Nửa nhóm chính quy hoàn toàn

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngƣợc

1.1.1 Định nghĩa Phần tử a thuộc nửa nhóm S đƣợc gọi là phần tử chính quy nếu a  aSa hay nói cách khác: a = axa với x  S Nửa nhóm S đƣợc gọi là chính quy nếu mỗi phần tử của nó là chính quy

Nếu axa = a thì e = ax là một lũy đẳng, và ea = a Cụ thể, e^2 = (ax)(ax) = (axa)x = e, đồng thời ea = axa = a Tương tự, f = xa cũng là một lũy đẳng của S và af = a Cần lưu ý rằng a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm.

S, thì iđêan chính phải aS 1 = a  aS sinh bởi a bằng aS, vì a = af kéo theo a  aS

1.1.2 Bổ đề Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi một lũy đẳng nào đó, tức là aS 1 = eS 1 (S 1 a = S 1 e)

Để chứng minh rằng a là chính quy, ta có a xa = a với x thuộc S và e = ax là phần tử lũy đẳng của S, trong đó ea = a Từ đó, suy ra aS1 = eS1 Ngược lại, giả thiết aS1 = eS1 và e^2 = e dẫn đến e = ex với x thuộc S Do đó, ea = e^2x = ex = a, và e = ay với y thuộc S1, từ đó a = ea = aya Nếu y = 1, ta có a = a^2 và a = aaa Như vậy, mọi trường hợp a thuộc aSa, chứng tỏ a là chính quy.

1.1.3 Định nghĩa (i) Hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S đƣợc gọi là ngược nhau nếu aba = a và ba b = b

(ii) Nửa nhóm S đƣợc gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của nó có một phần tử ngƣợc duy nhất

Nếu a và b là các phần tử trong một nhóm con tối đại H của nửa nhóm S, và S là một nhóm, thì a và b được coi là ngược nhau nếu và chỉ nếu chúng là nghịch đảo của nhau theo nghĩa thông thường trong nhóm.

Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ngƣợc với nó thì a là chính quy

1.1.4 Bổ đề Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa = a với x  S, thì a có ít nhất một phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax

Chứng minh: Giả sử b = xax Thế thì: aba = a(xax)a = (axa)xa = axa = a

1.1.5 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán với nhau

Giả sử a và b là hai phần tử ngược nhau và giao hoán trong một nửa nhóm S với e = ab Khi đó, e là lũy đẳng, và ta có ea = ae = a cũng như eb = be = b Điều này chứng tỏ rằng a và b là các phần tử khả nghịch trong eSe và thuộc nhóm con tối đại H e của S chứa e.

Vì ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong nhóm H e Mệnh đề đảo là hiển nhiên

Một phần tử chính quy có thể tồn tại với nhiều phần tử ngược Nửa nhóm ngược là nửa nhóm mà trong đó mỗi phần tử tương ứng với một phần tử ngược duy nhất.

Năm 1952, các nửa nhóm được gọi là “nhóm suy rộng” Hiện tại, các nửa nhóm ngược đã hình thành một lớp nửa nhóm có triển vọng cao cho nghiên cứu, do chúng gần gũi với các nhóm chính.

1.1.6 Bổ đề Nếu e, f, ef và fe là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ngược nhau

Chứng minh Ta có (ef) (fe) (ef) = ef 2 e 2 f = ef.ef = (e f) 2 = ef

Tương tự (fe)(ef)(fe) = fe 

1.1.7 Định lý Ba điều kiện sau đối với nửa nhóm S là tương đương:

(i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau

(ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất

(iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy nhất)

Theo Bổ đề 1.1.2, mỗi iđêan chính phải của S đều có ít nhất một phần tử sinh lũy đẳng Giả sử e và f là các lũy đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải, tức là eS = fS Từ đó, ta có ef = f và fe = e Tuy nhiên, theo giả thiết (i), ef = fe, do đó dẫn đến kết luận e = f.

Theo Bổ đề 1.1.2, nửa nhóm S chính quy yêu cầu chứng minh sự duy nhất của phần tử ngược Giả sử b và c là phần tử ngược với a, ta có các phương trình aba = a, bab = b, aca = a và cac = c Từ đó suy ra abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca, dẫn đến ab = ac và ba = ca Do đó, ta có b = bab = bac = cac = c, chứng minh rằng b và c là phần tử ngược duy nhất với a.

