur m,n ∈ N gilt nach der umgekehrten Dreiecksun- gleichung
|d(xn,yn)−d(xm,ym)| ≤ |d(xn,yn)−d(xn,ym)|+|d(xn,ym)−d(xm,ym)|
≤d(yn,ym)+d(xn,xm).
Sind also (xn) und (yn) Cauchy-Folgen, dann istd(xn,yn) eine Cauchy-Folge in R, konvergiert also. Dass man (xn) oder (yn) durch ¨aquivalente Folgen ersetzen kann, ist eine einfache Konsequenz der Dreiecksungleichung. Sind (xn) und (yn) starke Cauchy-Folgen, so folgt aus dieser Absch¨atzung f ¨ur k≤ninN,
d(xk,yk)≤d(xk,xn)+d(yk,yn)+d(xn,yn)
≤ 1 k +1
k +d(xn,yn),
woraus sich durch Limes ¨ubergangn→ ∞die letzte Aussage ergibt.
Auf der MengeXdefiniert man eine Metrik ¯ddurch d¯
[xn],[yn]
lim
n→∞d(xn,yn).
Der Beweis, dass ¯d eine Metrik ist, ist bis auf die Dreiecksungleichung offensichtlich. Letztere zeigt man wie folgt
d¯
[xn],[yn]
=lim
n d(xn,yn)≤lim
n d(xn,zn)+d(zn,yn)
=d¯
[xn],[zn] +d¯
[zn],[yn] .
8.1. METRIK UND VOLLST ¨ANDIGKEIT 167 Definiereφ: X → X durchφ(x) [ ˜φ(x)], also φ(x) = [xn] mit xn = x f ¨ur jedesn∈N. Es folgt
d¯
φ(x), φ(y)
=lim
n d(x,y)=d(x,y),
also ist φ eine Isometrie. Um zu zeigen, dass das Bild dicht liegt, w¨ahle [xn] ∈ X und ε > 0. Dann gibt es ein n0 ∈ Nso dass d(xn,xm) < ε/2 f ¨ur m,n≥n0gilt. Mitx=xn0 ist
d(φ(x),¯ [xn])=lim
n d(xn0,xn) ≤ ε/2 < ε.
Daε >0 beliebig war, istφ(X) dicht inX.
Um zu sehen, dassXvollst¨andig ist, sei [xk]
k∈N = [xkn]
k∈N eine Cauchy- Folge inX. Das bedeutet, dass f ¨ur jedesk ∈ Neine Cauchy-Folge (xkn)n∈N
in X gegeben ist. Indem man (xkn)n∈N gegebenenfalls durch eine Teilfolge ersetzt, kann angenommen werden, dass (xkn)neine starke Cauchy-Folge ist.
Ebenso kann die Cauchy-Folge [xk]
als stark angenommen werden. Setze yj=xjj. Dann gilt nach Lemma 8.1.10
d(yi,yj)=d(xii,xjj)≤d(xii,xij)+d(xij,xjj)
< 2 i +d¯
[xi],[xj]
+ 1
min(i,j) < 2
i + 2
min(i,j).
Also ist (yj) eine Cauchy-Folge inX, definiert demnach ein Element [y] von X. Die Tatsache, dass die Folge [xk] gegen [y] konvergiert, folgt aus
d¯
[xk],[y]
=lim
j d(xkj,xjj)≤lim
j
limn d(xkj,xkn)+d(xkn,xnj)+d(xnj,xjj)
≤lim
j
limn d(xkn,xnj)+2 j
≤lim
j
2
j + 1
min(j,k) = 1 k.
F ¨ur die letzte Aussage von Satz 8.1.9, sei nun eine zweite Vervollst¨andigung ψ:X→Ygegeben. F ¨ur ¯x∈Xw¨ahlt man eine Folge (xn) inX, so dassφ(xn) gegen ¯xkonvergiert. Sei dann
α( ¯x)lim
n ψ(xn).
Dies muss erkl¨art werden. Zun¨achst, daφeine Isometrie ist, ist die Folgexn eine Cauchy-Folge und daher istψ(xn) eine Cauchy-Folge, also konvergent, so dass der Limes existiert. Man sieht leicht, dass dieser Limes nicht von der Wahl der Folge (xn) abh¨angt, also ist α wohldefiniert. Es ist ebenfalls
168 KAPITEL 8. METRISCHE R ¨AUME UND TOPOLOGIE leicht zu sehen, dass α eine Isometrie ist. Umgekehrt definiert man eine Abbildungβ:Y→Xdurch
β(y)lim
n
φ(xn) ,
wobeixneine beliebige Folge inXist, mit der Eigenschaft, dassψ(xn) gegen ykonvergiert. Es folgtβα=Id undβα=Id. DaXdicht liegt, istαeindeutig
bestimmt.