Rõ ràng một nửa nhóm ngược là chính quy, và cần chứng minh rằng hai lũy đẳng bất kỳ giao hoán với nhau Để làm điều này, trước tiên cần chứng minh rằng tích ef của hai lũy đẳng e và f là một lũy đẳng Giả sử a là phần tử ngược của ef, khi đó (ef)a(ef) = ef và a(ef)a = a Đặt b = ae.

Thế thì: (ef)b(ef) = efae 2 f = efaef = ef và b(ef)b = ae 2 fae = aefae = ae = b

Do đó b cũng là phần tử ngƣợc của ef, nên theo tính chất (iii) ae = b = a

Tương tự có thể chứng minh rằng fa = a Do đó a 2 = (ae)(fa) = a(ef)a = a

Một lũy đẳng là phần tử ngược với chính nó, và từ điều kiện đã chứng minh, ta có a = ef, cho thấy ef là lũy đẳng Giả sử e và f là hai lũy đẳng bất kỳ, theo kết quả vừa nêu, ef và fe cũng là lũy đẳng Theo Bổ đề 1.1.6, chúng ngược nhau, do đó ef và fe đều ngược với ef, dẫn đến kết luận ef = fe.

1.1.8 Bổ đề Đối với phần tử a, b tùy ý thuộc nửa nhóm ngược S có các hệ thức là (a -1 ) -1 = a và (ab) -1 = a -1 b -1

Chứng minh Hệ thức thứ nhất là hiển nhiên Ta chứng minh hệ thức thứ hai Ta có (ab)(b -1 a -1 )(ab) = a(bb -1 )(a -1 a) b = a(a -1 a)(b -1 b)b = ab,(b -1 a -1 )(ab)(b -1 a -1 )

= b -1 (a -1 a)(bb -1 )a -1 = b -1 (bb -1 )(a -1 a)a -1 = b -1 a -1 Do đó b -1 a -1 ngƣợc với ab 

1.1.9 Bổ đề Nếu e và f là các lũy đẳng của nửa nhóm ngược S thì

Nếu a thuộc Se giao Sf, thì ae bằng af bằng a, do đó aef bằng af bằng a, dẫn đến a thuộc Sef Ngược lại, nếu a thuộc Sef (cũng chính là Sfe), thì aef bằng afe bằng a, từ đó suy ra ae bằng af bằng a, tức là a thuộc Se giao Sf.

Các quan hệ Grin trên nửa nhóm

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ L, R, J sau đây trên S: a L b  S 1 a = S 1 b a R b  aS 1 = bS 1 a J b  S 1 aS 1 = S 1 bS 1 trong đó S 1 a, aS 1 , S 1 aS 1 tương ứng là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S đƣợc sinh ra bởi a

Rõ ràng L, R, J là các quan hệ tương đương trên S Hơn nữa, L là một tương đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S Với mỗi a  S, ký hiệu L a , R a và

J a tương ứng với các L – lớp, R – lớp, J – lớp tương ứng chứa a

1.2.2 Bổ đề Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và do đó quan hệ

D = L R = R L là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và R

Để chứng minh rằng L R ⊆ R L, ta giả sử (a,b) ∈ L R Có một phần tử c ∈ S sao cho a L c và c R b Từ đó, tồn tại u, v ∈ S1 sao cho a = uc và b = cv, đặt d = av = ucv = ub Do L là tương đẳng, ta có (a,c) ∈ L dẫn đến (av, cv) ∈ L, tức là (d,b) ∈ L Đồng thời, vì R là tương đẳng trái, (c,b) ∈ R dẫn đến (uc, ub) ∈ R, từ đó suy ra (a,d) ∈ R Như vậy, từ (a,d) ∈ R và (d,b) ∈ L, ta kết luận được (a,b).

D chứa lớp a, ký hiệu là D a, với L ⊆ J và R ⊆ J, do đó D ⊆ J, nhưng D không đồng nhất với J Đối với mỗi a thuộc S, có hai ký hiệu quan trọng: J(a) là iđêan chính sinh bởi a, với J(a) = S 1 aS 1, và J a là tập hợp tất cả các phần tử sinh của J(a), tức là J a chính là D – lớp chứa a.

1.2.3 Định nghĩa Quan hệ H trên S đƣợc xác định bởi H = L  R

Với mỗi a  S, ký hiệu H – lớp chứa a là H a

1.2.4 Chú ý a) R -lớp R và L – lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúng được chứa trong một D – lớp của S

Thật vậy; giả sử a  R và b  L Khi đó aDb khi và chỉ khi t n tại c  S sao cho

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện liên quan đến các cặp (a,c) thuộc R và (c,b) thuộc L, từ đó suy ra rằng c phải thuộc giao của R và L, tức là c ∈ R ∩ L Điều này dẫn đến việc aDb chỉ xảy ra khi giao của R và L không rỗng Hơn nữa, aDb cũng xảy ra khi các lớp D chứa R và L có sự trùng lặp Để hình dung rõ hơn về các lớp D của nửa nhóm S, chúng ta sử dụng hình ảnh "hộp trứng", trong đó các phần tử thuộc D được sắp xếp thành một bảng chữ nhật giống như các hộp đựng trứng.

R – lớp và các cột tương ứng với L – lớp trong D, trong khi mỗi ô của hộp ứng là một H – lớp trong D Lưu ý rằng trong hộp không tồn tại ô trống nào Chúng ta không giả định rằng các phần tử thuộc các H – lớp được sắp xếp theo cách đặc biệt nào Điều này cho thấy rằng các H – lớp trong D đều có cùng cấp.

Các ô của hộp trứng được sắp xếp bởi các phần tử thuộc nửa nhóm S Nếu a và b là các phần tử trong nửa nhóm S, ta có thể viết J a ≤ J b khi S 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1, tức là khi a thuộc J(b) Quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập J – lớp của S Lưu ý rằng một nửa nhóm S là đơn trái (phải) khi và chỉ khi nó chỉ có một L – lớp (R – lớp), và một nửa nhóm là đơn khi và chỉ khi nó chỉ có một.

J – lớp Ta nói rằng nửa nhóm S là D – đơn hoặc song đơn nếu nó chỉ g m một

D – lớp Vì D  J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa nhóm đơn

Vì R  D và L  D nên mỗi nửa nhóm đơn phải hay đơn trái đều song đơn

1.2.5 Bổ đề (Grin) Giả sử a và b là các phần tử R – tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S, và giả sử s,s’  S 1 sao cho as = b và bs’ = a Khi đó các ánh xạ x  xs (x  L a ) và y  ys (y  L b ) ngược nhau và bảo toàn các R – lớp và ánh xạ một- một từ L a lên L b và L b lên L a tương ứng

Chứng minh Ta ký hiệu hai ánh xạ đó bởi  và  ‟ tương ứng Chú ý rằng

(‟) là cái thu hẹp của phép chuyển dịch trong bên phải  s ( s  ) trên tập L a (L b )

Giả sử x  L a Vì L là tương đẳng phải nên (x,a)  L kéo theo (xs,as)  L, từ đó xs  L b Vậy  ánh xạ L a vào L b và tương tự ‟ ánh xạ L b vào L a

Giả sử x  L a Khi đó t n tại phần tử t  S 1 sao cho x = ta Do đó x  ‟ = xss’ = tass’ = tbs’ = ta = x.

Vậy   ‟ là phép biến đổi đ ng nhất của L a Tương tự,   ‟ là phép biến đổi đ ng nhất của L b , nên  và  ‟ là các ánh xạ một- một ngƣợc nhau từ L a lên

Ta chứng tỏ  bảo toàn các R – lớp Thực vậy, nếu x  L a và y = x = xs thì ys’ = x, nghĩa là (y,x)  R Tương tự ta cũng chứng minh được  ‟ bảo toàn các L – lớp 

1.2.6 Định lý 1.2.6 Giả sử a và c là các phần tử D – tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S Khi đó tồn tại phần tử b  S sao cho (a,b)  R và (b,c)  L và do đó as = b, bs’ = a, tb = c, t’c = b với s, s’, t, t’ nào đó thuộc S 1 Các ánh xạ x  txs

(x  H a ) và z  tzs’ (z  H c ) ngược nhau và ánh xạ một – một các lớp H a và H c sang lẫn nhau Đặc biệt, hai H – lớp nằm trong cùng một D – lớp thì có cấp như nhau

Theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Grin, các ánh xạ  : y  ty (với y thuộc R b) và   : z  t’z (với z thuộc R c) là ngược nhau, đồng thời bảo toàn các L – lớp và ánh xạ một – một từ R b lên R c và ngược lại.

Giả sử  và   là các ánh xạ trong Bổ đề Grin, nhƣng thu hẹp trên H a và

Theo Bổ đề Grin, các ánh xạ σ và σ' bảo toàn các R-lớp, dẫn đến việc các thu hẹp của chúng tạo ra các ánh xạ một – một từ Ha lên Hb và ngược lại Tương tự, nếu τ và τ' được thu hẹp trên Hb và Hc, thì στ và τσ' là các ánh xạ một – một ngược nhau từ Ha lên Hb và ngược lại, và chúng trùng với các ánh xạ được nêu trong định lý.

1.2.7 Định lý Tích LR của L – lớp và R – lớp bất kỳ L và R tương ứng của nửa nhóm S được chứa hoàn toàn trong một D – lớp của S

Định lý tương đương khẳng định rằng nếu a, a’, b, b’ là các phần tử thuộc S và aLa’.bRb’, thì abDa’b’ Do L là một tương đẳng phải, ta có (a,a’) ∈ L dẫn đến (ab,a’b) ∈ L Hơn nữa, vì R là một tương đẳng trái, điều này cũng được xác nhận.

(b,b’)  R kéo theo (a’b,a’b’)  R Do đó (ab,a’b’)  D

1.3.1 Định nghĩa D – lớp D của một nửa nhóm S đƣợc gọi là chính quy nếu mỗi phần tử của D chính quy, nghĩa là với mọi a  D, t n tại x  S sao cho a = axa Định lý sau đây chứng tỏ rằng nếu D là D – lớp không chính quy thì trong D không có phần tử nào chính quy cả, khi đó ta nói rằng D không chính quy Phần còn lại của tiết này trình bày lý thuyết các D – lớp chính quy của một nửa nhóm tùy ý

1.3.2 Định lý (i) Nếu D – lớp D của một nửa nhóm S chứa phần tử chính quy thì mỗi phần tử thuộc D là chính quy

(ii) Nếu D chính quy thì mỗi L – lớp và mỗi R – lớp chứa trong D đều chứa lũy đẳng

Phần tử a thuộc nửa nhóm S được coi là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính trái (phải) của nửa nhóm S sinh bởi a được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức là aS1 = eS1 (S1a = S1e) Điều này có nghĩa rằng phần tử a ∈ S là chính quy khi và chỉ khi R_a (L_a) chứa lũy đẳng Do đó, nếu R – lớp R (L – lớp L) chứa phần tử chính quy, thì nó cũng sẽ chứa lũy đẳng và mọi phần tử thuộc R(L) đều chính quy Hơn nữa, vì mỗi R – lớp của S chứa trong D đều giao với mỗi L – lớp của S chứa trong D, nên khẳng định (i) là hiển nhiên.

Nhƣng khi đó suy ra (ii) 

Ta nhắc lại rằng hai phần tử a và a‟ thuộc nửa nhóm S gọi là ngược nhau, nếu aa’a = a và a’aa’ = a

Hai Bổ đề sau đây là hiển nhiên

1.3.3 Bổ đề Nếu a và a’ là các phần tử ngược nhau thuộc một nửa nhóm S, thì e = aa’ và f = a’a là các lũy đẳng, hơn nữa ea = af = a và a’e = fa’ = a’ Do đó e  R a  L a’ ; f  R a’  L a Các phần tử a, a’, e, f cùng thuộc một lớp D – lớp của S

1.3.4 Bổ đề (i) Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì aS 1 = aS và

(ii) Nếu a và b là các phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì aLb (aRb) khi và chỉ khi Sa = Sb (aS = bS)

1.3.5 Bổ đề Mỗi lũy đẳng e thuộc nửa nhóm S là đơn vị phải trong L e’ , đơn vị trái trong R e và đơn vị trong H e

Chứng minh Nếu a  L e thì a  Se và do đó a = ae Nếu a  R e thì a  eS và do đó ea = a Nếu a  H e = L e R e thì ae = ea = a 

1.3.6 Bổ đề Một H – lớp có thể chứa không quá một lũy đẳng

Chứng minh Nếu e và f là các lũy đẳng, hơn nữa H e = H f thì theo Bổ đề

1.3.5, có e và f là đơn vị hai phía nên e = f 

1.3.7 Định lý (Grin) Nếu các phần tử a, b, ab thuộc cùng một lớp H – lớp H của nửa nhóm S, thì H là một nhóm con Đặc biệt, mọi H – lớp chứa lũy đẳng đều là nhóm con

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng nếu h và hs(sh) cùng thuộc một

NỬA NHÓM CHÍNH QUY HOÀN TOÀN

Nửa nhóm chính quy hoàn toàn

Một nhóm (G, μ) có thể được xem như một cấu trúc đại số với ba phép toán: phép toán hai ngôi μ:(a,b) → ab, phép toán một ngôi a → a⁻¹, và phép toán 0-ngôi (hằng) với 1 là đơn vị của G Để nhấn mạnh nhận xét này, ta có thể viết G = (G, μ, -1, 1) thay cho (G, μ) Từ quan điểm này, một đồng cấu φ: G → H giữa các nhóm được xác định bởi các tính chất nhất định.

Tuy nhiên trong Lý thuyết nhóm sơ cấp, ta biết rằng từ tính chất thứ nhất suy ra đƣợc hai tính chất còn lại

Một nửa nhóm (S,  ) đƣợc gọi là U-nửa nhóm nếu có một phép toán một ngôi a a’ xác định trên với tính chất   a   =a,   a  S ,   Khi đó ta viết S: (S,  ,’).

Một nửa nhóm tùy ý S có thể được xem là U-nửa nhóm thông qua định nghĩa a’ = a, với mọi a thuộc S Tuy nhiên, U-nửa nhóm trở nên quan trọng hơn khi các phép toán một ngôi và hai ngôi trên S có mối liên hệ với nhau Hai tác động này đã được nghiên cứu và xem xét.

Trước hết, a’ được ký hiệu bởi a*, và (S,  ) trở thành * - nửa nhóm, hay nửa nhóm với phép đối hợp *, nếu thỏa mãn các điều kiện(a*)* = a,

Thứ hai, a’ đƣợc ký hiệu bởi a  1 , và (S,) trở thành một I – nửa nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện

Chú ý rằng, vì các đẳng thức này đúng với mọi phần tử thuộc S, nên từ đó suy ra a -1 aa -1 = a -1 (a -1 ) -1 a -1 = a  1 và do đó a -1 là một phần tử ngƣợc của a

Theo định nghĩa, một nhóm (G, , -1 ) vừa là một * - nửa nhóm vừa là một

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá lớp các I-nửa nhóm, đặc biệt là các nửa nhóm chính quy hoàn toàn, một khái niệm quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm Các U-nửa nhóm đáp ứng các điều kiện *-nửa nhóm, và I-nửa nhóm được định nghĩa là lớp các nửa nhóm ngược Mục tiêu chính là tìm hiểu sâu về các nửa nhóm này và vai trò của chúng trong toán học.

2.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S đƣợc gọi là một nửa nhóm chính quy hoàn toàn nếu t n tại phép toán một ngôi a a -1 thỏa mãn các hệ thức

Nhƣ vậy, S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn nếu S là một I – nửa nhóm với tính chất a -1 a = aa -1 ,  a  S

Kết quả sau đây đƣa ra các định nghĩa khác của nửa nhóm chính quy hoàn toàn

2.1.2 Mệnh đề Giả sử S là nửa nhóm Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(i) S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn;

(ii) Mỗi phần tử của S nằm trong một nửa nhóm con của S;

(iii) Mỗi H – lớp trong S là một nhóm

Chứng minh (i)(ii) Giả sử a  S, và aa -1 = a -1 a = e Khi đó (aa -1 ) 2 = aa -1 aa -1

= aa -1 aa -1 = aa -1 nên e là một lũy đẳng của S Do đó a  R e  L e = H e nên H e là một nhóm con của S (và H e chứa a)

(ii)(iii) Giả sử a  S, thế thì a  G với G là một nhóm con nào đó của S

Ký hiệu đơn vị của G bởi e và phần tử ngƣợc của a trong G bởi a* Thế thì ea = ae = aa* = a*a = e nên aHe, từ đó H a = H e là một nhóm

Đối với mỗi phần tử a thuộc tập S, ký hiệu a -1 đại diện cho phần tử ngược duy nhất của a trong H a Mặc dù a có thể có nhiều phần tử ngược trong S, nhưng chỉ có một phần tử ngược thuộc H a Từ đó, ta có các quan hệ (a -1 ) -1 = a, aa -1 a = a, aa -1 = a -1 a (=e), trong đó e là đơn vị của H a Kết luận, S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn.

Lũy đẳng e thuộc nửa nhóm S được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu với mọi lũy đẳng f của S, từ ef = fe = e suy ra f = e Nửa nhóm S được xem là đơn khi không chứa iđêan thực sự hai phía Nếu nửa nhóm S vừa đơn vừa chứa lũy đẳng nguyên thủy, thì nó được gọi là nửa nhóm đơn hoàn toàn.

Kết quả sau đây đƣa ra hai định nghĩa khác của nửa nhóm đơn hoàn toàn liên quan đến khái niệm nửa nhóm chính quy hoàn toàn

2.1.3 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(i) S là nửa nhóm đơn hoàn toàn;

(ii) S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn và xx -1 = (xyx)(xyx) -1 ,  x, y  S;

(iii) S là nửa nhóm đơn và S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn

Giả sử S là nửa nhóm đơn hoàn toàn, với mỗi phần tử a trong S, phần tử ngược duy nhất của a nằm trong H a Nếu x và y thuộc S, ta có xyxHx, từ đó suy ra xx -1 = (xyx)(xyx) -1.

(ii)(iii) Giả sử a, b  S Khi đó a = aa -1 a = aba.(aba) -1 a, và do đó J a  J b Bằng cách thay đổi vai trò a cho b, ta có J b  J a nên J a = J b

Suy ra J = SxS nên S là nửa nhóm đơn

(iii)(i) Giả thiết rằng S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn và đơn

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng mỗi lũy đẳng của S là nguyên thủy, từ đó suy ra S là nửa nhóm đơn hoàn toàn

Giả sử e và f là hai lũy đẳng của S với ef = fe = e Do S là nửa nhóm đơn, tồn tại t tại z, t thuộc S sao cho e = zft Đặt x = exf, y = fte, ta có xfy = (ezf)f(yte) = e(zft)e = e^3 Hơn nữa, vì e^2 = e và f^2 = f nên ex = xf = x và fy = ye = y.

Khi S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn, theo Mệnh đề 2.1.2, phần tử x thuộc H g với g là một lũy đẳng của S Do đó, gx = xg = x, và tồn tại x -1 thuộc H g sao cho xx -1 = x -1 x = g Từ đó, gf = x -1 xf = x -1 x = g, và ta có gf = gef = gxfyf = xfyf = ef = f, dẫn đến g = f Cuối cùng, ta suy ra f = fe = ge = gxfy = xfy = e.

Nhƣ vậy ta đã chứng minh đƣợc rằng nếu e và f là hai lũy đẳng của S sao cho ef

= fe = e thì f = e, nghĩa là e là lũy đẳng nguyên thủy và từ đó S là nửa nhóm đơn hoàn toàn 

Sự phân tích Cliphớt

Trước hết, ta tìm hiểu về các khái niệm băng và nửa dàn

2.2.1 Định nghĩa (i) Một tập X đƣợc gọi là một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu

Giả sử E là tập hợp tất cả các luỹ đẳng của nửa nhóm S Khi đó, quan hệ  được xác định trên E bởi điều kiện e  f (với e, f thuộc E) nếu ef = fe = e, tạo thành một thứ tự bộ phận tự nhiên trên E.

Phần tử b được gọi là cận trên của tập con Y trong tập sắp thứ tự bộ phận X nếu với mọi y thuộc Y, ta có y ≤ b Cận trên b này được xem là cận trên nhỏ nhất hoặc hợp của tập Y nếu b ≤ c với mọi cận trên c của Y Nếu tập Y có một hợp trong X, thì hợp này là duy nhất.

Cận dưới và cận dưới lớn nhất được định nghĩa một cách đối ngẫu Tập sắp thứ tự của bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (dưới) nếu mỗi tập con g gồm hai phần tử {a,b} của tập X có hợp (giao) trong X Trong trường hợp này, mỗi tập con hữu hạn của X cũng có hợp (giao) Hợp (giao) của {a,b} được ký hiệu là a ∪ b (a ∩ b).

Một dàn là một tập hợp các phần tử được sắp xếp theo thứ tự, bao gồm cả nửa dàn trên và nửa dàn dưới Dàn X được coi là đầy đủ khi mỗi tập con của nó có cả hợp và giao.

(vi) Băng là một nửa nhóm S mà mỗi phần tử là lũy đẳng

2.2.2 Ví dụ Giả sử X là tập tất cả các phỏng nhóm con của phỏng nhóm S kể cả tập rỗng Thế thì X đƣợc sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập Vì giao của một tập hợp tùy ý các phỏng nhóm con của S kể cả tập rỗng, hoặc là một phỏng nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các phần tử thuộc tập hợp

Y, trong lúc đó hợp của Y là một phỏng nhóm con của S sinh bởi hợp theo lý thuyết tập của các phỏng nhóm con thuộc Y Tất cả các lý luận trên đều đúng nếu ta thay từ “phỏng nhóm con‟‟ hay „„tập hợp của S” bởi từ “tương đẳng trên S”

Tập hợp các iđêan trái (phải, hai phía) của phỏng nhóm S, bao gồm cả tập rỗng, là một dàn con đầy đủ của đại số Bun đối với tất cả các tập hợp con của S, vì chúng đóng theo phép hợp trong lý thuyết tập và giao.

Băng là một nửa nhóm S, trong đó mỗi phần tử là lũy đẳng Do đó, nếu S là một băng, thì S sẽ bằng E Điều này dẫn đến việc S được sắp thứ tự theo bộ phận tự nhiên, với điều kiện a ≤ b khi và chỉ khi ab = ba = a.

2.2.3 Định lý Một băng giao hoán S là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên S Giao a  b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao

Chứng minh rằng quan hệ ≤ là quan hệ sắp thứ tự bộ phận trên S (=E) Ta cho thấy tích ab của hai phần tử a và b thuộc S trùng với cận dưới lớn nhất của {a, b} Từ các phép toán baa = ba^2 = ba và (ab)b = ab^2 = ab, suy ra ab ≤ a và ab ≤ b Giả sử c ≤ a và c ≤ b, thì (ab)c = a(bc) = ac.

= c, và tương tự, c(ab) = c, từ đó c  ab

Mệnh đề đảo là hiển nhiên 

Chú ý rằng S có thể được coi là nửa dàn trên khi đặt a ≤ b, với điều kiện ab = b Tuy nhiên, để đảm bảo sự nhất quán, chúng ta sẽ giữ nguyên định nghĩa đã nêu Trong các phần sau, thuật ngữ "nửa dàn" sẽ được sử dụng đồng nghĩa với "băng giao hoán", và chúng ta thống nhất rằng "nửa dàn" ám chỉ nửa dàn dưới, đóng vai trò như một băng giao hoán đối với phép giao.

Ta nêu ví dụ các băng không giao hoán Giả sử X và Y là hai tập tùy ý

Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S = X x Y bằng cách đặt

Tính kết hợp và lũy đẳng của phép toán đó là hiển nhiên

Ta định nghĩa S là băng chữ nhật trên tập X x Y, nơi X x Y được hình dung như một bảng chữ nhật với g m các điểm Trong đó, điểm (x,y) nằm ở dòng x cột y của bảng Hai điểm a1 = (x1, y1) và a2 = (x2, y2) là hai đỉnh đối diện của một hình chữ nhật trên X x Y Hai hình chữ nhật X x Y và X’ x Y’ được gọi là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi

Nếu X  1 ( Y  1 ) thì băng chữ nhật X x Y đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải (bên trái) trên Y (X)

Lý thuyết nửa nhóm không bao gồm lý thuyết dàn và lý thuyết nhóm Nếu một loại nửa nhóm có thể được mô tả hoàn toàn bằng lý thuyết nhóm và lý thuyết dàn, thì nghiên cứu cấu trúc của các nửa nhóm đó không thuộc phạm vi lý thuyết nửa nhóm Ngược lại, việc nghiên cứu các băng là một nhiệm vụ quan trọng của lý thuyết nửa nhóm Hiện tại, việc mô tả hoàn hảo các băng sai khác với nửa dàn vẫn còn nhiều thách thức.

2.2.4 Chú ý Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau S  ( ) Để cho sự phân tích đó có giá trị, điều cần thiết là các nửa nhóm con S  phải là các nửa nhóm thuộc loại nào đó hẹp hơn S, chẳng hạn các nửa nhóm đơn hay các nhóm

Giả sử S =  { S  / } là phân tích của nửa nhóm S, trong đó mỗi cặp phần tử   thuộc tập chỉ số  t n tại phần tử   thỏa mãn S S   ⊆ S  Điều này cho thấy rằng  trở thành một băng đối với phép toán đó Do vậy, S được coi là hợp băng  của các nửa nhóm S  Ánh xạ  được xác định bởi a  =  nếu a thuộc S , là đồng cấu từ S lên.